2018石家庄10月名校月考(精品模拟卷)数学

石家庄市普通高中2017-2018学年第一学期10月考试

高三数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，）

1．设集合M ＝

{}|||2x x <，N ＝｛一1，1｝，则集合

中整数的个数为

A ．3

B ．2

C 、1

D ．0

2．|1|11|1|

i i

i i +++++＝ A ．2 B ．2 C ．2＋2i D ．2－2i

3·命题“1,2x

x R ???∈ ???

＞0”的否定是 A ．001,2x

x R ???∈ ???＞0 B ．001,2x

x R ???∈ ???

≤0[来源:学优高考网]

C 、1,2x

x R ???∈ ???＜0 D 、1,2x

x R ???∈ ???

≤0 4、设向量11

(1,0),(,)22

a b == ，则下列选项正确的是

A 、||||a b =

B 、()a b b -⊥

C 、a b

D 、22

a b =

5、下列函数是偶函数，且在［0,1］上单调递增的是 A 、sin()2

y x π

=+ B 、212cos y x =- C 、2y x =- D 、|sin()|y x π=+

6·“1sin 2α=

”是“1

cos 22

α=”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

7·已知｛n a ｝为等比数列，若2312a a a = ，且a 4与2 a 7的等差中项为5

4

，则其前5项和为 A ．35 B ．33 C ．31 D ．29

8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，2c a =

，则

A ．a ＞b

B ．a ＜b

C ．a ＝b

D ．a 与b 的大小关系不能确定

9．已知a ＞b ＞c ＞1，且a ，b ，c 依次成等比数列，设m=log a b ，n=log ,log b c c p a =，则 m ，n ，P 的大小关系为

A 、p ＞n ＞m

B ．m ＞p ＞n

C ．m ＞n ＞p

D ．p ＞m ＞n

10．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++≥??

-≤??≤?

，则34z x y =+的最小值是

A ．3

B 、0

C ．-15

D ．－

352

11．下列命题：①函数f （x ）＝sin 2

x 一cos 2

x 的最小正周期是π； ②在等比数列〔n a ｝中，若151,4a a ==，则a 3＝士2； ③设函数f （x ）＝(1)1x m m x +≠+，若21

()t f t

-有意义，则0t ≠

④平面四边形ABCD 中，0,()0AB CD AB AD AC +=-=

，则四边形ABCD 是

菱形． 其中所有的真命题是：

A ，①②④

B ．①④

C ．③④

D ．①②③

12．已知函数f （x ）＝｜lnx ｜，g （x ）＝20,01

1|9|,18

x x x <≤???->??．则方程f （x ）一g （x ）一1＝0实根的个数为 A ．1 B 、2 C ．3 D ．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分。） 13、若点（a ，27）在函数3x y =的图象上，则tan

π

α

的值为 14，已知函数f （x ）＝321x ax x -+--在(,)-∞+∞上是减函数，则实数a 的取值区间是

15．设等差数列{n a }满足：公差d *N ∈，n a *N ∈，且{n a }中任意两项之和也是该数列中的一项．若1a ＝9，则d 的所有可能取值为

16．已知,,a b c 均为单位向量，且a b ⊥

，则()a b c c ++

的最大值是

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本小题满分10分）

设数列{n a }满的前n 项和为Sn ，且2n n S a +=，*n N ∈· （1）求数列{n a }满的通项公式； （2）设21221log log n n n b a a ++=，求数列｛1

n

nb ｝的前n 项和Tn ．

18．（本小题满分12分）

设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且4

cos ,25

B b ==． （1）若A ＝30°，求a ； （2）求△AB

C 面积的最大值．

[来源:学优高考网]

19．（本小题满分12分）

已知函数f （x ）＝（x －1）3

＋m ．

（1）若f （1）＝1，求函数f （x ）的单调区间； （2）若关于x 的不等式3()1f x x ≥-在区间［1，2〕上有解，求

m 的取值范围；

20．（本小题满分12分）

已知函数f （x ）＝2cos 1(sin cos )sin 1x x x x ??

-- ?+??

．

（l ）求函数f （x ）的定义域；

（2）求函数f （x ）的值域．

21．（本小题满分12分）

已知等差数列{n a }的前n 项和为Sn ，公差d ＞0，且2340,a a =，1413a a +=,公比为q （0＜q ＜1）的等比数列{n b }中，13511111,,{

,,,,}60322082

b b b ∈

（1）求数列{n a }，{n b }的通项公式n a ，n b ；

（2）若数列{n c }满足212,n n n n c a c b -==，求数列{n c }的前n 项和Tn 。

22，（本小题满分12分）

己知函数()x f x e =，2()g x ax bx =+＋1．

（1）若0a ≠，曲线y ＝f （x ）与()y g x =在x ＝0处有相同的切线，求b ； （2）若0,01b a =<<，求函数()()y f x g x =的单调递增区间； （3）若0,()()a f x g x =<对任意(,0)x ∈-∞恒成立，求b 的取值区间

数学试题答案

一.选择题：CABBD ACADD BC 二．填空题：本大题共4小题,每小题5分。

13. 3 14. [3,3]- 15. 1,3,9. 16.12+

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）

解：(1)111,2n S a =+=，11a ∴=,……………………1分

112,0,n n n n n S a S a --≥+--=12n n a a -∴=，……………………3分

111

10,2n n a a a -=≠∴= ，所以数列{}n a 是首项为1，公比为12

的等比数列.

所以1

12n n a -??= ???

.…………5分

()()

1

221

1

111l g l g 221

1278n n

n n

b n n o o n nb +?=

=

+????? ? ?

????

∴

=+???????????????????????????分

分

(3)

234(1)2

n n n T n n +∴=++++++=

…………………………………………10分 18.（本小题满分12分） 解：（1）因为54cos =

B ，所以5

3

sin =B . ---------------2分 因为o 30=A ，2=b ，由正弦定理B b A a sin sin =

可得3

5

=a ………………5分 （2）因为ABC ?的面积ac B ac S 10

3

sin 21==， ---------------6分

B ac c a b cos 2222-+=，所以ac c a 5

8

422-+=. ----------------8分

因为222a c ac +≥，所以8

245

ac ac -≤， ----------------10分

所以10≤ac ，（当10a c ==时等号成立） 所以ABC ?面积的最大值为3. -----------------12分 19. （本小题满分12分）

解：（1）因为(1)1f =，所以1m =， ……………………1分

则()3

32

11()33f x x x x x -+==+-，

而

22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥恒成立，

所以函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞． …………………5分 （2）不等式

3()1f x x ≥-在区间[1,2]上有解，即不等式2

330x x m --≤在区间[1,2]上有解，

即不等式233m x x ≥-在区间[1,2]上有解，即

m

不小于233x x -在区间[1,2上

的最小值． …………………………………………………………………9分

因为[1,2]x ∈时，[]2

213333()0,624

x x x -=--∈，

所以m 的取值范围是[0,)+∞．……………………12分 20. （本小题满分12分）

解：（1）由sinx ＋1≠0得，x ≠－π

2

＋2k π(k ∈Z),

∴f(x)的定义域为{x ∈R|x ≠－π

2

＋2k π，k ∈Z}．………………3分

（2）f(x)＝(1－sin 2

x

1＋sinx －1)(sinx －cosx)＝(1－sinx －1)(sinx －cosx)

＝－sinx(sinx －cosx)＝sinxcosx －sin 2

x ……………………6分 ＝12 sin2x －1－cos2x 2 ＝12 (sin2x ＋cos2x)－1

2

＝

22 sin(2x ＋π4 )－12 {x|x ≠－π

2

＋2k π，k ∈Z}………9分 虽然当x=－π

2 ＋2k π(k ∈Z)时，f(x)＝－１，但是

f(x)＝－１?{x|4

x k π

π=-

+或2

x k π

π=-

+，k ∈Z}?{x|x=－π

2 ＋2k π，k ∈Z}

……………………………………………………………………………………10分

[来源:学优高考网gkstk]

∴函数f(x)的值域为2121,22??

+--????

…………………………12分 21. （本小题满分12分）

解：（1）因为{}n a 为等差数列，所以142313a a a a +=+= 又2232340,,a a a a =∴是方程x -13x+40=0的两实数根. 又公差0d >,所以23a a < 所以235,8a a == 所以11

5,

28,a d a d +=??

+=?解得12,3a d ==

所以31,n a n =- ……………………………………………………3分 因为公比为(01)q q <<的等比数列{}n b 中，13511111,,{,,,,}60322082

b b b ∈ 所以，当且仅当135111

,,2832

b b b ===

时成立. 此时公比2

3111

,42

b q

q b =

=∴= 所以1

().2

n n b = …………………………………………………………6分

（2）①n 为正偶数时, {}

n c 的前n 项和n T 中, {}n a ，{}n b 各有前2

n

项,由（1）知

22211(231)[1()]

32812222()128212

n n n n n n n T +?--++=+=-- ………………9分

②n 为正奇数时, n T 中, {}n a ，{}n b 分别有前12n +项、1

2

n -项.

1

2

1

221111(231)[1()]381312222()128212

n n n n n n n T --+++?--++=+=--………………12分

22．（本小题满分12分）

解：（1） ()x f x e '=，()2g x ax b '=+， ∴(0)1f '=， (0)g b '=，

f(x) 与g(x) 在x ＝0处有相同的切线，∴1b

=.…………………3分

（2）若0,01b a =<<，则y ＝f(x)g(x)=2(1)x e ax +，

所以22(1)2(21)x x x y e ax axe e ax ax '=++=++……………………………5分 又01a <<，220,21(1)1x e ax ax a x a o >++=++-> 所以函数y ＝f(x)g(x)的单调递增区间为,+-∞∞（）…………7分 （3）法1：由a ＝0，所以(),()1x f x e g x bx ==+

①当0b =时，对任意的(,0)x ∈-∞，()1g x bx =+=1，而()1f x <，

[来源:学优高考网]

所以()()f x g x <恒成立. ………………………………………………8分 ②当0b <时，()1g x bx =+在(,0)x ∈-∞上递减，所以()(0)1g x g >=， 而()1f x <，所以()()f x g x <恒成立. ……………………10分 ③当0b >时，由于()1g x bx =+在(,0)x ∈-∞上递增，所以当1

x b

<-时，()0,0()1g x f x <<<，与对任意的(,0)x ∈-∞，()()f x g x <相矛盾. 故b 的取值区间为

(],0-∞. ………………………………………12分

法2：由a ＝0，则()()()1x x f x g x e bx ?=-=--，∴()x x e b ?'=-，………8分

①当0b ≤时，()0x ?'≥，函数()x ?在R 单调递增，

又(0)0?=，∴ (,0)x ∈-∞时，()0x ?<，即()()f x g x <恒成立. ………9分 ②当0b >时，∴()0x ?'>，ln x b >；∴()0x ?'<，ln x b <

∴函数()x ?在(,ln )b -∞单调递减；(ln ,)b +∞单调递增，……………………10分

（ⅰ）当01b <<时，∴ln 0b <，又(0)0?=，∴min ()(ln )0x b ??=<， 而当1

x b

<-

时，()0,0()1g x f x <<<，则()0x ?>， 与()()f x g x <相矛盾. …………………………………………11 （ⅱ）当1b ≥时， ln 0b ≥，∴函数()x ?在(,0)-∞单调递减，

[来源:学优高考网gkstk]

∴()(0)0x ??>=，与()()f x g x <矛盾.

故b 的取值区间为(],0-∞. ………………………………………12分