26.1 二次函数(4)-

26.1二次函数的图像与性质

第4课时

教学目标 1．知识与技能

(1)进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会做函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k 的图象． (2)能正确说出y=a(x-h)2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. (3)掌握抛物线y=a(x-h)2+k 的平移规律. 2．过程与方法

经历探索二次函数y=a(x-h)2＋k 的图象的画法和性质的过程，提高作图能力，学会观察比较、体验数形结合的数学思想与方法．

3．情感、态度与价值观

培养学生积极参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识． 教学重点难点 1．重点

作出二次函数y=a(x-h )2+k 的图象，探索其性质． 2．难点

抛物线的平移规律的理解以及a 、h 、k 的作用的理解． 教与学互动设计

（一）创设情境 导入新课

问题一 回忆二次函数y=a x 2k ?????→向上（下）平移个单位

y=a(x-h)2±k.若将y=ax 2向左（或向右）平移h 个单位，会得到什么抛物线呢？

问题二 小明作出了函数y =3x 2与函数y=3x 2+6x+5的图象，发现它们又极为相似的地方，却不明白是什么原因，你能帮助说明其中的道理吗？

问题三

(1)抛物线y =2x 2，y=2x 2+3，y=2x 2-3的对称轴，顶点坐标，开口方向各是什么？它们之间有何关系？

(2)抛物线y=a x2中，a起什么作用？对抛物线有何影响？a值相同，能说明什么？从而引人新课.

（二）合作交流解读探究

1．函数y=a(x-h)2的图象与性质

【探究】，在同一坐标系中，画出函数y=-1

2

(x+1)2和函数y=-

1

2

(x-1)2的图象．

教师可指导以下两方面.

(1)列表取值可按课本中提供的数据完成.

(2)画出的图象要具有对称性，两个图象中的点选取略有不同. 学生做完以后，可借用投影、多媒体展示自己的作品．

【想一想】两个函数图象与y=-1

2

x2有何关系？它们的对称轴，顶点坐标分别是什

么？

解：如图26-1-7，函数y=-1

2

(x+1)2图象和y=-

1

2

(x-1)2的图象形状大小，开口方向

完全一样，只是位置不同相同.

抛物线y=-1

2

(x+1)2的对称轴是直线x=-1，顶点为(-1,0), 抛物线y=-

1

2

(x-1)2的对

称轴是直线x=1，顶点为(1,0).

观察图象易知（或用多媒体展示抛物线的移动）抛物线y=-1

2

x2向左平移1个单位，

能与抛物线y=-1

2

(x+1)2重合；抛物线y=-

1

2

x2向右平移1个单位，能与抛物线y=-

1

2

(x-1)2

重合.

【注意】观察图象移动过程，要特别注意特殊点（如顶点）移动的情况.

【归纳】（1）二次函数y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象形状大小，开口方向都完全相同，但顶点和对称轴不同.

（2）抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标为（h，0），对称轴是x=h.

（3）抛物线y=ax2向左平移h个单位，即为抛物线y=a(x-h)2，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，即为抛物线y=a(x-h)2.

2．二次函数y=a(x-h)2+k 的图象与性质

【做一做】画出函数y=-1

2

(x+1)2-1图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-12x 2经过怎样的变换可以得到抛物线y=-1

2

(x+1)2-1？

教师引导学生在前一题的基础上，补上函数y=-

1

2

(x+1)2-1的图象（或制成幻灯片，让学生观察、比较）解：

抛物线y=-

1

2

(x+1)2-1的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是(-1,-1).

把抛物线y=-12

x 2

向下平移1个单位，再向左平移1个单位，就得到抛物线y=-1

2

(x+1)2-1

【注意】可以改变两次平移顺序，即先向左向下平移1个单位，再向下平移1个单位，就得到抛物线y=-

1

2

(x+1)2-1 【归纳】（1）抛物线y=a(x-h)2+k 有如下特征：

3.平移规律

22

h y=ax k y ax =?????→±向上（或下）平移个单位

22

h (h)y=a(x h)k y a x =±?????→±±向上（或下）平移个单位

平移h 个单位 向左或右 平移h 个单位

向左或右

【注意】①口诀：上加下减，左加右减

②根据顶点坐标来确定移动的方向与数据.

（三）应用迁移巩固提高

类型之一函数y=a(x-h)2+k的图象特征的运用

例1 填写下表：

【分析】可将各解析式统一为y=a(x-h)2+k的式，再根据图象特征填写．解： y=-5x2?y=-5(x-0)2+0

y=-1

2

x2+5?y=-

1

2

(x-0)2+5

y=-3(x+4)2?y=-3(x+4)2+0.

y=4(x+2)2-7?y=4(x+2)2-7

它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别见上表.

【点评】①解这类型题要将不同形式的解析式统一为y=a(x-h)2+ k的形式，便于解答.

类型之二平移规律的应用

例2将抛物线y=-3x2向右平移2个单位，在向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是（）

A. y=-3(x-2)2-5

B. y=-3(x+2)2-5

C. y=-3(x+2)2+5

D. y=-3(x-2)2+5

【解析】根据平移规律知D正确．

【点评】抛物线的移动，主要看顶点位置的移动．

类型之三二次函数y=a (x-h)2+k的综合应用

例3 若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=(x-m )2+1的顶点必在第( )象限.

A.一

B.二

C.三

D.四

【解析】由直线y=3x＋m经过一、三、四象限知，m＜0．又顶点坐标为（m，1).

∴抛物线的顶点必在第二象限．

【点评】此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别．

（四）总结反思拓展升华

【总结】本节所学的知识是①二次函数y =a (x-h )2 +k的图象画法及其性质的总结．②平移规律

所用的思想方法：从特殊到一般的思想方法.

【反思】抛物线 y=a(x-h)2+k中，顶点(h, k)在画图象，平移抛物线的过程中，分别起什么作用？

【拓展】你能确定二次函数y=3x2+6x+5的开口方向，对称轴和顶点坐标吗?你是怎样想的，与同伴交流．

【解析】先将其化为顶点式，再根据顶点式回答相关问题．

解：y=3x2+6x+5可化为y=3(x+1)2+2

∴开口向上，对称轴为x=-l ，顶点（-1,2)

【点评】此题目的，了解一般式与顶点式的转化，为新课学习埋下伏笔.

（五）当堂检测反馈

1. 二次函数y=1

2

(x-3)2+4的图象可以看作是二次函数y=

1

2

x2图象向右平移3个单

位，再向上平移 4 个单位得到的.

2. 如果二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴为x= -l,则h= -1 ；如果它的顶点坐标为（-1，-3)，则k的值为 -3 .

3. 确定下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标（学生口答）

(1)y=-2(x+3)2+4 (2)y=-1

3

(x-3)2-1

(3) y=-1

5

( x+1)2 (4) y=

1

6

x2-7

解：( l )开口向下，对称轴为x＝-3，顶点坐标为（-3, 4 )

( 2 )开口向下，对称轴为x =3，顶点坐标为（3，-1) .

( 3 )开口向下．对称轴为x＝-1，顶点坐标为（-l, 0 )

( 4 )开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-7 )

4. 把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到

二次函数y=1

2

(x+1)2-1的图象.

(l)试确定 a, h，k的值．

(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标

解：(1)原二次函数表达式为y=1

2

(x+1-2)2-1-4即y=

1

2

(x-1)2-5

∴a=1

2

,h=1,k=-5.

(2) 它的开口向下，对称抽为x＝l，顶点坐标为（l，-5).

【注意】抛物线倒移时，移动方向刚好相反，此处极易出现错误.

5.二次函数y=a(x-h)2+k的图象经过点（-2, 0）和（4, 0)，试确定h 的值.

【分析】画草图易发现点（-2, 0 ), (4, 0）关于对称轴x=h 对称，故可求h的值解：∵点（-2 , 0 ) , ( 4 , 0 ）关于直线x = h 对称．

h=1

2

(4-2)=1

【点评】此题巧妙地利用了抛物线的对称性．抛物线与x轴的两个交点一定关于对称轴对称.