可持续的中国城乡居民养老保险体系的数学模型研究

可持续的中国城乡居民养老保险体系的数学模型研究

摘要

本文针对可持续性的中国城乡居民养老保险体系的研究，基于当前养老保险体制。使用定量研究、分层探讨、计算机仿真预测等方法，分别建立养老金收入-支出、养老金缺口预测、缴费率及替代率仿真预测等模型，使用MATLAB、EXCEL等软件编程，得到可以反映可持续性的中国养老金保险体系，并预测未来的养老金缺口。可以利用结果对未来养老金缺口最大时进行合理化建议，使得养老金问题得到更好的改善。

针对问题一要求，建立合乎国情，适合国力的中国城乡居民养老金收入、支出模型，做到模型结合现实，分多个层次体现“多缴多得，长缴多得”。根据问题中的变量以及附件中的相关数据，以中国现行城乡居民养老保险制度为依据，分多个层次（基本养老金和企业年金）、多个角度(城镇和农村)构建中国城乡居民养老保险收支模型；其次在支出模型中，根据现有规定，对“新人”、“中人”和“老人”分别构建了养老保险支出模型。

针对问题二要求,对今年至2035年的我国养老金缺口进行精算预测。首先利用人口预测模型对我国未来22年的城镇参保在职人口，进而对城镇企业职工的人口情况进行预测；然后依据问题一建立的城镇企业职工养老保险的收支模型，在替代率不同的情况下对未来22年的城镇企业职工养老基金收支进行精算预测；最后根据养老金收支情况，测算出养老基金未来22年的缺口。可得知在2030年，年养老金收支缺口最大，也就是我国城乡居民养老保险收支矛盾最尖锐的一年。

针对问题三要求，利用仿真手段，寻找替代率和缴费率的合理区间。该部分我们沿袭问题一的思路，建立收支方程和结余大于零不等式，对缴费率和替代率进行求解和范围控制；并在此基础上，通过对不同政策引起经济变量的变化的研究，仿真出基础养老基金结余的变化，并据此来评价相关政策的效果。可得出“退休年龄推迟5年”、“养老金缴纳年限增加5年”、“缴费率提高3%”这三项政策均能缓解养老金缺口，其中“退休年龄推迟五年”的效果最好。

针对问题四要求，在问题三的基础上增加可调节变量进一步分析替代率和缴费率模型。得到结论为，增加可调节变量后，缴费率的预测区间变小，同时数值减小；而替代率的预测区间略微变大，数值增大。

本文后续对模型进行了误差分析。最后，针对问题二养老金缺口的分析，为进一步提高模型的准确性，对模型进行改进，增加新型农村社会养老金缺口模型；并把模型应用于养老保险系统的缺口预测和政策效果预测上，对模型做出了推广。

关键词：可持续性；中国养老保险体系；养老金缺口；仿真方法；MATLAB

§1 问题的重述

一、背景知识

党的“十八大”刚刚落下帷幕。“十八大”报告在第七部分“在改善民生和创新社会管理中加强社会建设”指出，“要坚持全覆盖、保基本、多层次、可持续方针，以增强公平性、适应流动性、保证可持续性为重点”。“十八大”报告强调要坚持社会保障制度建设的“广覆盖、保基本、多层次、可持续”的十二字方针，这为未来社会保障制度建设进一步指明了方向，同时，“十八大”报告将增强公平性、适应流动性和保证可持续性作为未来的改革重点。其中，“保证可持续性”在相当长的历史时期内将是中国社会保障制度建设的重中之重。

2011年，城镇职工基本养老保险制度参保人口、基金收入和结余规模等各项指标均再创历史新高，但“空账”、收支缺口以及资金保值增殖等问题依然突出存在；年度养老金发展指数表明基本养老保险制度的发展成效有失平衡：在“广覆盖”方面取得了举世瞩目的成就，在“保基本”方面，养老金支出逐步提高，但在“多层次”和“可持续”方面存在较大隐患，地区差异明显；部分省份养老基金的收不抵支现象由来已久，呈现出的一个突出趋势是：收支失衡的省份数量逐步减少，但基金缺口总额却不断增高，说明收不抵支向少数省份(尤其是老工业基地)集中的趋势越来越明显。进一步完善养老保险保障体系仍将是中国政府未来最重要的任务之一。

二、相关资料

1．《中国养老金发展报告2012》（详见附件文档及扫描图片）；

2．2011年各个省份城镇职工基本养老保险制度参保状况（详见附件中表1）；三、要解决的问题

1．问题一

分别建立合乎国情、适应国力的中国城乡居民（含新农保）养老金收入、支出的宏观数学模型，至少包括替代率（基本养老保险人均养老金占城镇单位在岗职工平均工资比率）、缴费率（基本养老保险人均缴费占城镇单位在岗职工平均工资比率）、人口结构、分年龄段死亡率、经济增速、财政补贴、工资水平或物价指数、投资效益等主要因素，要做到模型结合现实，分多个层次（含企业基金等），体现“多缴多得，长缴多得”（不考虑分省、分地区模型）；

2．问题二

根据问题一的数学模型、对养老金缺口的理解和对未来有关情况的合理估计，估计从今年至2035年我国养老金缺口，并说明对养老金缺口分析的合理性。如果全部情况维持不变，按照问题一所建的数学模型预测我国城乡居民养老保险收支矛盾最尖锐的情况发生在什么时间，严重程度如何？考虑到党的十八大提出的收入倍增计划，数学模型哪些部分需要调整？

3．问题三

分析各国养老保险的不同模式，并根据建立的数学模型和中国的实际情况，利用仿真手段，寻找替代率和缴费率的合理区间，从而保证我国养老保险体系的可持续性（因为人口结构、分年龄段死亡率、经济增速、投资效益等主要因素几乎无法人为较大幅度改动）。与此同时，指出在步入良性循环之前，应采取哪些政策措施以平稳度过矛盾最尖锐的时期，并用仿真方法预测相关措施的效果；

4．问题四

在第三问的基础上增加可调节的变量，尝试建立相关模型。

§2 问题的分析

一、问题的总分析

本题的主要目的是要求根据当今中国的国情与国力，建立合理的城乡居民养老金收入-支出模型、养老金缺口预测模型、替代率与缴费率模型，以完善我国的养老保险体系，达到可持续发展的要求。将建模思路用总体流程图表示：

二、对具体问题的分析

1.对问题一的分析

问题一要求建立合乎国情，适合国力的中国城乡居民养老金收入、支出模型，做到模型结合现实，分多个层次体现“多缴多得，长缴多得”。首先根据问题中的变量以及附件中的相关数据，以中国现行城乡居民养老保险制度为依据，分多个层次（基本养老金和企业年金）、多个角度(城镇和农村)构建中国城乡居民养老保险收支模型；其次在支出模型中，根据现有规定，对“新人”、“中人”和“老人”分别构建养老保险支出模型，可使得所构建模型更加符合现实。

2．对问题二的分析

本题要求对今年至2035年的我国养老金缺口进行精算预测。而人们对我国社会养老保险基金是否存在缺口问题进行争议的主要原因是由于对“缺口”存在形态的理解不同所致。目前，对养老金缺口的定义主要有三种，为了便于理解和计算，本文所采用的缺口计算方法为第三种方法。首先利用人口预测模型对我国未来22年的城镇参保在职人口，进而对城镇企业职工的人口情况进行预测；然后依据问题一建立的城镇企业职工养老保险的收支模型，在替代率不同的情况下对未来22年的城镇企业职工养老基金收支进行精算预测;最后根据养老金收支情况，测算出养老基金未来22年的缺口。

3．对问题三的分析

问题的第一部分要求分析各国养老保险的不同模式，从中借鉴可行的部分；第二部分要求根据所建立的数学模型并结合中国的实际情况，利用仿真手段，寻找替代率和缴费率的合理区间，从而保证我国养老保险体系的可持续性，该部分我们沿袭问题一的思路，建立收支方程和结余大于零不等式，对缴费率和替代率进行求解和范围控制；问题

的第三部分要求指出采取哪些政策措施可以实现矛盾最尖锐到来前的平稳过渡，同时利用仿真手段预测政策效果。对此，我们将对中央文件中所提到一些应对性政策进行仿真预测。

4．对问题四的分析

问题要求在问题三的基础上增加可调节变量，建立相关数学模型。我们将利用层次分析法对问题三中的缴费率—替代率模型进行进一步分析，找出相关变量，建立新的模型，并对模型进行验证。

§3 模型的假设

1．假设附件中提供的所有数据和通过网络查询到的相关数据真实有效，并能反映指标所代表的真实含义；

2．在预测养老金未来趋势时，假设在预测的时间区间内无政策影响或其他不可预见的事件发生，并忽略提前退休、一次性补缴等不确定因素；

3．不考虑全球金融危机的情况，国外经济变化对国内养老保险金运行没有影响；

4．假设新农村地区的参保农民在确定自己的养老金缴费标准后，未来几年均保持不变；

5．不考虑城乡居民在目标期间内有退保情况；

6．假设国家根据经济发展情况和物价变化情况，对全国新型农村社会养老保险基础养老金的最低标准保持不变。

§4 名词解释与符号说明

一、名词解释

1．可持续性：指一种可以长久维持的过程或状态。人类社会的持续性由生态可持续性、经济可持续性和社会可持续性三个相互联系不可分割的部分组成。

2．养老保险制度；养老保险又称老年保险，是指国家立法强制征集社会保险费（税），并形成养老基金，当劳动者退休后支付退休金，以保证其基本生活需要的社会保障制度，它是社会保障制度的最重要内容之一。

3．养老金缺口：①我国城乡居民养老金缺口定义就是说我国城乡居民养老金缺口2013年达18.3万亿元的世界银行专家所持的观念。应该包括我国城乡居民养老保险制度的转轨成本和由于我国社会快速老年化所带来的巨大的“隐形债务”。但这些可以在今后若干年之后逐渐偿还，对此我们必须有清醒的认识但并非“迫在眉睫”。

②我国城乡居民养老金缺口定义就是中国社会科学院世界社保研究中心的研究报告所给出的2011年全国城镇职工基本养老保险个人账户“空账”2.2万亿元中所依据的定义。“空账”指个人账户应该实行长期封闭积累、产权个人所有的“完全积累”制，现在个人账户里的钱被挪用支付现在巳退休人员的养老金，形成空账”因为现在还有钱可以挪用，所以我国养老保险基金还有积累，我国养老保险体系近期内还能运转，不会“关门”，退休人员养老金的发放在短期内可保无忧。

③我国城乡居民养老金缺口定义就是现金流的概念即全国城乡居民养老保险体系当年收入总和与当年支出总和的差额。中国人力资源与社会保障部发表的年度统计公报实际上就是按这种定义考虑的。这是三种定义中对可能风险最保守的定义。如果按这种定义我国城乡居民养老金也出现缺口，收不抵支，则我国城乡居民养老保险体系中必然有部分退休人员领不到足额的养老金无法实现“可持续”。所以这种定义下的居民养老

金缺口是已经发生了的危险。

二、主要符号说明

§5 模型的建立与求解

一、问题一的分析与求解

1．对问题的分析

问题一要求建立合乎国情，适合国力的中国城乡居民养老金收入、支出模型，做到模型结合现实，分多个层次体现“多缴多得，长缴多得”。首先根据问题中的变量以及附件中的相关数据，以中国现行城乡居民养老保险制度为依据，分多个层次（基本养老金和企业年金）、多个角度(城镇和农村)构建中国城乡居民养老保险收支模型；其次在支出模型中，根据现有规定，对“新人”、“中人”和“老人”分别构建养老保险支出模型，可使得所构建模型更加符合现实。建模思路如下：

2．模型的建立与求解

模型Ⅰ 我国城乡基本养老保险金动态收入宏观数学模型

我国城乡基本养老保险金动态收入包括城镇职工基本养老保险金收入、新型农村社会养老保险基金收入和企业年金收入三部分：

城乡养老保险金支出

城居保支出

城职保支出

新农保支出

替代率替代率分年龄段死亡率

职工数及其账户数

人口结构

企业数及其账户数

人口结构分年龄段死亡率

3

21t

t t I I I I t ++= 其中：

t I ：表示t 年我国城乡基本养老保险金动态收入；

1t

I ：表示t 年我国城镇职工基本养老保险金收入； 2t I ：表示t 年企业年金收入；

3t I ：表示t 年新型农村社会养老保险基金收入； （1）城镇职工基本养老保险金收入宏观模型

城镇职工基本养老保险金包括社会统筹供给和个人账户

211t t t F F I +=

（1.1）

其中：1t F ,2t F 分别表示t 年社会统筹供给和个人账户。

①社会统筹供给包括基础养老金和政府补贴：

211t t t f f F +=

（1.2）

其中：企业缴费

1111111)1(t t t t t P O Q C f ??+??=--η （1.3）

)1(1,11

1,1,10

---==-?=

=

∑∑t k m b k t

k m

b k t

k t

q Q

Q

Q

)1(11t t t t P P -+?=ε 其中：1t f 表示t 年企业缴费收入，2t f 表示t 年政府补贴收入，1t C 表示t 年社会统筹

缴费率，1t Q 表示t 年在职人口数，1t O 表示t 年基本养老金保险覆盖率，1

t P 表示t 年职工

平均工资，0t 表示基年，10

t P 表示职工基年平均工资。 2t f 表示t 年政府补贴收入：

00)1(

2t t t t GDP f -+??=γα （1.4）

其中：α表示财政补贴占GDP 比，0t GDP 表示基年GDP 。

将公式（1.3）和（1.4）代入公式（1.2）得：

000)1()1()1()1(1111,111,12

1

1

t

t t t t t t t t k m b k t k t

t t GDP P O q Q C f f F ------=+??++???+???

????-??=+=∑γααη（1.5）

其中：0b 表示初次就业平均年龄，m 表示职工离退休年龄，1

,t k Q 表示t 年k 岁在职人口数，

1,1--t k q 表示)1(-k 岁的在职人口在)1(-t 年的死亡率。

②个人账户包括个人缴费收入和累计投资收益：

432t t t f f F +=

（1.6）

其中：3t f 表示t 年个人缴费收入，4t f 表示t 年个人账户累计额投资收益

1111123)1(t t t t t P O Q C f ??+??=--η

（1.7）

其中：2t C 表示t 年个人账户缴费率。

累计投资收益：

r r f r f f x y

y

x t i t i i t i i

t i t ???

????+?++?=∑∑==--11334)1()1(

（1.8）

其中：x t 表示“新人“缴费年限；y t 表示“中人”缴费年限。

将公式（1.7）和（1.8）代入公式（1.6）得：

r r f r f P O Q C f f F x

y

y x t i t i i

t i i t i t t t t t t t ???

????+?++?+??+??=+=∑∑==----1133111112432)1()1()1(η

（1.9）

将公式（1.5）和（1.9）代入公式（1.1）得：

r

r f r f P O Q C GDP P O q Q C f f f f F F I x

y

y

x t i t i i t i i

t i t t t t t t t t t t t m b k t k t k t

t t t t t t t ???

????+?++?+??+??++??++???+???

????-??=+++=+=∑∑∑==--------=--113311*********,11,14

3212

11)1()1()1()1()1()1()1(0

00

0ηγααη （2）企业年金收入精算模型

我国企业年金采用的是固定缴费方式,即由企业设立,为职工建立个人账户,并按个人

账户积累额支付退休金的一种退休金计划。缴费额：

2

,2,n t t n t P C A ?=

∑∑??

????????+???????+?==-n n t t i i

t n i t A r r A I ,212,211)1(

其中：

n t A ,表示第n 个人在t 年企业年金缴费；

2t C 表示t 年个人账户缴费率；

2,n t P 表示第n 个人在t 年企业工资；

2r 表示t 年企业年金投资收益率。

（3）新型农村社会养老保险基金收入精算模型

根据新农保现行政策，财政补贴会随着个人缴费收入进入参保农民的个人账户，共同形成个人账户的积累。故构建如下新型农村社会养老保险基金收入精算模型：

)(3

133,32

1μ+???=-=∑t t n n k t t k t

C P O Q I 其中：3,t k Q 表示t 年k 岁农民人数，3t O 表示t 年新农保覆盖率，1n 表示农民开始缴费的平均年龄，2n 表示农民停止缴费的平均年龄，1-t P 表示)1(-t 年新型农村社会养老保险缴费基数，3t C 表示参保农民年个人缴费率。

（4）我国城乡基本养老保险金动态收入宏观模型

)

()1()1()1()1()1()1()1()1(3133,,212,113311*********,11,13

212

1

1

10

00

0μηγααη+???+??

??

??????+???????+?+???

????+?++?+??+??++??++???+???

????-??=++=-==-==--------=--∑∑∑∑∑∑t t n n k t t k n n t t i i t n i t i t i i t i i

t i t t t t t t t t t t t m b k t k t k t

t t t t C P O Q A r r A r

r f r f P O Q C GDP P O q Q C I I I I x

y

y

x

模型II 我国城乡基本养老保险金动态支出宏观数学模型

我国城乡基本养老保险金动态支出包括城镇职工基本养老保险金支出、企业年金支

出和新型农村社会养老保险基金支出三部分，即：

321t t t t E E E E ++=

（2.1）

其中：1t E ，2t E ，3t E 分别表示我国城乡t 年基本养老保险金支出、城镇职工基本养老保险金支出、企业年金支出和新型农村社会养老保险基金支出。

（1）城镇职工基本养老保险金支出宏观模型

z t y t x t t h h h E ++=1

（2.2）

①x t h 表示t 年“新人”养老保险金支出：

10

1

2

1∑=?

??=x

t i i

t x t x t x t F

P Q R h （2.3）

)1()1(111λ+?+??=--r O Q Q t x t x t

其中：x t R 表示t 年“新人”替代率，x t Q 表示t 年“新人”退休人数，1

t P 表示t 年职工平均工资。

②y t h 表示t 年“中人”养老保险金支出：

321t t t y t h h h h ++=

（2.4）

⑴ 1t h 表示t 年“中人”的社会统筹养老金支出：

t y t y t t P Q R h ??=1

（2.4.1）

其中：)1()1(1

11λ+?+??=--r O Q Q t y t y t

⑵ 2t h 表示t 年“中人”的个人账户养老金支出：

m

M F

h y

t i i

t -=

∑=1

2

2 （2.4.2）

其中：M 表示职工期望寿命。

⑶ 3t h 表示t 年“中人”的过渡性养老金支出：

[]{}

θ?---??=----=∑0)1(13)1997(b t i P Q h m i t y t M

m

i t

（2.4.3）

其中：y t R 表示t 年“中人”替代率，y t Q 表示t 年“中人”退休人数，m 表示职工离退休年龄，i 表示t 年i 岁退休“中人”，[]0)1997(b t i ---为视同缴费年限，θ表示折算系数，一般取1.2%。

将公式（2.4.1）~（2.4.3）代入公式（2.4）得：

[]{}

∑∑=----=?---??+-+

??=M

m

i m i t y t t i i

t y t

y t y t b t i P Q m

M F

P Q R h y

θ0)1(11

2

)1997

( （2.5）

③z t h 表示t 年“老人”养老保险金支出：

11998t z t M

m

t z t z

t

P Q R

h ??=

∑+-

（2.6）

其中：z t R 表示为t 年“老人”替代率，M 表示职工期望寿命，z t Q 表示t 年“老人”

离退休人数，1

t P 表示t 年职工平均工资00)1(11t t t t P P -+?=ε，10t P 表示职工基年平均工资,z t Q 0

表示基年离退休人数，00

)1(t t z z t z t q Q Q --?=,z

q 表示“老人”死亡率。 将公式（2.3）、（2.5）、（2.6）代入（2.2）得：

[]{}

1

19980)1(11

2

1

2

1)1997(10

t z t M

m

t z

t M

m

i m i t y t t i i

t y t y t t i i

t x t x t z t y t x t t P Q R

b t i P Q m

M F

P Q R F

P Q R h h h E y

x

??+

?---??+-+

??+?

??=++=∑∑∑∑+-=----==θ

（2.7）

(2) 企业年金动态支出宏观数学模型

m

M I

E t i i

t -=

∑=2

1

22 （2.8）

其中：2t E 表示t 年企业年金支出，M 表示平均寿命，2t 表示企业年金缴费年限。

(3) 新型农村社会养老保险基金收入精算模型

213t t t g g E +=

（2.9）

其中：3t E 表示t 年新型农村社会养老保险基金支出，1t g 表示t 年基础养老金支出，2

t g 表示t 年个人账户养老金支出。 ①基础养老金支出

t N

n i t i t

S Q g ?=∑=3,1

（2.10）

其中：

N 表示农民的极限年龄；

n 表示农民开始领取养老金的年龄； t S 表示t 年基础养老金发放标准。

②个人账户养老金支出：

3

313,2t G O Q g t

t N n

i t i t

?

?=∑-= （2.11）

个人账户养老金积累额：131

)1()(12--=-+?+?=

∑i t n n i i

t t r C P

G μ

将式（2.10）、（2.11）代入（2.9）得

3

31

3,3,213t G O Q S Q g g E t

t N n

i t i t N

n

i t

i t

t

t

?

?+?=+=∑∑-== （2.12）

（4）我国城乡基本养老保险金动态支出宏观模型

[]{}

3

313,3,1

21

19980)1(11

2

1

2

3212

)1997(10

t G O Q S Q m

M I

P Q R b t i P Q m

M F

P Q R F

P Q R E E E E t t N n

i t i t N

n

i t

i t i i

t z t

M

m

t z t

M

m

i m i t y t t i i

t y t y t t i i

t x t x t t t t t y

x

?

?+?+-+

??+

?---??+-+

??+?

??=++=∑∑∑∑∑∑∑-===+-=----==θ

二、问题二的分析与求解 1. 对问题的分析

本题要求对今年至2035年的我国养老金缺口进行精算预测。而人们对我国社会养老保险基金是否存在缺口问题进行争议的主要原因是由于对“缺口”存在形态的理解不

同所致。目前，对养老金缺口的定义主要有三种，为了便于理解和计算，本文所采用的缺口计算方法为第三种方法。首先利用人口预测模型对我国未来22年的城镇参保在职人口，进而对城镇企业职工的人口情况进行预测；然后依据问题一建立的城镇企业职工养老保险的收支模型，在替代率不同的情况下对未来22年的城镇企业职工养老基金收支进行精算预测；最后根据养老金收支情况，测算出养老基金未来22年的缺口。 2. 模型的建立 模型I 人口预测模型

近年来我国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口不断城镇化等，这些都影响着中国人口的增长。然而，在传统的人口预测模型中，大多忽略了这些因素的影响，难以对人口的发展做出准确的预测。因此，考虑到新生人口主要是由当年适龄孕妇的结构和生育率影响，而0岁以上人口数主要是由该年龄段的死亡率所决定，因此本文将建立不同的模型来测算0岁和0岁以上的人口数目。

（1）我国城镇人口新生人口测算模型

一个地区每年的新生人口数目主要受该地区育龄妇女的数量和年龄结构影响。如果孕龄妇女在人口比重大，那么相对来说该地区的新生人口会多。同时，如果一个地区的孕龄妇女中，生育率较高的年龄层次的妇女数量多，那么该地区的新生人口数目也会较多。y t W ,表示在t 年y 岁妇女的数量，y t ,λ表示t 年y 岁妇女的生育率，则在t 年y 岁妇女生育的新生婴儿的人数y t B ,为：

y t y t y t W B ,,,λ?=

由于育龄妇女的生育年龄在15至49岁之间，因此在t 年新生人口总和o t Q ,为各年龄育龄妇女所生的婴儿数目总和t B ，即：

y t y t y y t t o t W B B Q ,,49

15

,,λ?===∑=

同时为了考虑未来人口中男女比例，我们需要测算新生婴儿中的男女新生儿的数

量。因此，设t 年男孩在新生儿中的比例为m t k ，则男性和女性新生儿的数量m o t Q ,和f

o t Q ,分别为：

m

t t m k Q Q o

t ?=0,, )1(0,,m t t f k Q Q o t -?=

由上述模型即可测算出t 年新生男性和女性的人口数量。 （2）我国城镇非0岁人口测算模型

鉴于0岁以上的人口变动主要受死亡和迁移这两方面因素的影响。因此，假设t 年y

岁人口的净迁入率是y t NIR ,)(，t 年y 岁男性和女性的死亡率分别为m y t ,β和f

y

t ,β，则)1(+t 年)1(+y 岁的男性和女性人口数m y t Q 1,1++和f y t Q 1,1++是t 年y 岁人口存活一年后的人数加上

净迁入人数：

[]

y t m

y t y t m y t m y t m y t m y t m y t NIR NIR Q Q Q ,,,,,,,1,1)(1)1()()1()1(+?-=?-?+-?=++βββ

[]

y t f y t y t f y t f y t f y t f y t f y t NIR NIR Q Q Q ,,,,,,,1,1)(1)1()()1()1(+?-=?-?+-?=++βββ 由此模型可以测算出每年我国城镇0岁以上男性和女性的人口数量。 模型II 养老金缺口预测模型

按照第三种定义t 年养老金缺口t T 为：

t t t I E T -=

依据问题一的支出模型，首先，企业年金和个人储蓄性养老保险，都是个人自愿缴纳，盈亏自负，数据难以收集且对缺口不造成影响，故不考虑在内；其次，在国内，由于新农保制度还处于试点和探索阶段，制度尚未完善，基础数据还非常缺乏，故忽略该部分；最后，在2013至2035年间，新人仍处在44至56岁的年龄段，（假设在基年2011年就业开始年龄为20至32岁）故新人仍为在职员工，没有退休人数；其次，由于个人账户都采用封闭管理模式，理论上不存在缺口，故在建立模型时都不考虑。

故改进后t 年养老金缺口t T 的表达式为：

[]{}

000)1()1()1()1()1997

(1111,111,10)1(111998131t t t t t t t t k m b k t k t

M

m

i m i t y t t y t

y t

t

z

t

M

m t z t

t t t z t t GDP P O q Q C b t i P Q P Q R P Q R

F h h h T ------==----+-+??++???+???????-??-?---??+??+??=

-++=∑∑∑γααηθ

3. 模型的分析

由于所有变量最新数据为2011年度数据，故本文选取基年为2011年。

缴费率按照国发[2005]38号文件规定，设定为为20%，“老人”“中人”替代率经养老金替代率测算模型所得，职工平均工资增长率通过《2012年中国统计年鉴》公布的近十年职工平均工资增长率研究发现，最近10年我国城镇企业职工每年的工资增长率均保持在11%以上，甚至在2007年高达18.5%，均值为14.5%。但考虑到我国对经济进行宏观调控，要求保持经济稳步发展，防止过快增长带来通胀问题。结合2012年国家实现GDP 增长7.5%的要求目标，因此本文在确定工资增长率时还是采用分段进行的方法，每隔10年变化一次：前10年为11%，2021至2030年为8%，2031至2035年工资增长率为6%来测算工资水平。就业年龄假设均为20岁，退休年龄取男女退休年龄平均而得到，即为57岁。

由于在1998年“老人”都已退休，故在2011年其最少年龄为70岁，假设“中人”在1998年开始就业，则最小年龄为20岁，1998年“中人”年龄段20至57岁，在2011年为33至69岁，则“在职中人”为33至56岁，“退休中人”为57至69岁，故本文所选取“老人”“退休中人”数根据《中国人口与就业统计年鉴》分年龄段结构占比计算所得，2013年至2035年健在“老人”数依据近几年分年龄段死亡率预测得出。 4. 模型的求解

经计算得出2013年至2035年“老人”“中人”数，并绘出变化趋势图，如下图一所示：

2021 4.049 0.903 0.903 25.448 23.206

2022 4.417 0.946 0.946 27.941 25.415

2023 4.815 0.99 0.99 30.43 27.595

2024 5.245 1.037 1.037 32.778 29.607

2025 5.708 1.085 1.085 35.531 31.993

2026 6.209 1.136 1.136 38.019 34.082

2027 6.749 1.19 1.19 40.549 36.179

2028 7.332 1.245 1.245 42.719 37.877

2029 7.962 1.304 1.304 44.624 39.27

2030 8.641 1.365 1.365 46.162 40.251

2031 6.45 0.983 0.983 32.452 27.968

2032 6.865 1.01 1.01 32.061 27.217

2033 7.305 1.038 1.038 31.234 26.006

2034 7.769 1.067 1.067 29.821 24.186

2035 8.261 1.096 1.096 27.919 21.851

由表知，在2030年所预测养老金缺口值最大为40.251万亿元，年累计养老金缺口呈上升趋势，绘制年养老金缺口趋势图，如下图二所示：

龄为5. 养老金的支付压力，故短期内，我国养老金收支压力主要来源于转轨成本，中长期内，人口老龄化逐渐成为导致养老金收支缺口的最主要因素。本文所建模型体现了在短期内我国养老金收支压力主要来源于转轨成本。

由模型预测数据所知，在2030年，年养老金收支缺口最大，也就是我国城乡居民养老保险收支矛盾最尖锐的一年，在2030年“退休中人”人数达到最大，此时过渡性养老债务最大。 6. 模型改进

中共十八大报告首次提出了居民收入倍增目标：即到2020年，要实现国内生产总值和城乡居民人均收入比2020年翻一番。即当基年选取为2011年时，人均收入满足：

t

t P P ?=+?2)1(10

*ε，其中2011=t ，求解得*ε=7.06%，故在模型中工资增长率取7.06%，故在模型中工资增长率取7.06%，则模型改写为：

[]{}

0000)

1(%)06.71()1()1()1997(1

2011120192019,1112020,1

0)1(11

19981

2020

320201202020202020t t t t t k m b k k t

M

m

i m i t y t t y t

y t

t z t

M

m t z t

z GDP P O q Q C b t i P Q P Q R P Q R

F h h h T ----==----+-+??++???+???????-??-?---??+??+??=

-++=∑∑∑γαηθ

目前，我国城镇养老保险基金实行社会统筹账户和和个人账户相结合的部分积累制

模式。一部分由城镇职工所在企业按照缴费工资总额20%缴纳，所交金额计入个人累计账户；二是由职工按照个人缴费工资的8%缴纳的养老金，计入个人累积账户。那么我国城镇养老保险收入总额为企业和个人缴纳养老金的总和。那么，要想测算我国城镇养老经济收入，需要确定企业职工的平均工资以及缴费人数。 三、问题三的分析与求解 1．对问题的分析

问题的第一部分要求分析各国养老保险的不同模式，从中借鉴可行的部分；问题第二部分要求根据所建立的数学模型并结合中国的实际情况，为保证我国养老体系的可持续发展，利用仿真手段寻找替代率和缴费率的合理区间。该部分我们将对问题一的思路进行调整，重新建立收支方程和结余方程，对缴费率和替代率进行求解和范围控制；问题的第三部分要求指出采取哪些政策措施用以实现矛盾最尖锐到来前的平稳过渡，同时利用仿真手段预测政策效果。我们将对中央文件中所提到一些应对性政策进行仿真预测。

2．对问题的求解

2.1国外养老保险制度分析比较

世界各国实行的养老保险制度可概括为三种模式：传统型、国家统筹型、强制储蓄型。不同国家的养老保险制度在这三种模式上根据国家实际情况做出不同的调整。

一、以德、美、法等国家为代表的传统型社会养老保险模式。该模式为强制性制度。贯彻“选择性”原则，选择部分社会成员参加，以一定收入为标准，保险费用由企业和个人分别按个人工资收入的一定比例共同负担，国家通过税收、利息和财政政策进行补贴。待遇与收入水平相关联，因此也称为“收入关联型养老保险”。待遇支付方面有利于低收入人群。缺点为覆盖面小，有失社会公平。

二、以英国为代表的普遍保障型养老保险模式。该模式遵循普遍性原则，也可称为“普惠制”养老保险，即所有退休国民均可无条件地从政府领取一定数额养老金，资金完全来源于政府税收转移支付。这种模式的养老保险待遇一般不足以维持退休者的基本生活，并给政府造成过重的负担。因此大部分国家目前均改用混合型制度，即福利型保险与“收入关联型养老保险”相结合，构成第一支柱的基本养老保险。资金主要来源于雇主和雇员分缴费以及基金的投资收益。

三、以新加坡、智利等国家为代表的储蓄积累型养老保险模式。该模式强调自我保障原则，实行完全积累的基金模式。建立不同类型的个人养老保险账户，费用由企业和个人共同分担缴纳，在保险人退休或遇到特殊情况时，允许定期或一次性支付给个人。该模式的养老保险制度的特点是强调效率，但忽视公平，很难体现社会保障功能。

2.2缴费率—替代率模型

（1）模型的准备

为了保证我国养老保险体系的可持续性，即必须使得基本养老保险的结余为正值。

假设我国严格执行“统账结合”的养老保险制度，即社会统筹实行“现收现付”，用于支付已退休人员的养老金；个人账户实行长期封闭积累，不能调剂借用。因为人口结构、分年龄死亡率、经济增速、投资效益等主要因素几乎无法人为较大幅度改动，所以我们将对问题一的养老金收入、支出宏观模型进行适当改动，建立新的模型。

①城乡基本养老保险基金收入

我国城乡基本养老保险的收入包括社会统筹部分和个人账户部分，社会统筹部分包括国家补贴和企业年金收入；个人账户部分包括城镇职工基本养老保险基金收入和新型农村社会养老保险基金收入，即：

321C C C G C +++=

其中：321C C C G C 、、、、分别代表我国城乡基本养老保险基金总收入、国家补贴、企业年金收入、城镇职工基本养老保险基金收入、新型农村社会养老保险基金收入。

a.企业年金收入

111111α??=P w C

其中：11w 、11P 、1α分别表示计算年份的全国城镇在岗职工平均工资、参保职工

人数、企业缴费率。

b. 城镇职工基本养老保险基金收入

211112α??=P w C

其中2α表示个人缴费率。

c. 新型农村社会养老保险基金收入

21213P w C ?=

其中21w 、21P 表示计算年份参保农民的平均缴纳费、参保农民人数。

②城乡基本养老保险基金支出

21X X X +=

其中21X X X 、、分别表示计算城乡基本养老保险基金总支出、社会统筹基金支出、个人账户基金支出。

a.社会统筹基金支出

2222112121P w k P w X ?+??=

其中12w 、12P 、1k 、22w 、22P 分别表示计算年份的上一年全国城镇在岗职工平均工

资、离退休职工人数、社会统筹支付比例、农村养老保险发放基础金、退休农民人数。

b.个人账户基金支出

223112222)(P w P P w k X n

i i i ?+????=∑=α

其中2k 、n 、i w 、i P 、3w 分别表示个人账户支付比例、计算年份离退休职工的最

低缴费年限、第11、、

、 -n n 年前全国城镇在岗职工平均工资、参保职工人数、参保农民的平均个人账户发放金额。

（2）模型的建立

模型Ⅰ 基本养老保险基金结余模型

在以上分析的基础上建立当前年份的基本养老保险基金结余模型：

22

312222*********

212111111111)(P w P w k P w k P w P w P w P w G X

C S n

i i i ?-??-?-??-?+??+??+=-=∑=ααα

模型Ⅱ 缴费率模型：

21ααα+=

模型Ⅲ 替代率模型：

11

1

22112)

(w P w k k w n

i i i ∑=??+?=

αβ

（3）模型的求解

因为不易同时调整两个变量，所以采用控制变量法，通过MATLAB 仿真，分别固定缴费率和替代率，解得替代率和缴费率的合理区间。

①变量设定见表2：

将上述变量带入模型，设定缴费率和替代率的初值和步长，通过MATLAB 多次仿真，求得缴费率和替代率的合理区间分别为：[]263.0198.0，、

[]735.0,482.0。在此区间内，计算的个人养老金收支结余均为正值，不存在缺口，反而留有结余，可以保证我国养老保险体系的可持续性。

②部分仿真结果见表3：

2.3政策仿真评价模型

应对政策仿真评价模型是建立在缴费率—替代率模型的基础上，通过对不同政策引起经济变量的变化的研究，仿真出基础养老基金结余的变化，并据此来评价相关政策的效果。便于直观，我们将基础养老基金结余变大视为一项政策具有较好的效果，值得实施和推广。

本文选取“退休年龄推迟5年”、“养老金缴纳年限增加5年”、“缴费率提高3%”几项政策进行评价，评价结果见表4：

表4 仿真评价表

政策

实施前 实施后 退休年龄推迟5年 15.6 14.2 养老金缴纳年限增加5年

15.6 12.8 缴费率提高3%

15.6

13.4

根据表的显示数据，可以具体分析每项政策的效果：

（1）“退休年龄推迟5年”：对于该项政策，在其它变量保持不变，退休年龄的增加会使得一部分本来到退休年龄的职工延长了工作期，即晚退休，也就可以理解为当年对养老金的需要就会减少，即缓解了养老金缺口。

（2）对于该项政策，本文考虑将这项政策纳入缴费年限考虑，推迟5年退休相当于缴费年限就会增加5年，个人账户累计金额就会增多，同时可以减轻社会统筹支付压力。

（3）对于该项政策，目前企业缴费率只有20%，并全部计入社会统筹账户，而当年的社会统筹账户用于支付当年离退休职工的养老金，若企业缴费提高，即社会统筹账户的收入提高，也能缓解养老金缺口问题。 四、问题四的分析与求解 1．对问题的分析

问题要求建立问题三增加可调节变量的数学模型，我们将对问题三中的缴费率—替代率模型进行进一步分析，找出相关变量，建立新的模型，并对模型进行验证。 2．对问题的求解

模型 增加调节变量的基本养老保险基金结余模型 （1）模型的准备

调节变量是指两个变量之间的关系变量，即两个变量之间的关系受到第三个变量也就是调节变量的影响。调节变量可以是定性的，也可以是定量的，它对因变量和自变量之间关系造成方向和强弱的影响。

识别某个相关变量是不是调节变量主要通过两种统计检验方法，即层次回归技术和分组分析技术。

层次回归的操作步骤为：

a.放入自变量X ，验证X b b Y 1+=中1b 是否显著，1b 显著是调节关系的前提。

b.放入调节变量M ，其系数2b 的是否显著不影响调节关系的成立与否，这一步骤主

要是剔除调节效应中M 的影响。

c.放入X 、M 交互项，验证XM b M b X b b Y 321+++=中3b 是否显著，3b 显著才能证明调节关系成立。

在问题三中仿真得到的数据中随机选取15个缴费率和替代率，计算参保人口和城镇就业人口的比值作为制度覆盖率，三组数据的变化趋势如图三：

图三 缴费率、替代率及制度覆盖率的变化趋势图

由图可以看出，缴费率、替代率和制度覆盖率三个变量间有一定的相关关系。因此利用SPSS 对制度覆盖率进行层次回归技术检验，分析结果可知，制度覆盖率与缴费率和替代率都存在相关关系，可以作为调节变量。

（2）模型的建立

因为制度覆盖率可以作为缴费率和替代率的调节变量，所以对问题三中的缴费率—替代率模型进行修改，将参保职工人数修改为在岗职工人数?制度覆盖率，得到修改后的基本养老保险基金结余模型：

22

31

2222221121221

21211111)(P w r P w k P w k P w P w r P w r P w G X

C S n

i i i i ?-??'?-?-??-?+???+???+=-=∑=ααα 其中P 、r 、i P '、i r 表示计算年份在岗职工人数、制度覆盖率、第11、、

、 -n n 年前全国城镇在岗职工人数和制度覆盖率。

缴费率模型不变，为：

21ααα+=

修改后的替代率模型为：

11

1

22112)

(w r P w k k w n

i i i ∑=??'?+?=

αβ

（3）模型的求解

利用MATLAB 对上述模型进行仿真求解，结果见表5：