新课程标准数学选修1-2第二章课后习题解答[唐金制]

新课程标准数学选修1—2第二章课后习题解答

第二章 推理与证明

2．1合情推理与演绎推理 练习（P30）

1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.

2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.

3、设1

1

1

O P Q R V -和2

22

O P Q

R V -分别是四面体111O P Q R -和222O P Q R -的体积，

则

111222

111

222

O P Q R O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=

??

. 4、略. 练习（P33） 1、略.

2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，

若

1n n

a p a +=，p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； …………………………大前提

又因为0cq ≠，则q 是非零常数，则

11n n n

n

a cq

q a cq

++=

=； ……………………小前提

所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论 3、由AD BD >，得到A C D B C D ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而A D 与B D 不在同一个三角形中. 4、略.

习题2.1 A 组（P35）

1、2(1)n -（n 是质数，且5n ≥）是24的倍数.

2、21

n a n =

+()n N *

∈. 3、2F V E +=+.

4、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.

5、

2

1

2

111(2)n

n

A A A n π

++≥

-

（2n >，且n N *∈）.

6、121217n n b b b b b b -= （17n <，且n N *∈）.

7、如图，作D E ∥A B 交B C 于E .

因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为A D ∥B E ，A B ∥D E . 所以四边形A B E D 是平行四边形. 因为平行四边形的对边相等.

（第7题）

又因为四边形A B E D 是平行四边形. 所以AB D E =.

因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，

又因为AB D E =，A B D C =, 所以D E D C = 因为等腰三角形的两底角是相等的.

又因为△D E C 是等腰三角形, 所以D EC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等

又因为D E C ∠与B ∠是平行线A B 和D E 的同位角, 所以D E C B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，

又因为D EC C ∠=∠，D E C B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P35） 1、由123

S =-

，234

S =-

，345

S =-

，456

S =-

，567

S =-

，猜想12

n n S n +=-

+.

2、略.

3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P42）

1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.

2、要证>22>，

即证1313+>+>，

只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，原命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==， 又因为 sin (1cos )sin (1cos )

1616(tan sin )(tan sin )16

cos cos ab αααααααααα

+-=+-=?

2

2

2

2

22

2

2

sin (1cos )

sin sin 16

16

16sin tan cos cos ααααααα

α

-===，

从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.

说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.

练习（P43）

1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥?. 因此9090180C B ∠+∠≥?+?=?.

这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.

2、假设=

所以22=，化简得5=，从而225=，即2540=，

这是不可能的. 所以，假设不成立. 从而，不可能成等差数列. 说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P44）

1、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=

展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ① 假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B

A B

-=，即

cos()0cos cos A B A B

+=

所以cos()0A B +=.

因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2

A B π

+=，与已知矛盾.

因此1tan tan 0A B -≠. ①式变形得

tan tan 11tan tan A B A B

+=-， 即tan()1A B +=. 又因为0A B π<+<，所以4

A B π

+=

.

说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明. 2、因为P D ⊥平面ABC ，所以PD AB ⊥. 因为A C B C =，所以A B C ?是等腰三角形.

因此A B C ?底边上的中线C D 也是底边上的高， 因而C D AB ⊥

所以AB ⊥平面P D C . 因此A B P C ⊥.

3、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b a c

=+.

假设2

B π

<

不成立，即2

B π

≥

，则B 是A B C ?的最大内角，

所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边）， 从而

11112a c b b b

+>+=. 这与

211b

a

c

=

+

矛盾.

所以，假设不成立，因此，2

B π

<.

习题2.2 B 组（P44） 1、因为

1tan 12tan αα

-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=.

另一方面，要证 3sin 24cos 2αα=-，

只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=-- 即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=， 即证 (2s i n c o s

)(s i n

2c o

αααα+

-= 由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证.

说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.

2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ②

要证

2a c x

y

+

=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy +=

由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证.

第二章 复习参考题A 组（P46）

1、图略，共有(1)1n n -+（n N *∈）个圆圈.

2、333n

个（n N *∈）.

3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==…… 猜想()2n f n =.

4、如图，设O 是四面体A B C D -内任意一点，连结A O ，B O ，C O ，D O 并延长交对面于A '，B '，C '，D '，则

1O A O B O C O D A A B B C C D D ''''+++=''''

用“体积法”证明： O A O B O C O D A A B B C C D D ''''+

+

+

'

'

'

'

O BC D O C D A O D AB O ABC A BC D B C D A

C D AB

D ABC

V V V V V V V V --------=

+

+

+

1A BC D A BC D

V V --==

5、要证 (1tan )(1tan )2A B ++=

只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=

即证 t a n t a n 1t a n t A B A B +=- 由54

A B π+=

，得tan()1A B +=. ①

又因为2

A B k π

π+≠+

，所以

tan tan 11tan tan A B A B

+=-，变形即得①式. 所以，命题得证.

第二章 复习参考题B 组（P47）

1、（1）25条线段，16部分； （2）2

n 条线段； （3）2

2

2

n n ++部分.

2、因为90B SC ∠=?，所以B S C ?是直角三角形.

（第4题）

在Rt BSC ?中，有222BC SB SC =+.

类似地，得 222AC SA SC =+，222AB SB SA =+ 在A B C ?中，根据余弦定理得

2

2

2

2

cos 02AB AC BC

SA

A A

B A

C AB AC +-=

=

>??

2

2

2

2

cos 02AB BC AC

SB

B AB B

C AB BC +-==

>??

2

2

2

2

cos 02BC AC AB

SC

C BC AC

BC AC

+-==

>??

因此，,,A B C 均为锐角，从而A B C ?是锐角三角形. 3、要证 cos 44cos 43βα-=

因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)βαβα-=?-? 2212sin 24(12sin 2)βα=--?-

222218sin cos 4(18sin cos )ββαα=--?- 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα=---?-- 只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3ββαα---?--= 由已知条件，得 sin cos sin 2

θθ

α+=

，2sin sin cos βθθ=，

代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα---?-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )θθθθαα=---+-

2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )θθθθθθθθ=--+++- 222238sin cos 8sin cos 68sin cos 8sin cos θθθθθθθθ=--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43βα-=