河南省2018届高三4月普通高中毕业班高考适应性考试数学(文)试题 Word版含答案
2018年河南省普通高中毕业班高考适应性练习
文科数学
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2{|230}A x x x =--<,{|33}B x x =-<<,则A B = ( ) A .(3,3)- B .(3,6)- C .(1,3)- D .(3,1)-
2.若复数41i
z i
=
-(i 是虚数单位),则z =( ) A .22i -+ B .22i -- C .22i + D .22i - 3. 下列说法中,正确的是( )
A .命题“若22
am bm <,则a b <”的逆命题是真命题
B .命题“0x R ?∈,2000x x ->”的否定是“x R ?∈,2
0x x -≤” C .命题“p 或q ”为真命题,则命题“p ”和命题“q ”均为真命题 D .已知x R ∈,则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件
4.在一组样本数据()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y (2n ≥,1x ,2x ,…,n x 不全相等)的散点图中,若所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =???都在直线31y x =-+上,则这组样本数据的样本相关系数为( )
A .-3
B .0
C .-1
D .1
5. 已知函数()x
f x e =在点(0,(0))f 处的切线为l ,动点(,)a b 在直线l 上,则22a
b
-+的最
小值是( )
A .4
B .2
C .6. 执行如图所示的程序框图,则输出n 的值为( )
A .14
B .13
C .12
D .11 7.函数sin 26y x π??
=-
??
?
的图象与函数cos 3y x π??
=-
??
?
的图象( ) A .有相同的对称轴但无相同的对称中心 B .有相同的对称中心但无相同的对称轴 C .既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D .既无相同的对称中心也无相同的对称轴
8. 三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,其中直角三角形中较小的锐角α满足7
sin cos 5
αα+=,现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是( )
A .
125 B .15 C .925 D .35
9.已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示,则四棱锥P ABCD -的五个面中面积的最大值是( )
A .3
B .6
C .8
D .10
10. 设1F ,2F 是双曲线
C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若126PF PF a +=,且12PF F ?的最小内角的大小为30 ,则双曲线C 的渐近线方程是( ) A
.0x = B
0y ±= C .20x y ±= D .20x y ±= 11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈,且2n a n λ=+,若数列
{}n S *(5,)n n N ≥∈为递增数列,则实数λ的取值范围为( )
A .(3,)-+∞
B .(10,)-+∞
C .(11,)-+∞
D .(12,)-+∞ 12.定义域为[,]a b 的函数()y f x =的图象的两个端点分别为(,())A a f a ,(,())B b f b ,
(,)M x y 是()f x 图象上任意一点,其中(1)x a b λλ=+-(01)λ<<,向量BN BA λ=
.若
不等式MN k ≤ 恒成立,则称函数()f x 在[,]a b 上为“k 函数”.若函数1
y x x
=+在[1,2]上
为“k 函数”,则实数k 的取值范围是( )
A .[)0,+∞ B
.3
2??+∞???? C .[)1,+∞ D
.32??+∞????
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13. 已知实数x ,y 满足不等式组203026x y x y x y -≤??
+-≥??+≤?,则1z x y =--的最小值为 .
14.已知点(0,1)A ,(1,2)B -,向量(4,1)AC =-
,则BC = .
15.已知点F 是抛物线2
4y x =的焦点,M ,N 是该抛物线上两点,6MF NF +=,则线
段MN 的中点的横坐标为 .
16.设函数()y f x =的定义域为D ,若对于任意12,x x D ∈,当122x x a +=时,恒有
()()122f x f x b +=,则称点(,)a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数
()23cos 32f x x x π
??
=+-
???
的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到1220182018f f ????+ ? ???
??
4034403520182018f f ????+???++ ? ???
??
的值为 . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.
17.ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,面积为S ,已知2
2
2
4a S b c +=+. (1)求角A ;
(2)若a =
b =C .
18.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥底面ABCD ,M ,N 分别是PA ,BC 的中点,且22AD PD ==.
(1)求证://MN 平面PCD ; (2)求点N 到平面PAB 的距离.
19.进入12月以来,某地区为了防止出现重污染天气,坚持保民生、保蓝天,严格落实机动车限行等一系列“管控令”.该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况,随机采访了220名市民,将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计,得到如下的22?列联表:
(1)根据上面的列联表判断,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“是否赞同限行与是否拥有私家车”有关;
(2)为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用,从上述调查的不赞同限行.....的人员中按分层抽样抽取6人,再从这6人中随机抽出3名进行电话回访,求3人中至少抽到1名“没有私家车”人员的概率.
附:22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++.
20.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :
22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2
e =,1F ,
2F 分别为左、右焦点,过1F 的直线交椭圆C 于P ,Q 两点,且2PQF ?的周长为8.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设过点(3,0)M 的直线交椭圆C 于不同两点A ,B .N 为椭圆上一点,且满足
OA OB tON +=
(O 为坐标原点)
,当
AB ()()ln ()f x a x x x a R =--∈. (1)若()f x 在1x =处取得极值,求a 的值; (2)若()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围. (二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程] 已知直线l :sin 3πρθ? ?+= ???,曲线C :1x y θθ ?=+?? =??. (1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程; (2)设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,若3AB ≥,求实数m 的取值范围. 23.[选修4-5:不等式选讲] 已知函数()212f x x x =-++,()1g x x x a a =+--+. (1)解不等式()3f x >; (2)对于12,x x R ?∈,使得()()12f x g x ≥成立,求a 的取值范围. 2018年河南省普通高中毕业班高考适应性练习 文科数学试题参考答案 一、选择题 1-5: CBBCD 6-10: BAACB 11、12:DB 二、填空题 三、解答题 17.解:(1)∵1 sin 2 S bc A = ,∴由余弦定理,得2224a S b c +=+222cos 2sin bc A bc A b c -+=+, ∴整理,得tan 1A =.又∵(0,)A π∈,∴4 A π = . (2)在ABC ?中,由正弦定理,得 sin sin a b A B =,即sin sin b A B a ==.∵b a >,0B π<<, ∴3 B π = 或23B π= ,即512C π=或12 C π =. 18.(1)证明:取AD 中点E ,连接ME ,NE ,因为M ,N 是PA ,BC 的中点,在PAD ?与正方形ABCD 中,//ME PD ,//NE CD ,所以//ME 平面PCD ,//NE 平面PCD ,所以平面//MNE 平面PCD ,所以//MN 平面PCD . (2)解:设点N 到平面PAB 的距离为h ,∵N PAB P NAB V V --=, ∴ 11 33 PAB NAB S h S PD ??=.∵PD ⊥平面ABCD ,∴PD BA ⊥. ∵BA DA ⊥,∴BA ⊥平面PAD ,∴BA PA ⊥, PA =2PAB S ?= = 又∵114NAB ABCD S S ?==正方形,1PD =13 =, ∴h = 19.解:(1)2 K 的观测值2220(40902070)11011016060 k ??-?= ???55 9.16710.8286=≈<. 所以不能在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为“是否赞同限行与是否拥有私家车”有关. (2)设从“没有私家车”中抽取x 人,从“有私家车”中抽取y 人,由分层抽样的定义可知 6602040 x y ==,解得2x =,4y =. 在抽取的6人中,“没有私家车”的2名人员记为1A ,2A , “有私家车”的4名人员记为1B ,2B ,3B ,4B ,则所有的抽样情况如下: 121{,,}A A B ,122{,,}A A B ,123{,,}A A B ,124{,,}A A B , 112{,,}A B B ,113{,,}A B B ,114{,,}A B B ,123{,,}A B B , 124{,,}A B B ,134{,,}A B B ,212{,,}A B B ,213{,,}A B B , 214{,,}A B B ,223{,,}A B B ,224{,,}A B B ,234{,,}A B B , 123{,,}B B B ,124{,,}B B B ,134{,,}B B B ,234{,,}B B B . 共20种. 其中至少有1名“没有私家车”人员的情况有16种. 记事件A 为至少抽到1名“没有私家车”人员,则16 ()0.820 P A = =. 20.解:(1)∵2222 22 3 4 c a b e a a -===,∴224a b =. 又∵48a =,∴2a =,∴2 1b =,∴椭圆C 的方程是2 214 x y +=. (2)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)N x y ,AB 的方程为(3)y k x =-, 由22 (3)14 y k x x y =-???+=??,整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=. 由24222416(91)(14)0k k k ?=--+>,得2 15 k < . ∵21222414k x x k +=+,2122 364 14k x x k -?=+, ∴1212(,)OA OB x x y y +=++ (,)t x y =, 则2 122 124()(14) k x x x t t k =+=+,121()y y y t =+121[()6]k x x k t =+-26(14)k t k -=+. 由点N 在椭圆上,得222 222222 (24)1444(14)(14) k k t k t k +=++,化简得22236(14)k t k =+. ① 又由12AB x =-<221212(1)[()4]3k x x x x ++-<, 将12x x +,12x x 代入得2422 222 244(364)(1)3(14)14k k k k k ?? -+-?++?? , 化简,得22 (81)(1613)0k k -+>,则2810k ->,2 18k > ,∴2 1185 k <<. ② 由①,得22 2 364t k t =-,联立②,解得2 34t <<. ∴2t -<< 2t << ,即(2,t ∈- . 21.解:(1)1 '()2f x ax a x =--, ∵()f x 在1x =处取到极值, ∴'(1)0f =,即10a -=,∴1a =. 经检验,1a =时,()f x 在1x =处取到极小值. (2)221'()ax ax f x x --=,令2 ()21(1)g x ax ax x =--≥, ①当0a =时,1 '()0f x x -= <,()f x 在[1,)+∞上单调递减. 又∵(1)0f =,∴1x ≥时,()0f x ≤,不满足()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立. ②当0a >时,二次函数()g x 开口向上,对称轴为1 4 x = ,过(0,1)-. a.当(1)0g ≥,即1a ≥时,()0g x ≥在[1,)+∞上恒成立, ∴'()0f x ≥,从而()f x 在[1,)+∞上单调递增. 又∵(1)0f =,∴1x ≥时,()0f x ≥成立,满足()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立. b.当(1)0g <,即01a <<时,存在01x >,使0(1,)x x ∈时,()0g x <,()f x 单调递减; 0(,)x x ∈+∞时,()0g x >,()f x 单调递增,∴0()(1)f x f <. 又∵(1)0f =,∴0()0f x <,故不满足题意. ③当0a <时,二次函数()g x 开口向下,对称轴为1 4 x = ,()g x 在[1,)+∞上单调递减, (1)10g a =-<,∴()0g x <,()f x 在[1,)+∞上单调递减. 又∵(1)0f =,∴1x ≥时,()0f x ≤,故不满足题意. 综上所述,1a ≥. 22.解:(1)直线l :sin 32m πρθ? ? + = ?? ? ,展开可得1sin 2ρθθ??= ? ???, 0y +=, 曲线C :1x y θθ ?=+?? =??可化为22(1)3x y -+=. (2)∵曲线C 是以(1,0)为圆心的圆,圆心到直线l 的距离d m = -, ∴3AB =≥,∴2 34 d ≤ , 解得02m ≤≤,即[0,2]m ∈. 23.解:(1)由2313x x ≤-??-->?或12233x x ? -<??-+>?或12 313 x x ?≥ ???+>? ,解得0x <或23x >, ∴()3f x >的解集为2(,0),3??-∞+∞ ??? . (2)当12x = 时,min 5 ()2 f x =;max ()1 g x a a =++. 由题意,得min max ()()f x g x ≥,即512a a ++≤,即5 12 a a +≤-, ∴2 25 025(1)2a a a ?-≥?? ??? ?+≤- ????? ,解得34a ≤.