第7章 梁的强度计算
第7章
梁的强度问题
工程力学学习指导
第7章梁的强度问题
7.1 学习要求与学习目标
1. 知道并且能够记住以下几种受力情形下弹性杆件横截面上的正应力是怎样分布的：
1) 平面弯曲；
2) 横向弯曲；
3) 斜弯曲；
4) 一个主轴平面内的轴向偏心载荷。
2. 正确计算以上几种受力情形下杆件横截面上各点的正应力以及横截面上的最大正应力。
3. 熟练计算常见的圆截面、矩形截面对于形心主轴的惯性矩以及弯曲截面模量。了解惯性矩和惯性积的移轴定理与转轴定理，了解组合图形的形心与形心主惯性矩的确定方法。
4. 对于弯曲正应力分析方法和过程要求理解，不要求掌握。
7.2理 论 要 点
7.2.1截面的几何性质：截面的形心，惯性矩、惯性积、主轴、形心主轴、形心主惯性矩、弯曲截面模量。
7.2.2平面弯曲：主轴平面，产生平面弯曲的加载条件，平面弯曲的变形特点，中性层，正应力分布，中性轴，正应力公式
对称面：梁的横截面具有对称轴，所有相同的对称轴组成的平面，称为梁的对称面。
主轴平面：梁的横截面没有对称轴，但是都有通过横截面形心的形心主轴，
图7-1 弯曲时微段梁的变形
所有相同的形心主轴组成的平面，称为梁的主轴平面。由于对称轴也是主轴，所以对称面也是主轴平面；反之则不然。以下的分析和叙述中均使用主轴平面。 平面弯曲： 所有外力（包括力偶）都作用在梁的同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外力作用平面内，这种弯曲称为平面弯曲。
纯弯曲：一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个内力分量，就是剪力和弯矩。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量，这种平面弯曲称为纯弯曲。纯弯曲情形下，由于梁的横截面上只有弯矩，因而，便只有垂直于横截面的正应力。
横向弯曲：梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面上不仅有正应力，还有切应力。这种弯曲称为横向弯曲，简称横弯曲。
7.2.3应力分析方法－正应力分析的超静定性质，平面假定，应变分布与几何方程，胡克定律与应力分布，静力学方程，正应力的一般表达式
梁弯曲后，一些层发生伸长变形，另一些则会发生缩短变形，在伸长层与缩短层的交界处那一层，称为梁的中性层或中性面。中性层与梁的横截面的交线，称为截面的中性轴。中性轴垂直于加载方向，对于具有对称轴的横截面梁，中性轴垂直于横截面的对称轴。
若干用相邻的两个横截面从梁上截取长度为d x 的一微段，假定梁发生弯曲变形后，微段的两个横截面仍然保持平面，但是绕各自的中性轴转过一角度θd 。这一假定称为平面假定。
变形协调方程
ρθεy x
y x x ＝－＝－＝
d d d d Δ， x d d 1θ
ρ＝
物性关系
εσE ＝
静力学方程
0N
＝＝F dA A
∫σ， ()z
A
M
y dA ?∫＝σ
平面弯曲正应力表达式 z
z I y M ＝
σ， 1z z M
EI ρ＝
z
z
z z W M I y M =
=
max max σ 平面弯曲中性轴的位置：中性轴通过截面的形心。
横向弯曲：横截面上同时存在弯矩与剪力的情形，称为横向弯曲，简称横弯。对于细长杆件，平面弯曲的正应力公式可以推广应用于横向弯曲。
7.2.4斜弯曲－加载特点，确定正应力的叠加方法，应力分布，中性轴，最大正应力
当外力施加在梁的对称面(或主轴平面)内时，梁将产生平面弯曲。所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是对称面(或主轴平面)，这种情形，梁也将会产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲。还有一种情形也会产生斜弯曲，这就是所有外力都作用在对称面(或主轴平面)内，但不是同一对称面(梁的截面具有两个或两个以上对称轴) 或主轴平面内。
为了确定斜弯曲时梁横截面上的应力，在小变形的条件下，可以将斜弯曲分解成两个纵向对称面内(或主轴平面)的平面弯曲，然后将两个平面弯曲引起的同一点应力的代数值相加，便得到斜弯曲在该点的应力值。
对于矩形截面，当梁的横截面上同时作用两个弯矩M y 和M z (二者分别都作用在梁的两个对称面内)时，由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点；最大压应力也发生在同一点，因此，叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩正应力必然发生在矩形截面的角点处。最大拉伸和压缩正应力值由下式确定：
z
z
y
y
W M W M
＋
＝
+max
σ
???
???????z
z
y y W M W
M ＋
＝max
σ
上式不仅对于矩形截面，而且对于槽形截面、工字形截面也是适用的。因为这些截面上由两个主轴平面内的弯矩引起的最大拉应力和最大压应力都发生在同一点。
对于圆截面，上述计算公式是不适用的。这是因为，两个对称面内的弯矩所引起的最大拉应力不发生在同一点，最大压应力也不发生在同一点。
对于圆截面，因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横截面上同时作用有两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示，然后求二者的矢量和，这一合矢量仍然沿着横截面的对称轴分析，合弯矩的作用面仍然与对称面一致，所以平面弯曲的公式依然适用。于是，圆截面上的最大拉应力和最大压应力计算公式为
W M M W M
z y 22max
++
＝
＝σ
W
M M W M z y 22max +＝－
＝－－
σ 此外，还可以证明，斜弯曲情形下，横截面依然存在中性轴，而且中性轴一定
通过横截面的形心，但不垂直于加载方向，这是斜弯曲与平面弯曲的重要区别。
2－5一个主轴平面内的偏心载荷－加载特点，确定正应力的叠加方法，应力分布，中性轴，最大正应力。
梁的横截面上同时产生轴力和弯矩的情形下，根据轴力图和弯矩图，可以确定杆件的危险截面以及危险截面上的轴力F N 和弯矩M max 。
轴力F N 引起的正应力沿整个横截面均匀分布，轴力为正时，产生拉应力；轴力为负时产生压应力：
A
F N
±
＝σ 弯矩M max 引起的正应力沿横截面高度方向线性分布。 z
z I y
M ＝
σ 应用叠加法，将二者分别引起的同一点的正应力相加，所得到的应力就是二者在同一点引起的总应力。
由于轴力F N 和弯矩M max 的方向有不同形式的组合，因此，横截面上的最大拉伸和压缩正应力的计算式也不完全相同。
7.3 学 习 建 议
1. 首先要掌握预备知识——截面图形的几何性质，包括：截面图形的形心、静矩、形心与静矩之间的关系、惯性矩以及形心主轴和形心主惯性矩。这些都是正应力分析与计算的基础。
2. 要在正确理解正应力分析方法与过程的基础上，掌握正
应力公式的应用条件，熟练而且正确地应用正应力公式。
3. 要正确理解正应力公式中每一个符号的含义及其确定方法。
N y z x z y
M z F M y A I I σ=
?+
图7-2 偏心载荷
4. 要学会根据横截面内力分量的实际方向以及横截面上点的位置，正确确定正应力公式中F N x 、M y 、M z 所产生的正应力是拉应力还是压应力，从而确定公式等号右边三项的正负号。
1) 要正确理解中性轴的概念，知道在平面弯曲和斜弯曲的情形下，由于横截面上的轴力等于零，因而中性轴一定通过横截面的形心；在偏心载荷作用的情形下，横截面上的轴力不等于零，所以，中性轴一定不通过横截面的形心。
2) 要掌握正应力公式的应用条件：在只有轴力作用的情形下，两个相邻横截面之间的变形是均匀的，横截面上的正应力均匀分布，这时正应力公式变为：
这一公式对于弹性或塑性都是适应的。
对于平面弯曲，根据平面假定和胡克定律，得到横截面上的正应力是线性分布的结论，这时正应力公式变为：
由于利用了胡克定律，所以这两个应力公式，只有在弹性范围内才能适应。
对于斜弯曲，应用叠加法，横截面上任意一点的正应力计算公式为
同样的理由，斜弯曲的正应力公式也只有在弹性范围内才是适应的。
对于在一个主轴平面内的轴向偏心载荷，如图7-2所示
正应力公式变为
N z x z
F M y A I σ=
? N y x y
M z F A I σ=+
z z x I y
M ?=σy
y x I z M =
σy y z z x I z
M I y M +
?=σN
x F A
σ=
前者偏心载荷作用在xy 平面内；后者偏心载荷作用在xz 平面内。
7.4 例 题 示 范
1. 弯曲正应力计算
【例题7-1】悬臂梁受力及截面尺寸如图7-3所示。 求：梁的1－1截面上A 、B 两点的正应力。
解：根据弯曲正应力公式/y Mz I σ=，为了计算应力，必须首先计算该截面上的弯矩，然后确定截面中性轴的位置，并计算整个截面对中性轴的惯性矩。 1.计算1－1截面上的弯矩
应用截面法和平衡条件，求得该截面上的弯矩为
100016001051300N m .M =?×?××=??
2．确定中性轴位置，并计算惯性矩
因为截面有两根对称轴，加力沿着y 轴方向，则通过形心的另一对称轴z 必为中性轴。矩形截面对中性轴的惯性矩为
()
3
33
3
54100101501028110m 12
12
.z bh
I ???×××=
==×
3．确定所求应力点到中性轴的距离，计算各点的应力
本例中给定的是A 点到截面上沿的距离和B 点到截面下沿的距离。于是根据已知条件，得
A 点：1502055mm 2
y ??=??=?????
B 点：1504035mm 2
y =?=
这两点的应力分别为
A 点：
()()
3
65
1300551025410Pa 254MPa 28110
...z My I ????×===×=×σ
图7-3 例题7-1图
B 点：
()()
3
65
13003510
16210Pa 162MPa 28110...z
My I ????×===×=×σ 其中“＋”表示拉应力，“－”表示压应力。本例计算中，是根据弯矩的实
际方向和符号规定，确定M 的正负，同时在图示之Oyz 座标中确定y 的正负，这样由公式所得的正、负号即分别表示拉和压。也可以在计算时不考虑M 、y 的正负，最后根据截面上弯矩的实际方向和所求应力点的位置（在中性轴的哪一侧）判断其为拉应力还是压应力。再在结果后面加以说明。
4．常见错误分析
对于初学者，在应力计算中，容易出现以下两种错误：一种是公式中的y 不是取该点到中性轴的距离，而是取其到截面上沿的或下沿的距离。如本例中错误地取A 点之20y =mm ，B 点之40y =mm 。
另一种错误是y I 不是采用整个截面对于中性轴的惯性矩，而是采用所求点附近的局部面积对中性轴的惯性矩。如在本例中计算A 点应力时
310011012/z I =×mm 4
，其中110 mm 为A 点到中性轴距离的两倍，即局部截面
的高度。这当然是错误的。这两种错误的原因都是没有正确理解公式每一项的来源和实际含义。 【例题 7-2】 一水平放置的No.10普通热轧槽型钢制悬臂梁，受力如图7-4a 所示。外力（集中力和力偶）都作用于铅垂对称面内。 求：1．1－1截面上A 、B 两点的正应力。 2．梁内最大正应力。
解：1．画弯矩图确定1－1截面上的弯矩与梁内最大弯矩
根据要求1，需用截面法求得1－1截面上的弯矩，而不能错误地采用外加力偶M ＝2200 N ·m 。此外，根据要求2，梁内最大应力必然发生在弯矩最大的截面上。所以需要画出梁的弯矩图。
应用第5章的方法，可以作出该悬臂梁之弯矩图，如图7-4c 所示。由此得
1－1截面：M ＝1000 N m ?
2－2截面：max
1200N m M
=?
图7-4 例题7-2图
2．确定中性轴位置及惯性矩y I
槽型钢截面只有一根对称轴，外力又沿着这一对称轴方向，所以中性轴一定通过形心并垂直于对称轴。槽型钢截面的形心位置可由型钢表查得。对于No.10普通热轧槽钢，形心至腹板边缘的距离，由表中查得为
0152cm 152mm ..y ==
中性轴位置如图7-4b 所示。
截面对中性轴的惯性矩亦可由型钢表查得
I z ＝25.6×10－8 m 4
3．确定所求点到中性轴的距离，计算指定点的应力 A 点：
y ＝y 0－t ＝(15.2－5.3) mm ＝9.9 mm
B 点：
y ＝y 0＝1.52 cm
于是A 、B 两点的应力为
A 点：
3
68
1000991038710Pa 387MPa 25610
....z My I ??××===×=×σ（拉） B 点：
36
8
10001521059410Pa 594MPa 25610....z My I ??××===×=×σ（压） 4．计算梁内最大正应力
最大正应力发生在最大弯矩作用的2－2截面上距中性轴最远的C 点，这一点之y max ＝b －y 0＝47-15.2＝32.8 mm 于是最大正应力为
3max
6max
max 8
12003281015410Pa 154MPa 25610
..z
M
y I ??××=
==×=×σ （压） 【例题7-3】图7-5a 和b 中所示之二悬臂梁，截面形状如图所示。外力F P
均加在y 方向。试分析这两种情形下，计算1－1截面上任意点（到z
轴的距离
图7-5 例题7-3图
为y ）弯曲正应力能否直接应用P z
F ay I =σ。
解： 在两种情形下，外力都通过截面的弯曲中心，因而只发生弯曲，而不发生扭转。
对于图7-5a 中的梁，y 轴为对称轴，故y 轴为形心主轴，外力又加在这一方向，因而在这种情形下将产生平面弯曲。但是图中所绘的z 轴，并不通过形心，故它不是中性轴。因此，在采用平面弯曲应力公式P /z F az I =σ时，必须先求得截面之形心，将z 轴设置在形心并垂直于对称轴（y 轴）。否则，不能直接应用上述公式。
对于图7-5b 中的梁，因为是Z 形截面，所以没有对称轴。应用有关主轴的定义（即I yz ＝0），图示之y 、z 轴虽然都通过形心，但截面对y 、z 轴惯性积I yz 不等于零，所以不是形心主轴。这样，当外力加在y 方向时，将不产生平面弯曲，即截面将不会绕着z 轴转动，而是绕着另外某一根轴转动，这种弯曲属于斜弯曲因而不能直接应用平面弯曲的公式。
【例题7-4】 外伸梁的截面尺寸及受力如图7-6a 所示。 求：梁内最大弯曲正应力。
解：1．画弯矩图确定最大弯矩
弯矩、剪力图分别如图7-6b 、c 所示，从图7-6c 中可以看出：
max
200kN m M
=?
2．计算截面之惯性矩
图示之组合截面，具有两根对称轴，形心很容易确定，通过形心垂直于加力方向的z 轴即为中性轴。采用负面积法，得
图7-6 例题7-4图
()
()
3
4
33
3
342001020010
π1610π126412
64
z bh d I ???×××××=?=?
444413321003221010110m ...???=×?×=×
3．计算最大正应力
max
max
max 33
64
2001020010219810Pa 198MPa 10110
.z
M
y I ??=
×××
==×=×σ
【例题7-5】图7-7a 所示之圆轴在A 、B 两处的轴承可近似地视为简支。轴的外伸部分是空心的。
求：轴内的最大正应力。
解：1．作轴之弯矩图，判断可能的危险截面
轴的弯矩图如7-7b 所示，从图中可以看出，在实心部分，C 截面上弯矩最大；在空心部分，B 截面上弯矩最大。这两处截面上的应力都比较大。 2．计算实心与空心截面的惯性矩
B 截面：
()()(
)
4
4
443
394ππ
6010401051110m 6464z I D d ?????=
?=×?×=×???
?
C 截面：
()
4
3
4
94π6010π63610m 64
64
z D
I ??×=
==×
3．计算最大应力 B 截面：
()336max max 9
09010301052810Pa 528MPa 51110
...B
z My I ??×××===×=×σ
图7-7 例题7-5图
C 截面：
()336max max 9
11710301055210Pa 552MPa 63610...C
z
My I ??×××===×=×σ 所以轴中的最大正应力发生在C 截面处（即实心部分），其值为
max 552MPa .σ=。
【例题7-6】丁字形截面之外伸梁，
D 点处受力10 kN ，外伸臂上受力4.4 kN ，截面尺寸如图7-8a 所示。已知形心位置，z 轴通过横截面形心；横截面对于z 轴的惯性矩6476410m .z I ?=×。
求：梁内最大拉应力和最大压应力。
解：1．作弯矩图
弯矩图如图7-8b 所示。其中B 、D 两个截面上的弯矩方向不同，如图7-8c 所示。D 截面为正弯矩中之最大者，B 截面为负弯矩中之最大者。其绝对值分别为
B 截面：
344144kN m 4410N m ...M =×=?=×?
D 截面：
3328010128010N m ..M =××=×?
a)
b)
c)
图7-8 例题7-6图
2、计算最大拉、压应力
在B 截面上，根据弯矩的实际方向，上边受拉，下边受压，受压点到中性轴的距离大于受拉点到中性轴的距离，故在这个截面上，压应力的数值大于拉应力。
在D 截面则相反，拉应力数值大于其压应力数值。 因为B 截面上弯矩比D 截面大，所以B 截面上的压应力数值一定比D 截面大。（因为在z My I =σ中，I z 相同，B 截面之M 及受压点之y 都比D 截面大）。但拉应力两个截面都比较大，因为B 截面M 虽大，但受拉点之y 却较小。所以两个截面上的拉应力都要计算，最后比较出最大者。
B 截面：最大拉应力
33+6max
6
441052103010Pa 30MPa 76510
..σ
??×××==×=× 最大压应力
336max
6
4410881050610Pa 506MPa 76510
....σ
??×××==×=×－ D 截面：最大拉应力
33+6max
6
28010881032210Pa 322MPa 76510
....σ
??×××==×=× 因此，最大拉应力发生在D 截面上的1点，其值为32.2 MPa 。最大压应力发生在B 截面的3点，其值为50.6 MPa 。
【例题7-7】管道托架如图7-9a 所示，其 1－1截面之尺寸如图7-9b 所示，F P =10 kN 。
求：1．1－1截面上的最大弯曲正应力；
2．若托架中间部分未挖去，试计算1－1截面上的最大弯曲正应力。
解: 1．计算挖空后的惯性矩与最大正应力 1-1截面上的弯矩为
3331010760107.610N m M ?=×××=×?
333
7454160200140802080378010mm 378010m 121212
..z I ?×××=
??=×=× 于是最大正应力为
图7-9 例题 7-7图
336max
5
76101001020110Pa 201MPa 37810....z My I σ
??×××===×=×＋ 2．计算未挖空时的惯性矩与最大正应力
未挖去之惯性矩，只与上述挖去的惯矩相差最后一项，这时
3374541602001408038610mm 38610m 1212
..z I ?××=?=×=×
由此得
33+
6max
5
76101001019710Pa 197MPa 38610
....z My I σ
??×××===×=× 二者相差极小。
读者可以根据弯曲应力分布特点，解释本例两种情形下的最大弯曲正应力非常接近的原因，并说明某些工程中为了减小梁的自重，为什么可以在梁的轴线附近打一些孔（图7-9c ），而对梁的强度影响甚小。
【例题7-8】图7-10所示之工字钢制简支架，工字钢型号为No. 16，在中间
截面处承受一集中力F P 。
为了测得F P 的大小，今在距中点250 mm 处梁的下沿，装置一杠杆式应变计。梁受力后，由应变计测得在标距l =20 mm 内的伸长为
mm 998
1
8×=Δl 已知钢材的弹性模量为210GPa E =。
求：F P ＝？
解: 本例所测得的为伸长量，将其除以原长，得该处应变。所要求的外力为F P ，因此，在计算程序上与前几例略有差异。但仍利用平面弯曲正应力公式。即利用应变算得应力，再利用应力算得外力。 1． 计算安装应变计的截面上最下边点的应变 根据已知条件
484011099820
.l l ε?Δ=
==×× 2． 计算实测应力
图7-10 例题 7-8图
根据单向拉伸时的胡克定律有
342101*********MPa ..E σε?==×××=
3．计算外力 根据弯曲公式
z
M W σ=
得
z M W =σ
其中z W 为工字钢的弯曲截面模量，由型钢表查得No. 16普通热轧工字钢之
343141cm 14110m .z W ?==×
于是
6448421014110118510N m ...M ?=×××=×?
再由截面法，或由弯矩图上得到F P 与M 的关系，即1－1截面上的弯矩为
P P 2346
F l F l M =×=
由此得
4
3P 6611851047510N 47.5kN 150
..M F l ××===×=
2. 弯曲强度计算
【例题7-9】 空心活塞销受力如图7-11a 所示。已知Pmax 7000N F =。销子各段可近似视为承受均布载荷。
求：1．若已知[]240MPa σ=，试按最大正应力点的强度条件校核销子的强度；
2．若已知[]120MPa τ=，试按最大剪应力点强度条件校核销子的强度。 解：1．作销子的受力简图与剪力图弯矩图判断危险面
销子在AB 、BC 、CD 三段都承受均布载荷作用，但AB 、CD 段与BC 段的载荷方向和载荷集度不同。于是可以画出销子的受力简图如图7-11b 所示．其中
127000
140N/m 2257000233N/m
215q q =
=×==×
a)
b)
图7-11 例题 7-9图
根据上述计算简图，可以作出如图7-11c 所示之弯矩图，从图中可以看出．销子中间截面上弯矩最大，故为危险截面，其上之弯矩值为
12max
15
252751570N m 2
.M
q q =××?××
≈? 2．计算销子的弯曲截面模量 空心部分的弯曲截面模量
()
3
34
43
63
π2010π1311065610m 323220.D d W D ??××????????=?=
?≈×??????????????????
??
3．计算危险点的应力并进行强度校核
危险点为危险面上的上、下两点，其应力值为
[]6
max
max 6
70108510Pa 1085MPa 064510
...y
M
W σσ?=
=
=×=<× 故销子最大正应力作用点的强度是安全的。 4．计算剪应力并进行剪应力强度校核 圆环截面上的最大弯曲剪应力为
Q max 2F A
τ=×
式中，F Q 为截面上的剪力。
现在要进行强度校核，因而必须采用梁内的最大剪力。由剪力图可知，B 、C 两处截面上剪力最大，其值为
Q
max
3500N F =
上式中A 为圆环截面面积，即
()()(
)
2
2
223
342ππ
2010131018110m 44.A D d ?????=
?=××?×=×???
?
于是，得到销钉中的最大剪应力为
[]6max 4
3500
238810Pa 388MPa 18110
...?=×=×=<×ττ 所以销子在剪应力作用下其强度也是安全的。
从以上计算可以看出，最大弯矩与最大剪力不在一个截面上；最大正应力与最大剪应力也不在同一点上，前者发生中间截面上、下两点，后者发生在B 、C 截面中性轴上各点。
【例题7-10】 图7-12中所示为空气泵操纵杆及其受力情形。若已知右端受力为8500 N ，I －I 矩形截面之高度与宽度比为h ／b ＝3；材料之许用应力
[]500MPa .σ=
求：I －I 截面的高度h 与宽度b 各为多少？
解：I －I 截面上的弯矩为
3316085007201054410N m 2.M ??
?=×?×=×????
? 该截面之弯曲截面模量为
23618
z bh h W ==
强度条件为
[]max z
M
W =
≤σσ 于是得到
3
63
544105001018
..h ×≤× 由此解出
图7-12 例题 7-10图
312510m 125mm h ?≥=×= 417mm 3
.h
b =
=
【例题7-11】工字钢制之简支梁受力如图7-13a 所示。若已知许用应力
[]2kg/cm 1600=σ，普通热轧工字钢型号为No. 20a 。
求：许可载荷[F P ]＝？
解：首先画出梁的弯矩图如图7-13b 所示，C 、D 两处截面上弯矩最大故为危险面，其上之弯矩值为
P max
3
F a
M
=
由型钢表查得No. 20a 普通热轧工字钢之弯曲截面模量为
222237cm 23710m .z W ?==×
于是根据强度条件
[]max
max z
M
W =
≤σσ
得
P 6
2
31601023710
.F a ?≤××
解之得
6262
3P 31601023710316010237105710N 57kN 20
...F a ??××××××××≤==×=
图7-13 例题 7-11图
【例题 7-12】铸铁制之外伸梁，受力及截面尺寸如图7-14a 所示。若已知铸铁抗拉许用应力为[]400MPa .σ+
=；抗压许用应力为[]600MPa .σ?
=。 试：校核核梁之强度。
解：1. 画弯矩图确定危险截面
根据所加载荷和约束力画出梁的弯矩图如图7-14b 所示。
从图中可以看出：B 截面上弯矩最大，为可能的危险截面之一，D 截面上弯矩虽小，但其上边受压、下边受拉，受拉边到中性轴的距离较大，故拉应力较大，而抗拉许用应力又低于抗压许用应力，所以D 截面亦为可能的危险截面。因此，在强度校核中，必须对B 、D 两个截面上的危险点进行校核。B 、D 面上的弯矩值分别为
B 截面：
4500N m M =?
D 截面：
3750N m M =?
2．校核危险点的应力是否满足强度条件
B 截面上1点受压；2点受拉，其应力值分别为
1点：
[]336
max
6
45010881051810Pa 518MPa 76510
....z My I σ
σ???×××===×=<×－ 2点：
[]33+
6
max
6
45010521030610Pa 306MPa 76510
....z My I σ
σ?+?×××===×=<×
图7-14 例题 7-12图
所以B 截面的强度是安全的。
D 截面上3点受拉，4点受压，而且4点的庄应力要比B 点的压应力小，所以只需校核3点的拉应力
3点：
[]33+62
max
6
37510881043110Pa 431MPa 76510
....z My I σ
σ?+?×××==?=×=>× 因而该梁的强度是不安全的。
请读者思考一下：在不改变外力大小和截面尺寸的情形下，可以采取什么办法，使该梁的强度满足要求。
【例题7-13】图7-15所示之简支梁由两根普通热轧槽型钢组成。若己知材料之许用应力[]120MPa σ=。
试选择：此梁的槽钢型号得以满足强度要求。
解：1.画弯矩图确定危险截面
画出弯矩图如图7-15b 所示，可以看出，C 截面弯矩最大，故为危险截面，其上之弯矩值为
4max
100kN m 1.010N m .M
=?=×?
根据强度条件
[]max
max z
M
W =
≤σσ
[]
4533max
6101083410m 834cm 12010
...z M
W ?×≥
==×=×
σ
a)
b)
图7-15 例题 7-13图
工程力学第九章梁的应力及强度计算
课时授课计划 掌握弯曲应力基本概念； 掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算；掌握弯曲正应力的强度计算； 掌握弯曲剪应力强度校核。
I D (d
根据[M]，用平衡条件确定许用外载荷。 在进行上列各类计算时，为了保证既安全可靠又节约材料的原则，设计规范还规定梁内的最大正应力允许稍大于[σ]，但以不超过[σ]的5%为限。即 3、进行强度计算时应遵循的步骤 （1）分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力，分析梁的内力（画出弯矩图）。（2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险截面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面。 （3）确定危险点 （4）依据强度条件，进行强度计算。 第三节梁的剪应力强度条件 一、概念 梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。 对剪应力的分布作如下假设： (1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行； (2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。 根据以上假设，可推导出剪应力计算公式： 式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力； Q—该截面上的剪力； b—需求剪应力作用点处的截面宽度； Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。 剪应力的单位与正应力一样。剪应力的方向规定与剪力的符号规定一样。 二、矩形截面横梁截面上的剪应力 如图所示高度h大于宽度b的矩形截面梁。横截面上的剪力Q沿y轴方向作用。 将上式带入剪应力公式得： 上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力，沿截面高度呈抛物线规律变化。 在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0；在中性轴上，y=0，剪应力值最大，
梁的强度和刚度计算.
梁的强度和刚度计算 1．梁的强度计算 梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。 （1）梁的抗弯强度 作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下： 梁的抗弯强度按下列公式计算： 单向弯曲时 f W M nx x x ≤=γσ （5-3） 双向弯曲时 f W M W M ny y y nx x x ≤+=γγσ （5-4） 式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴）； W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量； y x γγ,——截面塑性发展系数，对工字形截面，20.1,05.1==y x γγ；对箱形截面，05.1==y x γγ；对其他截面，可查表得到； f ——钢材的抗弯强度设计值。 为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于y f /23513 ，但不超过y f /23515时，应取0.1=x γ。 需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取0.1==y x γγ。 （2）梁的抗剪强度 一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。因此，设计的抗剪强度应按下式计算
v w f It ≤=τ （5-5） 式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值； S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩； I ——毛截面惯性矩； t w ——腹板厚度； f v ——钢材的抗剪强度设计值。 图5-3 腹板剪应力 当梁的抗剪强度不满足设计要求时，最常采用加大腹板厚度的办法来增大梁的抗剪强度。型钢由于腹板较厚，一般均能满足上式要求，因此只在剪力最大截面处有较大削弱时，才需进行剪应力的计算。 （3）梁的局部承压强度 图5-4局部压应力 当梁的翼缘受有沿腹板平面作用的固定集中荷载且该荷载处又未设置支承加劲肋，或受有移动的集中荷载时，应验算腹板计算高度边缘的局部承压强度。 在集中荷载作用下，翼缘类似支承于腹板的弹性地基梁。腹板计算高度边缘的压应力分布如图5-4c 的曲线所示。假定集中荷载从作用处以1∶2.5（在h y 高度范围）和1∶1（在h R 高度范围）扩散，均匀分布于腹板计算高度边缘。梁的局部承压强度可按下式计算
桥式起重机主梁强度、刚度计算
桥式起重机箱形主梁强度计算 一、通用桥式起重机箱形主梁强度计算(双梁小车型) 1、受力分析 作为室用通用桥式起重机钢结构将承受常规载荷G P 、Q P 和H P 三种基本载荷和偶然载荷S P ，因此为载荷组合Ⅱ。 其主梁上将作用有G P 、Q P 、H P 载荷。 主梁跨中截面承受弯曲应力最大，为受弯危险截面；主梁跨端承受剪力最大，为剪切危险截面。 当主梁为偏轨箱形梁时，主梁跨中截面除了要计算整体垂直与水平弯曲强度计算、局部弯曲强度计算外，还要计算扭转剪切强度，弯曲强度与剪切强度需进行折算。 2、主梁断面几何特性计算 上下翼缘板不等厚,采用平行轴原理计算组合截面的几何特性。
图2-4 注：此箱形截面垂直形心轴为y-y 形心线，为对称形心线。因上下翼缘板厚不等，应以x ’— x ’为参考形心线,利用平行轴原理求水平形心线x —x 位置c y 。 ① 断面形状如图2-4所示,尺寸如图所示的H 、1h 、2h 、B 、b 、0b 等。 ② 3212F F F F ++=∑ [11Bh F =，02bh F =，23Bh F =] ③ Fr q ∑= (m kg /) ④ 3 21232021122.)21(2)2(F F F h F h h F h H F F y F y i i c +++++- =∑?∑= (cm ) ⑤ 2 233 22323212113 112 212)(212y F Bh y F h h H b y F Bh J x ?++?+--+?+= (4cm ) ⑥ 202032231)2 2(21221212b b F h b B h B h J y ++++= (4cm )
梁的强度与刚度
第八章梁的强度与刚度 第二十四讲梁的正应力截面的二次矩 第二十五讲弯曲正应力强度计算（一） 第二十六讲弯曲正应力强度计算（二） 第二十七讲弯曲切应力简介 第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度
第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩 目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。 教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。 教学难点：平行移轴定理及其应用。 教学内容： 第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算 §8-1 纯弯曲时梁的正应力 一、纯弯曲概念： １、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。 ２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。 二、纯弯曲时梁的正应力： １、中性层和中性轴的概念： 中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。 ２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律： 以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。
３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式： （１）、任一点正应力的计算公式： （２）、最大正应力的计算公式： 其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。 说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。
§8-2 常用截面的二次矩平行移轴定理 一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数： １、矩形截面： ２、圆形截面和圆环形截面： 圆形截面 圆环形截面 其中：
梁的正应力强度计算.
§7-2 梁的正应力强度计算 一、最大正应力 在强度计算时，必须算出梁的最大正应力。产生最大正应力的截面，称为危险截面。对于等直梁，弯矩最大的截面就是危险截面。危险截面上的最大应力处称为危险点，它发生在距中性轴最远的上、下边缘处。 对于中性轴是截面对称轴的梁，最大正应力的值为： max max max z M y I σ= 令z z max I W y = ，则 max max z M W σ= 式中z W 称为抗弯截面系数，是一个与截面形状和尺寸有关的几何量。常用单位是m 3 或mm 3。z W 值越大，max σ就越小，它也反映了截面形状及尺寸对梁的强度的影响。 对高为h 、宽为b 的矩形截面，其抗弯截面系数为： 32 z z max /12/26 I bh bh W y h === 对直径为d 的圆形截面，其抗弯截面系数为： 43 z z max /64/232 I d d W y d ππ=== 对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如图7-9所示的T 形截面梁，在正弯矩M 作用下 梁下边缘处产生最大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为： +1max z My I σ= 2 max z My I σ-= 令z 11I W y = 、z 22 I W y =，则有： + max 1M W σ= max 2 M W σ-=
max σ- 图7-9 二、正应力强度条件 为了保证梁能安全地工作，必须使梁截面上的最大正应力max σ不超过材料的许用应力，这就是梁的正应力强度条件。现分两种情况表达如下： 1、材料的抗拉和抗压能力相同，其正应力强度条件为： max max z []M W σσ= ≤ 2、材料的抗拉和抗压能力不同，应分别对拉应力和压应力建立强度条件： +max max 1[]M W σσ+= ≤ max max 2 []M W σσ--=≤ 根据强度条件可解决有关强度方面的三类问题： 1）强度校核：在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸（即已知[]σ、z W ）以及所受荷载（即已知max M ）的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。 2）设计截面：当已知荷载和所用材料时（即已知max M 、[]σ），可根据强度条件，计算所需的抗弯截面系数 max z []M W σ≥ 然后根据梁的截面形状进一步确定截面的具体尺寸。 3）确定许用荷载：如已知梁的材料和截面形状尺寸（即已知[]σ、z W ），则先根据强度条件算出梁所能承受的最大弯矩，即： max z []M W σ≤ 然后由max M 与荷载间的关系计算许用荷载。 例7-2 如图7-10所示T 形截面外伸梁。已知材料的许用拉应力[]32MPa σ+=，许用压应力[]70MPa σ- =。试校核梁的正应力强度。
梁计算实例
模板计算实例 1、工程概况 柱网尺寸6m×9m，柱截面尺寸600mm×600mm 纵向梁截面尺寸300mm×600mm，横向梁截面尺寸600mm×800mm，无次梁，板厚150 mm，层高12m，支架高宽比小于3。 （采用泵送混凝土。） 2、工程参数（技术参数） 3计算 梁侧模板计算 图梁侧模板受力简图 3.1.1梁侧模板荷载标准值计算
新浇筑的混凝土作用于模板的侧压力标准值，依据建筑施工模板安全技术规范，按下列公式计算，取其中的较小值: V F C 210t 22.0ββγ= 4.1.1-1 H F c γ= 4.1.1-2 式中 ： γc -- 混凝土的重力密度，取24kN/m 3； t 0 -- 新浇混凝土的初凝时间，按200/(T+15)计算，取初凝时间为 小时。 T ：混凝土的入模温度，经现场测试，为20℃； V -- 混凝土的浇筑速度，取11m/h ； H -- 混凝土侧压力计算位置处至新浇混凝土顶面总高度，取0.8m ； β1-- 外加剂影响修正系数，取； β2-- 混凝土坍落度影响修正系数，取。 V F C 210t 22.0ββγ==×24××××= kN/m 2 H F c γ==24×= kN/m 2 根据以上两个公式计算，新浇筑混凝土对模板的侧压力标准值取较小值m 2。 3.1.2梁侧面板强度验算 面板采用木胶合板，厚度为18mm ，验算跨中最不利抗弯强度和挠度。计算宽度取1000mm 。（次楞平行于梁方向） 面板的截面抵抗矩W= 1000×18×18/6=54000mm 3；
（W= 650×18×18/6=35100mm 3 ；）（次楞垂直于梁方向） 截面惯性矩I= 1000×18×18×18/12=486000mm 4； （I= 650×18×18×18/12=315900mm 4 ；） 1、面板按三跨连续板计算，其计算跨度取支承面板的次楞间距，L=0.15m 。 2、荷载计算 新浇筑混凝土对模板的侧压力标准值G 4k =m 2， 振捣砼对侧模板产生的荷载标准值Q 2K =4kN/m 2。 （规范：2振捣混凝土时产生的荷载标准值（k Q 2）（↓→）对水平面模板可采用2 kN/m 2，对垂直面模板可采用4 kN/m 2） 荷载基本组合 1） 由可变荷载效应控制的组合 k Q n i ik G Q r G r S 111+=∑= （4.3.1—2） ∑∑==+=n i ik Qi n i ik G Q r G r S 1 1 9.0 （4.3.1—3） 式中 G r ──永久荷载分项系数，应按表4.2.3采用； Qi r ──第i 个可变荷载的分项系数，其中1Q r 为可变荷载1Q 的分项系数，应按表4.2.3采用； ∑=n i ik G 1 ──按永久荷载标准值k G 计算的荷载效应值； Qik S ──按可变荷载标准值ik Q 计算的荷载效应值，其中k Q S 1为诸可变荷载效应中起控制 作用者； n ──参与组合的可变荷载数。 ⑵ 由永久荷载效应控制的组合： ∑=+ =n i Qik ci Qi Gk G S r S r S 1 ψ （4.3.1—4）