高等数学-微积分下-习题册答案-华南理工大学 (6)

《高等数学》（下册）测试题一

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号

中填上所选字母）

1．设有直线

3210

:21030

x y z L x y z +++=??

--+=? 及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ A ）

A ．平行于平面π；

B ．在平面π上；

C ．垂直于平面π；

D ．与平面π斜交.

2．二元函数22

,(,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xy

x y x y f x y x y ?≠?+=??=?

在点(0,0)处（ C ）

A ．连续、偏导数存在；

B ．连续、偏导数不存在；

C ．不连续、偏导数存在；

D ．不连续、偏导数不存在.

3．设()f x 为连续函数，1

()d ()d t

t

y

F t y f x x =??，则(2)F '＝（ B ）

A ．2(2)f ；

B ．(2)f ；

C ．(2)f -

D ．0.

4．设∑是平面

13

2=++z y

x 由0≥x ，0≥y ，0≥z 所确定的三角形区域，则曲面积分

(326)d x y z S ∑

+

+??＝（ D ）

A ．7；

B ．

2

21

； C ．14； D ．21. 5．微分方程e 1x y y ''-=+的一个特解应具有形式（ B ）

A ．e x a b +；

B ．e x ax b +；

C ．e x a bx +；

D ．e x ax bx +.

二、填空题（每小题3分，本大题共15分）

1．设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为2230x y z +-=； 2．设arctan

1x y

z xy

-=+

，则d |z ＝24

dx dy

-； 3．设L 为122=+y x 正向一周，则2

e d x L

y =? 0 ；

4．设圆柱面322=+y x ，与曲面xy z =在),,(000z y x 点相交，且它们的交角为

π6，则正数=0Z 3

2

； 5．设一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个线性无关的解

21,y y ，若12y y αβ+也是该方程的解，则应有=+βα 1 .

三、（本题7分）设由方程组e cos e sin u

u

x v

y v

?=??=??确定了u ，v 是x ，y 的函数，求

x u ??及x v ??与y

v

??. 解：方程两边取全微分，则e cos e sin e sin e cos u u

u u

dx vdu vdv

dy vdu vdv

?=-??=+?? 解出2222cos e sin ,,e sin e cos u u

u u xdx ydy du e vdx vdy x y du dv xdy ydx dv vdx vdy x y ----+?=+=?+?

?-?=-+=?+?

从而

222222,,u x v y v x x x y x x y y x y

??-?===?+?+?+ 四、（本题7分）已知点)1,1,1(A 及点)1,2,3(-B ，求函数()3ln 32u xy z =-在点A 处沿AB 方向的方向导数.

解：{}2122,1,2,,,333AB AB ??=-=-????

2333336,,323232y x z gradu xy z xy z xy z ??

-=??

---??

，{}3,3,6A gradu =- 从而{}212,,3,3,62147333u AB ???

=-?-=++=?????

五、（本题8分）计算累次积分

2

41

1

2211d e d d e d x x

y

y x x y x y y y

+?

??）.

解：依据上下限知，即分区域为

1212,:12,1:24,

2

x

D D D D x y D x y =?≤≤≤≤≤≤≤≤ 作图可知，该区域也可以表示为2:12,2D y y x y ≤≤≤≤

从而()22

42222112112111d e d d e d d e d e e d x

x

x

y y y y y

x y x y x y y x y y y y +==-??????

()()22

22211

e e

2e e e e y

y e =-=---=

六、（本题8分）计算d d d I z x y z Ω

=???，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面1,0==z z 围成的区域.

解：先二后一比较方便，1

1

1

2

20

12

2

z

D z I zdz dxdy z dz ππ

π?==??=

=

????

七．（本题8分）计算32()d x y z S ++∑

??，其中∑是抛物面222y x z +=被平面2=z 所截下的有限部分.

解：由对称性322d 0,d d x S y S x S ==∑∑∑

??????

从而22

3

2

22()d ()d ()d 2

x y x y z S z S x y S +++=+=+∑∑∑

??????

22

2

220

(2D x y d r

r πθπ=+=

=?????

(

4

0411315t ππ??=+-=+ ? ???

?

八、（本题8分）计算222

22(4cos )d cos d L x x x x x x y y y y y

+-?，L 是点ππ(,)22A 到

点(π,2π)B 在上半平面)0(>y 上的任意逐段光滑曲线.

解：在上半平面)0(>y 上22232

22322cos cos sin Q x x x x x x x x y y y y y y ????=-=-+ ?????

223223222(4cos )0cos sin P x x x x x x Q

x y y y y y y y y x

???=+=-+=

???且连续， 从而在上半平面)0(>y 上该曲线积分与路径无关，取π(π,)2

C

22222

22

2

424415(4cos )d cos d 12L AC CB x x x x y y y ππ

ππ

πππππ=+=+-=-????? 九、（本题8分）计算222()d d ()d d ()d d x y y z y z z x z x x y +++++∑??，其中∑为

半球面221y x z --=上侧.

解：补1:0z ∑=取下侧，则构成封闭曲面的外侧

1

1

222()d d ()d d ()d d x y y z y z z x z x x y ∑+∑∑+++++=

-∑

??????

()1222

2

3

211133132D D x y dv x dxdy dv x dxdy dxdy πΩ∑Ω+=++-=+=??+????????????

21

13

4000

1

19222

44d r dr r π

ππθππ=+

=+?=?? 十、（本题8分）设二阶连续可导函数)(x f y =，

t s x =适合042222=??+??s

y

t y ，求)(x f y =．

解：21,y s y f f t t s t

?-?''=?=???

2

22223222211,y s s s y f f f f f t t t t t s s t t ??--????????'''''''==+?== ? ? ??????????? 由已知2

222232224

40,0,y y s s f f f t s t t t

??-??'''''+=?+?+= ?????

即()()()()()()

()2221420,40,4x f x xf x x f x x f x c '

??'''''++=+=+=??

()()1122

,arctan 422

c c x

f x f x c x '=

=++ 十一、（本题4分）求方程的x y y 2cos 4=+''通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为21,240,2r r i +==±

非齐次项()cos2,f x x =，与标准式()()()cos sin x m l f x e P x x P x x αββ=+???? 比较得{}max ,0,2n m l i λ===,对比特征根，推得1k =，从而特解形式可设为

()()*12cos sin cos 2sin 2,k x

n n y x Q x x Q x x e ax x bx x αββ=+=+????

**(2)cos2(2)sin 2,(44)sin 2(44)cos2y a bx x b ax x y a bx x b ax x '''=++-=--+-代入方程得14sin 24cos 2cos 2,0,4

a x

b x x a b -+=?==

121

cos 2sin 2sin 24

y c x c x x x =+++

十二、（本题4分）在球面2222a z y x =++的第一卦限上求一点M ，使以

M 为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.

解：设点M 的坐标为(),,x y z ，则问题即8V xyz =在22220x y z a ++-=求最小值。

令()22228L xyz x y z a λ=-++-，则由

2222820,820,820,x y z L yz x L xz y L xy z x y z a λλλ=-==-==-=++=

推出x y z ===

，M

的坐标为 附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）

1．判别级数∑∞

=-++-1

1

)]1[ln()1(n n n n 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是

条件收敛？

解：由于()11

~,[ln(1)]n u n n n n

=

→∞++，该级数不会绝对收敛，

显然该级数为交错级数且一般项的n u 单调减少趋于零，从而该级数条件收敛

2．求幂级数n

n n x n n ∑∞

=?+02!

21的收敛区间及和函数.

解：()()212212

112(1)!2(1)

lim lim lim 2!111n n n n n n n a n n n R a n n n n

+→∞→∞→∞--++?+?+==?==+∞?++++ 从而收敛区间为(),-∞+∞，()201011112!1!2!2n

n

n n n n n n n x x x n n n ∞

∞∞===+-+????

=+ ? ??-????

∑∑∑

()()2101112!21!2!2n

n

n n n x x x n n n ∞

∞∞

===??????

=++ ? ? ?--??????∑∑∑

2

1

22

0001111!2!2!242n n x

n n n x x x x x e n n n ++∞

∞

∞

===????????=++=++ ? ? ? ???

??

????∑∑∑ 3．将0,0π

()π0π,0a x f x H x a H a x ?<≤

=<

解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。0n a =

()()0

021cos 2

2

2sin sin cos a

a

n H na H

b f x nxdx H nxdx nx n n π

ππ

π--=

===?

?

()()

1

21cos sin ,n H na f x nx x a n ∞

=-=≠±∑

《高等数学》（下册）测试题二

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号

中填上所选字母）

1．设()y z x y f x =??，且()f u 可导，则z z

x y

x y

??+??为（ D ） A ．2xy ；； B ．2()x y z +； C ．2()x y +； D ．2z ．

2．从点(2,1,1)P --到一个平面引垂线，垂足为点(0,2,5)M ，则这个平面的方

程是（ B ）

A ．236360x y z +-+=；

B ．236360x y z --+=；

C ．236360x y z ---=；

D ．236360x y z -++=． 3．微分方程(1)1x y ''-=的通解是（ D ）

A ．21(1)ln |1|y x x C =--+；

B ．12ln |1|y x

C x C =-++； C ．212ln |1|y x x C x C =-++；

D ．12(1)ln |1|y x x C x C =--++． 4．设平面曲线L

为下半圆周y =，则曲线积分22()d L

x y s +?等于

（ A ）

A ．π；

B ．2π；

C ．3π；

D ．4π．

5

．累次积分2

411

2211d e d d e d x

x

y

y x x y x y y y +???＝（ A ）

A ．e ；

B ．2e ；

C ．3e ；

D ．4e ．

二．填空题（每小题5分，本大题共15分）

1．曲面333xyz z a -=在点(0,,)a a -处的切平面方程是0x z a ++=；. 2．微分方程232e x y y y x -'''--=的待定特解形式是()*x y x ax b e -=+； 3．设∑是球面2

2

2

2

x y z a ++=的外侧，则曲面积分

32

2

22

d d d d d d ()

x y z y z x z x y x y z ∑

++++??

＝4π．

三、 一条直线在平面∏：20x y +=上，且与另两条直线L 1：1

141

x y z -==-及

L2：

412

201x y z ---==（即L 2：42(2)10 x z y -=-??-=?

）都相交，求该直线方程．（本题7分）

解：先求两已知直线与平面的交点，由,

1

20,141

x y z x y t -+====- ()1,4,1,50,0,0, 1.0,0,1x t y t z t t t x y z M ?===-===== 由412

20,

,201

x y z x y t ---+==== ()242,1,2,4220,3,2, 1.2,1,1x t y z t t t x z M ?=+==+++==-=-=--- 由两点式方程得该直线：

1

22

x z y -==-- 四、求函数2

2

2

3u x y z z =++-在点(1,1,2)0M -处的梯度及沿梯度方向上

函数的方向导数．（本题7分）

解：{}{}02,2,232,2,1,M gradu x y z gradu =-=-

沿梯度方向上函数的方向导数03M gradu =

=

五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料

最省？（本题8分）

解：设底圆半径为r ，高为h ，则由题意，要求的是222S r rh ππ=+在条件21r h π=下的最小值。

222221221222,40,dS S r r r r r h r r dr r r ππππππ=+?

=+=-=?===

由实际问题知，底圆半径和高分别为r h =

= 六、设积分域D 为224,0,0x y x y +≤≥≥所围成，试计算二重积分

22

sin()d D

x y σ+??．（本题8分） 解：观察得知该用极坐标，224,0,0x y x y +≤≥≥

24,cos 0,sin 0,02,02r r r r θθθπ?≤≥≥≤≤≤≤

()222

2

22

2

2

2

200

sin sin()d sin 2cos 1cos42

D

r x

y d r rdr dr r π

σθπππ+=

?==-=-????

?

七、计算三重积分d z v ???Ω，式中Ω

为由12

z z ?≥?

?≤≤??台体．（本题8分）

解：解：观察得知该用先二后一的方法

2

2

2

42

11

1

d 1544

z D z v z

zdz dxdy z z dz ππ

π???Ω==?=

=

????

八、设()f x 在(,)-∞+∞上有连续的一阶导数，求曲线积分

22

21()d [()1]d L

y f x y x x y f x y y y y ++-?，其中曲线L 是从点

2

(3,)3

A 到点(1,2)

B 的直线段．（本题8分）

解：在上半平面)0(>y 上

2221

[()1]()()Q x y f xy f xy xyf xy x x y y ????'=-=-+ ?????

211()()()P Q

yf xy f xy xyf xy y y y y x ?????'=+=-++=

??????且连续， 从而在上半平面)0(>y 上该曲线积分与路径无关， 取折线(3,2)(1,2)2

(3,)3

B A

C →→

21

2222223

3

1()314(2)

d [()1]d [(3)1]d d 2L y f xy x f x x y f xy y y f y y x y y y +++-=-+???2

1

221162

22223332

63

3

3

3131

3(3)d 2(2)d ()()dt

22f y dy y dx f x x f t dt x f t y y =-++=+++??????2

1

233

313913

422222

x y ==+=-+-=-

九、计算曲面积分()d x y z S ++??∑

，其中，∑为上半球面：

2222 (0)x y z R z ++=≥．（本题8分）

解：由于()(),,,,x y z x y z ∈∑?--∈∑，故()d d x y z S z S ++????∑∑

=

∑为上半球面，则{}{}cos 0,2,2,2//,,,,,x y z n x y z x y z n R R R γ??

>==????

原式2222222

00

R

D z R x y R r dxdy dxdy d rdr R R R πθ∑---===?????? ()2322400221124R

R

R r r dr R r r R

R

π

π

??=-=- ????3

2

R π= 十、求微分方程 cos π

2

d tan 2

e 0,|

1d x x y x y y x =??

?-+==-?

???

的解．（本题8

分） 解：

cos d cot 2e ,d x y

y x x

+= ()

cot cot cos lnsin cos lnsin 2e 2e

xdx xdx x x

x x

y e e dx c e

e

dx c --????=+=+ ???

??

(

)

()cos cos 11

2e sin 2e sin sin x x y xdx c c x

x

=

+=-?

由π2

|1x y ==-，得()cos 1

12,1,12e sin x c c y x

-=-==

- 十一、试证2

24

, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xy x y f x y x y x y ?≠?=+??=?

在点(0,0)处不连续，但存

在有一阶偏导数．（本题4分）

解：沿着直线2

, (,)(0,0)x ky x y =→，22

2242000

lim (,)lim 1y y x ky x ky xy k

f x y x y k →→=→=→==++ 依赖k 而变化，从而二重极限不存在，函数在点(0,0)处不连续。 而()()()(,0)0,0,0,0,00,0,00x y f x f y f f ''≡≡?==

十二、设二阶常系数线性微分方程e x

y y y αβγ'''++=的一个特解为

2e

(1)e x

x

y x =++，试确定常数,,αβγ，并求该方程的通解．（本题

4分）

解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为

122,1r r ==，否则不能有这样的特解。从而特征方程为

()()221320,r r r r --=-+=

因此3,2αβ=-=

1x y xe =为非齐次方程的另一个特解，()()111,2x x y x e y x e '''=+=+

()()2e 231,2332,1x x x x xe x e x e x x x γγγ+=+-+?+--+==-

故

3,2

αβ=-=，

1γ=-，e

x

y y y αβγ'''++=通解为

212e

()e x

x

y c c x =++

附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）

1．求无穷级数1

1

3n n n x n -∞

=?∑的收敛域及在收敛域上的和函数．

解：()()2111lim

lim 23313

n n n n n n a R n a n ++→∞

→∞+==?+?=+? 由于在3x =时发散，在3x =-时条件收敛，故收敛域为[3,3)-

看()()1

11,[1,1),01n n s t t t s n

∞

-==∈-=∑，

则()()()11011,ln 1,11t

n n ts t t ts t dt t t t ∞

-='==?==--????--∑? 从而11

1ln 1,[3,0)(0,3)133331,03

n n n x x x x x s n x -∞

=???

--∈- ???????

==? ?????=??∑ 2．求函数()(2)ln(4)f x x x =-+在01x =处的幂级数展开式． 解：[][][]()(1)1ln 5(1)(1)1ln 5ln 115f x x x x x =--+---++

?-?

?

?= ????

??

?

[]()10(1)1ln 51115n n n x x n +∞=--+??--??=?? ?+??????

∑

()()()()()()()21

11

0011ln 51ln 5111515

n

n

n n n n n n x x x n n ∞

∞

++++==--=-+-+---++∑∑

()()()()()()22016111ln 5ln 51155

12n

n n n n x x n n ∞

++=-+?

?=-+--+- ?++??∑

3．将函数0,20

()1, 02x f x x -≤

范围．

解：作周期延拓，()22

02011

4,2,1122T l a f x dx dx -=====??

()22

20111

cos cos sin 02222n n x n x a f x dx dx n n ππππ

-====??

()()()22

2011111

sin sin cos 12222n

n n x n x a f x dx dx n n n πππππ

----===-=

?? 从而()()1111sin ,2,22n

n n x f x x k k Z n ππ∞=--=+≠∈∑

《高等数学》（下册）测试题三

一、填空题

1．若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数

a =5-．

2．设1

()e d x y

x f x y =?，则1

()f x dx =

?1

2

e -． 3．设S 是立方体1,,0≤≤z y x 的边界外侧，则曲面积分

567d d d d d d s

x y z y z x z x y ++=??

3 ．

4．设幂级数0

n

n n a x ∞

=∑的收敛半径为3，则幂级数11

(1)n n n na x ∞

+=-∑的收敛区间

为()2,4-．

5．微分方程2434e x y y y x -'''+-=用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形式为()24e x y x ax bx c -=++．

二、选择题

1．函数222222

22sin 2()

,0,(,)0,

2,x y x y f x y x y x y ?++≠?

=+??+=?

在点(0,0)处（ D ）．

（A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续． 2．设sec(1)z xy =-，则

z

x

?=?（ B ）． （A ）sec(1)tan(1)xy xy --； （B ）sec(1)tan(1)y xy xy --； （C ）2tan (1)y xy -； （D ）2tan (1)y xy --． 3．两个圆柱体222x y R +≤，222x z R +≤公共部分的体积V 为（ B ）．

（A

）0

2d R

x y ?； （B

）

8d R

x y ?；

（C

）

d R

R

x y -?

； （D

）

4d R

R x y -?．

4．若0n a ≥，1

n

n k k S a ==∑，则数列{}n S 有界是级数收敛的（ A ）．

（A ）充分必要条件； （B ）充分条件，但非必要条件；

（C ）必要条件，但非充分条件； （D ）既非充分条件，又非必要条件．

5．函数sin y C x =-（C 为任意常数）是微分方程22d sin d y x x

=的（ C ）．

（A ）通解； （B ）特解； （C ）是解，但既非通解也非特解； （D ）不是解． 三、求曲面e e 4x

y z

z

+=上点0(ln 2,ln 2,1)M 处的切平面和法线方程．

解：{}{}0

22M 11e ,e ,e e 2,2,4ln 2//1,1,2ln 2x

y x y z z z

z x y n z z z z ??=--=--????

切平面为()ln2ln22ln212ln20x y z x y z -+---=+-= 法线为1

ln 2ln 22ln 2

z x y --=-=

- 四、求通过直线 0

:20

x y L x y z +=??-+-=?的两个互相垂直的平面，其中一个平

面平行于直线1:L x y z ==．

解：设过直线L 的平面束为()20,x y z x y λ-+-++=

即()(){}1120,1,1,1x y z n λλλλ+--+-==+-

第一个平面平行于直线1:L x y z ==，

即有{}{}111,1,11,1,1210,2

n s λλλλ?=+-?=+==-

从而第一个平面为

{}1111120,324,1,3,223x y z x y z n ????

--++-=-+==- ? ?????

第二个平面要与第一个平面垂直，

也即{}{}11,3,21,1,11332260,3n n λλλλλλ?=-?+-=+-++=-+==

从而第二个平面为4220x y z ++-=

五、求微分方程430y y y '''-+=的解，使得该解所表示的曲线在点(0,2)处

与直线2240x y -+=相切．

解：直线22

40x y -+=为

2,1y x k =+=，从而有定解条件()()01,02y y '==，

特征方程为()()212430,310,3,1r r r r r r -+=--=== 方程通解为312x x y c e c e =+，由定解的初值条件122c c +=

3123x x y c e c e '=+，由定解的初值条件1231c c +=

从而1215,22c c =-=，特解为315

22

x x y e e =-+

六、设函数()f u 有二阶连续导数，而函数(e sin )x z f y =满足方程

22222

e x z z

z x y

??+=?? 试求出函数()f u ．

解：因为()()()()222sin ,sin sin x

x x z z f u e y f u e y f u e y x x

??''''==+??

()()()()222cos ,cos (sin )x

x x z z f u e y f u e y f u e y y y

??''''==+-??

()()22222

2()e ,()0x x z z

f u e f u f u f u x y

??''''+==?-=?? 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+ 七、计算曲面积分

222(cos cos cos )dS xy yx z αβγ∑

++?? ， 其中∑是球体2222x y z z ++≤

与锥体z ≥的公共部分Ω的表面，cos α，cos β，cos γ是其外法线方向的方向余弦．

解：两表面的交线为

222

222

122122,0,1,1x y z z x y z z z z z z ?++=?+=??===???==??? 原式)

222x y z dv Ω

=++???，投影域为22:1D x y +≤，

用柱坐标:02,01,1r r z θπΩ≤≤≤≤≤≤原式

)(

)

21

11

12

2

2

22r

r

d rdr r

z dz r r z z

dr π

θπ=

+=+??

?

()(12

220211r r r r dr π?

?=+-???

?

?

()()()1

1

31

34220013122t t dt r r r dr ππ??=--+-+--??????

()()1

1

53

2452200

221113125345t t r r r ππ????=--?-+-- ??????? 2118

112702215455

1010πππππ????=--+--=+= ???????

另解：用球坐标:02,0,02cos 4

π

θπ?ρ?Ω≤≤≤≤

≤≤

原式()2cos 24

2

220

sin 2cos sin d d d π

?

π

θ?

ρ

?ρ?ρ?ρ=

+???

()2cos 4

4

330

2sin 2cos sin d d π

?

π?

ρ

?ρ??ρ=+??

()54

5735

022cos cos 2cos cos 5d π

π??????=--+ ??

??

1

684

579494216555658t t t t dt ππ???=-=?-? ???

683

11610

10t t π?=- ?2710

π

=

八、试将函数2

()e d x

t f x t -=?展成x 的幂级数（要求写出该幂级数的一

般项并指出其收敛区间）． 解：()2

20

n=01()e d d n!n x

x

t n f x t t t ∞-??

-=

=

? ?

??

∑?

?

()()()21n=0

1,,!21n

n x x n n ∞

+-=∈-∞+∞

+∑

九、判断级数)0,0(1>>∑

∞

=βαβα

n n

n

的敛散性．

解：()11lim lim 1n n n n n n

u n u n α

αβρββ++→∞→∞

==?=+ 当01,1βρ<<<，级数收敛；当1,1βρ>>，级数发散； 当1,1βα=>时级数收敛；当1,01βα=<≤时级数发散

十、计算曲线积分222(1e )d (e 1)d y y L

x x x y ++-?，其中L 为22(2)4

x y -+=在第一象限内逆时针方向的半圆弧． 解：再取1:0,:04L y x =→，围成半圆的正向边界 则 原式11

222(1e )d (e 1)d y y L L L x x x y +=-++-?

?

()4

4

20

0101122D dxdy x dx x x ?

?=-+=-+=- ??????

十一、求曲面S ：222

124

x z y ++=到平面π：2250x y z +++=的最短距离．

解：问题即求d =

在约束222

124

x z y ++=下的最小值

可先求()()2

2

,,9225f x y z d x y z ==+++在约束222

124

x z y ++=下的最小

值点

取()()222

2

,,225124x z L x y z x y z y λ??=++++++- ???

()()42250,422520,x y L x y z x L x y z y λλ=++++==++++=

()222

22250,1224z z x z L x y z y λ=++++=++=

0λ≠时21

2,41,,12

x y z y y x z ====±==±，

21152115111

1,,13,1,,123233d d +++---+????==---== ? ?????

这也说明了0λ=是不可能的，因为平面与曲面最小距离为1

3

。