平面向量经典习题汇总
平面向量经典习题汇总
1.(北京理.2)已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么
（ ）
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向
【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基
本运算的考查.
取a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-， 显然，a 与b 不平行，排除A 、B .
若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--，
即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D .
2.(北京文.2)已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那
么
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向 【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基
本运算的考查.
∵a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-， 显然，a 与b 不平行，排除A 、B .
若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--，
即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D .
3.(福建理.9;文.12)设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ∣a ∣=∣c ∣,则∣b ? c ∣的值一定等于A ． 以a ，b 为两边的三角形面积 B 以b ，c 为两边的三角形面积
C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积
D 以b ，c 为邻边的平行四边形的面积
【解析】依题意可得cos(,)sin(,)b c b c b c b a a c S ?=??=??=故选C.
4.(广东理.6)一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为
A. 6
B. 2
C.
D. 【解析】28)60180cos(20021222123=--+=F F F F F ，所以723=F ，选D.
5. (广东文.3)已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）
， 则向量+a b A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y 轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
【解析】+a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知,选C
6.(湖北理.4,文7)函数cos(2)26
y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于
.(,2)6A π
-- .(,2)6B π- .(,2)6C π- .(,2)
6D π
【解析】由平面向量平行规律可知，仅当(,2)6a π
=-时，
F '：()cos[2()]266f x x π
π
=++-=sin 2x -为奇函数，故选D .
7. (湖北文.1)若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=
A.3a+b
B. 3a-b
C.-a+3b
D. a+3b
【解析】由计算可得(4,2)3c c b ==-故选B
8.(湖南文.4)如图1， D ，E ，F 分别是?ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则(
) A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+= C ．0AD CE CF +-=
D ．0BD B
E FC --=
图1
【解析】,,AD DB AD BE DB BE DE FC =∴+=+==得0AD BE CF ++=， 或0AD BE CF AD DF CF AF CF ++=++=+=.故选A.
9.(辽宁理,文.3)平面向量a 与b 的夹角为060， (2,0),||1a b ==，则|2|a b +=
（Ｂ） （Ｃ）4 （Ｄ）12 F
E D C
B
A
图1
【解析】1cos ,2
a b <>=，||2a =，||1b =，222(2)44a b a ab b +=++ 144214122
=+???+=，|2|a b +
=选B 10.(宁夏海南理.9)
已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且
PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的
（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心
（C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
【解析】
,0OA OB OC O ABC NA NB NC O ABC ==?++=?由知为的外心；由知，为的重心;
()00,,
,PA PB PB PC PA PC PB CA PB CA PB AP BC P ?=?∴-?=∴?=∴⊥⊥∴?，，同理，为ABC 的垂心，选C
11.(全国理.6)设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -?-的最小值
为 ( )
（A ）2- （B
）2 （C ）1-
(D)1【解析】,,a b c 是单位向量()()2()a c b c a b a b c c ∴-?-=-++ |||12cos ,121|a b c a b c +=-<=-+>≥
-故选D.12.(全国理,文.6)已知向量(2,1)a =，10a b ?=
,||a b +=
,则b =
（A ）
(B) (C) 5 (D) 25
【解析】将||a b +=平方即可,故选C
13.(山东理.7;文.8)设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）
A.0PA PB +=
B.0PC PA +=
C.0PB PC +=
D.0PA PB PC ++=
【解析】本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，
可以借助图形解答因为2BC BA BP +=，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选B 。
14.(陕西理.8)在ABC ?中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足A B
C P 第7题图
2AP PM =,则()PA PB PC ?+等于
（A ）49- （B ）43- （C ）43 (D) 49
【解析】222244()()3399
PA PM P AM PA PB PC PA PH AM AM AM =??+=?=-=-=-是的一个三等分点，延长PM 到H ，使得MH=MP,
故选A 15.(浙江文.5)已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93
--【解析】不妨设(,)C m n =，则()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-，对于()
//c a b +，则有3(1)2(2m n -+=+；又()
c a b ⊥+，则有30m n -=，则有77,93
m n =-=- 故D 16.(重庆理.4)已知1,6,()2==-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．6π B ．4π C ．
3π D ．2
π 【解析】2()6cos ,121cos ,,23
a b a a b a a b a b a b π-=?-=-=∴=∴=故选C 17.(重庆文.4)已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是
A ．-2
B ．0
C ．1
D ．2
【解析】法1:因为(1,1),(2,)a b x ==，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-由于a b +与42b a -平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =。
法2因为a b +与42b a -平行，则存在常数λ，使(42)a b b a λ+=-，(21)(41)a b λλ+=-，根据向量共线的条件知，向量a
与b 共线，故2x =故选D
二.填空题:
1. (安徽理.14)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o . 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.
若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y +
的最大值是________.
【解析】设AOC α∠=
,,
OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ??=?+????=?+???，即 01cos 21cos(120)2
x y x y αα?=-????-=-+??
∴02[cos cos(120)]cos 2sin()26
x y πααααα+=+-==+≤ 2. (安徽文.14)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC
的中点，若AC =λAE +μAF ,其中λ,μ∈R ,则λ＋μ _____ .学科网 【解析】11,,22
AC AB AD AE AD AB AF AB AD =+=+=+ 33()22AE AF AB AD AC +=+=，∴2()3AC AE AF =+，∴43
λμ+= 3.(广东理.10)若平面向量a ，b 满足1=+b a ，b a +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则
= .
【解析】
)0,1(=+或)0,1(-，则)1,1()1,2()0,1(-=--=或)1,3()1,2()0,1(-=---=.
4. (湖南文.15)如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若
AD xAB yAC =+，则
x =___________，y =________ .
【解析】
作DF AB ⊥,设1AB AC BC DE ==?==60DEB ∠=,BD ∴= 图2 60?45?E D B C A
由45DBF ∠=解得222DF BF ===故12x =+2
y = 5. (江苏文理.2).已知向量a 和向量b 的夹角为30o ，||2,||3a b ==，则向量a 和向量b 的数量积a b ?= ___________。
【解析】考查数量积的运算。 233a b ?=??= 6.(江西理.13)已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，若()a c -∥b ，则k = ．
【解析】36(3,6)//513
k a c k b k ---=--∴=∴= 7..(江西文.13)已知向量(3,1)a =，(1,3)b =， (,2)c k =，若()a c b -⊥ 则k = ．
【解析】因为(3,1),a c k -=--所以0k =
8.(天津理.15)在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），113BA BC BD BA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是
【解析】因为AB =DC =（1，1）,所以四边形ABCD 为平行四边形,所以 1133()BA BC BD BA BC BA BC BD BD
+==+ 33,2,6B D B A B C B A B C B D ∴=====即
则四边形ABCD 的面积为122S =?= 9.(天津文.15)若等边ABC ?的边长为32，平面内一点M 满足→→→
+=CA CB CM 3261,则=?→→MB MA ________.
【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设)3,3(),0,32(),0,0(B A C
这样利用向量关系式，求得M )21,233(，然后求得)2
5,23(),21,23(--=-=→→MB MA ，运用数量积公式解得为-2.
三.解答题:
1.(广东理.16) 已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2
πθ∈． （1）求θsin 和θcos 的值；
（2）若sin()2
πθ??-=<<，求cos ?的值． 【解析】（1）∵与互相垂直，则0cos 2sin =-=?θθ，即θθcos 2sin =，
代入1c o s s i n
22=+θθ得55cos ,552sin ±=±=θθ，又(0,)2πθ∈，∴5
5cos ,552sin ==θθ. （2）∵20π
?<<，20π
θ<<，∴22π
?θπ
<-<-，则
1010
3)(sin 1)cos(2=--=-?θ?θ，
∴c ?22)s i n s i n )c o s (
c o s )](cos[=-+-=--=?θθ?θθ?θθ.
2. (广东文.16)已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2
,0(πθ∈ （1）求θsin 和θcos 的值
（2）若??θcos 53)cos(5=-，<
π,求?cos 的值 【解析】（１）a b ⊥v v Q ,sin 2cos 0a b θθ∴=-=v v g ,即sin 2cos θθ=
又∵2sin cos 1θθ+=, ∴224cos cos 1θθ+=,即21
cos 5=,∴24
sin 5θ=
又 (0,)sin 2π
θθ∈∴=cos θ=
(2) ∵5cos()5(cos cos sin sin )θ?θ?θ?-=+??=+θ= cos sin ??∴= ,222cos sin 1cos ???∴==- ,即21
cos 2?=
又 <
, ∴cos ?=
3.(湖北理科17.) 已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a a a b c ββ===-
（Ⅰ）求向量b c +的长度的最大值；
（Ⅱ）设a 4π
=，且()a b c ⊥+，求cos β的值。
【解析】（1）解法1：(cos 1,sin ),ββ+-b c =则
222||(cos 1)sin 2(1cos ).βββ+=-+=-b c
21cos 1,0||4β-≤≤∴≤+≤b c ，即0|| 2.≤+≤b c 当cos 1β=-时，有||2,+=b c 所以向量+b c 的长度的最大值为2.
解法2：|1b |=，||1=c ，||||2+≤=|b c |b +c
当cos 1β=-时，有|(2,0)+-b c |=，即|2+b c |=，
+b c 的长度的最大值为2.
（2）解法1：由已知可得(cos 1,sin ),ββ+-b c =
()cos cos sin sin cos cos()cos αβαβααβα+=+-=--a b c 。 a ⊥(b+c)，()0a b c ∴?+=，即cos()cos αβα-=。 由4πα=，得cos()cos 44π
π
β-=，即2()44k k z π
π
βπ-=±∈。
22()4k k k z πβπβπ∴=+=∈或，,于是cos 0cos 1ββ==
或。
解法2：若4π
α=，则a =，又由(cos ,sin )b ββ=，(1,0)c =-得
()(,(cos 1,sin )22222
a b c ββββ∴?+=?-=+-a ⊥(b+c)，()0a b c ∴?+=，即cos (cos 1)0ββ-=
sin 1cos ββ∴=-，平方后化简得cos (cos 1)0ββ-= 解得cos 0β=或cos 1β=，经检验，cos 0cos 1ββ==或即为所求
4. (湖南理.16)在ABC ?中，已知2233AB AC AB AC BC ?=?=，求角A ，B ，C 的大小.
【解析】设,,BC a AC b AB c ===.
由23AB AC AB AC ?=?得2cos bc A =，所以cos A =
又(0,),A π∈因此6A π= .
23AB AC BC ?=得2bc =，于是2sin sin C B A ?==
所以5sin sin()6C C π?-=，1sin (cos )2C C C ?+=，因此
22sin cos 20C C C C C ?+==，既sin(2)03
C π-=. 由6A π=知506C π<<，所以42333
C πππ-<-<，从而 20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3
C π=故 2,,,636A B C πππ===或2,,663
A B C πππ===。
5. (湖南文1
6.)已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=
（Ⅰ）若//a b ，求tan θ的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。
【解析】（Ⅰ） 因为//a b ，所以2sin cos 2sin ,θθθ=-
于是4sin cos θθ=，故1tan .4
θ= （Ⅱ）由||||a b =知，22sin (cos 2sin )5,θθθ+-=
所以212sin 24sin 5.θθ-+=
从而2sin 22(1cos 2)4θθ-+-=，即sin 2cos 21θθ+=-，
于是sin(2)42
πθ+=-.又由0θπ<<知，92444πππθ<+<， 所以524
4ππθ+=，或7244
ππθ+=. 因此2
πθ=，或3.4πθ= 6. (江苏文理.15)设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求
tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b ..【解析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。
7.(浙江理.18)在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足
cos
2A =，3AB AC ?=． （I ）求ABC ?的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．
【解析】（I ）因为cos 25A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由
3AB AC ?=，得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22
ABC S bc A ?∴== （II ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得
2222c o s 20a b c b c A =+-=，a ∴=
8.(浙江文.18)在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2A =，3AB AC ?=．
（I ）求ABC ?的面积； （II ）若1c =，求a 的值．
【解析】（Ⅰ）5
31)552(212cos 2cos 22=-?=-=A A
又),0(π∈A ，54cos 1sin 2=-=A A ，而35
3cos .===bc A ，所以5=bc ，所以ABC ?的面积为：25
4521sin 21=??=A bc （Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 222=?-+=-+=A bc c b a