图论复习题(中文)
1、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。
(1) 欧拉图 (2) 树(3) 平面图 (4) 连通图
答：(4)（考察图的定义）
2、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中( )的路。
答：所有结点一次且恰好一次
3、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示( )，入度deg-(v)表示( )。答：以v为起点的边的条数，以v为终点的边的条数
4、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。
(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 不能确定
答：1
5、n阶无向完全图K
n
的边数是( )，每个结点的度数是( )。
答：
2)1
(
n
n
, n-1
6、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是( )。
答：m=n-1
7、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。
答：所有边一次且恰好一次
8、有n个结点的树，其结点度数之和是( )。
答：2n-2（结点度数的定义）
9、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。
答：n(n-1),2n-2
10、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。
答：它是连通图
11、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则
(1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。
答：（3）
12、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。
答：2
13、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。
答：1，树
14、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于:
(1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。
答：（1）
15、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。
答：无简单回路
16、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16
答：（4）
17、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12
答：(4)
18、设图G=
答：有向图
19、任一有向图中，度数为奇数的结点有( )个。
答：偶数
20、具有6 个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由( )条边围成？
(1) 2 (2) 4 (3) 3 (4) 5
答：（3）
21、在有n个顶点的连通图中，其边数（）。
(1) 最多有n-1条(2) 至少有n-1 条
(3) 最多有n条(4) 至少有n 条
答：（2）
22、一棵树有2个2度顶点，1 个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为（）。
(1) 5 (2) 7 (3) 8 (4) 9
答：（4）
23、若一棵完全二元（叉）树有2n-1个顶点，则它（）片树叶。
(1) n (2) 2n (3) n-1 (4) 2
答：（1）
24、下列哪一种图不一定是树（）。
(1) 无简单回路的连通图(2) 有n个顶点n-1条边的连通图
(3) 每对顶点间都有通路的图(4) 连通但删去一条边便不连通的图
答：（3）
25、连通图G 是一棵树当且仅当G 中（ ）。
(1) 有些边是割边 (2) 每条边都是割边
(3) 所有边都不是割边 (4) 图中存在一条欧拉路径
答：（2）
26、证明在有n 个结点的树中，其结点度数之和是2n-2。
证明：
设T=
由欧拉握手定理，树中所有结点的度数之和等于2|E|.
从而结点度数之和是2n-2。
27、任一图中度数为奇数的结点是偶数个。
证明：
设G=〈V,E 〉是任一图。设|V|=n 。
由欧拉握手定理可得 ∑∈V
v deg(v)=2|E|可得，图中所有结点度数之和是
偶数。显然所有偶数度结点的度数之和仍为偶数，从而所有奇数度结点的度数之和也是偶数。因此，图中度数为奇数的结点一定为偶数个。
28、连通无向图G 的任何边一定是G 的某棵生成树的弦。这个断言对吗？若是对的请证明之，否则请举例说明。
证明：
不对。
反例如下：若G 本身是一棵树时，则G 的每一条边都不可能是G 的任一棵生成树（实际上只有惟一一棵）的弦。
29、设T=
证明：
（用反证法证明）设|V|=n 。
因为T=〈V,E 〉是一棵树，所以|E|=n-1。
由欧拉握手定理可得 ∑∈V
v deg(v)=2|E|=2n-2。
假设T 中最多只有1片树叶，则∑∈V
v deg(v)≥2(n-1)+1>2n-2。
得出矛盾。
30、设无向图G=
解：
设G 中度数小于3的顶点有k 个，由欧拉握手定理
24=∑∈V
v v )deg(
知，度数小于3 的顶点度数之和为6。故当其余的顶点度数都为2时，G 的
顶点最少。即G 中至少有9个顶点。
30、设图G=
顶点或是k+1度顶点。证明：n k =(k+1)-2m 。
证明：
由已知可知，G 中k+1度顶点为n-n k 个。再由欧拉握手定理可知
2m=∑∈V
v v )deg(=kn k +(k+1)(n-n k )=(k+1)n+-n k
故n k =(k+1)-2m 。
31、如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,v v v 及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。
解： 用库斯克（Kruskal ）算法求产生的最优树。算法略。结果如图：
树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价。
一、填空题（每个2分，共20分）
二、选择题（每个2分，共20分）
三、问答题（每个4分，共20分）
1、图的同构
2、图的连通
3、Hamilton图
4、Euler 图
5、树图
6、割边
7、割点
8、关联矩阵
9、邻接矩阵
10、连通度
11、完全图
12、二部图
13、简单图
14、平面图
15、生成树
四、证明题（每题10分，共20分）
五、计算题（20分）
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题 《图论及其应用》(参考答案) 考试时间：120分钟 一．填空题(每题3分，共18分) 1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个； 2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。则G 中顶点数至少有__9___个； 3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____; 4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_. 5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。 图G 二．单项选择(每题3分，共21分) 1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A ) (A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333). 2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ） 3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ） 4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ） 5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ） A C D A B C D
6．下列图中，不是偶图的是（ B ） 7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ） 三．作图(6分) 1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图； 2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图； 3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图； 解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。 解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图： 权和为：20. 五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G). 解：用公式 (G P k -G 的色多项式： )3)(3)()(45-++=k k k G P k 。 六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。 解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m. 一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k 另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 1 3 图G
课后习题答案
第一章 液压传动概述 液压传动系统由哪几部分组成各组成部分的作用是什么 解答：液压传动由以下四部分组成： （1）动力元件(液压泵)：它是把原动机输出的机械能转换成油液压力能的元件。作用:给液压系统提供压力油，是液压系统的心脏。 （2）执行元件：包括液压缸和液压马达等。 作用:把油液的压力能转换成机械能以驱动工作机构的元件。 （3）控制元件：包括压力、方向、流量控制阀。作用:是对液压系统中油液的压力、流量和流动方向进行控制和调节的元件。 （4）辅助元件：除上述三项以外的、液压系统中所需的其它装置。如油箱、滤油器、油管、管接头等。作用:保证液压系统有效工作，寿命长。 第二章 液压泵和液压马达 要提高齿轮泵的压力需解决哪些关键问题通常都采用哪些措施 解答：（1）困油现象： 采取措施：在两端盖板上开卸荷槽。（2）径向不平衡力：采取措施：缩小压油口直径；增大扫膛处的径向间隙； 过渡区连通；支撑上采用滚针轴承或滑动轴承。（3）齿轮泵的泄漏： 采取措施：采用断面间隙自动补偿装置。 齿轮泵的模数 mm m 4=，齿数9=z ，齿宽mm B 18=，在额定压力下，转速min 2000r n =时，泵的 实际输出流量min 30L Q =，求泵的容积效率。 解答：()() 2 2630 0.876.6~7 6.69418200010v t q q q zm bn η-= ===????? YB63型叶片泵的最高压力MPa P 3.6max =，叶片宽度mm B 24=，叶片厚度mm 25.2=δ，叶片数 12=Z ，叶片倾角?=13θ,定子曲线长径mm R 49=，短径mm r 43=，泵的容积效率9.0=v η，机械效率 90.0=m η，泵轴转速min 960r n =，试求：(1) 叶片泵的实际流量是多少(2)叶片泵的输出功率是多少 解答： （1） ()()()()() 22 223 322cos 20.0490.04320.0490.0430.024120.0249600.9cos131.0210v R r q R r bz Bn m s πηφπ-??=--???? ?-?? =--?????????? =? （2） 633 6.310 1.0210 6.4210N pq -==???=?出 斜盘式轴向柱塞泵的斜盘倾角?=20β，柱塞直径mm d 22=，柱塞分布圆直径mm D 68=，柱塞数7=z ，机械效率90.0=m η，容积效率97.0=v η，泵转速min 1450r n =，泵输出压力MPa p 28=，试计算：(1)平
集合论与图论 试题A
本试卷满分90分 （06级计算机、信息安全专业、实验学院） 一、判断对错（本题满分10分，每小题各1分） （ 正确画“√”，错误画“×”） 1．对每个集合A ，A A 2}{∈。 （×） 2．对集合Q P ,，若?==Q P Q Q P ,，则P =?。 （√） 3．设,,:X A Y X f ?→若)()(A f x f ∈，则A x ∈。 （×） 4．设,,:Y B Y X f ?→则有B B f f ?-))((1。 （×） 5．若R 是集合X 上的等价关系，则2R 也是集合X 上的等价关系。 （√） 6．若:f X Y →且f 是满射，则只要X 是可数的，那么Y 至多可数的。（√） 7．设G 是有10个顶点的无向图，对于G 中任意两个不邻接的顶点u 和v, 均有9deg deg ≥+v u ，则G 是哈密顿图。 （×） 8．设)(ij a A =是 p 个顶点的无向图G 的邻接矩阵，则对于G 的顶点i v , 有∑==p j ij i a v 1deg 成立。 （√） 9. 设G 是一个),(q p 图，若1-≥p q ，则]/2[)(q p G ≤χ。 （×） 10．图G 和1G 同构当且仅当G 和1G 的顶点和边分别存在一一对应关系。（×）
二.填空(本题40分，每空各2分) 1．设}},{,{φφ=S 则=S 2 }}}{,{}},{{},{,{φφφφφ 。 2．设B A ,是任意集合，若B B A =\，则A 与B 关系为 φ==B A 。 3．设1)(,0)()(,:};3,2{},1,0{},,,{===→===c f b f a f Y X f Z Y c b a X , 3)1(,2)0(,:==→g g Z Y g ,则)()(c f g a f g ，分别为 2，3 。 4．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =，若n m ≤，则从X 到Y 的单射的 个数为 !m C m n 。 5．设}2,1{},,,2,1{==B n X ，则从X 到Y 的满射的个数为 22-n 。 6．设)}2,4(),1,3(),3,2{()},4,3(),2,2(),2,1{(},4,3,2,1{===S R X ，则 =)(R S R )}2,3(),4,2(),4,1{( 。 7． 设???? ??=???? ??=5123454321,415235432121σσ，则???? ??=235411234521σσ 。 8. 设)},(),,(),,{(},,,,{a c c b b a R d c b a X ==，则 )},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(b c a c a b c b c a b a c c b b a a R =+ 。 9. 设X 为集合且X n =，则X 上不同的自反或对称的二元关系的个数 为 22222222n n n n n n +--+- 。 10．设}}{},{},,{{},,,,{d c b a A d c b a X ==是X 的一个划分，则由A 确定的 X 上的等价关系为 )},(),,(),,(),,(),,(),,{(d d c c a b b a b b a a 。 11．}10,,2,1{ =S ，在偏序关系“整除”下的极大元为 6，7，8，9，10 。 12．给出一个初等函数)(x f ，使得它是从)1,0(到实数集合R 的一一对应， 这个函数为 x ctg π或-x ctg π或)2/(ππ-x tg 。 13. 设G 是),(p p 连通图，则G 的生成树的个数至多为 p 。
图论 张先迪 李正良 课后习题答案
习题一 作者---寒江独钓 1.证明：在n 阶连通图中 (1) 至少有n-1条边； (2) 如果边数大于n-1，则至少有一条闭迹； (3) 如果恰有n-1条边，则至少有一个奇度点。 证明: (1) 若G 中没有1度顶点，由握手定理： ()2()21v V G m d v n m n m n ∈= ≥?≥?>-∑ 若G 中有1度顶点u ，对G 的顶点数作数学归纳。 当n=2时，结论显然；设结论对n=k 时成立。 当n=k+1时，考虑G-u,它仍然为连通图，所以，边数≥k-1.于是G 的边数≥k. (2) 考虑G 中途径： 121:n n W v v v v -→→→→L 若W 是路，则长为n-1;但由于G 的边数大于n-1,因此，存在v i 与v j ,它们相异，但邻接。于是： 1i i j i v v v v +→→→→L 为G 中一闭途径，于是 也就存在闭迹。 (3) 若不然，G 中顶点度数至少为2，于是由握手定理： ()2()21v V G m d v n m n m n ∈= ≥?≥?>-∑ 这与G 中恰有n-1条边矛盾！ 2.(1)2n ?12n 2?12n ?1 (2)2n?2?1 (3) 2n?2 。 证明 :u 1的两个邻接点与v 1的两个邻接点状况不同。所以， 两图不同构。 4.证明下面两图同构。 u 1 v 1
证明:作映射f : v i ? u i (i=1,2….10) 容易证明，对?v i v j ∈E ((a)),有f (v i v j,),=,u i,u j,∈,E,((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。 5.指出4个顶点的非同构的所有简单图。 分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。 (a) v 2 v 3 u 4 u (b)
图论试题浙师大
思考练习 第一章 1对任意图，证明。 证：，故。 2 在一次聚会有个人参加，其中任意6个人中必有3个人互相认识或有3个人互不认识。举例说明，将6个人改成5个人，结论不一定成立。 证：构图如下：图的顶点代表这6个人，两个顶点相邻当且仅当对应的两个人 互相认识。则对于图中任意一个点或。 不妨设及它的3个邻点为。若中有任意两个点，不妨设为 ，相邻，则对应的3个人互相认识；否则，中任意两个点不邻， 即它们对应的3个人互不认识。 若这5个人构成的图是5圈时，就没有3个人互相认识或有3个人互不认识。 3 给定图 画出下列几个子图: (a) ； (b); (c)
解：(a) (b) (c) 第二章 1设是一个简单图，。证明：中存在长度至少是的路。 证：选取的一条最长路，则的所有邻点都在中，所以
，即中存在长度至少是的路。 2证明：阶简单图中每一对不相邻的顶点度数之和至少是，则是连通图。 证：假设不连通，令、是的连通分支，对，有 ，与题设矛盾。故连通。 3设是连通图的一个回路，，证明仍连通。 证：，中存在路， 1、若，则是中的路； 2、若，则是中的途径，从而中存在 路。 故连通。 4图的一条边称为是割边，若。证明的一条边是割边当且仅当不含在的任何回路上。 证：不妨设连通，否则只要考虑中含的连通分支即可。 必要性：假设在的某一回路上，则由习题2.13有连通，，与是割边矛盾。故不在回路中。 充分性：假设不是割边，则仍连通，存在路，则就是含的一个回路，与不在回路中矛盾。故是割边。 5证明：若是连通图，则。 证：若是连通图，则。
第三章 1 证明：简单图是树当且仅当中存在一个顶点到中其余每个顶点有且只有一条路。 证：必要性：由定理3.1.1立即可得。 充分性：首先可见连通。否则，设有两个连通分支、，且， 则到中的顶点没有路，与题设矛盾。 其次，中无回路。否则，若有回路。由于连通，到上的点有路， 且设与的第一个交点为，则到上除外其余点都至少有两条路，又与题设矛盾。 故是树。 2 设图有个连通分支，。证明含有回路。 证：假设中不含回路。设的个连通分支为，则每个连通无回路，是树。从而 ， 与题设矛盾，故无回路。 3是连通简单图的一条边。证明在的每个生成树中当且仅当是的割边。 证：必要性：假设不是的割边，即连通，有生成树，与在的每个生成树矛盾。故不是的割边。 充分性：假设存在一棵生成树，使得不在中，从而连通，与是的割边矛盾。故在的每个生成树中。 4设是至少有3个顶点的连通图，证明中存在两个顶点，使得仍
离散数学图论部分经典试题及答案
离散数学图论部分综合练习 一、单项选择题 1．设图G 的邻接矩阵为 ??? ???? ? ????? ???0101 010******* 11100100110 则G 的边数为( )． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．已知图G 的邻接矩阵为 ， 则G 有（ ）． A ．5点，8边 B ．6点，7边 C ．6点，8边 D ．5点，7边 3．设图G ＝
图三 7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( ) ． 图四 A ．（a ）是强连通的 B ．（b ）是强连通的 C ．（c ）是强连通的 D ．（d ）是强连通的 应该填写：D 8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路． A ．m 为奇数 B ．n 为偶数 C ．n 为奇数 D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )． A ．e －v ＋2 B ．v ＋e －2 C ．e －v －2 D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点 11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树． A ．1m n -+ B ．m n - C ．1m n ++ D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )． A ．G 连通且边数比结点数少1 B ．G 连通且结点数比边数少1 C ．G 的边数比结点数少1 D ．G 中没有回路． 二、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结 点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割 ο ο ο ο c a b f
课后习题及答案
1 文件系统阶段的数据管理有些什么缺陷试举例说明。 文件系统有三个缺陷： （1）数据冗余性（redundancy)。由于文件之间缺乏联系，造成每个应用程序都有对应的文件，有可能同样的数据在多个文件中重复存储。 （2）数据不一致性（inconsistency)。这往往是由数据冗余造成的，在进行更新操作时，稍不谨慎，就可能使同样的数据在不同的文件中不一样。 （3）数据联系弱(poor data relationship)。这是由文件之间相互独立，缺乏联系造成的。 2 计算机系统安全性 （1）为计算机系统建立和采取的各种安全保护措施，以保护计算机系统中的硬件、软件及数据； （2）防止其因偶然或恶意的原因使系统遭到破坏，数据遭到更改或泄露等。 3. 自主存取控制缺点 （1）可能存在数据的“无意泄露” （2）原因：这种机制仅仅通过对数据的存取权限来进行安全控制，而数据本身并无安全性标记 （3）解决：对系统控制下的所有主客体实施强制存取控制策略 4. 数据字典的内容和作用是什么 数据项、数据结构 数据流数据存储和加工过程。 5. 一条完整性规则可以用一个五元组（D，O，A，C，P）来形式化地表示。 对于“学号不能为空”的这条完整性约束用五元组描述 D：代表约束作用的数据对象为SNO属性； O（operation）：当用户插入或修改数据时需要检查该完整性规则； A（assertion）：SNO不能为空； C（condition）：A可作用于所有记录的SNO属性； P（procdure）：拒绝执行用户请求。 6.数据库管理系统（DBMS）
：①即数据库管理系统（Database Management System)，是位于用户与操作系统之间的 一层数据管理软件，②为用户或应用程序提供访问DB的方法，包括DB的建立、查询、更 新及各种数据控制。 DBMS总是基于某种数据模型，可以分为层次型、网状型、关系型、面 向对象型DBMS。 7.关系模型：①用二维表格结构表示实体集，②外键表示实体间联系的数据模型称为关系模 型。 8.联接查询：①查询时先对表进行笛卡尔积操作，②然后再做等值联接、选择、投影等操作。 联接查询的效率比嵌套查询低。 9. 数据库设计：①数据库设计是指对于一个给定的应用环境，②提供一个确定最优数据模 型与处理模式的逻辑设计，以及一个确定数据库存储结构与存取方法的物理设计，建立起 既能反映现实世界信息和信息联系，满足用户数据要求和加工要求，又能被某个数据库管 理系统所接受，同时能实现系统目标，并有效存取数据的数据库。 10．事务的特征有哪些 事务概念 原子性一致性隔离性持续性 11．已知3个域： D1=商品集合=电脑，打印机 D3=生产厂=联想，惠普 求D1，D2，D3的卡尔积为： 12.数据库的恢复技术有哪些 数据转储和和登录日志文件是数据库恢复的
离散数学试卷及答案(2)
一、填空 20% （每小题2分） 1、 P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式),(x y yP x ??真值为 。 2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是 。 3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ； A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。
9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ?∧∨?∧∧?∨)(())(( 的根树表示为 。 二、选择 20% （每小题2分） 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→ 。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为
07年研究生试卷(答案)
电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共_____小时） 课程名称 图论及其应用 教师 学时 60 学分 教学方式 讲授 考核日期_2007__年___月____日 成绩 考核方式： （学生填写） 一．填空题(每题2分，共12分) 1．简单图G=(n,m)中所有不同的生成子图(包括G 和空图)的个数是___2m __个； 2．设无向图G=(n,m)中各顶点度数均为3，且2n=m+3,则n=_ 6__; m=_9__； 3．一棵树有i n 个度数为i 的结点，i=2,3,…,k,则它有2+(i ?2)∑n i i 个度数为1的结点； 4．下边赋权图中，最小生成树的权值之和为__20___; 5、某年级学生共选修9门课。期末考试时，必须提前将这9门课先考完，每天每人只在下午考一门课，则至少需要___9__天才能考完这9门课。 二．单项选择(每题2分，共10分) 1．下面给出的序列中，不是某简单图的度序列的是( D ) (A) (11123); (B) (22222); (C) (3333); (D) (1333). 2． 下列图中，是欧拉图的是（ D ） 学 号 姓 学 …………………… 密……………封…………… 线……………以……………内……………答…… ………题… …………无……………效…………………… v 5 v v 6A B
3．下列图中，不是哈密尔顿图的是（B） A B C D 4．下列图中，是可平面图的图的是（B） A B C D 5．下列图中，不是偶图的是（B） C A B D 三、 (8分)画出具有7个顶点的所有非同构的树 解：m=n?1=6 …… 四，用图论的方法证明：任何一个人群中至少有两个人认识的朋友数相同(10分) 证明：此题转换为证明任何一个没有孤立点的简单图至少有两个点的度数相同。 参考教材P5。 五．(10分) 设G为n 阶简单无向图，n>2且n为奇数，G与G的补图G中度数为奇数的顶点个数是否相等？证明你的结论 证明：根据补图定义d G(v i)+d G(v i)=n?1。相等。 由频序列相同证明有同样奇数的顶点个数。 参考教材P5。
电子科技大学2017年图论期末试卷
1 2017年图论课程练习题 一．填空题 1.图1中顶点a 到顶点b 的距离d (a ,b )= 。 a b 9 图1 1 2.已知图G 的邻接矩阵0 11011 01001 1010001011001 0A = ，则G 中长度为2的途径总条数为 。 3.图2中最小生成树T 的权值W (T )= 。 4.图3的最优欧拉环游的权值为 。 12 图 2
2 图3 5.树叶带权分别为1,2,4,5,6,8的最优二元树权值为 。 二．单项选择 1．关于图的度序列，下列说法正确的是( ) (A) 对任意一个非负整数序列来说，它都是某图的度序列； (B) 若非负整数序列12(,,,)n d d d π= 满足1n i i d =∑为偶数，则它一定是图序 列； (C) 若图G 度弱于图H ，则图G 的边数小于等于图H 的边数； (D) 如果图G 的顶点总度数大于或等于图H 的顶点总度数，则图G 度优 于图H 。 2．关于图的割点与割边，下列说法正确的是（ ） (A) 有割边的图一定有割点； (B) 有割点的图一定有割边； (C) 有割边的简单图一定有割点； (D) 割边不在图的任一圈中。 3.设()k G ，()G λ，()G δ分别表示图G 的点连通度，边连通度和最小度。下面说法错误的是( )
3 (A) 存在图G ，使得()k G =()G δ=()G λ； (B) 存在图G ，使得()()()k G G G λδ<<； (C) 设G 是n 阶简单图，若()2n G δ ≥ ，则G 连通，且()()G G λδ=； (D) 图G 是k 连通的，则G 的连通度为k 。 4.关于哈密尔顿图，下列命题错误的是( ) (A) 彼得森图是非哈密尔顿图； (B) 若图G 的闭包是哈密尔顿图，则其闭包一定是完全图； (C) 若图G 的阶数至少为3且闭包是完全图，则图G 是哈密尔顿图； (D) 设G 是三阶以上简单图，若G 中任意两个不邻接点u 与v ，满足 ()()d u d v n +≥，则G 是哈密尔顿图。 5.下列说法错误的是( ) (A) 有完美匹配的三正则图一定没有割边； (B) 没有割边的三正则图一定存在完美匹配； (C) 任意一个具有哈密尔顿圈的三正则图可以1因子分解； (D) 完全图21n K +是n 个哈密尔顿圈的和。 三、 设无向图G 有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点度数均小于3，问G 中至少有几个顶点？在最少顶点数的情况下，写出G 的度序列，该度序列是一个图序列吗？。
张清华图论课后题答案.
第1章 图论预备知识 1.1 解：(1) p={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} (2) p={,{a},{{b,c}},{a,{b,c}}} (3) p={,{}} (4) p={,{},{{}},{,{}}} (5)p={,{{a,b}},{{a,a,b}},{{a,b,a,b}},{{a,b},{a,a,b}},{{a,b},{a,b,a,b}},{{a,b},{a,a,b},{a,b,a,b}}} 1.2 解：(1) 真 (2) 假 (3)假 (4)假 1.3 解：(1) 不成立，A={1} B={1,2} C={2} (2) 不成立，A={1} B={1,2} C={1,3} 1.4 证明：设(x,y)∈(A ∩B)X(C ∩D) 说明x ∈A ∩B,y ∈C ∩D 由于 x ∈A,y ∈C 所以 (x,y) ∈A X C 由于x ∈B,y ∈D 所以 (x,y) ∈B X D 所以 (x,y) ∈（A X C ）∩（B X D ） 反过来，如果（x,y ）∈(A X C) ∩（B X D ） 由于 (x,y) ∈（A X C ）所以 x ∈A,y ∈C 由于 (x,y) ∈（B X D ）所以x ∈B,y ∈D 所以x ∈(A ∩B) y ∈(C ∩D) 所以 (x,y) ∈(A ∩B)X(C ∩D) 所以(A ∩B)X(C ∩D)= (A X C) ∩（B X D ） 1.5 解：Hasse 图 φφφφφφφφφ
极大元{9,24,10,7} 极小元{3,2,5,7} 最大元{24} 最小元{2} 1.6 解 (2)关系图为： (3)不存在最大元，最小元为{2} 1.7 解：(1)R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>} (2)略 (3)I A ?R 故R 是自反的。 <1,2>∈R <2,3>R 但是<1,3> ?R 故不满足传递性 1.8 解：(1) 不成立 A={1} B={2} C={3} D={4} 则左式={<1,3>，<1,4>,<2,3>,<2,4>} 右式={<1,3>,<2,4>} (2) 不成立 A={1,3} B={1} C={2,4} D={2} 则左式={<3,4>} 右式={<1,4>,<3,2>,<3,4>} (3) 不成立 A={1} B={2} C={3} D={4} 则左式={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>} 右式={<1,3>,<2,4>} (4) 成立 证明：设
12年图论试题
电子科技大学研究生试卷 （测试时间：至，共__2_小时） 课程名称图论及其使用教师学时60 学分 教学方式讲授考核日期_2012__年___月____日成绩 考核方式：（学生填写） 一、填空题（填表题每空1分，其余每题2分，共30分) 1．n 阶k 正则图G 的边数()m G =___ ___2 nk ； 2．3个顶点的不同构的简单图共有___4___个； 3．边数为m 的简单图G 的不同生成子图的个数有__2___m 个； 4. 图111(,)G n m =和图222(,)G n m =的积图12G G ?的边数为1221____n m n m +； 5. 在下图1G 中，点a 到点b 的最短路长度为__13__； 6. 设简单图G 的邻接矩阵为A ，且 23 112012********* 102001202A ?? ? ? ?= ? ? ??? ，则图G 的边数为 __6__； 7. 设G 是n 阶简单图，且不含完全子图3K ，则其边数一定不会超过2___4n ?? ????； 8．3K 的生成树的棵数为__3__; 9. 任意图G 的点连通度()k G 、边连通度()G λ、最小度()G δ之间的关系为 __()()()____k G G G λδ≤≤； 10. 对下列图，试填下表（是??类图的打〝√ 〞，否则打〝?〞）。 ① ② ③ 学号姓名学院 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效…………………… 4 5 6 6 4 1 1 2 7 2 4 3 a b G 1
能一笔画的图 Hamilton 图 偶图 可平面图 ① ? √ ? √ ② ? ? ? √ ③ ? √ √ √ 二、单项选择(每题2分，共10分) 1．下面命题正确的是(B ) 对于序列(7,5,4,3,3,2)，下列说法正确的是： (A) 是简单图的度序列； (B) 是非简单图的度序列; (C) 不是任意图的度序列; (D)是图的唯一度序列. 2．对于有向图，下列说法不正确的是(D) (A) 有向图D 中任意一顶点v 只能处于D 的某一个强连通分支中； (B) 有向图D 中顶点v 可能处于D 的不同的单向分支中; (C) 强连通图中的所有顶点必然处于强连通图的某一有向回路中; (D)有向连通图中顶点间的单向连通关系是等价关系。 3.下列无向图可能不是偶图的是( D ) (A) 非平凡的树； (B)无奇圈的非平凡图； (C) n (1)n ≥方体； (D) 平面图。 4.下列说法中正确的是( C ) (A)连通3正则图必存在完美匹配； (B)有割边的连通3正则图一定不存在完美匹配； (C)存在哈密尔顿圈的3正则图必能1因子分解； (D)所有完全图都能作2因子分解。 5. 关于平面图，下列说法错误的是( B ) (A) 简单连通平面图中至少有一个度数不超过5的顶点； (B)极大外平面图的内部面是三角形，外部面也是三角形； (C) 存在一种方法，总可以把平面图的任意一个内部面转化为外部面； (D) 平面图的对偶图也是平面图。 三、 (10分)设G 和其补图G 的边数分别为12,m m ，求G 的阶数。 解：设G 的阶数为n 。 因12(1) 2n n m m -+=…………………………………4分 所以：212220n n m m ---=……………………..2分
1 《邓稼先》课后习题参考答案
1 《邓稼先》课后习题参考答案 思考探究 一、通读全文，把握文意，回答下列问题。 1.初读课文时，哪些句段最让你感动？反复细读后，再想想这些内容是否最 能体现全文所要表达的思想情感。 2.找出文中表现奥本海默与邓稼先两人不同个性、品质的词语及细节，思考 作者为什么要进行对比，通过对比得出了怎样的结论。 参考答案：1.作者饱含真情，于字里行间高度赞扬了邓稼先深沉的爱国主义精神和将个人生命奉献给祖国国防事业的崇高情怀。这样的句段很多，如：“对这一转变做出了巨大贡献的,有一位长期以来鲜为人知的科学家——邓稼先。”“一次井下突然有一个信号测不到了，大家十分焦虑，人们劝他回去，他只说了一句话：‘我不能走。’”…… 2.文中的奥本海默与邓稼先两人的个性、品质截然不同。奥本海默是 锋芒毕露，读研究生时就常打断别人的报告，即便到了中年，成了名人，有时还会这样。而邓稼先“是一个最不要引人注目的人物”“忠厚平实”“真诚坦白，从不骄人”“没有小心眼儿，一生喜欢‘纯’字所代表的品格”“最有中国农民的朴实气质”；“他没有私心，人们绝对相信他”，“文革”中能说服两派群众组织，能说服工宣队、军宣队。作者把奥本海默与邓稼先进行对比，鲜明地突出邓稼先的精神品质，自然而然地得出结论：“邓稼先是中国几千年传统文化孕育出来的有最高奉献精神的儿子”“邓稼先是中国共产党的理想党员”。 二、有感情地朗读课文第五部分，想一想：这部分开头引用《吊古战场文》， 有什么作用？结尾处又引用儿时学到的“‘五四’时代的一首歌”，表达了怎样的情感？ 参考答案：课文第五部分开头引用《吊古战场文》，把读者引入中国历史的深处，让人从中国传统文化的角度去思考。结尾处引用自己儿时学到的“‘五四’时代的一首歌”，说明了邓稼先就是一个典型的中国男儿，他有着为祖国而献身的崇高的精神品质。
离散数学图论部分经典试题及答案
离散数学图论部分综合练习 一、单项选择题 1.设图G 的邻接矩阵为 ??? ???? ? ????? ???01010 1001000001 1100100110 则G 的边数为( ). A.6 B.5 C.4 D.3 2.已知图G 的邻接矩阵为 , 则G 有( ). A.5点,8边 B.6点,7边 C.6点,8边 D.5点,7边 3.设图G ＝
图三 7.设有向图(a )、(b )、(c )与(d )如图四所示,则下列结论成立的就是 ( ). 图四 A.(a )就是强连通的 B.(b )就是强连通的 C.(c )就是强连通的 D.(d )就是强连通的 应该填写:D 8.设完全图K n 有n 个结点(n ≥2),m 条边,当( )时,K n 中存在欧拉回路. A.m 为奇数 B.n 为偶数 C.n 为奇数 D.m 为偶数 9.设G 就是连通平面图,有v 个结点,e 条边,r 个面,则r = ( ). A.e －v ＋2 B.v ＋e －2 C.e －v －2 D.e ＋v ＋2 10.无向图G 存在欧拉通路,当且仅当( ). A.G 中所有结点的度数全为偶数 B.G 中至多有两个奇数度结点 C.G 连通且所有结点的度数全为偶数 D.G 连通且至多有两个奇数度结点 11.设G 就是有n 个结点,m 条边的连通图,必须删去G 的( )条边,才能确定G 的一棵生成树. A.1m n -+ B.m n - C.1m n ++ D.1n m -+ 12.无向简单图G 就是棵树,当且仅当( ). A.G 连通且边数比结点数少1 B.G 连通且结点数比边数少1 C.G 的边数比结点数少1 D.G 中没有回路. 二、填空题 1.已知图G 中有1个1度结点,2个2度结点,3个3度结点,4个4度结点,则G 的边数就是 . 2.设给定图G (如图四所示),则图G 的点割 集就是 . 3.若图G=
图论测试卷浙师大
思考练习 第一章 1 对任意图，证明。 证：，故。 2 在一次聚会有个人参加，其中任意6个人中必有3个人互相认识或有 3 个人互不认识。举例说明，将6个人改成5个人，结论不一定成立。 证：构图如下：图的顶点代表这6个人，两个顶点相邻当且仅当对应的两个人互相认识。则对于图中任意一个点或。 不妨设及它的3个邻点为。若中有任意两个点，不妨设为 ，相邻，则对应的3个人互相认识；否则，中任意两个点不邻，即它们对应的3个人互不认识。 若这5个人构成的图是5圈时，就没有3个人互相认识或有3个人互不认识。 3 给定图 画出下列几个子图: (a) ； (b) ; (c) 解：(a)
(b) (c) 第二章 1 设是一个简单图，。证明：中存在长度至少是的路。证：选取的一条最长路，则的所有邻点都在中，所以 ，即中存在长度至少是的路。
2 证明：阶简单图中每一对不相邻的顶点度数之和至少是，则是连通图。 证：假设不连通，令、是的连通分支，对，有 ，与题设矛盾。故连通。 3 设是连通图的一个回路，，证明仍连通。 证：，中存在路， 1、若，则是中的路； 2、若，则是中的途径，从而中存在 路。 故连通。 4 图的一条边称为是割边，若。证明的一条边是割边当且仅当不含在的任何回路上。 证：不妨设连通，否则只要考虑中含的连通分支即可。必 要性：假设在的某一回路上，则由习题2.13有连通， ，与是割边矛盾。故不在回路中。 充分性：假设不是割边，则仍连通，存在路，则就是含的一个回路，与不在回路中矛盾。故是割边。 5证明：若是连通图，则。 证：若是连通图，则。 第三章 1 证明：简单图是树当且仅当中存在一个顶点到中其余每个顶点有且只有一条路。
2015电子科技大学_图论期末考试复习题
2015电子科技大学 图论考试复习题 关于图论中的图，以下叙述不正确的是 A ．图中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。 B ．图论中的图，画边时长短曲直无所谓。 C ．图中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。 D ．图论中的图，可以改变点与点的相互位置，只要不改变点与点的连接关系。 一个图中最长的边一定不包含在最优生成树内。 下面哪个图形不与完全二分图K 3,3同构？ A ． B ． C ． D ． 有10条边的5顶单图必与K 5同构。 完全二分图K m ,n 的边数是 A ．m B ．n C ．m +n D ．mn 无向完全图K n 的边数为 A ．n B ．n 2 C ．n (n -1) D ．n (n -1)/2 若一个无向图有5个顶点，如果它的补图是连通图，那么这个无向图最多有 条边。 对于两个图，如果顶点数目相等，边数相等，次数相等的顶点数目也相等，则这两个图同构。 有15个顶的单图的边数最多是 A ．105 B ．210 C ．21 D ．45 图G 如右，则dacbeb A ．是G 中的一条道路 B ．是G 中的一条道路但不是行迹 C ．是G 中的一条行迹但不是轨道 D ．不是G 的一条道路 图G 如右，则befcdef A ．是G 的一个圈 B ．是G 的一条道路但不是行迹 C ．是G 的一条行迹但不是轨道 D ．是G 的一条轨道但不是圈
v1 36 7 图G如右图所示，则ω (G)= A．1 B．2 C．7 D．8 下列图形中与其补图同构的是 A．B．C．D． 求下图中顶u0到其余各顶点的最短轨长度。 u0v1=8，u0v2=1，u0v3=4，u0v4=2，u0v5=7，v1v2=7，v1v3=2，v1v6=4，v2v4=2，v2v7=3，v3v5=3，v3v6=6，v4v5=5，v4v7=1， v5v 6 =4，v 5 v7=3，v6v7=6， 请画出6阶3正则图。 请画出4个顶，3条边的所有非同构的无向简单图。 设图G={V(G)，E(G)}其中V ={ a1, a2, a3, a4, a5}，E(G)={(a1, a2)，(a2, a4)，(a3, a1)，(a4, a5)，(a5, a2)}，试给出G的图形表示并画出其补图的图形。 一个图的生成子图必是唯一的。 不同构的有2条边，4个顶的无向简单图的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 画出5个具有5个结点5条边的非同构的无向连通简单图。 u0到v1的最短轨长度为6，u0到v2的最短轨长度为1，u0 到v3的最短轨长度为4，u0到v4的最短轨长度为2，u0到v5的最短轨长度为6 ，u0到v6的最短轨长度为9，u0到v7的最短轨长度为3。
离散数学试卷及答案
一、填空 20% 1、 P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式),(x y yP x ??真值为 。 2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是 。 3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ； A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。
9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ?∧∨?∧∧?∨)(())(( 的根树表示为 。 二、选择 20% （每小题2分） 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→ 。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为