武汉市2018届理科数学四调试题及答案,武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学及答案(精校版)
武汉市2018届高中毕业生四月调研测试
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数52
i -的共轭复数是（ ）
A ．2i +
B ．2i -+
C ．2i --
D ．2i -
2.已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ?，则实数a 的
取值集合为（ ）
A ．{1}
B ．{1,1}-
C ．{1,0}
D ．{1,1,0}-
3.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ ）
A ．[4,2]-
B ．[2,2]-
C ．[2,4]-
D ．[4,0]-
4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，
它们之间距离的最大值为（ ）
A ．．5.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09 中任选一个，
某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按
最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ）
A ．25
B ．310
C ．15
D ．110
6.若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（ ）
A ．m l n >>
B ．l n m >>
C ．n l m >>
D ．l m n >>
7.已知直线1y kx =-与双曲线22
4x y -=的右支有两个交点，则k 的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．(
D ． 8.在ABC ?中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：2b c a +≤
，条件q ：2B C A +≤，那么条件p 是条件q 成立的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9.在61(1)x x
+-的展开式中，含5x 项的系数为（ ） A ．6 B ．6- C ．24 D ．24-
10.若x ，y 满足1212x y -++≤，则2222M x y x =+-的最小值为（ ）
A ．2-
B ．
211 C ．4 D ．49- 11.函数()2sin()(0)3f x x π
ωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）
A ．[2,4]ππ
B ．9[2,
)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.过点(2,1)P -作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则PEF ?与OAB ?的面积之比为（ ）
A
．2 B
．3
C ．12
D ．34 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα= ．
14.已知向量a ,b ,c 满足20a b c ++= ,且1a = ,3b = ,2c = ，22a b a c b c ?+?+?= ．
15.已知(,)22
x ππ∈-，()1y f x =-为奇函数，'()()tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为 ．
16.在四面体ABCD 中，1AD DB AC CB ====，则四面体体积最大时，它的外接球半径
R = ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知正数数列{}n a 满足：12a =，11
212n n n n n a a a a ---+=
+-(2)n ≥. （1）求2a ，3a ；
（2）设数列{}n b 满足22(1)n n b a n =--，证明：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项n a .
18.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，
E ，
F 分别在棱AB ，CD 上，且1AE CF ==.
（1）已知M 为棱1DD 上一点，且11D M =，求证：1B M ⊥平面11A EC .
（2）求直线1FC 与平面11A EC 所成角的正弦值.
19.已知椭圆Γ：22
142
x y +=，过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点.
（1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；
（2）记AB CD λ=
，求λ的取值范围.
20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.
（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2
s ，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？
（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）
附：①2204.75s =14.31=；
②2(,)z N μσ ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=； ③4
0.84130.501=.
21.已知函数()(ln )x f x xe a x x =-+，a R ∈.
（1）当a e =时，求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为
(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=??=?
（θ为参数，R θ∈）. （1）写出l 和C 的普通方程；
（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.
23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+.
（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；
（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.
武汉市2018届高中毕业生四月调研测试
理科数学参考答案
一、选择题
1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12：CC
二、填空题 13. 25 14. 13- 15. (0,)2π
三、解答题
17.（1）由已知2121
32a a a a +=+-，而12a =，∴2222232(2)a a -=+-，即222230a a --=. 而20a >，则23a =.又由323252a a a a +=
+-，23a =，∴233952(3)a a -=+-，即233280a a --=. 而30a >，则34a =. ∴23a =，34a =.
（2）由已知条件可知：22112()21n n n n a a a a n ---=-+-， ∴22221(1)(1)(1)n n a a n n ----=--，
则22221(1)(1)(1)n n a n a n ---=---223(1)2a =???=--222(1)1a =--0=，
而22(1)n n b a n =--， ∴0n b =，数列{}n b 为等差数列.
∴22(1)n a n -=.而0n a >， 故1n a n =+.
18.解：（1）过M 作1MT AA ⊥于点T ，连1B T ，则11AT =.
易证：111AA E A BT ???，于是111AA E A BT ∠=∠.
由111190A BT ATB ∠+∠= ，知11190AA E ATB ∠+∠= ， ∴11A
E BT ⊥. 显然MT ⊥面11AA B B ，而1A E ?面11AA B B ， ∴1MT A
E ⊥，又1BT MT T = ， ∴1A E ⊥面MTB ，∴11A E MB ⊥.
连11B D ，则1111B D AC ⊥.
又111D M AC ⊥，1111B D D M D = ， ∴11AC ⊥面11MD B ， ∴111AC
MB ⊥. 由11A E MB ⊥，111AC MB ⊥，1111A E AC A = ，
∴1B M ⊥面11A EC .
（2）在11D C 上取一点N ，使11ND =，连接EF . 易知1//A E FN .
∴1111A EFC N EFC E NFC V V V ---==
11113(23)33332
NFC S ?=??=???=. 对于11A EC ?
，11AC =
，1A E =
而1EC =
由余弦定理可知11cos EAC ∠==. ∴11A EC ?的面积11111sin 2S A C A E EA C =?
∠12=?=由等体积法可知F 到平面11A EC 之距离h 满足
111113A EC A EFC S h V ?-?=
，则133h =
，∴h =，
又1FC =1FC 与平面1AEC 所成角为θ，
∴sin θ===. 19.解：（1）设直线AB 的斜率为tan k α=，方程为1(1)y k x -=-，代入2224x y +=中， ∴222[(1)]40x kx k +---=.
∴222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +--+--=.
判别式222[4(1)]4(21)[2(1)4]k k k k ?=--+--28(321)k k =++.
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221224(1)212(1)4
21k k x x k k x x k -?+=??+?--?=?+?
. ∵AB 中点为(1,1)， ∴
12212(1)()1221k k x x k -+==+，则12
k =. ∴直线的AB 方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=.