【名校竞赛】2014届八年级全国数学竞赛赛前专项训练:命题及三角形边角不等关系(含详解)

【名校竞赛】2014届八年级全国数学竞赛赛前专项训练:命题及三角形边角不等关系(含详解)
【名校竞赛】2014届八年级全国数学竞赛赛前专项训练:命题及三角形边角不等关系(含详解)

初中数学竞赛专项训练

(命题及三角形边角不等关系)

一、选择题:

1、如图8-1,已知AB =10,P 是线段AB 上任意一点,在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作两个等边三角形APC 和BPD ,则线段CD 的长度的最小值是 ( ) A. 4

B. 5

C. 6

D. )15(5-

2、如图8-2,四边形ABCD 中∠A =60°,∠B =∠D =90°,AD =8,AB =7,则BC +CD 等于 ( )

A. 36

B. 53

C. 43

D. 33

3、如图8-3,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =3,BC =9,AB =6,CD =4,若EF ∥BC ,且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等,则EF 的长为 ( ) A. 7

45 B. 5

33

C. 5

39

D. 2

15

4、已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C 且α=A +B ,β=C +A ,γ=C +B ,则α、β、γ中,锐角的个数最多为 ( ) A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

5、如图8-4,矩形ABCD 的长AD =9cm ,宽AB =3cm ,将其折叠,使点D 与点B 重合,那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为

( )

A. 4cm

cm 10

B. 5cm

cm 10

C. 4cm cm 32

D. 5cm cm 32

6、一个三角形的三边长分别为a ,a ,b ,另一个三角形的三边长分别为a ,b ,b ,其中a >b ,若两个三角形的最小内角相等,则b

a

的值等于 ( ) A.

2

13+ B.

2

15+ C.

2

23+ D. 2

2

5+ 7、在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是 ( )

A. 0

B. 1

C. 3

D. 5

60°

A

B

C

D

A

B

C

D

P

图8-1

图8-2

B

图8-3

图8-4

A

A

8、若函数)0(>=k kx y 与函数x

y 1

=的图象相交于A ,C 两点,AB 垂直x 轴于B ,则△ABC 的面积为 ( ) A. 1

B. 2

C. k

D. k 2

二、填空题

1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d ,另一组对边的长分别为a ,b ,则d 与2

b

a +的大小关系是_______

2、如图8-5,AA ′、BB ′分别是∠EAB 、∠DBC 的平分线,若AA ′=BB ′=AB ,则∠BAC 的度数为___

3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11,将其中不同的三个数组成三数组,比如(3、5、7)、(5、9、11)……问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长_____

4、如图8-6,P 是矩形ABCD 内一点,若P A =3,PB =4,PC =5,则PD =_______

5、如图8-7,甲楼楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°,此时求①如果两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?______②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是______米。

6、如图8-8,在△ABC 中,∠ABC =60°,点P 是△ABC 内的一点,使得∠APB =∠BPC =∠CP A ,且P A =8,PC =6,则PB =__

三、解答题

1、如图8-9,AD 是△ABC 中BC 边上的中线,求证:AD <2

1

(AB +AC ) 图8-6

A

B

图8

-7

图8-8

B

B

D

图8-9

图8-A ′

2、已知一个三角形的周长为P,问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化?

3、如图8-10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是角平分线,DE∥BC交AC于点E,DF∥AC交BC于

点F。

求证:①四边形CEDF是正方形。

②CD2=2AE·BF

A

C

B 图8-10

4、从1、2、3、4……、2004中任选k个数,使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数

(这里要求三角形三边长互不相等),试问满足条件的k的最小值是多少?

参考答案

一、选择题

1、如图过C 作CE ⊥AD 于E ,过D 作DF ⊥PB 于F ,过D 作DG ⊥CE 于G 。 显然DG =EF =

2

1

AB =5,CD ≥DG ,当P 为AB 中点时,有CD =DG =5,所以CD 长度的最小值是5。

2、如图延长AB 、DC 相交于E ,在Rt △ADE 中,可求得AE =16,DE =83,于

是BE =AE -AB =9,在Rt △BEC 中,可求得BC =33,CE =63,于是CD

=DE -CE =23 BC +CD =53。 3、由已知AD +AE +EF +FD =EF +EB +BC +CF

∴AD +AE +FD =EB +BC +CF =

11)(21

=+++CD BC AB AD ∵EF ∥BC ,∴EF ∥AD ,FC

DF

EB AE = 设k FC DF EB AE ==,1

41161+=+=+=+=k k

CD k k DF k k AB k k AE , AD +AE +FD =3+13131416++=+++k k k k k k ∴111

3

13=++k k 解得k =4 作AH ∥CD ,AH 交BC 于H ,交EF 于G ,

则GF =HC =AD =3,BH =BC -CH =9-3=6 ∵

54==AB AE BH EG ,∴52454==BH EG ∴5

39

3524=+=+=GF EG EF 4、假设α、β、γ三个角都是锐角,即α<90°,β<90°,γ<90°,也就是A +B <90°,B +C <90°,C +A <90°。

∵2(A +B +C )<270°,A +B +C <135°与A +B +C =180°矛盾。故α、β、γ不可能都是锐角,假设α、β、γ中有两个锐角,不妨设α、β是锐角,那么有A +B <90°,C +A <90°,∴A +(A +B +C )<180°,即A +180°<180°,A <0°这也不可能,所以α、β、γ中至多只有一个锐角,如A =20°,B =30°,C =130°,α=50°,选A 。

5、折叠后,DE =BE ,设DE =x ,则AE =9-x ,在Rt △ABC 中,AB 2+AE 2=BE 2,即2

2

2

)9(3x x =-+,

解得x =5,连结BD 交EF 于O ,则EO =FO ,BO =DO ∵1033922=+=BD ∴DO =

102

3

A

B

C D P E G

60°

A

B

C D

E

H

在Rt △DOE 中,EO =2

10

)1023(

5222

2=

-=

-DO DE ∴EF =10。选B 。

6、设△ABC 中,AB =AC =a ,BC =b ,如图D 是AB 上一点,有AD =b ,因a >b ,

故∠A 是△ABC 的最小角,设∠A =Q ,则以b ,b ,a 为三边之三角形的最小角亦为Q ,从而它与△ABC 全等,所以DC =b ,∠ACD =Q ,因有公共底角∠B ,所以有等腰△ADC ∽等腰△CBD ,从而得

BC BD AB BC =,即b b a a b -=,令b

a x =,即得方程012

=--x x ,解得2

1

5+=

=

b a x 。选B 。 7、C 。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360°,故外角中钝角的个数不能超过3个,又因为内角与外

角互补,因此,内角中锐角最多不能超过3个,实际上,容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形。 8、A 。设点A 的坐标为(y x ,),则1=xy ,故△ABO 的面积为

2

1

21=xy ,又因为△ABO 与△CBO 同底等高,因此△ABC 的面积=2×△ABO 的面积=1。 二、填空题

1、如图设四边形ABCD 的一组对边AB 和CD 的中点分别为M 、N ,MN =d ,

另一组对边是AD 和BC ,其长度分别为a 、b ,连结BD ,设P 是BD 的

中点,连结MP 、PN ,则MP =2a ,NP =2b ,显然恒有2

b

a d +≤,当AD ∥BC ,由平行线等分线段定理知M 、N 、P 三点共线,此时有

2b a d +=

,所以d 与2b a +的大小关系是)2

(2d b

a b a d ≥++≤

或。 2、12°。设∠BAC 的度数为x ,∵AB =BB ′ ∴∠B ′BD =2x ,∠CBD =4x ∵AB =AA ′ ∴∠AA ′B =∠AB A ′=∠CBD =4x ∵∠A ′AB =)180(2

1

x -? ∴?=++-?18044)180(2

1x x x ,于是可解出x =12°。

3、以3,5,7,9,11构成的三数组不难列举出共有10组,它们是(3,5,7)、(3,5,9)、(3,5,11)、

(3,7,9)、(3,7,11)、(3,9,11)、(5,7,9)、(5,7,11)、(5,9,11)、(7,9,11)。由3+5<9,3+5<11,3+7<11可以判定(3,5,9)、(3,5,11)、(3,7,11)这

三组不能构成三角形的边长,因此共有7个数组构成三角形三边长。

4、过P 作AB 的平行线分别交DA 、BC 于E 、F ,过P 作BC 的平行线分别交AB 、CD 于G 、H 。

B

C

A

B

D

C P

M

N

B

E G H

设AG =DH =a ,BG =CH =b ,AE =BF =c ,DE =CF =d , 则

2

22222222222DP a

d c b BP d b CP c a AP ++=+=+==, ,,

于是2

2

2

2

DP BP CP AP +=+,故184532

222222=-+=-+=BP CP AP DP , DP =32

5、①设冬天太阳最低时,甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处,那么图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度,设CE ⊥AB 于点E ,那么在△AEC 中,∠AEC =90°,∠ACE =30°,EC =20米。

所以AE =EC 6.113

32030tan 20tan ≈?=??=∠?ACE (米)

。 CD =EB =AB -AE =16-11.6=4.4(米)

②设点A 的影子落到地面上某一点C ,则在△ABC 中,∠ACB =30°,AB =16米,所以7.27316cot ≈?=∠?=ACB AB BC (米)。所以要使甲楼的影子不影响乙楼,那么乙楼距离甲楼至少要27.7米。 6、提示:由题意∠APB =∠BPC =∠CP A =120°,设∠PBC =α,∠ABC =60° 则∠ABP =60°-α,∴∠BAP =∠PBC =α, ∴△ABP ∽△BPC ,

PC

BP

BP AP =,BP 2=AP ·PC 3448==?=PC AP BP

三、解答题

1、证明:如图延长AD 至E ,使AD =DE ,连结BE 。

∵BD =DC ,AD =DE ,∠ADC =∠EDB ∴△ACD ≌△EBD ∴AC =BE

在△ABE 中,AE <AB +BE ,即2AD <AB +AC ∴AD <2

1

(AB +AC ) 2、答案提示:

在△ABC 中,不妨设a ≤b ≤c ∵a +b >c ?a +b +c >2c 即p >2c ?c <2

p , 另一方面c ≥a 且c ≥b ?2c ≥a +b ∴3c 3

p c p c b a ≥?=++≥。 因此

2

3p c p <≤ 3、证明:①∵∠ACB =90°,DE ∥BC ,DF ∥AC ,∴DE ⊥AC ,DE ⊥BC ,

B

从而∠ECF =∠DEC =∠DFC =90°。

∵CD 是角平分线 ∴DE =DF ,即知四边形CEDF 是正方形。 ②在Rt △AED 和Rt △DFB 中, ∵DE ∥BC ∴∠ADE =∠B ∴Rt △AED ∽Rt △DFB ∴

BF

DE

DF AE =,即DE ·DF =AE ·BF ∵CD =2DE =2DF , ∴BF AE DF DE DF DE CD ?=?=?=22222

4、解:这一问题等价于在1,2,3,……,2004中选k -1个数,使其中任意三个数都不能成为三边互不

相等的一个三角形三边的长,试问满足这一条件的k 的最大值是多少?符合上述条件的数组,当k =4时,最小的三个数就是1,2,3,由此可不断扩大该数组,只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和,所以,为使k 达到最大,可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和,这样得: 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597 ①

共16个数,对符合上述条件的任数组,a 1,a 2……a n 显然总有a i 大于等于①中的第i 个数,所以n ≤16≤k

-1,从而知k 的最小值为17。

高中数学竞赛教案讲义(7)解三角形

第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ,B ,C 分别表示△ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各边长,2 c b a p ++=为半周长。 1.正弦定理:C c B b A a sin sin sin ===2R (R 为△ABC 外接圆半径)。 推论1:△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2:在△ABC 中,有bcosC+ccosB=a. 推论3:在△ABC 中,A+B=θ,解a 满足) sin(sin a b a a -=θ,则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论1,由正弦函数定义,BC 边上的高为bsinC ,所以S △ABC =C ab sin 2 1;再证推论2,因为B+C=π-A ,所以sin(B+C)=sinA ,即sinBcosC+cosBsinC=sinA ,两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ;再证推论3,由正弦定理B b A a sin sin =,所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ,即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ,等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)],等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A),因为0<θ-A+a ,θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ,所以a=A ,得证。 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?,下面用余弦定理证明几个常用的结论。 (1)斯特瓦特定理:在△ABC 中,D 是BC 边上任意一点,BD=p ,DC=q ,则AD 2=.22pq q p q c p b -++ (1) 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2 -2AD ·BDcos ADB ∠, 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠, ② 因为∠ADB+∠ADC=π, 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0, 所以q ×①+p ×②得 qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q),即AD 2=.22pq q p q c p b -++ 注:在(1)式中,若p=q ,则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+=

数学初中竞赛大题训练:几何专题(含答案)

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∴∠ADE=90°, ∵∠FAD+∠ADC=90°,∠ADC+∠BDE=90°, ∴∠FAD=∠BDE, 在△ADF和△DEB中,, ∴△ADF≌△DEB(ASA), ∴AD=DE, ∵∠ADE=90°, ∴△ADE是等腰直角三角形, ∴AE=AD=2; (3)作EK⊥FG于K,则K是FG的中点,连接AK,BK,如图3所示:∴∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°, ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆, ∴∠KBE=∠EGK=60°,∠EAK=∠EFK=60°, ∴△ABK是等边三角形, ∴AB=AK=KB=4,作KM⊥AB,则M为AB的中点, ∴KM=AK?sin60°=2, ∵AE=3,AM=AB=2, ∴ME=3﹣2=1, ∴EK===, ∴EF===.

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第21讲 从三角形的内切圆谈起

第二十一讲 从三角形的内切圆谈起 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心,圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质: 1.三角形的内心是三角形的三内角平分线交点,它到三角形的三边距离相等; 2.圆外切四边形的两组对边之和相等,其逆亦真,是判定四边形是否有外切圆的主要方法. 当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时,就得到隐含丰富结论的下列图形: 注:设Rt △ABC 的各边长分别为a 、b 、c (斜边),运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式: (1)2 c b a r -+=; (2)c b a ab r ++= . 请读者给出证 【例题求解】 【例1】 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°°,BC=5,⊙O 与Rt △ABC 的三边AB 、

BC、AC分相切于点D、E、F,若⊙O的半径r=2,则Rt△ABC的周长为.思路点拨AF=AD,BE=BD,连OE、OF,则OECF为正方形,只需求出AF(或AD)即可. 【例2】如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C,AC、BD相交于N点,连结ON,NP,下列结论:①四边形ANPD是梯形;②ON=NP:③DP·P C为定值; ④FA为∠NPD的平分线,其中一定成立的是( ) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①④ 思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形,判定性质等重要几何知识,注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换,推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键. 【例3】如图,已知∠ACP=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,过A、C、D 三点的圆交AB于F,求证:F为△CDE的内心.

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初中数学竞赛专项训练 (不等式与不等式组)及参考答案 1、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数可以被( )整除。 A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 2、若2001 119811198011 ??++= S ,则S 的整数部分是____________________ 3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯,各有接线开关控制着,开始时,它们都是关闭状态,现有100个学生,第1个学生进来时,凡号码是1的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来,由号码是2的倍数的开关拉一下,第n 个(n ≤100)学生进来,凡号码是n 的倍数的开关拉一下,如此下去,最后一个学生进来,把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下,这样做过之后,请问哪些灯还亮着。 4、某商店经销一批衬衣,进价为每件m 元,零售价比进价高a%,后因市场的变化,该店把 零售价调整为原来零售价的b%出售,那么调价后每件衬衣的零售价是 ( ) A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 5、如果a 、b 、c 是非零实数,且a+b+c=0,那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值 为 ( ) A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2 6、在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,若∠B =60°,则b c a b a c ++ +的值为 ( ) A. 2 1 B. 2 2 C. 1 D. 2 7、设a <b <0,a 2+b 2=4ab ,则b a b a -+的值为 ( ) A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 8.已知a =1999x +2000,b =1999x +2001,c =1999x +2002,则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

(完整版)初中数学竞赛相似三角形专题

初二竞赛专题:相似三角形 1.如图,AB BD ⊥,CD BD ⊥,垂足分别为B 、D ,AC 和BD 相交于点E ,EF BD ⊥,垂足为F .证明: 111 AB CD EF += . 2.如图,在梯形ABCD 中,AB CD ∥, 129AB CD ==,,过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ,于E F ,,求EF 的长. 3.如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,396AD BC AB ===,,,4CD =,若EF BC ∥,且 梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等,求EF 的长. 两个常见模型:如图,已知直线EF BC ∥,直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点, 则 BD EG DC FG = . O F E D C B A F E D C B A F E D C B A G F E D C B A B D A E G F C

4.一条直线与三角形ABC的三边BC,CA,AB(或其延长线)分别交于D,E,F(如图2-68所示).求证: 5.如图所示.P为△ABC内一点,过P点作线段DE,FG,HI分别平行于AB,BC和CA,且DE=FG=HI=d,AB=510,BC=450,CA=425.求d. 6.如图,边长为1的等边ABC △,BC边上有一点D,1 3 BD=,AC上有一点E ,60 ADE ∠=o,求EC的长.7.已知,B是AC中点,D、E在AC的同侧,且ADB EBC ∠=∠,DAB BCE ∠=∠,证明:BDE ADB ∠=∠. E D C B A D E B C A

8.如图,在ABC △中,60BAC ∠=o ,点P 是ABC △内一点,且APB BPC CPA ∠=∠=∠,若8PA =,6PC =,求PB 的长. 9.如图,在锐角ABC △中,AD 、CE 分别为BC 、AB 边上的高,ABC △和BDE △的面积分别等于18和2, 22DE =,求点B 到AC 的距离. 10.如图所示,已知3个边长相等的正方形相邻并排,求EBF EBG ∠+∠. 11.如图,在ABC △中,AD 平分BAC ∠,AD 的垂直平分线交AD 于E ,交BC 的延长线于F ,求证: 2FD FB FC =?. E D C A B P C B A H G B A

三角形竞赛练习题(难)

三角形 一.选择题(共8小题) 1.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直,若AB=3,BC=4,CD=5,则AD的长为() A.3B.4 C.2D.4 2.如图,在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE(∠ACE<120°),点P 与点M分别是线段BE和AD的中点,则△CPM是() A.钝角三角形B.直角三角形 C.等边三角形D.非等腰三角形 3.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,且AB=10,BC=15,MN=3,则△ABC的周长是() A.38 B.39 C.40 D.41 (1)(2)(3) 4.如图,在四边形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°, AB =,AD=1+,CD=2,则BC边的长为() A.2﹣B .C .D . 5.已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5=0的两根,则此三角形的周长是() A.11 B.7 C.8 D.11或7 6.如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.∠ADC=30°,AD=3,BD=5,则CD的长为() A .B.4 C .D. 7.如图,在△ABC中,AB=AC=m,P为BC上任意一点,则PA2+PB?PC的值为()A.m2B.m2+1 C.2m2D.(m+1)28.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,BF⊥AD,AD的延长线交BF于E,且E为垂足,则结论①AD=BF,②CF=CD,③AC+CD=AB,④BE=CF,⑤BF=2BE,其中正确的结论的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 (6)(7)(8) 二.填空题(共12小题) 9.如图所示△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论: ①AE=CF;②△EPF为等腰直角三角形;③S四边形AEPF =;④EF=AP; 当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与点A、B重合),上述结论始终正确的有(填序号). 10.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°,若AE=10,则CE的长为. 11.如图所示,点E、F分别是正△ABC的边AC、AB上的点,AE=BF,BE,CF相交于点P,CQ⊥BE于Q,若PF=1,PQ=3,则BE=. (9)(10)(11) 12.如图,已知△ABC中,AB=AC,D是BC上一点,且AD=DB,DC=CA,则∠BAC

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初中数学竞赛专项训练(2) (代数式、恒等式、恒等变形) 一、选择题:下面各题的选项中,只有一项是正确的,请将正确选项的代号填在括号内。 1、某商店经销一批衬衣,进价为每件m 元,零售价比进价高a%,后因市场的变化,该店把零售价调整为原来零售价的b%出售,那么调价后每件衬衣的零售价是 ( ) A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 2、如果a 、b 、c 是非零实数,且a+b+c=0,那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为 ( ) A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2 3、在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,若∠B =60°,则b c a b a c ++ +的值为( ) A. 2 1 B. 2 2 C. 1 D. 2 4、设a <b <0,a 2+b 2= 4ab ,则b a b a -+的值为 ( ) A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 5、已知a =1999x +2000,b =1999x +2001,c =1999x +2002,则多项式a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca 的值( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、设a 、b 、c 为实数,2 26 23 2222 π π π + -=+ -=+-=a c z c b y b a x ,,,则x 、y 、z 中,至少有 一个值 ( ) A. 大于0 B. 等于0 C. 不大于0 D. 小于0 7、已知abc ≠0,且a+b+c =0,则代数式ab c ca b bc a 222+ +的值是 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8、若13649832 2 ++-+-=y x y xy x M (x 、y 是实数),则M 的值一定是 ( ) A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 整数 二、填空题 1、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降价的百分数)不得超过d%,则d 可用p 表示为_____ 2、已知-1<a <0,化简4)1 (4)1(22+-+-+a a a a 得_______ 3、已知实数z 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y -9,则 x+2y+3z=_______________ a

初中数学竞赛专题训练之例题及三角形边角不等关系

A. B. 33 C. 39 D. 15 C A B C P 图 8-2 图 8-1 D A A. 4cm 10cm B. 5cm 10cm C. 4cm 2 3cm D. 5cm 2 3cm a C. D. 初中数学竞赛专项训练(8) (命题及三角形边角不等关系) 一、选择题: 1、如图 8-1,已知 AB =10,P 是线段 AB 上任意一点,在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作两个等边三 角形 APC 和 BPD ,则线段 CD 的长度的最小值是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 5( 5 - 1) 2、如图 8-2,四边形 ABCD 中∠A =60°,∠B =∠D =90°,AD =8,AB =7, 则 BC +CD 等于 ( ) A. 6 3 B. 5 3 C. 4 3 D. 3 3 3、如图 8-3,在梯形 ABCD 中,AD ∥BC ,AD =3,BC =9,AB =6,CD =4,若 EF ∥BC ,且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等,则 EF 的长为 ( ) 45 7 5 5 2 C D A D D E F B 图 8-3 4、已知△ABC 的三个内角为 A 、B 、C 且α =A+B ,β =C+A ,γ =C+B ,则α 、β 、γ 中,锐角的个数 最多为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5、如图 8-4,矩形 ABCD 的长 AD =9cm ,宽 AB =3cm ,将其折叠,使点 D 与点 B 重合,那么折叠后 DE 的长和折痕 EF 的长分别为 ( ) E A D B F C B C C 图 8-4 6、一个三角形的三边长分别为 a ,a ,b ,另一个三角形的三边长分别为 a ,b ,b ,其中 a>b ,若两个三角 形的最小内角相等,则 的值等于 ( ) b A. 3 + 1 2 B. 5 + 1 2 3 + 2 2 5 + 2 2 7、在凸 10 边形的所有内角中,锐角的个数最多是 ( ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8、若函数 y = kx (k > 0) 与函数 y = 1 x 的图象相交于 A ,C 两点,AB 垂直 x 轴于 B ,则△ABC 的面积为 ( ) A. 1 B. 2 C. k D. k 2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d ,另一组对边的长分别为 a ,b ,则 d 与 ______ a + b 2 的大小关系是_

2019-2020年八年级数学竞赛试题含详细答案_.docx

2019-2020 年八年级数学竞赛试题含详细答案 _ 一、选择题( 4 选 1 型,每小题选对得 5 分,否则得 0 分,本大题满分 50 分 ) 1 1 1 1 1.化简繁分数: 2 3 2 3 =( ). 3 ( 2) 3(2) 2 B . 2 C .一 2 D 、 2 A 、 5 5 2.设 2 x y ,其中 x , y ≠ 0,则 (2 x 3 y)3 (3x 2 y)3 =( 3 ( 4 x 2y) 3 ( x 7y) 3 ) x y A .一 l B . 1 1413 1413 C . D . 4075 4075 yz 2, xyz 1, xyz 1 3.已知三个方程构成的方程组 2 yz zx yz zx y 2z xy xy 恰有一组解 A .一 1 4.设 x a, y b, z c ,则 a 3 b 3 c 3 =( ) B .1 C . 0 D . 17 (a 2b 3)2 3 2b 1)4 c d 3 ,则 c 2 d (3a (b c d)(c d a)( d a b)(a b c) =( ) A .16 B .一 24 C . 30 D . 0 5、杨城同学训练上楼梯赛跑,他每步可上 2 阶或 3 阶 (但不上 1 阶,也不上 4 阶以上 ).现共 有 16 阶台阶,规定不许踏上第 7 阶,也不许踏上第 13 阶.那么杨城有 ( )种不同的上楼梯方 法. (注:两种上楼梯方法,只要有某 l 阶楼梯的上法不相同,就算作不同的方法. ) A .12 B .14 C .15 D .16 6.求值: 20063— 10063 一 l000 3— 3000× 2006× 1006=( ). A .2036216432 B . 2000000000 C . 12108216000 D .0 3 2 ,则 2 x 3 y xy ) 7.已知 3 7 xy 9y =( x y 6x A . 1 1 1 1 4 B . C 、 3 D 、 4 3 8.计算 3 3 3 3 2 4 6 1004 2 4 6 1006 2 4 6 1008 2 4 6 2006 A . 3 3 1 D . 1 1003 B . C . 1004 334 1000

八年级数学竞赛讲座全等三角形附答案

第十讲全等三角形 全等三角形是平面几何内容的基础,这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具,是解决与线段、角相关问题的一个出发点,运用全等三角形,可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题. 利用全等三角形证明问题,关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形,这对基础的三角形从实质上来说,是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来,也可能是由几对三角形组成,其间的关系互相传递,应熟悉涉及有公共边、公共角的以下两类基本图形: 例题求解 【例1】如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AC=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN,其中正确的结论是 (把你认为所有正确结论的序号填上). (广州市中考题) 思路点拨对一个复杂的图形,先找出比较明显的一对全等三角形,并发现有用的条件,进而判断推出其他三角形全等. 注两个三角形的全等是指两个图形之间的一种‘对应”关系,“对应’两字,有“相当”、“相应”的含意,对应关系是按一定标准的一对一的关系,“互相重合”是判断其对应部分的标准.实际遇到的图形,两个全等三角形并不重合在一起,但其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻拆、旋转等方法得到,这种改变位置,不改变形状大小的图形变动叫三角形的全等变换. 【例2】在△ABC中,AC=5,中线AD=4,则边AB的取值范围是( ) A.1

初中数学竞赛专项训练之命题及三角形边角不等关系附答案

1 初中数学竞赛专项训练之命题及三角形边角不等关系 一、选择题: 1、如图8-1,已知AB =10,P 是线段AB 上任意一点,在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作两个等边三角形APC 和BPD ,则线段CD 的长度的最小值是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. )15(5- 2、如图8-2,四边形ABCD 中∠A =60°,∠B =∠D =90°,AD =8,AB =7, 则BC +CD 等于 ( ) A. 36 B. 53 C. 43 D. 33 3、如图8-3,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =3,BC =9,AB =6,CD =4,若EF ∥BC ,且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等,则EF 的长为 ( ) A. 745 B. 533 C. 539 D. 2 15 4、已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C 且α=A+B ,β=C+A ,γ=C+B ,则α、β、γ中,锐角的个数 最多为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5、如图8-4,矩形ABCD 的长AD =9cm ,宽AB =3cm ,将其折叠,使点D 与点B 重合,那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为 ( ) A. 4cm cm 10 B. 5cm cm 10 C. 4cm cm 32 D. 5cm cm 32 6、一个三角形的三边长分别为a ,a ,b ,另一个三角形的三边长分别为a ,b ,b ,其中a>b ,若两个三角 形的最小内角相等,则b a 的值等于 ( ) A. 2 13+ B. 2 15+ C. 2 23+ D. 2 25+ 7、在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是 ( ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8、若函数)0(>=k kx y 与函数x y 1 =的图象相交于A ,C 两点,AB 垂直x 轴于B ,则△ABC 的面积为 ( ) A. 1 B. 2 C. k D. k 2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d ,另一组对边的长分别为a ,b ,则d 与2 b a +的大小关系是_______ 2、如 图8-5,AA ′、BB ′分别是∠ 60° A B C D A C D P 图8-1 图8-2 图8-3 图8-7 图 8-4 ′ 图8-5 A ′

初中数学竞赛常用公式

初中数学竞赛常用公式Last revision on 21 December 2020

初中数学常用公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理:三角形两边的和大于第三边 16 推论:三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180° 18 推论1:直角三角形的两个锐角互余 19 推论2:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS):有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3:两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称

八年级下数学竞赛试题(含答案)整理

八年级(下)数学期末竞赛测试卷 一、选择题(每小题3分,共30分) 1、下列多项式中能用完全平方公式分解的是( ) A.x 2-x +1 B.1-2xy +x 2y 2 C.a 2+a + 2 1 D.-a 2+b 2-2ab 2、不等式组???>-≥-0 40 12x x 的整数解为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、下列各分式中,与分式 b a a --的值相等的是 ( ) A 、b a a -- B 、b a a + C 、a b a - D 、-a b a - 4、.若分式3 49 22+--x x x 的值为0,则x 的值为( ) A . 3- B .3或3- C .3 D .无法确定 5、某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验,班平均分和方差分别为 82=甲x 分,82=乙x 分;2452 =甲s ,1902=乙 s ,那么成绩较为整齐的是( ) A .甲班 B .乙班 C .两班一样整齐 D .无法确定 6、某天同时同地,甲同学测得1 m 的测竿在地面上影长为0.8 m ,乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长为9.6 m ,则国旗旗杆的长为( ) A .10 m B .12 m C .13 m D .15 m 7、如图,△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,DE ∥BC ,DE =1,BC =3,AB =6,则AD 的长为( ) A .1 B .1.5 C .2 D .2.5 (第7题图) (第9题图) 8、赵强同学借了一本书,共280页,要在两周借期内读完.当他读了一半时,发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x 页,则下面所列方程中,正确的是( ) A . 1421140140=-+x x B .1421280280=++x x C .1421140140=++x x D .121 10 10=++x x 9、如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2米,桌面距离地面1米.若灯泡距离地面3米,则地面上阴影部分的面积为( ) A .0.36π平方米 B .0.81π平方米 C .2π平方米 D .3.24π平方米

数学竞赛三角形五心讲义

数学竞赛讲义第一节 一.高中数学竞赛介绍 一试 考试时间为上午8:00-9:20,共80分钟。试题分填空题和解答题两部分,满分120分。其中填空题8道,每题8分;解答题3道,分别为16分、20分、20分。 加试(二试) 考试时间为9:40-12:10,共150分钟。试题为四道解答题,前两道每题40分,后两道每题50分,满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学。 二.答题策略 保证1试所有知识点都练习过的基础上,2试选择平面几何+1题的方式去练习。 三.考试知识点 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲,完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,即高考所规定的知识范围和方法,在方法的要求上略有提高,其中概率和微积分初步不考。 二试 1、平面几何 基本要求:掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求:面积和面积方法。 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理:

在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。 在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。 几何中的运动:反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容: 周期函数及周期,带绝对值的函数的图像。 三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。 第二数学归纳法。 递归,一阶、二阶递归,特征方程法。 函数迭代,求n次迭代,简单的函数方程。 n个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。 复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用。 圆排列,有重复的排列及组合,简单的组合恒等式。 一元n次方程(多项式)根的个数,根及系数的关系,实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质。 3、立体几何 多面角,多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体,欧拉定理。 体积证法。

初中数学竞赛专项训练--找规律题

观察——归纳—猜想——找规律 给出几个具体的、特殊的数、式或图形,要求找出其中的变化规律,从而猜想出一般性的结论.解题 的思路是实施特殊向一般的简化;具体方法和步骤是: (1)通过对几个特例的分析,寻找规律并且归纳; (2)猜想符合规律的一般性结论; (3)验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 一、数字类 基本技巧 (一)标出序列号: 例如,观察下列各式数:0,3,8,15,24,……。 我们把有关的量放在一起加以比较: 给出的数:0,3,8,15,24,……。 序列号: 1,2,3, 4, 5,……。 容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。因此,第n 项是2 n -1 (二)公因式法: 每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n,或2n 、3n 有关。 例如:1,9,25,49,(81),(121),的第n 项为( 2 )12(-n ), 1,2,3,4,5.。。。。。。,从中可以看出n=2时,正好是2×2-1的平方,n=3时,正好是2×3-1的平方,以 此类推。 (三)增副 A : 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且是n 的3次幂,即:n 3 +1 B :2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即:n 2 (四)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用(一)、(二)、(三)技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来。 例:2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列: 0、3、8、15、24……, 序列号:1、2、3、4、5,从顺序号中可以看出当n=1时,得1*1-1得0,当n=2时,2*2-1得3,3*3-1=8,以此类推,得到第n 个数为12 -n 。再看原数列是同时减2得到的新数列,则在12 -n 的基础上加2,得 到原数列第n 项 12+n (五)有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并 恢复到原来。 例 : 4,16,36,64,?,144,196,… ?(第一百个数) 同除以4后可得新数列:1、4、9、16…,很显然是位置数的平方,得到新数列第n 项即n 2 ,原数列是同除以4得到的新数列,所以求出新数列n 的公式后再乘以4即,4 n 2 ,则求出第一百个数为4*1002 =40000 (一)等差数列 例题:2,5,8,( )。 例题5: 12,15,18,( ),24,27。 A.20 B.21 C.22 D.23 (二)等比数列

2018八年级下册数学竞赛试题

A D O 1 F E D C B A 路园中学2018年八年级数学竞赛试卷 一、选择题(本题共10小题,满分共30分) 1.二次根式 2 1、12 、30 、x+2 、240x 、22y x +中,最简二次根式有( )个。 A 、1 个 B 、2 个 C 、3 个 D 、4个 2. x 的取值范围为 ( ) A 、x≥2 B 、x≠3 C 、x≥2或x≠3 D 、x≥2且x≠3 3.若2x -1+1-2x +1在实数范围内有意义,则x 满足的条件是 ( ) A .x ≥12 B .x ≤12 C .x =12 D .x ≠1 2 4.如果下列各组数是三角形的三边,那么不能组成直角三角形的一组数是 ( ) A .7,24,25 B .1113,4,5222 C .3,4, 5 D . 114,7,8 22 5.在四边形ABCD 中,O 是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是 ( ) (A )AC=BD ,AB ∥CD ,AB=CD (B )AD ∥BC ,∠A=∠C (C )AO=BO=CO=DO ,AC ⊥BD (D )AO=CO ,BO=DO ,AB=BC 6.如图,在平行四边形ABCD 中,∠B =80°,AE 平分∠BAD 交BC 于点E ,CF ∥AE 交AE 于点F ,则∠1= ( ) A .40° B .50° C .60° D .80° 7.下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;③对角线相等的四边形一定是矩形;④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的有 ( ) A .4个 B .3个 C .2个 D .1个 8.表示一次函数y =mx +n 与正比例函数y =mnx (m 、n 是常数且 mn ≠0)图象是 ( ) 9.如图所示,函数x y =1和3 4 312+= x y 的图象相交于(-1,1),(2,2)两点.当21y y >时,x 的取值范围是( ) A .x <-1 B .—1<x <2 C .x >2 D . x <-1或x >2 10、如图,在△ABC 中,AB =3,AC =4,BC =5,P 为边BC 上一动点,PE ⊥AB 于E ,PF ⊥AC 于F ,M 为EF 中点,则AM 的最小值为 ( ) A . 5 4 B . 52 C .53 D .65 二、填空题(本题共8小题,满分共24分) 11.48 -1 -?? +)13(3--30 -23-= 12.边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S 1,S 2,则S 1+S 2的值为 13. 平行四边形ABCD 的周长为20cm ,对角线AC 、BD 相交于点O ,若△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ,则CD = cm 。 14.在直角三角形ABC 中,∠C=90°,CD 是AB 边上的中线,∠A=30°,AC=5 3,则△ADC 的周长为 。 15、如图,平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ,AB= 5 ,AC=6,DB=8 则四边形ABCD 是的周长为 。 16.在矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,若∠AOB=60°,AC=10,则AB= . 17. 某一次函数的图象经过点(1-,3),且函数y 随x 的增大而减小, 请你写出一个符合条件的函数解析式____________________ __. 18.如图所示,E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点,且BE =BC ,P 是CE 上任意一点,PQ ⊥BC 于点Q ,PR ⊥BE 于点R ,则PQ +PR 的值是 三.解答题: 21. (7分)在△ABC 中,∠C=30°,AC=4cm,AB=3cm ,求BC 的长. M P F E C B A

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