江苏省淮安市淮海中学2016届高三上学期11月月考数学试题 Word版含答案

淮海中学2016届高三年级冲刺一统模拟试卷

数学 I

参考公式(1) 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1

∑n x i ．

(2) 锥体的体积公式：V ＝1

3

Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．

一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答

题纸的指定位置上）

1. 已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B = ▲ ．

2. 复数i i z +-=2)21(的实部为 ▲ ．

3. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取 ▲ 名学生．

4. 从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为5的概率为 ▲ ．

5. 函数)6

2sin(2π

-

=x y 的图像中，离坐标原点最近的一条对

称轴的方程为 ▲ ．

6. 如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的 值为 ▲ ．

7. 等比数列}{n a 的公比大于1，6,152415=-=-a a a a ， 则=3a ▲ ．

8. 在平面直角坐标系中，直线0323=+-y x 被圆422

=+y x

截得的弦长为 ▲ ．

（第6题）

注 意 事 项

考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。

3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

9.一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的 ▲ 倍．

10.已知点),1(m P 是函数x

ax y 2

+

=图像上的点，直线b y x =+是该函数图像在P 点处的切线，则=-+m b a ▲ ．

11.设P 为ABC ?中线AD 的中点，D 为边BC 中点，且2=AD ，若3-=?PC PB ，则

=?AC ▲ ．

12.已知函数(0)x y a b b =+>的图像经过点(1 3)P ，

，如右图所 示，则

41

1a b

+-的最小值为 ▲ ． 13. 已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的 解集为 ▲ ．

14.已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且

1|23|,12(),11

(),222

x x f x f x x --≤

=?≥??　则函数2()3y xf x =-，则在区间 ()12015，上的零点 个数为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本题满分14分）

已知2tan ),,2

(

-=∈αππ

α.

（1）求)4sin(

απ

+的值；

（2）求)23

2cos(απ

-的值.

（第12题）

16．（本题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，

14AC BC CC M ⊥=，，是棱1CC 上的一点.

（1）求证：BC AM ⊥；

（2）若N 是AB 的中点，求证CN ∥平面1AB M .

17．（本题满分14分）

设椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，短轴上端点为B ，连接BF 并延长交椭圆于点

A ，连接AO 并延长交椭圆于点D ，过O F 、、

B 三点的圆的圆心为

C .

（1）若C 的坐标为-1 1（，），求椭圆方程和圆C 的方程；

（2）若AD 为圆C 的切线，求椭圆的离心率.

18．（本题满分16分）

为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m ，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，

C ，

D 在圆弧 PQ

上，CD ∥AB ；△OAB 区域为文化展示区，AB

长为m ；其余空地为绿化区域，且CD 长不得超过．．．．200 m ． （1）试确定A ，B 的位置，使△OAB 的周长最大？

（2）当△OAB 的周长最大时，设∠DOC =2θ，试将运动休闲

B

C

D

Q

（第18题）

O

区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值．

19．（本题满分16分）

若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 已知函数3()3ln 1()f x ax x x a R =+-∈. （1）当0a =时，求()f x 的极值；

（2）若()f x 在区间1

(,)e e

上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.

20．（本题满分16分）

已知数列{}n a 中，11=a ，在21,a a 之间插入1个数，在32,a a 之间插入2个数，在43,a a 之间插入3个数，…，在1,+n n a a 之间插入n 个数，使得所有插入的数和原数列{}n a 中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列{}n b . （1）若194=a ，求{}n b 的通项公式；

（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足μλμλ,(2+=+n n b S 为常数），

求{}n a 的通项公式.

淮海中学2016届高三年级11月考试卷

数学Ⅱ 附加题部分

注意事项

1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为

30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一

律无效．

21.【选做题】本题包括A,B,C,D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修4-1：几何证明选讲) （本小题满分10分）

已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是APB ∠的平分线，E 是下半圆的中点. 求证：直线PC 经过点E

.

B.(选修4-2：矩阵与变换) （本小题满分10分）

已知矩阵???

?

????=??????=10021,2001N M ，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式.

C.(选修4-4：坐标系与参数方程) （本小题满分10分）

已知直线l 的极坐标方程为sin()63p r q -=，圆C 的参数方程为10cos (10sin x y q

q q ì=?í=??

为参数）.

（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程；

（2）求直线l 被圆截得的弦长.

D.(选修4-5：不等式选讲) （本小题满分10分）

已知函数()12f x x x =-+-，若不等式()a b a b a f x ++-?对任意,a b R ?恒成立，求实数

x 的取值范围.

【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.（本小题满分10分）

已知A 为曲线2

:410C x y -+=上的动点，定点(2,0)M -，若2AT TM = ，求动点T 的轨迹方

程.

23.（本小题满分10分）

已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//,90,AB CD DAB

PA ?癪底面A B C D ,且

1

1,2

PA AD DC AB M ===

=是PB 的中点. （1）证明：平面PAD ^平面PCD ； （2）求AC 与PB 所成角的余弦值；

（3）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值.

B

淮海中学2016届高三年级冲刺一统数学模拟试卷

参考答案与评分标准（I卷）

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填

写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

） 1. {0,2}； 2. -3； 3. 60； 4.

31； 5.6

π

-； 6. 7； 7. 4 8. 2； 9. 32 ； 10. 2； 11. 0； 12. 4.5 ; 13. =3a （1e

）2

＞0， …………………………………………6分

故当x ∈（

1

e

，e ）时，'()f x ＞0恒成立， 故()f x 在区间（1

e ，e ）上单调递增，

故()f x 在区间（1

e

，e ）上没有极值点； …………………………………………10分

当a =0时，由（1）知，()f x 在区间（1

e

，e ）上没有极值点；

当a ＜0时，令221ax x +=0解得，x

故()g x =a x 2

+ln x +1在（012分 ①当g （e ）?g （

1e ）＜0，即﹣22

e

＜a ＜0时， g （x ）在（1e

，e ）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，

②令g （

1e ）=0得2a

e

=0，不可能； …………………………………………14分

③令g （e ）=0得a =﹣

2

2e 1e ，e ），

而g =g （2e ）=+ln 2e ＞0，

又g （

1

e

）＜0， 所以g （x ）在（1

e

，e ）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，

综上所述，实数a 的取值范围是[﹣22

e

，0）．…………………………………………16分

20. 解：（1）设{}n b 的公差为d ，由题意：数列{}n b 的前几项为：

1121,b a b ==324563789104,,,,,,,,19b a b b b a b b b b a ==== …………………………2分

4a 为{}n b 的第10项，则1019b b d =+， ………………………………………4分 2d =，而11b =，

故数列{}n b 的通项公式为n b 12(1)21n n =+-=-.……………………………………6分

（2n b μ+（,λμ为常数），

得2222()2n n n n S b b b λμμμ+=+=++，……① 当1n =得：2212λμμ+=++，……②

当2n ≥时，2211122n n n S b b λμμ---+=++， ……③

①-③得221122()n n n n n b b b b b μ--=-+-， ………………………………………8分

则12()2(2)2n n n n b d b b d d b d d μμ-=++=-+，

若0d =，则11n b b ==，代入④式，得20=，不成立； ……………………………10分

当2n ≥，2(22)2n d b d d μ-=-=常数……④恒成立，又{}n b 为正项等差数列，

当0d ≠时，n b 不为常数，则2

220,20,d d d μ-=??-=?

得1

1,2d μ==， 代入②式，得1

4

λ=

. ………………………………………12分 所以等差数列{}n b 的首项为11b =，公差为1d =，则n b n =.

设{}n a 中的第n 项为数列{}n b 中的第k 项，则n a 前面共有{}n a 的1n -项，又插入了

(1)

123(1)2n n n -++++-=

项，则：(1)(1)12n n k n -=-++22

n n += 故22

n k n n

a b k +===. ………………………………………16分

数学Ⅱ 附加题部分

21.A 证明： 连结,,AE EB OE ，则o 90AOE BOE ∠=∠=． …………………………………2分 因为APE ∠是圆周角，AOE ∠同弧上的圆心角，

所以o 1

452APE AOE ∠=∠=． ………………………5分

同理可得，o 45BPE ∠=，所以PE 是APB ∠的平分线． …………………………………8分 又PC 也是APB ∠的平分线，APB ∠的平分线有且只有一条，所以PC 与PE 重合.

所以直线PC 经过点E . ………………………10分

21.B 解：MN =1002??????1

02

1???

?????=10202????

????

， …………………………………4分 即在矩阵MN 变换下1

102

20

22x x x x y y y y ???

?'????????

??

→==??????????'????????

??

?， ………………………………6分 1

,22

x x y y ''=

=， ………………………………8分 代入得：

1

sin 22

y x ''=， 即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．……………………10分

21.C 解：（1）由 πsin()63ρθ-=

，得1(sin )62ρθθ=:

12y ∴=

120y -+=.

圆的方程为22100x y +=. ………………………………6分

（2）6,10d r == ，

弦长16l =. ………………………………10分

22. 解：设00(,),(,)T x y A x y ，则2

0410x y -+=，① 又(2,0)M -，由2AT TM =

得00(,)2(2,0)x x y y x y --=---， ………………………………5分

0034,3x x y y ∴=+=，

代入①式得24(34)310x y +-+=，即为所求轨迹方程. ………………………………6分 23.解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则1

(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,2,0),(1,1,0),(0,1,)2A D P B C M ，

（1）证明：因为(0,0,1),(0,1,0)AP DC ==

，0,AP DC AP DC ?=⊥ 故所以，

由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，

由此得DC ⊥面PAD ，又DC ?面PCD ，故平面PAD ⊥面PCD .……………………………4分

（2）因(1,1,0),(0,2,1),AC PB ==-

|||2,AC PB AC PB ∴==?=

cos ,||||

AC PB AC PB AC PB ?∴<>==?

………………………………7分

（3）设平面AMC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =

，

则1n AM ⊥ ，11111111

(,,)(0,1,)022

n AM x y z y z ∴?=?=+= ，

又1n AC ⊥ ，111111(,,)(1,1,0)0n AC x y z x y ∴?=?=+=

， 取11x =，得111,2y z =-=，故1(1,1,2)n =-

，

同理可得面BMC 的一个法向量为2(1,1,2)n =

， ………………………………8分

121212

2

cos ,3n n n n n n ?<>==

， ∴平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值为

2

3

. ………………………………10分