第11讲 切比雪夫不等式与大数定律

第11讲 切比雪夫不等式与大数定律

教学目的：1.使学生理解切比雪夫不等式与大数定律的内涵。 2.使学生会用切比雪夫不等式及大数定律解决实际问题。 教学重点：使学生理解切比雪夫不等式与大数定律的内涵。 教学难点：使学生理解切比雪夫不等式与大数定律的统计意义。 教学学时：2学时 教学过程：

第三章 随机变量的数字特征

§3.5 切比雪夫不等式与大数定律

1.切比雪夫（Chebyshev ）不等式

我们知道方差)(X D 是用来描述随机变量X 的取值在其数学期望)(X E 附近的离散程度的，因此，对任意的正数ε，事件ε≥-)(X E X 发生的概率应该与)(X D 有关，而这种关系用数学形式表示出来，就是下面我们要学习的切比雪夫不等式。

定理1 设随机变量X 的数学期望)(X E 与方差)(X D 存在 ，则对于任意正数ε，不等式

2

)

(])([ ε

εX D X E X P ≤≥- （1）

或

2

)

(1])([ ε

εX D X E X P -

≥<- （2）

都成立。不等式（1）和（2）称为切比雪夫不等式。

下面只对连续随机变量情形证明不等式（1）和（2）。 证 设随机变量X 的密度函数为)(x f ，则有

?

≥-=

≥-ε

ε)()(])([ X E x dx x f X E X P ≤

?

≥--ε

ε

)(2

2

)()]

([X E x dx

x f X E x

2

2

2

)

()()]([1

ε

ε

X D dx x f X E x =

-≤

?

+∞

∞

-

由于ε≥-)(X E X 与ε<-)(X E X 是对立事件，故有

2

)

(1])([1])([ ε

εεX D X E X P X E X P -

≥≥--=<-

切比雪夫不等式给出了在随机变量X 的分布未知的情况下，只利用X 的数学期望和方差即可对X 的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。

例1 已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在9400~5200之间的概率。

解 设X 表示每毫升血液中含白细胞个数，则

700

)()(,7300)(==

=X D X X E σ

而

}2100|7300{|1}2100|7300{|}94005200{≥--=≤-=≤≤X P X P X P 又

9

12100

700}2100|7300{|2

2=

≤≥-X P

所以

98}94005200{≥

≤≤X P

2.大数定律

利用切比雪夫不等式，我们可以证明概率论中一个重要的大数定律--切比雪夫定理。

定理2（切比雪夫定理） 设独立随机变量序列 ,,,,21n X X X 的数学期望

),(,),(),(21n X E X E X E

和方差

),(,),(),(21n X D X D X D

都存在，并且方差是一致有上界的，即存在常数C ，使得

,,,2,1 ,)(n i C X D i =≤

则对于任意的正数ε，有

1)|)(1

1

(|

lim 1

1

=<-

∑∑==∞

→εn

i i

n

i i n X E n

X n

P （3）

证 我们用切比雪夫不等式证明该定理。 因为

∑∑

===

n

i i

n

i i X E n

X n

E 1

1

)(1)1(

而n X X X ,,,21 相互独立性，所以

)(1)1

(1

2

1

∑∑===

n

i i

n

i i X D n

X n

D

应用切比雪夫不等式得

)(11)|)(11(|

1

2

2

1

1

∑∑∑

===-

≥<-

n

i i

n

i i

n

i i X D n X

E n

X n

P ε

ε

因为),,2,1( )(n i C X D i =≤，所以∑=≤n

i i nC X D 1

)(，由此得

2

1

1

1)|)(11(|

ε

εn C X E n

X n

P n

i i n

i i -

≥<-

∑

∑

==

当∞→n 时，得

1)|)(1

1

(|

lim 1

1

≥<-

∑∑==∞

→εn

i i

n

i i n X E n

X n

P

但是概率不能大于1，所以有

1)|)(11(|

lim 1

1

=<-

∑∑

==∞

→εn

i i

n

i i n X

E n

X n

P

切比雪夫定理说明：独立随机变量序列 ,,,,21n X X X 的数学期望与方差都存在，

且方差一致有上界，则经过算术平均后得到的随机变量∑

==

n

i i

X n

X 1

1，当n 充分大时，

它的值将比较紧密地聚集在它的数学期望X E 的附近，这就是大数定律的统计意义。

切比雪夫定理的一个重要推论就是著名的伯努利定理。

定理3（伯努利定理） 在独立试验序列中，设事件A 的概率P （A ）=p ，则对于任

意的正数ε，当试验的次数∞→n 时，有

1)|)((|lim =<-∞

→εp A f P n n

其中)(A f n 是事件A 在n 次试验中发生的频率。

证 设随机变量i X 表示事件A 在第i 次试验中发生的次数（ ,,,2,1n i =），则这些随机变量相互独立，服从相同的“0-1”分布，并有数学期望与方差：

,,,2,1,4

1)1()(,)(n i p p X D p X E i i =≤

-==

于是，由切比雪夫定理得

1)|1

1

(|

lim 1

1

=<-

∑∑==∞

→εn

i n

i i n p n

X n

P

易知∑=n

i i X 1

就是事件A 在n 次试验中发生的次数A n ，由此可知

)(1

1

A f n

n X n

n A n

i i ==

∑=

所以有

1)|)((|lim =<-∞

→εp A f P n n

伯努利定理说明：当试验在相同的条件下重复进行很多次时，随机事件A 的频率

)(A f n 将稳定在事件A 的概率P （A ）附近，这个正确的论断曾经在一系列的科学试验

以及大量的统计工作中得到证实，而伯努利定理从理论上对此给出了严格的证明。 例2 从某工厂的产品中任取200件来检查，结果发现其中有6件次品，能否相信该工厂产品的次品率?%1≤p

解 假设该工厂的次品率%1≤p ，则检查200件产品其中次品率6≥X 的概率应为

∑∑=-=--

=≤

≥5

200200

200

6

200200

)

09.0()01.0(1)

99.0()01.0()6(x X

X X x x

x x

C

C

X P

因为200=n 很大，且01.0=p 较小，故可按近似公式计算，并有201.0200=?=λ，从而

0166

.0 )

0361.00902.01804.02707.02707.01353.0(1!

2

1)6(2

5

=+++++-≈-

≤≥-=∑

e

x X P x x

在工业生产中一般把概率小于0.05的事件认为是小概率事件，由此可见上述事件

X 6≥是小概率事件。按小概率事件的实际不可能性原理，小概率事件在个别试验中实际上是不可能发生的，而现在却发生了，所以不能相信该工厂产品的次品率p 1≤%。