2011-2012全国各地中考数学试题分考点解析汇编_开放探究型问题

2011-2012全国各地中考数学试题分考点解析汇编
开放探究型问题
一、选择题
1.（2011辽宁抚顺3分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线OM是正比例函数y＝－3x的图象，点A的坐标为(1,0)，在直线OM上找点N，使△ONA是等腰三角形，符合条件的点N的个数是．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】A。
【考点】正比例函数图象的性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定。
【分析】如图，根据正比例函数图象的性质和锐角三角函数，可以求出
∠AON2＝600，故当OA＝O N2时，A N2＝OA。因此符合条件的点N只有
N1和N2两个。故选A。
2.（2011黑龙江龙东五市3分）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD
上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为E、F、G、H，则图中
面积相等的平行四边形的对数为
A、3 B、4 C、5 D、6
【答案】D。
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的全等三角形，即。则，
。因此图
中面积相等的平行四边形的对数有三对：，。故
选D。
3.（2011黑龙江龙东五市3分）在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP=MP ②当∠ABC=60°时，MN∥BC ③ BN=2AN ④AN︰AB=AM︰AC，一定正确的有
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【答案】C。
【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与和性质，平行的判定，锐角三角函数的定义。
【分析】①由BN、CM为高，P为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得NP=MP。故①正确。
②由BN、CM为高与∠A是公共角，易证△AMN∽△ABC，然后由∠BAC=60°与∠ABC=60°，可得△ABC是等边三角形，则得∠AMN=∠ABC=60°，即可得MN∥BC。故②正确。
③若BN=2AN，需∠ABN=30°= ∠ABC，这个条件已知没有，故③错误。
④由②△AMN∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例的性质，即可证得AN：AB=AM：AC。故④正确。
综上所述，一定正确的有3个：①②④。故选C。
4.（2011广西梧州3分）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC
与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是
（A）△ACE≌△BCD （B）△BGC≌△AFC
（C）△DCG≌△ECF （D）△ADB≌△CEA
【答案】D。
【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平角的定义。
【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定可得结论：
（A）∵BC＝AC，∠BCD＝600＋∠ACD＝∠ACE，C

D＝CE，∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（B）∵BC＝AC，由（A）得∠GBC＝∠FAC，∠BCG＝600＝∠ACF，∴△BGC≌△AFC（AAS）；
（C）∵DC＝EC，由（A）得∠GDC＝∠FEC，∠GCD＝600＝∠FCE，∴△DCG≌△ECF（AAS）；
（D）△ADB≌△CEA不一定成立，只有△ABC≌△CDE才成立。
故选D。
5. （2011江西南昌3分）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是
A.BD=DC， AB=AC B.∠ADB=∠ADC，BD=DC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C，BD=DC
【答案】D。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】.∵AD=AD，A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABC≌△ACD，正确；B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABC≌△ACD，正确；
C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABC≌△ACD，正确；D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABC≌△ACD，错误。故选D。
6.（2011四川雅安3分）已知线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为
A 、 B、 C、 D、
【答案】C。
【考点】黄金分割。
【分析】黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点。
∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴AC= AB，
而AB=10cm，∴AC= ×10= （cm）。故选C。
7.（2011安徽省4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝，
点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B。
【考点】点到直线的距离，勾股定理，等腰三角形的性质。
【分析】如图，过点A 作AE⊥BD于E，过点C 作AE⊥BD于F，∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2 ，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AE=2> ，∴在AB和AD边上各有一点，使点P到BD的距离为。又∵∠CDF＝∠ADC－∠ADB＝45°，CD＝，∴CF=1< 。∴在CB和DD边上不存在点，使点P到BD的距离为。故选B。
8.（2011贵州毕节3分）如图，已知AB＝AC，∠A＝，AB的中垂线MD交AC于
点D、交AB于点M。下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD，正确的有( )个
A、4 B、3 C、2 D、1
【答案】B。
【考点】相似三角形的判定，全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理。
【分析】首先由AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC与∠C的度数，则可求得所有角的度数，可得△BCD也是等腰三角形，则可证得△ABC∽△BCD：
∵AB的中垂线MD交AC

于点D、交AB于点M，∴AD=BD。∴∠ABD=∠A=36°。
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°。∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=36°。∴∠ABD=∠CBD。
∴BD是∠ABC的平分线。故①正确。
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°。∴∠BDC=∠C=72°。
∴△BCD是等腰三角形，故②正确。
∵∠C=∠C，∠BDC=∠ABC=72°，∴△ABC∽△BCD。故③正确。
∵△AMD中，∠AMD=90°，△BCD中没有直角，∴△AMD与△BCD不全等。故④错误。
故选B。
9.（2011福建龙岩4分）现定义运算“★”，对于任意实数、，都有 ★ = ，如：3★5= ，若x★2=6，则实数x的值是
A．或 B．4或 C．4或 D．或2
【答案】B。
【考点】新定义．因式分解法解一元二次方程。
【分析】根据新定义 ★ = ，将方程x★2=6转化为一元二次方程求解：
依题意，原方程化为x2－3x＋2=6，即x2－3x－4=0，
分解因式，得（x＋1）（x－4）=0，解得x1=－1，x2=4。故选B。
二、填空题
1.（2011天津3分）) 已知一次函数的图象经过点(0．1)．且满足随的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为 ▲ (写出一一个即可)．
【答案】（答案不唯一）。
【考点】一次函数的图象和性质。
【分析】根据一次函数的图象和性质，直接得出结果。答案不唯一，形如都可以。
2.（2011浙江湖州4分）如图，已知抛物线经过点(0，－3)，请你确定一
个的值，使该抛物线与轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的的值
▲ ．
【答案】（答案不唯一）。
【考点】抛物线与轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】把（0，－3）代入抛物线的解析式得： =－3，∴ ∵确定一个的值，使该抛物线与轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，假如过（2，0），代入得：0=4＋2 －3，
∴ 。
3.（2011浙江金华、丽水4分）已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是 ▲ （写出一个即可）．
【答案】6。
【考点】三角形三边关系，解不等式。
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果：设第三边的长度为，则有8－4＜＜8＋4，即4＜＜12。故答案为4＜＜12之间的数。
4.（2011浙江台州5分）如果点P( ， )的坐标满足＋＝，那么称点P为和谐点．
请写出一个和谐点的坐标： ▲ ．
【答案】（2，2）（答案不唯一）。
【考点】点的坐标。
【分析】由题意点P( ， )的坐标满足＋＝，当 =2时，代入得到2+ =2 ，求出y=2。所以
（2，2）是和谐点。
5.（2011浙江省3分）定义新运算“⊕”如下：当 ≥ 时， ⊕ = ＋ ,当 < 时， ⊕ = －；若(2 -1)⊕( +2)=0，则 = ▲ ．
【答案

】－1或。
【考点】求代数式的值。
【分析】根据定义，当2 －1≥ ＋2时，即 ≥3时，
由(2 －1)⊕( ＋2)=0得(2 -1) ( ＋2)＋( ＋2)=0，解之得 =－2或0，均不合 ≥3，舍去；
当2 －1≥ ＋2时，即 <3时，
由(2 －1)⊕( ＋2)=0得(2 －1) ( ＋2)－(2 －1) =0，解之得 =－1或，符合 <3。
6.（2011辽宁沈阳4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE=EF=FA．下列结论：①△ABE≌△ADF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④BE＋DF=EF；⑤S△ABE＋S△ADF=S△CEF，其中正确的是 ▲ （只填写序号）．
【答案】①②③⑤。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】由已知得AB=AD，AE=AF，利用“HL”可证△ABE≌△ADF，利用全等的性质判断①②③正确。在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF，由正方形，等边三角形的性质可知∠DAF=15°，从而得∠DGF=30°，设DF=1，则AG=GF=2，DG= ，分别表示AD，CF，EF的长，判断④⑤的正确性：AD=CD=2+ ，CF=CE=CD-DF=1+ ，∴EF= CF= + ，而BE+DF=2，∴④错误。⑤∵S△ABE+S△ADF=2× AD×DF=2+ ，
S△CEF= CE×CF= =2+ ，∴⑤正确。
7.（2011辽宁抚顺3分）已知点P(－1,2)在反比例函数的图象上，请任意写出此函数图象上一个点(不同于P点)的坐标是 ▲ ．
【答案】(1，－2)答案不唯一。
【考点】点的坐标与方程的关系。
【分析】根据点在反比例函数的图象上，点的坐标满足方程的关系，由点P(－1,2)在反比例函数的图象上，代入即可求出＝－2，从而得到反比例函数的表达式，这样只要写出任意一点满足的点即可。
5.（2011吉林省2分）如图，⊙O是⊿ABC的外接圆，∠BAC＝500，点P在AO上（点P 不点A.O重合）则∠BPC可能为____ ▲_____度（写出一个即可）.
【答案】70 （答案不唯一，大于50小于100都可）。
【考点】三角形外角定理，同弧所对圆周角与圆心角的关系。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的关系，得∠BOC＝1000，由三角形外角定理知，∠BPC在∠BAC和∠BOC之间，即500和1000之间。
6.（2011黑龙江大庆3分）在四边形ABCD中，已知△ABC是等边三角形，
∠ADC＝30o，AD＝3，BD＝5，则边CD的长为 ▲ ．
【答案】4。
【考点】等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，过点D作DE⊥AD并取DE＝DC，连接CE，AE。
∵∠ADC＝30o，∴∠EDC＝60o。∴△DCE是等边三角形。∴DC＝EC，∠DCE＝60o。
又∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠BCA＝60o。∴∠BCD＝60o＋∠ACD＝∠ACE。
∴△BCD≌△DACE（SAS）。∴AE＝BD。
∴在R △ADE中，AD＝3，AE＝BD＝5，DE＝。
∴边CD的长为4。
6.（2011黑龙江龙东五市3分）如图所示，正方形ABCD中，点E

在BC上，点F在
DC上，请添加一个条件： ▲ ，使△ABE≌△BCF（只添一个条件即可）。
【答案】BE=CF（答案不唯一）。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定。
【分析】根据已知条件正方形ABCD可知AB=BC，∠ABC=∠C=90°，要使△ABE≌△BCF，加上条件BE=CF，可以用SAS证明其全等；或加上条件AE=BF，可以用HL证明其全等；或……
7.（2011黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件： ▲ ，使得AC＝DF．
【答案】AB=DE（答案不唯一）。
【考点】全等三角形的判定，平行的性质。
【分析】要使AC=DF，则必须满足△ABC≌△DEF，已知AB∥DE，BF=CE，则可得到∠B=∠E，BC=EF，从而添加AB=DE即可利用SAS判定△ABC≌△DEF；添加∠A=∠D即可利用AAS判定△ABC≌△DEF；
添加∠ACB=∠DFE即可利用ASA判定△ABC≌△DEF；等等。
9.（2011黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有 ▲ 种购买方案．
【答案】2。
【考点】二元一次方程（不定方程）的应用。
【分析】设甲种运动服买套，乙种买套钱都用尽，根据题意列出方程：20 ＋35 ＝365得＝，根据，必须为整数，化为＝。要使为整数，要被4整除。同时考虑到35 ≤365，即 ≤10 ，所以只能取3，7。故在钱都用尽的条件下，有2种购买方案：甲种运动服买13套，乙种买3套；甲种运动服买6套，乙种买7套。
10.（2011黑龙江牡丹江3分）如图，△ABC的高BD、CE相交于点O．请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件，使BD=CE．你所添加的条件是 ▲
【答案】∠DBC＝∠ECB或∠EBC＝∠DCB 或AB＝AC或AE＝AD等。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】由△ABC的高BD、CE相交于点0，可得∠BEC=∠CDB=90°，又由要使BD=CE，只需△BCE≌△CBD或△ABD≌△ACE，根据全等三角形的判定定理与性质，即可求得答案：∠DBC＝∠ECB或∠EBC＝∠DCB时，利用AAS即可证得△BCE≌△CBD；当BE=CD时，利用HL即可证得△BCE≌△CBD；当AB=AC或AE＝AD时，利用AAS即可证得△ABD≌△ACE等。
11.（2011广西贺州3分）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：_ ▲ ．
【答案】（答案不唯一）。
【考点】正比例函数图象的性质。
【分析】根据正比例函数图象的性质知，对于正比例函数，当时其图象经过第二、四象限。
12.（2011广西钦州3分）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：_ ▲ ．

【答案】（答案不唯一）。
【考点】正比例函数图象的性质。
【分析】根据正比例函数图象的性质知，对于正比例函数，当时其图象经过第二、四象限。
13.（2011广西玉林、防城港3分）如图，AB是半圆O的直径，以OA为直径的半圆O′与弦AC交于点D，O′E∥AC，并交OC于点E．则下列四个结论：
①点D为AC的中点；② ；③ ；④四边形O'DEO是菱形．其中正确的结论是 ▲ ．（把所有正确的结论的序号都填上）
【答案】①③④。
【考点】圆周角定理，平行的判定和性质，互为余角的性质，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定。
【分析】①如图，连接OD，∵AO是半圆O′的直径，∴∠ADO＝900。
∴∠CDO＝900。又∵O′E∥AC且A O′＝O′O，∴CE＝EO。∴DE＝CE。∴∠CDE＝∠DCE。又∵AO＝CO，
∴∠ACE＝∠CAO。∴∠CDE＝∠CAO。∴DE∥AO。∴点D为AC的中点。故结论①正确。
②由①易知，△O′OE∽△AOC，而AO＝2O′O，∴ 。故结论②错误。
③由弧长公式知，，，∴ 。故结论③正确。
④由①易知，O′O＝OE＝DE＝AD，∴四边形O'DEO是菱形。故结论④正确。
综上所述，①③④正确。
14.（2011湖南郴州3分）写出一个不可能事件 ▲ ．
【答案】明天是三十二号（答案不唯一）。
【考点】随机事件。
【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件。例如，一个月最多有31天，故明天是三十二号不可能存在，为不可能事件。
15.（2011湖南湘潭3分）规定一种新的运算：，则 ▲ ．
【答案】。
【考点】代数式求值。
【分析】把 =1， =2代入式子计算即可：。
16.（2011湖南怀化3分）定义新运算：对任意实数、，都有．例如，那么 ▲
【答案】3。
【考点】有理数的混合运算。
【分析】根据公式求的值，也相当于 =2， =1时，代入求值，所以。
17.（2011湖南邵阳3分）请写出一个解为＝2的一元一次方程： ▲
【答案】2 =4（答案不唯一）。
【考点】一元一次方程的解。
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。根据题意，此题有多种答案，只要让解为2即可。
18.(江苏无锡2分) 请写出一个大于1且小于2的无理数： ▲ ．
【答案】。
【考点】无理数。
【分析】根据无理数的定义，直接得出结果。
19.（2011江苏连云港3分）写出一个比－1小的数是_ ▲ ．
【答案】－2（不唯一）。
【考点】有理数的大小比较。
【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小，可得－2＜－1，所以可

以填－2。
20.（2011江苏淮安3分）在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 ▲ .（写出一种即可）
【答案】∠A＝90°(答案不唯一) 。
【考点】矩形的判定。
【分析】由于已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，从而根据平行四边形的判定定理，四边形ABCD是平行四边形。再根据有一个角是直角或对角线相等的平行四边形是矩形的判定定理，只要写出下列条件即可：∠A＝90°，∠B＝90°，∠C=90°，∠D＝90°或AC＝BD。
21.（2011山东淄博4分）写出一个大于3且小于4的无理数： ▲ ．
【答案】如等，答案不唯一。
【考点】无理数。
【分析】根据无理数的定义，直接得出结果。
22.（2011潍坊3分）写出一个关于的函数，使其具有两个性质：①图象过（2，1）点；②在第一象限内
随的增大而减小. 函数解析式为 ▲ . （写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）。
【考点】一次、二次函数和反比例函数的性质，待定系数法，图象上点的坐标与方程的关系。
【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可：如一次函数，可设函数解析式为等，把（2，1）代入即可求得等；如反比例函数，可设函数解析式为，把（2，1）代入即可求得；
如二次函数，可设函数解析式为等，把（2，1）代入即可求得
等。
23.（2011广东湛江4分）如图，点B，C，F，E在同直线上，∠1=∠2，BC=EF，∠1　▲　（填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，可以是　▲　（只需写出一个）
【答案】不是，AC=FD（答案不唯一）。
【考点】全等三角形的判定，对顶角、邻补角的定义。
【分析】根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角．要使△ABC≌△DEF，已知∠1=∠2，BC=EF，则只需补充AC=FD或∠BAC=∠FED都可，答案不唯一。
24. （2011江西省B卷3分）试写一个有两个不相等实根的一元二次方程: ▲
【答案】x2+4x﹣5=0（答案不唯一）。
【考点】一元二次方程的根。
【分析】满足k（x－a）（x－b）=0（k≠0，a≠b）即可。
25.（2011四川广安3分）写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式 ▲
【答案】y=－x＋1（不唯一）。
【考点】一次函数的性质。
【分析】对于一次函数y=kx＋b（k≠0，k，b为常数），当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小，所以只有k取一个负数，b为任意数即可。如可以取k=－1，b=1，则此一次函数为y=－x＋1。
27.（2011青海省2分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是CD延长

线上的任意一点，连接BE交AD于点O，如果△ABO≌△DEO，则需要添加的条件是 ▲ 。（只需一个即可，图中不能添加任何点或线）
【答案】OA=OD（答案不唯一）。
【考点】开放型题，平行四边形的性质，全等三角形的判定。
【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DE，所以∠ADE=∠BAD，∠ABO=∠E，若使△ABO≌△DEO则少一对边相等，所以可添加的条件为OA=OD或AB=DE或OB=OE等。
28.（2011安徽省5分）定义运算a b＝a(1－b)，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①2 (－2)＝6 ②a b＝b a
③若a＋b＝0，则(a a)＋(b b)＝2ab ④若a b＝0，则a＝0．
其中正确结论的序号是 ▲ (填上你认为所有正确结论的序号)．
【答案】①③。
【考点】代数式代换。
【分析】①2 (－2)＝2＝6，结论正确； ②a b＝a(1－b)＝a－ab，b a＝b(1－a)＝b－ab，∴a b与b a不一定相等，结论错误； ③∵a＋b＝0，∴(a a)＋(b b)＝a(1－a)＋b(1－b)＝a＋b＋2ab＝2ab，结论正确； ④∵a b＝0，∴a(1－b)＝0，则a＝0或b＝1。结论错误。因此，正确结论的序号是①③。
29.（2011辽宁葫芦岛3分）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝－2a＋3b.如：1⊕5＝－2×1＋3×5＝13.则不等式x⊕4＜0的解集为 ▲ ．
【答案】x＞6。
【考点】新运算，代数式变形，解一元一次不等式。
【分析】由a⊕ b＝－2a＋3b，得x⊕4＝－2x＋12，故x⊕4＜0即－2x＋12＜0，解得x＞6。
30.（2011辽宁锦州3分）若一次函数的图象经过点(2，1)，则该一次函数的表达式可能是 ▲ ．
【答案】（不唯一）。
【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设一次函数的表达式为，把(2，1)代入，得。因此只要满足的一次函数均可。令，则。从而该一次函数的表达式可能是。
31.（2011辽宁盘锦3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为AD、AB的中点，连接DF、CE，DF与CE交于点H，则下列结论：①DF⊥CE；②DF＝CE；③DECE＝HDCD；④DEDC＝HDHE.其中正确结论的序号有 ▲ ．
【答案】①②③。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判定，相似三角形的判定和性质。
【分析】由正方形的性质和点E、F分别为AD、AB的中点，根据SAS可得△ADF≌△DCE，从而得到DF＝CE。故②正确。
由△ADF≌△DCE可得∠DEC＝∠AFD，所以∠DHE＝∠DAF＝900，从而得DF⊥CE。故②正确。
由△DEH∽△CED（易证）可得DECE＝HDCD，故③正确。
由△DEH∽△CDH（易证）可得，故④不正确。
因此，正确结论的序号有①②③。
32.（2011云南曲靖3分）某种药品的说明书上标明保存温

度是（20±2）℃，请你写出一个适合药品保存的温度 ▲ ;
【答案】210C（答案不唯一）。
【考点】正负数。
【分析】只要写出一个18℃到22℃之间的温度即可。
33.（2011贵州毕节5分）对于两个不相等的实数、，定义一种新的运算如下，
，如：，那么＝。
【答案】1。
【考点】实数的运算。
【分析】根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果：∵ ，∴ ，∴ 。
34.（2011贵州贵阳4分）写出一个开口向下的二次函数的表达式 ▲ ．
【答案】。
【考点】二次函数的性质。
【分析】开口向下，二次项系数为负，写出满足条件的函数解析式即可，如等等，答案不唯一。
35.（2011贵州铜仁4分）写出一概率为1的事件（即必然事件）： ▲ ；
【答案】1＋1=2（答案不唯一）
【考点】概率的意义。
【分析】根据必然事件的定义，此事件发生的概率为1，写出即可：1＋1=2。
36.（2011云南昭通3分）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC＝EF，AD＝FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ▲ 。（只需填一个即可）
【答案】∠A＝∠F或AC∥EF或BC＝DE（答案不唯一）。
【考点】全等三角形的判定，平行的性质。
【分析】由AD＝FB，可得AE＝FD，所以添加∠A＝∠F，根据SAS的判定，可得△ABC≌△FDE；添加AC∥EF，由两直线平行内错角相等的性质，可得∠A＝∠F，从而根据SAS的判定，可得△ABC≌△FDE；添加BC＝DE，根据SSS的判定，可得△ABC≌△FDE。
37.（2011广东珠海4分）写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式_ ▲ ．
【答案】y＝－ 1x （答案不唯一）。
【考点】反比例函数。
【分析】根据反比例函数图象的特点，图象位于第二、第四象限时，它的横坐标与纵坐标的积小于0，即中。据此直接得出结果。
三、解答题
1.（2011浙江舟山、嘉兴10分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD
为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC= （0°＜＜90°），
① 试用含的代数式表示∠HAE；
② 求证：HE=HG；
③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

【答案】解：（1）四边形EFGH的形状是正方形。
（2）①在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD， ∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣α。
∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°

。
∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣α）=90°+α。
因此，用含α的代数式表示∠HAE是90°+α．
②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，∴AE= AB，DC= CD，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，∴AE=DG。
∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，∴∠HDA=∠CDG=45°。
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+α=∠HAE，
∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD。∴△HAE≌△HDC。∴HE=HG。
③四边形EFGH是正方形。理由是：
由②同理可得：GH=GF，FG=FE。
∵HE=HG，∴GH=GF=EF=HE。∴四边形EFGH是菱形。
∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG=∠AHE。
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°。
∴四边形EFGH是正方形。
【考点】正方形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，菱形的判定和性质。
【分析】（1）根据等腰直角三角形得到角都是直角，且边都相等即可判断答案。
（2）①∠HAE=90°+α，根据平行四边形的性质得出，∠BAD=180°﹣α，根据△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD=∠EAB=45°，求出∠HAE即可。
②根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE= AB，DC= CD，平行四边形的性质得出AB=CD，求出∠HDG=90°+α=∠HAE，证△HAE≌△HDC，即可得出HE=HG。
③由②同理可得：GH=GF，FG=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，证△HAE≌△HDG，求出∠AHD=90°，∠EHG=90°，即可推出结论。
2.（2011浙江绍兴12分）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况?探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答題目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．
【答案】解：（1）=。
（2）=。证明如下：
在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC。∴AE=AF=EF。∴AB－AE=AC－AF，即BE=CF。
∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB。
∵∠ABC=∠EDB＋∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∴∠BED=∠FCE，∴△DBE≌△EFC（SAS）。∴DB=EF。∴AE=BD。
（3）答：C

D的长是1或3。
【考点】全等三角形的判定和性质，三角形外角定理；等边三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案。
（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案。
（3）分为两种情况：一是E在AB的延长线上，D在线段CB的延长线上，求出CD=3，二是E在BA的延长线上，D在线段BC的延长线上，求出CD=1，即可得到答案。
2.（2011浙江杭州10分）设函数（为实数）
（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出
这两个特殊函数的图像；
（2）根据所画图像，猜想出：对任意实数，函数的图像都具有的特征，并给予证明；
（3）对任意负实数，当时，随着的增大而增大，试求出的一个值
【答案】解：（1）如两个函数为，函数图形函数图形如图所示：
（2）不论取何值，函数的图象必过定点
（0，1），（-2，-1）且与轴至少有1个交点。证明如下：
在中，
令，得；令，得。
∴不论取何值，函数的图象必过定点
（0，1），（-2，-1）。
又∵当时，函数的图像与轴有一个交点；
当时，，所以函数图像与轴有两个交点.
∴函数的图象与轴至少有1个交点。
（3）只要写出的数都可以.
，
函数的图像在对称轴直线的左侧，随的增大而增大，
根据题意，得，而当时，
所以。
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）令 =0或1，分别得到两个特殊函数，画出图象即可。
（2）猜想：不论取何值，函数的图象必过定点（0，1），（-2，-1）。
令，得；令，得。可知当x2+2x=0，即x=0或-2时，函数值与的取值无关。
（3）只求m的一个值即可．当＜0时，抛物线对称轴为直线，在对称轴左侧，随
的增大而增大，根据题意，得，而当＜0时，，可确定m的范围，
在范围内取m的一个值即可。
3.（2011浙江宁波10分）阅读下面的情景对话，然后解答问题：

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还
是假命题？
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB= ，AC= ，BC= ，且，若Rt△ABC是奇异三角形，
求；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是
半圆ADB的中点， C、D在直径AB两侧，若在⊙O内存在点E，使得
AE=AD，CB=CE．
① 求证：△ACE是奇异三角形；
② 当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
【答案】解：(1) 真命题。

(2) 在Rt△ABC中，
∵ ，∴ ，。
∴若Rt△ABC为奇异三角形，一定有。
∴ 。∴ 得。
∵ ，∴ 。∴ 。
(3) ①∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ACB中，，
在Rt△ADB中，，
∵点D是半圆的中点
∴AD= BD。∴ 。∴ 。∴ 。
又∵ ，∴ 。∴△ACE是奇异三角形。
②由①可得△ACE是奇异三角形，∴ 。
当△ACE是直角三角形时,
由（2）可得或。
（Ⅰ）当时，，即。
∵ ，∴ ∴ 。
（Ⅱ）当时，，即。
∵ ，∴ 。∴ 。
∴ 的度数为。
【考点】勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理。
【分析】（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可。
（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得与，用表示出与，即可求得答案。
（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得。
②利用（2）中的结论，分别从与去分析，即可求得结果。
4.（2011浙江义乌10分）如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P
与点C不重合)，连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结AA1，
射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.
（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在 ▲ 关系（填“相似”
或“全等”），并说明理由；
（2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？
若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP= ，△A1BB1的面积为S，求S关于的函数关系式.

【答案】解: （1）相似。
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α ， AP= A1P， BP=B1P，
则 ∠PAA1 =∠PBB1 = 。
∵∠PBB1 =∠EBF，∴∠PAE=∠EBF。
又∵∠BEF=∠AEP ，∴△BEF ∽△AEP 。
（2）存在，理由如下：易得：△BEF ∽△AEP。
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可，∴∠BAE=∠ABE。
∵∠BAC=60°，∴∠BAE= 。
∵∠ABE=β ，∠BAE=∠ABE，
∴ 即α=2β+60° 。
（3）连结BD，交A1B1于点G，过点A1作A1H⊥AC于点H。
∵∠B1 A1P=∠A1PA=60° ，∴A1B1∥AC。
由题意得：AP= A1 P ， ∠A=60°。
∴△PAA1是等边三角形。∴A1H= 。
在Rt△ABD中，BD=
∴BG=
∴ （0≤ ＜2）。
【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定

和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】（1）通过证明∠PAE=∠EBF，结合公共角证明即可。
（2）易得：△BEF∽△AEP，结合一组对应边相等的相似图形全等，最后根据全等三角形的性质可知。
（3）连接BD，交A1B1于点G，过点A1作A1H⊥AC于点H．根据三角形的面积公式可得S关于的函数关系式。
5.（2011浙江省12分）设直线l1:y1=k1x+b1与l2:y2=k2x+b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．
(1) 已知直线① ；② ；③ ；④ 和点C（0，2）．则直线和是点C的直角线（填序号即可）；
(2) 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A（3,0）、B（2,7）、C（0,7），P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与 l2是点P的直角线，求直线l1与 l2的解析式．
【答案】解：（1）画图象可知，直线①与直线③是点C的直角线；

（2）设P坐标为(0，m)，则PB⊥PB于点P。因此，AB2=(3－2)2＋72=50。
又 ∵ PA2=PO2＋OA2=m2＋32，PB2=PC2＋BC2=(7－m)2＋22，
∴AB2=PA2＋PB2=m2＋32＋(7－m)2＋22=50。
解得：m1=1，m2=6.
当m=1时，l1为：， l2为：；
当m=6时，l1为： , l2为：。
【考点】勾股定理，直线上点的坐标与方程的关系，待定系数法。
【分析】（1）画图由图直接知。
（2）由勾股定理求出点P的坐标，用待定系数法求出方程。
6.（2011辽宁沈阳12分）已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以
AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．
⑴如图1，当点D在边BC上时，
①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；
⑵如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立？
请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
⑶如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补
全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．

【答案】解：⑴①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°。
∵∠DAF=60°，∴∠BAC=∠DAF。∴∠BAD=∠CAF
∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF。∴△ABD≌△ACF（SAS）。
∴∠ADB=∠AFC。
②结论：∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立。
⑵结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立。∠AFC、，∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：
∠AFC=∠ACB－∠DAC。证明如下：
∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°。
∵∠BAC=∠DAF，∴∠BAD=∠CAF。
∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF。
∴△ABD≌△ACF（SAS）。∴∠ADC=∠AFC
又∵∠ACB=∠ADC

＋∠DAC，∴∠AFC=∠ACB－∠DAC。
⑶补全图形如图。
∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：
∠AFC=2∠ACB－∠DAC或∠AFC＋∠DAC＋∠ACB=180°。
【考点】全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角定理，菱形的性质。
【分析】（1）要证∠ADB=∠AFC只要由AB=AC，AD=AF，∠BAD=∠CAF，按照SAS判断两三角形全等即可得出；由△ABD≌△ACF即有∠AFC=∠ADB，而由三角形外角定理∠ADB=∠ACB＋∠DAC，从而有∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立。
（2）先判断得出正确的等量关系，然后再根据△ABD≌△ACF即可证明。
（3）补全图形后由图形即可得出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系。
7.（2011辽宁大连11分）在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝ ∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．
⑴当AB＝AC时，（如图1），
①∠EBF＝_______°；
②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
⑵当AB＝kAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．

【答案】解：（1）①22.5。
②BE＝ FD。证明如下：
过点D作DG∥CA交BE的延长线于点G，交AB于点H。
∵DG∥CA，∠EDB＝ ∠C，∴∠BDE=∠GDE。
又∵BE⊥DE，∴∠BED=∠GED=90°。
又∵DE= DE，∴△BED≌△GED（AAS）。
∴BE=GE，即BE= GB。
∵DG∥CA，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠BHG=∠DHF=90°，BH=DH。
又∵∠G=∠G，∴∠GBH=∠FDH，∴△BGH≌△DFH（AAS）。∴GB=FD。
∴BE＝ FD。
（2）过点D作DG∥CA交BE的延长线于点G，交AB于点H。
同（1）可证BE= GB，即GB=2BE。
∵DG∥CA，∴△BHD∽△BAC。∴ ，即。
又∵AB＝kAC，∴ 。
又∵DG∥CA，∠A＝90°，∴∠BHG=∠DHF=90°，
又∵∠G=∠G，∴∠GBH=∠FDH，∴△BGH∽△DFH。
∴ 。∴ ，即。
【考点】等腰直角三角形的性质，平行的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等量代换。
【分析】（1）①根据题意可判断△ABC为等腰直角三角形，据此即可推断∠C=45°，从而可知∠EDB=22.5°．然后求出∠EBF的度数：∵AB=AC，∠A=90°，∴∠ABC=∠C=45°。∵∠EDB= ∠C，∴∠EDB=22.5°。∵BE⊥DE，∴∠EBD=67.5°。∴∠EBF=67.5°-45°=22.5°。
②要证BE＝ FD，即要2BE= FD，故作辅助线：过点D作DG∥CA交BE的延长线于点G，交AB于点H。这样只要证GB=FD和GB=FD即可。两者都可由△BED≌△GED和△BGH≌△DFH 证得。
（2）仿（1）②，只不过把证全等改为证相似，即可得出结论。
8.（2011辽宁本溪12分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB

与α的大小关系，并证明你的猜想；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC=BD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．

【答案】解：（1）AC′=BD′，∠AMB=α。证明如下：
在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD，∴OA=OC=OB=OD。
又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OB=OD′=OA=OC′。
又∵∠D′OD=∠C′OC，∴180°－∠D′OD=180°－∠C′OC，∴∠BOD′=∠AOC′。
∴△BOD′≌△AOC′（SAS）。∴BD′=AC′。
∴∠OBD′=∠OAC′。
设BD′与OA相交于点N，
∴∠BNO=∠ANM。∴180°－∠OAC′－∠ANM=180°－∠OBD′－∠BNO。
即∠AMB=∠AOB=∠COD=α。
综上所述，BD′=AC′，∠AMB=α。
（2）AC′=kBD′，∠AMB=α。证明如下：
在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC，
又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OB：OA=OD′：OC′。
又∵∠D′OD=∠C′OC，∴180°－∠D′OD=180°－∠C′OC。∴∠BOD′=∠AOC′。
∴△BOD′∽△AOC′。∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC。∵AC=kBD，∴AC′=kBD′。
∵△BOD′∽△AOC′，设BD′与OA相交于点N，∴∠BNO=∠ANM。
∴180°－∠OAC′－∠ANM=180°－∠OBD′－∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α。
综上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α。
（3）AC′=BD′成立，∠AMB=α不成立。
【考点】全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的性质，等腰梯形的性质，旋转的性质，平角的定义。
【分析】（1）根据矩形的性质及角之间的关系证明△BOD′≌△AOC′，得出对应边对应角相等，推理即可得出结论。
（2）先进行假设，然后根据平行四边形的性质及相似三角形比例关系即可得出答案。
（3）根据题意并结合图示即可得出结论。
9．（2011辽宁丹东12分）己知：正方形ABCD．
（1）如图l，点E、点F分别在边AB和AD上。且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．
（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立．请说明理由．
（3）如图3．等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺顿时针旋转∠α，当时，连接BE、DF，猜想；AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．请直接写出结论．
（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．

【答案】解

：（1）BE＝DF且BE⊥DF。
（2）成立。证明如下：在△DFA和△BEA中，
∵∠DAF＝90°－∠FAB，∠BAE＝90°－∠FAB，∴∠DAF＝∠BAE。
又∵AB＝AD，AE＝AF，∴△DFA≌△BEA（SAS）。
∴BE＝DF，∠ADF＝∠ABE＝。∴BE⊥DF。
（3）AE＝（－1）AD。
（4）正方形。
【考点】旋转的性质，等量代换，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，正方形的判定和性质。
【分析】（1）根据正方形的性质，AB＝AD，由AE＝AF，可得BE＝DF且BE⊥DF。
（2）通过证明△DFA≌△BEA，可得（1）中的结论依然成立。
（3）连接BD，由直线DF垂直平分BE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得AD＋AE＝BD，BD＝ AD，解答出即可。
（4）如图，通过证明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，结合（2）中结论，可得到各边中点所组成的四边形的形状。
10（2011辽宁抚顺12分）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α(0°＜α＜180°)，得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CF.
(1)判断BE与CF的位置、数量关系，并说明理由；
(2)若连接BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形BFEC能形成哪些特殊四边形；
(3)如图2，将△ABC中AB＝BC改成AB≠BC时，其他条件不变，直接写出α为多少度时(1)中的两个结论同时成立．

图1 备用图图2
【答案】解：(1) FC＝BE，FC⊥BE。理由如下：
设FD与EB交于点N，FC与EB交于点N。
∵∠ABC＝90°，BD为斜边AC的中线，AB＝BC，
∴BD＝AD＝CD。∠ADB＝∠BDC＝90°。
∵△ABD旋转得到△EFD，
∴∠EDB＝∠FDC，ED＝BD，FD＝CD。∴△BED≌△CFD（SAS）。
∴BE＝CF，∠DEB＝∠DFC。
∵∠DNE＝∠FNB，∴∠DEB＋∠DNE＝∠DFC＋∠FNB。
∴∠FMN＝∠NDE＝90°。∴　FC⊥BE。
(2) 在旋转过程中四边形BFEC能形成等腰梯形和正方形。
(3) 当α＝90°时，(1)中两个结论同时成立。
【考点】直角三角形斜边上中线的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂直的判定，等腰梯形和正方形的判定。
【分析】(1) 根据已知，一方面由直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质用全等三角形SAS的判定可证得△BED≌△CFD即可证得FC＝BE。另一方面由角之间的关系可推出∠FMN＝∠NDE＝90°。从而得证。
(2) 如图，一方面由旋转的性质可证得EF＝AB＝BC；另一方面由(1)可证出△EMC和△FMB是等腰直角三角形，所以∠CEM＝∠FBM＝45°，从而BF∥CE。因此四边形BFEC是等腰梯形。
特别地，当将△ABD绕点D顺时针旋转α＝90

°时，点B与点A重合，点C与点B重合，此时四边形BFEC是正方形。
（3）考虑到在(1)中有了∠ADB＝∠BDC＝90°，才有△BED≌△CFD，
故在AB≠BC时，就要使α＝∠ADE＝∠BDF＝∠CDG＝90°。这样，仿(1)即可证出FC＝BE，FC⊥BE。
11.（2011辽宁阜新12分）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE＝PB，
连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；
（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点P 在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，
不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

【答案】解：（1）PE＝PD，PE⊥PD。
（2）成立。证明如下： ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP。
又∵AP＝AP，∴△BAP≌△△DAP（SAS）。∴PB＝PD。
又∵PE＝PB，∴PE＝PD。
∵△BAP≌△△DAP，∴∠DPA＝∠APB。
又∵∠APB＝180°－45°－∠ABP＝135°－∠ABP，∴∠DPA＝135°－∠ABP。
又∵PE＝PB，∴∠BPE＝2∠PBE
∴∠DPE＝360°－∠DPA－∠APB—∠BPE＝360°－2（135°－∠ABP）－2∠PBE
＝270°－2（∠ABP＋∠PBE）＝270°－2∠ABE＝270°－2×90°＝90°。
∴PE⊥PD。
（3）

（1）中的猜想成立。PE＝PD，PE⊥PD。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，周角的定义，等量代换，垂直的判定，尺规作图，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）与（2）的证明类同可得到结果。
（2）要证PE＝PD，只要证它们是全等三角形的对应边即可，这一点易由已知和正方形的性质用SAS证得。
要证PE⊥PD，只要证∠DPE＝90°即可，这一点可由三角形内角和等于180°的定理，等腰三角形等边对等角的性质和周角的定义用等量代换证得。
（3）作法：①在AC的延长线上任取一点P；
②以点P为圆心，PB长为半径画弧，交BC的延长线于E；
③连接PB、PD、PE。
即为所作。
猜想的证明：PE＝PD同（2）。PE⊥PD的证明，只要设PD与BE相交于点F，易证△PEF与
直角△CDF相似，从而得对应角相等即可。
11..（2011吉林省10分）如图，抛物线 1 :y=-x2平移得到抛物线，且经过点O(0.0)和点A(4.0)，的顶点为点B，它的对称轴与相交于点C,设、与BC围成的阴影部分面积为S,解答下列问题：
（1）求表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标。
（2）求点C的坐标，并直接写出

S的值。
（3）在直线AC上是否存在点P，使得S△POA＝12S？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【参考公式：抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是x＝－b2a ，顶点坐标是（－b2a ，4ac－b24a）】．
【答案】解：（1）设的函数解析式为y＝－x2＋bx＋c。
把（４，０）代入函数解析式，得c＝0－42＋4b＋c＝0 ，解得b＝4c＝0 。
∴ 的函数解析式为y＝－x2＋4x。
∵y＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4，
∴ 的对称轴是直线x＝2，顶点坐标B（2，4）。
（2）当x＝2时，y＝－x2＝－4。
∴C点坐标是（2，－4）。
S＝8。
（3）存在。理由如下：
设直线ＡＣ表示的函数解析式为y＝kx＋n。
把A（4，0），C（2，－4）代入得4k＋n＝02k＋n＝－4 ，解得k＝2n＝－8。
∴直线ＡＣ表示的函数解析式为y＝2x－8。
设△POA的高为h，则S△POA＝12OA?h=2h。
设点Ｐ的坐标为（m，２m－８），
∵S△POA＝12S 且S＝8，∴S△POA＝12×8=4。∴2h＝４，即h＝２。
当点Ｐ在X轴上方时，２m－８＝２，解得，m＝５。点Ｐ的坐标为（５，２）；
当点Ｐ在X轴下方时，２m－８＝－２，解得，m＝３。点Ｐ的坐标为（３，－２）．
综上所述，点Ｐ的坐标为（５，２），（３，－２）．
【考点】二次函数的综合应用，待定系数法，点的坐标与方程的关系，平移的性质。
【分析】（1）由已知（４，０）在l2上，根据点在抛物线上，点的坐标满足方程，即可用待定系数法求出。从而根据二次函数的性质求出它的对称轴和顶点的坐标。
（２）由点C在上，根据点在抛物线上，点的坐标满足方程，即可求出点C的坐标。
如图，由平移的性质知，、与BC围成的阴影部分面积S等于△ＢOＣ的面积：。
（３）要求满足S△POA＝12S的点Ｐ，只要假设其成立，求出即可。注意考虑点Ｐ在X轴上方和下方两种情况。
12.（2011吉林长春7分）探究：如图①，在 ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，
∠FAB=∠EAD=90°，连接AC、EF．在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明．
应用：以 ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图②，连结EF、GH、IJ、KL．若 ABCD
的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为．

【答案】探究：△FAE≌△CDA，证明如下：
在平行四边形ABCD中，AB=CD，∠BAD+∠ADC=180°。
等腰直角△ABF和等腰直角△ADE中，AF=AB，AE=AD，∠FAB=∠EAD=90°，
∴∠FAE+∠BAD=180°。∴∠FAE=∠ADC。∴△FAE≌△CDA（SAS）
应用：10。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质。
【分析】首先由SAS可证明△FAE≌△CDA，则阴影部分四个三角

形的面积和是 ABCD的面积的2倍，据此即可求解：四个三角形的面积和为2×5=10。
13.（2011黑龙江哈尔滨10分）在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，四边形ABCD为菱形，AB边在x轴上，点D在y轴上，点A的坐标是(一6，0)，AB=10．
（1）求点C的坐标：
（2）连接BD，点P是线段CD上一动点(点P不与C、D两点重合)，过点P作PE∥BC交BD与点E，过点B作BQ⊥PE交PE的延长线于点Q．设PC的长为x，PQ的长为y，求y与x之间的函数关系式(直接写出自变量x的取值范围)；
（3）在(2)的条件下，连接AQ、AE，当x为何值时，S△BOE+S△AQE= S△DEP并判断此时以点P为圆心，以5为半径的⊙P与直线BC的位置关系，请说明理由．

【答案】解：（1）如图1，过点C作CN⊥ 轴，垂足为N，则四边形DONC为矩形，∴ON=CD
∵四边形ABCD是菱形，AB=10，
∴AB=BC=CD=AD=10。
∴ON=10。
∵A（－6，0），
∴OA=6，。
∴点C的坐标为（10，8）。
（2）如图2，过点P作PH⊥BC，垂足为H，则∠PHC=∠AOD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠PCB=∠DAO。∴△PHC∽△DOA。
∴ ，即。
∴ ，。∴ 。
∵PE∥BC，BQ⊥PQ，∴∠PQB=∠QBC=∠PHB=90°。
∴四边形PQBH为矩形，∴PQ= 。
∴ 。
（3）如图3，过点P作PH′⊥BC，垂足为H′，则四边形PQBH′是矩形，∴BQ=PH′ 。
∵PE∥BC，∴∠PED=∠CBD。
∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB。∴∠CDB=∠PED。
∴PE=PD=10－，QE=PQ－PE= 。
过点D作DG⊥PQ于点G，过点A作AF⊥PQ交PQ的延长线于点F，
∴∠DGF=∠AFG=90°。
∵PQ∥BC，∴PQ∥AD。∴∠ADG=90°。
∴四边形AFGD为矩形。∴AF=DG。
∵PQ∥BC，∴∠DPG=∠C。
∵∠DGP=∠PH′C=90°，∴△DGP∽△PH′C。
∴ DPPC= DGPH′。
∴ 。
∵ ，
，
又∵ ，
∴ 。整理得，。解得 1=5， 2=20。
∵0＜＜10，∴ 2=20不符合题意，舍去。∴ =5。
∴ =5时，。
∵PH′= =4＜5，∴⊙P与直线BC相交。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，矩形的判定和性质，直线与圆的位置关系。
【分析】（1）过点C作CN⊥x轴，垂足为N，求得CN、ON的长，即可得出坐标。
（2）过点P作PH⊥BC，垂足为H，易证△PHC∽△DOA，可得，；然后证明四边形PQBH为矩形，则PQ=BH，即可求得。
（3）过点P作PH′⊥BC，垂足为H′，过点D作DG⊥PQ于点G，过点A作AF⊥PQ交PQ的延长线于点F，用x分别表示出EQ、BQ、AF的值和PE、DG的值，然后，根据，可求出的值，最后根据PH′的值与的值比较，即可得出其位置关系。
14.（2011黑龙江龙东五市8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R。
（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= （不需证明）。
（2）如

图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的
结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的
数量关系？请直接写出你的猜想。

【答案】解：(2) 图2中结论PR＋PQ＝仍成立。证明如下：
连接BP, 过C点作CK⊥BD于点K。
∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°。
又∵CD=AB=3，BC=4
∴BD＝。
∵S△BCD＝ BC?CD＝ BD?CK，∴3×4＝5CK。∴CK= 。
∵S△BCE＝ BE?CK，S△BEP＝ PR?BE，S△BCP ＝ PQ?BC，且 S△BCE＝ S△BEP＋S△BCP，
∴ BE?CK＝ PR?BE＋ PQ?BC 。
又∵BE＝BC，∴ CK＝ PR＋ PQ。∴CK＝PR＋PQ。
又∵CK＝，∴PR＋PQ＝。
(3) 图3中的结论是PR－PQ=
【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，等量代换。
【分析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K。根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。
（3）图3中的结论是PR－PQ= 。如图，同（2）有CK= 。
∵S△BCE＝ BE?CK，S△BEP＝ PR?BE，S△BCP ＝ PQ?BC，
且 S△BCE＝ S△BEP－S△BCP，
∴ BE?CK＝ PR?BE－ PQ?BC 。
又∵BE＝BC，∴ CK＝ PR－ PQ。∴CK＝PR－PQ。
又∵CK＝，∴PR－PQ＝。
15.（2011黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西8分）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG．

（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】解：（1） EG=CG，EG⊥CG。
（2）EG=CG，EG⊥CG。证明如下：
延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形。∴BE=CM，∠EMC=90°。
又∵BE=EF，∴EF=CM。
∵∠EMC=90°，FG=DG，∴MG= FD=FG。
∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD。
∵EF=CM，∴FM=DM。∴∠F=45°。
又∵FG=DG，∠CMG= ∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC。
又∵FG=MG，∴△GFE≌△GMC（SAS）。∴EG=CG，∠FGE=∠MGC。
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD。∴∠FGE+∠EGM=90°。
∴∠MGC+∠EGM=90°。即∠EGC=90°。∴EG⊥CG。
【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】从图（1）中寻找证明结论的思路：延长FE交DC延长线于M，连MG．构造出△GFE≌△GMC．易得结论；在图（2）、（3）中借鉴此解法证明。
16.（2011黑龙