新课标八年级数学竞赛培训第13讲:勾股定理

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一、填空题(共9小题,每小题4分,满分36分)

1.(2001?重庆)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD,连接DC,以DC为边作等边

△DCE.B、E在C、D的同侧,若AB=,则BE=_________.

2.如图所示,在△ABC中,AB=5cm,AC=13cm,BC边上的中线AD=6cm,那么边BC的长为_________cm.

3.如图,设P是等边△ABC内的一点,PA=3,PB=4,PC=5,则∠APB的度数是_________.

4.如图,一个直角三角形的三边长均为正整数,已知它的一条直角边的长恰是1997,那么另一条直角边的长为

_________.

5.若△ABC的三边a、b、c满足条件:a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,则这个三角形最长边上的高为_________.

6.(2001?山东)如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿AD对折,点C落在C′处,则BC′与BC之间的数量关系是BC′=_________BC.

7.(2008?扬州)如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,P为△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合,如果AP=3,那么线段PP′的长等于_________.

8.如图,已知AB=13,BC=14,AC=15,AD⊥BC于D,则AD=_________.

9.如图,四边形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,CD=12cm,DA=13cm,且∠ABC=90°,则四边形ABCD的面积是_________cm2.

二、选择题(共9小题,每小题5分,满分45分)

10.如图,一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么梯子的底端的滑动距离()

A.等于1米 B.大于1米 C.小于1米 D.不能确定

11.若三角形中的一条边是另一条边的2倍,且有一个角为30°,则这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上都不对

12.(1999?广西)如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,则AB=()

A.4 B.5 C.2D.

13.如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是()

A.CD、EF、GH B.AB、EF、GH C.AB、CD、GH D.AB、CD、EF

14.在锐角三角形ABC中,a=1,b=3,那么第三边c的变化范围是()

A.2<c<4 B.2<c<3 C.2<c<D.2<c<

15.如图,用3个边长为1的正方形组成一个对称图形,则能将其完全覆盖的圆的最小半径为()

A.B.C.D.

16.△ABC三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,这三边的高依次为h a、h b、h c,若a≤h a,b≤h b,则这个三角形为()

A.等边三角形B.等腰非直角三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形

17.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于E,交CB于F,且EG∥AB交CB于G,则CF与GB的大小关系是()

A.CF>GB B.GB=CF C.CF<GB D.无法确定

18.(2003?山东)2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图),如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形较短的直角边为a,较长的直角边为b,那么(a+b)2的值为()

A.13 B.19 C.25 D.169

三、解答题(共12小题,满分0分)

20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,设AC=b,BC=a,AB=c,CD=h.

求证:.

21.一个直角三角形的边长都是整数,它的面积和周长的数值相等,这样的直角三角形是否存在?若存在,确定它三边的长,若不存在,说明理由.

22.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形.

(1)使三角形三边长为3,,;

(2)使平行四边形有一锐角为45°,且面积为4.

23.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线MN分别交BC,AB于点M,N,求证:CM=2BM.

24.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为斜边BC中点,DE⊥DF,求证:EF2=BE2+CF2.

25.如图,已知△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,AD是斜边的中线,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=8,CF=6.

(1)求证:△AED≌△CFD;

(2)求△DEF的面积.

26.在△ABC中,AB=AC.

(1)如图,若点P是BC边上的中点,连接AP.求证:BP?CP=AB2﹣AP2;

(2)如图,若点P是BC边上任意一点,上面(1)的结论还成立吗?若成立,请证明、若不成立,请说明理由;

(3)如图,若点P是BC边延长线上一点,线段AB,AP,BP,CP之间有什么样的数量关系?画出图形,写出你的结论.(不必证明)

27.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E、F分别是BC上两点,若∠EAF=45°,试推断BE、CF、EF之间的数量关系,并说明理由.

28.如图,∠ACB=90°,AD是∠CAB的平分线,BC=4,CD=,求AC的长.

29.(2003?烟台)(1)四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开,大会会标如图(1).它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13,每个直角三角形两直角边的和是5,求中间小正方形的面积.

(2)现有一张长为6.5cm,宽为2cm的纸片,如图(2),请你将它分割成6块,再拼合成一个正方形.

(要求:先在图(2)中画出分割线,再画出拼成的正方形并标明相应数据)

30.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.证明:BD2=AB2+BC2.

新课标八年级数学竞赛培训第13讲:勾股定理

参考答案与试题解析

一、填空题(共9小题,每小题4分,满分36分)

1.(2001?重庆)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD,连接DC,以DC为边作等边

△DCE.B、E在C、D的同侧,若AB=,则BE=1.

考点:等腰直角三角形;全等三角形的判定;等边三角形的性质;勾股定理。

分析:由等腰直角三角形ABC中,AB=,由勾股定理可知AC=AB=1,再证△ADC≌△BDE,从而推出BE=AC=1.

解答:解:∵等腰直角三角形ABC中,AB=,

∴AC=AB=1,

∵等边△ABD和等边△DCE,

∴AD=BD,CD=ED,∠ADB=∠CDE,

∴∠ADC=∠BDE,

∴△ADC≌△BDE,

∴BE=AC=1.

点评:解决本题的关键是利用三角形全等得到所求线段的转化.

2.如图所示,在△ABC中,AB=5cm,AC=13cm,BC边上的中线AD=6cm,那么边BC的长为cm.

考点:勾股定理的逆定理;全等三角形的判定与性质;勾股定理。

分析:延长AD到E,使DE=AD=6,连接CE,可证△ABD≌△ECD,利用勾股定理的逆定理可求∠AEC=90°,再利用勾股定理,即可求出CD的长,进而求出答案.

解答:解:延长AD到E,使DE=AD=6,连接CE,

∵BD=CD,∠ADB=∠CDE,

∴△ABD≌△ECD,

∴CE=AB=5,

∵AC2=AE2+CE2即132=122+52,

∴△AEC为直角三角形,即∠E=90°,

∴△DEC为直角三角形,

∴CD=,BC=2CD=2(cm),故填.

点评:本题需仔细分析题意,结合图形,利用勾股定理和勾股定理的逆定理即可解决问题.

3.如图,设P是等边△ABC内的一点,PA=3,PB=4,PC=5,则∠APB的度数是150°.

考点:旋转的性质;等边三角形的判定与性质;勾股定理的逆定理。

专题:计算题。

分析:将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,根据旋转的性质得BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,则△BPE为等边三角形,得到PE=PB=4,∠BPE=60°,在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形,且∠APE=90°,即可得到∠APB的度数.

解答:解:∵△ABC为等边三角形,

∴BA=BC,

可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,

连EP,如图,

∴BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,

∴△BPE为等边三角形,

∴PE=PB=4,∠BPE=60°,

在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,

∴AE2=PE2+PA2,

∴△APE为直角三角形,且∠APE=90°,

∴∠APB=90°+60°=150°.

故答案为150°.

点评:本题考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理.

4.如图,一个直角三角形的三边长均为正整数,已知它的一条直角边的长恰是1997,那么另一条直角边的长为1994004.

考点:勾股定理。

专题:计算题;因式分解。

分析:设斜边为y,另一直角边为x,则存在y2﹣x2=19972,题目中要求x、y为整数,根据因式分解可以求出x、y 的数值即可解题.

则存在y2﹣x2=19972,

即(y+x)(y﹣x)=19972,

x,y均为整数

得,

解得x=1994004,

故答案为1994004.

点评:本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用,考查了因式分解的解题方法,本题中运用因式分解法计算x、y是解题的关键.

5.若△ABC的三边a、b、c满足条件:a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,则这个三角形最长边上的高为.

考点:勾股定理的逆定理;非负数的性质:偶次方;完全平方公式。

专题:计算题。

分析:首先把已知条件写出三个完全平方公式的和的形式,再根据非负数的性质求得a、b、c,然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形,再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高.

解答:解:∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,

∴(a﹣5)2+(b﹣12)2+(c﹣13)2=0,

∴a﹣5=0,b﹣12=0,c﹣13=0,

∴a=5,b=12,c=13,

∵52+122=132,

∴△ABC是直角三角形,

∴这个三角形最长边上的高为:5×12÷13=.

故答案为:.

点评:本题考查勾股定理的逆定理的应用,注意直角三角形中,斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长.6.(2001?山东)如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿AD对折,点C落在C′处,则BC′与BC之

间的数量关系是BC′=BC.

考点:翻折变换(折叠问题);等腰直角三角形。

分析:设BD=x,则BC=2x;根据折叠的性质可得,找出对应的边角即可求出.

解答:解:BD=C′D=x,∠BC′D=∠ADC=45°,可得∠C′DB=90°;故BC′=BC.

点评:本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力,解决此类问题,应结合题意,最好实际操作图形的折叠,易于找到图形间的关系.

7.(2008?扬州)如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,P为△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后

与△ACP′重合,如果AP=3,那么线段PP′的长等于.

考点:旋转的性质;等腰直角三角形。

分析:根据旋转的性质可知△PAP′是等腰直角三角形,腰长AP=3,则可用勾股定理求出斜边PP′的长.

解答:解:∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合,

∴∠PAP′=∠BAC=90°,AP=AP′=3,

∴PP′=3.

点评:本题考查旋转的性质和直角三角形的性质.旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.

8.如图,已知AB=13,BC=14,AC=15,AD⊥BC于D,则AD=12.

考点:勾股定理。

专题:计算题。

分析:由题意知,BD+DC=14,设BD=x,则CD=14﹣x,在直角△ABD中,AB是斜边,根据勾股定理AB2=AD2+BD2,在直角△ACD中,根据勾股定理AC2=AD2+CD2,列出方程组即可计算x的值,即可求得AD的长度.

解答:解:BC=14,且BC=BD+DC,

设BD=x,则DC=14﹣x,

则在直角△ABD中,AB2=AD2+BD2,

即132=AD2+x2,

在直角△ACD中,AC2=AD2+CD2,

即152=AD2+(14﹣x)2,

整理计算得x=5,

∴AD==12,

故答案为12.

点评:本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用,考查了学生的方程思想,本题中设BD=x,并且在直角△ABD 和直角△ACD中根据勾股定理计算BD是解题的关键.

9.如图,四边形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,CD=12cm,DA=13cm,且∠ABC=90°,则四边形ABCD的面积是36cm2.

考点:勾股定理;三角形的面积。

专题:计算题。

分析:连接AC,求证△ACD为直角三角形,则△ABC的面积=?AC?AD,△ABC面积=AB?BC,四边形ABCD的

面积等于△ABC和△ACD面积之和.

解答:解:连接AC,

∠ABC=90°,AC==5cm,

∵AC2+AD2=CD2,

∴△ACD为直角三角形,

∴△ACD面积=×AC×AD=30cm2,

△ABC面积=×AC×BC=6cm2,

故四边形ABCD的面积为36cm2,

故答案为36.

点评:本题考查了直角三角形中勾股定理的运用,考查了直角三角形面积的计算,本题中判定△ACD是直角三角形是解题的关键.

二、选择题(共9小题,每小题5分,满分45分)

10.如图,一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么梯子的底端的滑动距离()

A.等于1米 B.大于1米 C.小于1米 D.不能确定

考点:勾股定理的应用。

专题:应用题。

分析:根据题意画出图形,利用勾股定理求出底端到墙的距离BE与BF的长,滑动的距离即BF﹣BE的值.

解答:解:如图,

AC=EF=10米,AB=8米,AE=1,求CF;

∵∠B=90°,由勾股定理得,BC=6米,

又∵AE=1,BE=7,EF=10,由勾股定理得,BF=,

∵>,即>7,

∴﹣6>1.

故选B.

点评:此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力,做此题时要注意弄清题意,明白是要求梯足又向后移了多少即CF的长,而不是BF的长.

11.若三角形中的一条边是另一条边的2倍,且有一个角为30°,则这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上都不对

考点:三角形。

分析:如图,分AB是30°角所对的边AC的2倍和AB是30°角相邻的边AC的2倍两种情况求解.

解答:解:如图:

(1)当AB是30°角所对的边AC的2倍时,△ABC是直角三角形;

(2)当AB是30°角相邻的边AC的2倍时,△ABC是钝角三角形.

所以三角形的形状不能确定.

故选D.

点评:解答本题关键在于已知30°的角与边的关系不明确,需要讨论求解,所以三角形的形状不能确定.

12.(1999?广西)如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,则AB=()

A.4 B.5 C.2D.

考点:解直角三角形。

专题:计算题。

分析:分析题意构造一个直角三角形,再根据三角函数求解.

解答:解:如图,延长AD,BC交于点E,则∠E=30°.

∵CD=3,sinE=sin30°=CD:CE=1:2,

∴CE=6,BE=8,

∵tanA=tan60°=BE:AB=8:AB=,

∴AB=.

故选D.

点评:本题通过作辅助线,构造直角三角形,利用锐角三角函数的概念来求解.

13.如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是()

A.CD、EF、GH B.AB、EF、GH C.AB、CD、GH D.AB、CD、EF

考点:勾股定理;勾股定理的逆定理。

专题:网格型。

分析:设出正方形的边长,利用勾股定理,解出AB、CD、EF、GH各自的长度,再由勾股定理的逆定理分别验算,看哪三条边能够成直角三角形.

解答:解:设小正方形的边长为1,

则AB2=22+22=8,CD2=22+42=20,

EF2=12+22=5,GH2=22+32=13.

因为AB2+EF2=GH2,

所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH.故选B.

点评:考查了勾股定理逆定理的应用.

14.在锐角三角形ABC中,a=1,b=3,那么第三边c的变化范围是()

A.2<c<4 B.2<c<3 C.2<c<D.2<c<

考点:三角形三边关系。

分析:题中已知△ABC是锐角三角形,没有指明哪个角是最大角,从而无法确定边之间的关系,从而可以分两种情况进行分析,从而确定第三边c的变化范围.

解答:解:①∵当∠C是最大角时,有∠C<90°

∴c<

∴c<

②当∠B是最大角时,有∠B<90°

∴b2<a2+c2∴9<1+c2

∴c>2

∴第三边c的变化范围:2<c<

故选D.

点评:此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用,关键是确定最大角.

15.如图,用3个边长为1的正方形组成一个对称图形,则能将其完全覆盖的圆的最小半径为()

A.B.C.D.

考点:勾股定理的应用;轴对称的性质。

专题:计算题。

分析:所作最小圆圆心应在对称轴上,且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点,找到对称轴中一点,使其到各顶点的最远距离相等即可求得覆盖本图形最小的圆的圆心,计算半径可解此题.

解答:解:如图,得,

解得:a=,r=.

故最小半径为r=.

故选D.

点评:本题考查了正方形各边相等,且各内角均为直角的性质,考查了勾股定理的运用,本题中构建a、r是解题的关键.

16.△ABC三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,这三边的高依次为h a、h b、h c,若a≤h a,b≤h b,则这个三角形为()

A.等边三角形B.等腰非直角三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形

考点:等腰直角三角形;勾股定理。

专题:计算题。

分析:分别分析当a=h a时,∠A最大可能度数,∠B的最大可能度数,再利用勾股定理即可求出答案.

解答:解:当a=h a时,∠A最大可能度数为45°,

所以当a≤h a ha时,∠A≤45°,

同理∠B≤45°,

故∠C=180°﹣∠A﹣∠B≥90°,

等号当且仅当△ABC为等腰直角三角形时成立,

故选D.

点评:此题主要考查学生对等腰三角形的性质和勾股定理的理解和掌握,此题要分析各个角的最大度数,所以给此题增加了难度,是一道难题.

17.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于E,交CB于F,且EG∥AB交CB于G,则CF与GB的大小关系是()

A.CF>GB B.GB=CF C.CF<GB D.无法确定

考点:全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;菱形的判定与性质。

专题:几何综合题。

分析:用观察和作图的方法可以猜测CF=GB.下面只要证明CF=GB即可.由条件∠ACB=90°,AF平分∠CAB,想到FH⊥AB,垂足为H,连接EH,易证菱形CEHF,平行四边形EHBG,故有CF=EH=GB,从而得证.要证明菱形CEHF,只需证明两对边平行,临边相等,根据菱形的定义即可证明.要证平行四边形EHBG,两对边平行即可.关于证明EH∥BC,只需证明∠AHE=∠B,通过在Rt△ACD与Rt△ACD中,证明∠ACD=∠B、∠AHE=∠ACD即可得.

解答:解:过F做FH⊥AB且交于点H,连接EH,

在△ACF与△AHF中

∵AF平分∠CAB交CD于E?,

又∵AF=AF,

∴△ACF≌△AHF,

∴AC=AH,

同理在△ACE与△AHE中,△ACE≌△AHE,

可知CE=EH,∠ACE=∠AHE,

在Rt△ACD中,∠CAD+∠ACD=90°,

在Rt△ABC中,∠CAB+∠B=90°,

又∵∠CAD与∠CAB为同一角,

∴∠ACD=∠B,

∴∠AHE=∠B,

∴EH∥BC,

∵CD⊥AB,FH⊥AB,

∴CD∥FH,

∴四边形CEHF为菱形,四边形EGBH为平行四边形,

∴CF=EH,EH=GB,

∴CF=GB.

故选B.

点评:本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形的性质.难点在于恰当添加辅助线FH、EH,根据题意证明菱形CEHF,平行四边形EHBG.此类题学生丢分率较高,需注意.

18.(2003?山东)2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图),如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形较短的直角边为a,较长的直角边为b,那么(a+b)2的值为()

A.13 B.19 C.25 D.169

考点:勾股定理。

分析:根据勾股定理,知两条直角边的平方等于斜边的平方,此题中斜边的平方即为大正方形的面积13,2ab即四个直角三角形的面积和,从而不难求得(a+b)2.

解答:解:(a+b)2=a2+b2+2ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+(13﹣1)=25.

故选C.

点评:注意完全平方公式的展开:(a+b)2=a2+b2+2ab,还要注意图形的面积和a,b之间的关系.

三、解答题(共12小题,满分0分)

19.如图,已知P是△ABC边BC上一点,且PC=2PB,若∠ABC=45°,∠APC=60°,求:∠ACB的大小.

考点:轴对称的性质;角平分线的性质;等边三角形的判定与性质。

专题:计算题。

分析:根据轴对称,角平分线和等边三角形的判定与性质,作C关于AP的对称点C′,连接AC′、BC′、PC′,求得BA平分∠C′BC,C′A平分∠MC′P,从而求得∠ACB的大小.

解答:解:作C关于AP的对称点C′,

连接AC′、BC′、PC′,

则有PC′=PC=2PB,

∠APC′=∠APC=60°

可证△BC′P为直角三角形(延长PB到D,

使BD=BP,则PD=PC′,

又∠C′PB=60°,

则△C′PD是等边三角形,

由三线合一性质有C′B⊥BP,∠C′BP=90°,

因为∠ABC=45°,所以∠C′BA=45°=∠ABC,

所以BA平分∠C′BC

所以A到BC′的距离=A到BC的距离

又因为∠APC′=∠APC,所以PA平分∠C′PC

所以A到PC′距离=A到PC(即BC)的距离

所以A到BC′的距离=A到PC′的距离

所以A是角平分线上的点,即C′A平分∠MC′P

所以∠AC′P=∠MC′P=75°=∠ACB.

点评:本题考查了轴对称的性质,角平分线的性质和等边三角形的判定与性质,有一定难度,作出辅助线是本题的关键.

20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,设AC=b,BC=a,AB=c,CD=h.

求证:.

考点:勾股定理;勾股定理的逆定理。

专题:证明题。

分析:要证明,只需证明即可,在直角△ABC中根据BD2+CD2=BC2求证.

解答:证明:在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,则△ACB∽△ADC∽△CDB,

=,即=,

∵h2(+)=+=+

==1,

∴.

点评:本题考查了直角三角形中勾股定理的运用,解本题的关键是求证=,即=,使得

+=+.

21.一个直角三角形的边长都是整数,它的面积和周长的数值相等,这样的直角三角形是否存在?若存在,确定它三边的长,若不存在,说明理由.

考点:一元二次方程的整数根与有理根;勾股定理的逆定理。

专题:应用题;分类讨论。

分析:假设存在符合条件的直角三角形,它的三边长为a、b、c,其中c为斜边,则,于是将存在性

问题的讨论转化为求方程组的解.

解答:解:假设符合条件的直角三角形存在,它的三边长为a、b、c,其中c为斜边,则

∵a、b、c均为正整数,

∴a≠b;不妨设a>b,则有a+b+=,

两边平方,并整理得

﹣a2b﹣ab2+2ab=0,

消去ab,得

﹣a﹣b+2=0,即(a﹣4)(b﹣4)=8,

又∵8=1×8=2×4,

∴①,解得,则c=13;

②,解得,则c=10;

综上所述,符合条件的直角三角形存在,其边长分别是5、12、13;6、8、10.共有2个这样的直角三角形.

点评:本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用.在解题过程中,当勾股定理不能直接运用时,常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径,为勾股定理的运用创造必要的条件,有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系,这就需要熟悉一些常用的勾股数组.

22.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形.

(1)使三角形三边长为3,,;

(2)使平行四边形有一锐角为45°,且面积为4.

考点:作图—复杂作图。

专题:网格型。

分析:(1)本题中实际上是长为2宽为2的正方形的对角线长,实际上是长为2宽为1的矩形的对角线的长,据此可找出所求的三角形;

解答:解:(1)

三角ABC为所求;

(2)

四边形DEFG为所求.

点评:关键是确定三角形的边长,然后根据边长画出所求的三角形.

23.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线MN分别交BC,AB于点M,N,求证:CM=2BM.

考点:线段垂直平分线的性质。

专题:证明题。

分析:先根据垂直平分线的性质,判定AM=BM,再求出∠B=30°,∠CAM=90°,根据直角三角形中30度的角对的直

角边是斜边的一半,得出BM=AM=CA即CM=2BM.

解答:证法1:如答图所示,连接AM,

∵∠BAC=120°,AB=AC,

∴∠B=∠C=30°,

∵MN是AB的垂直平分线,

∴BM=AM,∴∠BAM=∠B=30°,

∴∠MAC=90°,

∴CM=2AM,

∴CM=2BM.

证法二:如答图所示,过A

作AD∥MN交BC于点D.

∵MN是AB的垂直平分线,

∴N是AB的中点.

∵AD∥MN,

∴M是BD的中点,即BM=MD.

∵AC=AB,∠BAC=120°,

∴∠B=∠C=30°,

∵∠BAD=∠BNM=90°,

∴AD=BD=BM=MD,

新课标人教版小学五年级数学竞赛试题

新课标人教版小学五年级数学竞赛试题 学校 班级 姓名 一、填空题(每空格2分) 1、一个四位数,给它加上小数点比原来数小2003.4,这个四位数是( )。 2、一个分数,分子加分母等于168,分子、分母都减去6,分数变成 7 5,原来的分数是( )。 3、一个三位小数,四舍五入到百分位后是3.90,那么这个三位 小数最大是( ),最小是( )。 5、规定:符号“△”为选择两数中较大的数,“○”为选择两数中较小的数。例如: 3△5=5,3○5=3。那么 [(7○3)△5]×[5○(3△7)]= 5、计算(6分) (1)567×789789-789×567567=( ) (2)0.036×250+3.6×7.5=( ) (3)100+99-98+97-96+95+……+3-2+1=( ) 6、仔细观察,找出规律并填空。 (1)0.1,0.2,0.3,0.5,0.8,( ),2.1,( ) (2)4×9=36 44×99=4356 444×999=443556 4444×9999=44435556 44……44×99……99=( ) 2005个 2005个 7、新来的教学楼管理员,拿15把不同的钥匙去开15个教室门,但不知哪一把钥匙开哪一个门,他最多试开( )次,就可将钥匙与教室门锁配对。

8、用1元、5元、10元、50元、100元人民币各一张,2元、20元的各两张,在不找钱的情况下,最多可以支付()种不同的款额。 9、一个同学在计算2.37加一个一位小数时,由于粗心将数的末尾对齐,结果得2.93,那么正确的结果比错误结果多()。 10、有七个数,平均数为49,前4个数的平均数为28,后4个数的平均数为68.25,那么第4个数为()。 11、正方形的一条对角线长是13cm,这个正方形的面积是()cm2 12、育才小学买10只羽毛球和25只乒乓球共付49.5元,人民路小学买同样的20只羽毛球和20只乒乓球共付54元,1只羽毛球比1只乒乓球便宜()元。 13、将1、2、3、4、5、6分别填在右图内, 使折叠成的正方形中对面数字和相等。 14、右图中,每个字母代表一个数, 任何三个相邻方格中的数之和都是21, 那么A+B+C+D=()。 15、小红用平底锅烙饼,每次只能放2张饼。烙一张饼需要2分钟(正、反面各需1分钟)。为了节约时间,小红要烙7张饼最少需要()分钟。 16、环形跑道一周长400米,李明和王伟从同一处同时起跑,李明每分跑300米,王伟每分跑250米,()分钟后两人第二次跑在同一处。 17、有三个人,他们是A、B、C,一个是医生,一个是护士,还有一个是病人。C比病人老;A和护士不同岁;护士比B年轻。那么()是护士,()是病人,()是医生。 18、甲堆棋子是乙堆的3倍,如果从甲堆拿20粒给乙堆,则两堆同样多,那么甲堆原来有()粒。

初二数学竞赛辅导资料(共12讲)

初二数学竞赛辅导资料(共12讲) 目录 本内容适合八年级学生竞赛拔高使用重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中讲练结合由浅入深讲解与练习同步重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容其中《因式分解》为初二下册内容但是考虑到它的重要性和工具性将在本次培训进行具体解读注有标注的为选做内容 本次培训具体计划如下以供参考 第一讲实数一 第二讲实数二 第三讲平面直角坐标系函数 第四讲一次函数一 第五讲一次函数二 第六讲全等三角形 第七讲直角三角形与勾股定理 第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷未装订在内另发 第九讲竞赛中整数性质的运用 第十讲不定方程与应用 第十一讲因式分解的方法

第十二讲因式分解的应用 第十三讲考试未装订在内另发 第十四讲试卷讲评 第1讲实数一 知识梳理 一非负数正数和零统称为非负数 1几种常见的非负数 1实数的绝对值是非负数即a≥0 在数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值用a来表示设a为实数则 绝对值的性质 ①绝对值最小的实数是0 ②若a与b互为相反数则a=ba=ba=b ③对任意实数a则a≥a a≥-a ④a·b=ab b≠0 ⑤a-b≤a±b≤a+b 2实数的偶次幂是非负数 如果a为任意实数则≥0n为自然数当n=1≥0 3算术平方根是非负数即≥0其中a≥0 算术平方根的性质 a≥0 = 2非负数的性质 1有限个非负数的和积商除数不为零是非负数

2若干个非负数的和等于零则每个加数都为零 3若非负数不大于零则此非负数必为零 3对于形如的式子被开方数必须为非负数 4推广到的化简 5利用配方法来解题开平方或开立方时将被开方数配成完全平方式或完全立方 例题精讲 ◆专题一利用非负数的性质解题 例1已知实数xyz满足求x+y+z的平方根 巩固 1已知则的值为______________ 2若 的值 拓展 设abc是实数若求abc的值 ◆专题二对于的应用 例2已知xy是实数且 例3 已知适合关系式求的值 巩固 1已知b=且的算术平方根是的立方根是试求的平方根和立方根 2已知则

初二数学勾股定理测试题及答案

勾股定理测试题 体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单问题;会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 一、选择题 | 1.下列各数组中,不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后,得到的三角形( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 ! 3.在测量旗杆的方案中,若旗杆高为21m,目测点到杆的距离为15m,则目测点到杆顶的距离为(设目高为1m) ( ) 4.一等腰三角形底边长为10cm,腰长为13cm,则腰上的高为( ) A. 12cm B. C. D. ~ 二、填空题 5.如图,64、400分别为所在正方形的面积,则图中字母A所代表的正方形面积是_________ . 6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12,则斜边上的高为. < 7.已知甲往东走了4km,乙往南走了3km,这时甲、乙两人相距. 8.一个长方形的长为12cm,对角线长为13cm,则该长方形的周长为. 9.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K,若SP=4,SQ=9,则Sk= . 三、解答题 @ 10.假期中,小明和同学们到某海岛上去探宝旅游,按照探宝图,他们登陆后先往东走8千米,又往北走2千米,遇到障碍后又往西走了3千米,再折向北走了6千米处往东一拐,仅走了1千米就找到宝藏,问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米

为正方形ABCD内一点,将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置,若BP=a.求:以PE 为边长的正方形的面积. / 12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. 13.拼图填空:剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a、b、c,· 如图①.(1)拼图一:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图②③的形状,观察图②③可发现,图②中两个小正方形的面积之和__________ (填“大于”、“小于”或“等于”)图③中小正方形 《 的面积,用关系式表示为________ .(2)拼图二:用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状,观察图形可以发现,图中共有__________个正方形,它们的面积之间的关系是________ ,用 关系式表示为_____ .(3)拼图三:用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状,图中3个正方>

八年级数学竞赛试题

一、填空题(每小题4分,共40分) 1、有一列数:1,2,3,4,5,6,……当按顺序从第2个数数到第6个数时,共数了 5 个数;当按顺序从m 个数数到第n 个数(n>m )时,共数了n-m+1个数。 2、观察下列等式,你会发现什么规律? 12+1=1×2;22+2=2×3;32+3=3×4,……将你猜到的规律用含字母n 的式子表示出来n 2+n=n(n+1) 。 3、罗伟5年前是a 岁,他2008年是a+6岁。 4、在400米的环形路上每隔10米栽一棵树,一共栽 40 棵, 在400米的直路上每隔10米栽一棵树,一共栽 41 棵。 5、31=()()41+()() 121(等)(只写一组最简分数)。 6、已知a 2+ b 2 =c 2(a 、b 、c 都为正整数),请写出满足条件的两组值:a=3,b=4, c=5或a=5,b=12,c=13(等)。 7、把-2,-1,0,1,2,3,4,5,6这9个数字填入下图空格中,使每一行、每一列及每一斜对角线上的3个数字之和相等。 8、把直线y=2x+1向右平移1个单位后的解析式 为y=2x-1。 9、某阶梯教室第一排有30个座位,后面每一排都比 前一排多3个座位,若第x 排有y 个座位,则y 与x 之间 的函数关系式为y=3x+27。 10、a 的相反数是2b+1,b 的相反数是3a+1,则a 2+b 2= 0.2。 二、选择题(每小题4分,共 40 分) 1、我国发射的“嫦娥一号”卫星进入地月轨道的最低速度约是11千米/秒,它的时速用科学记数法表示为(C ) A.3.96×104米/时 B. 39.6×103米/时 C. 3.96×107米/时 D. 39.6×106 米/时 2、一个人从A 点出发向北偏东60°方向走到B 点,再从B 点出发向南偏西15°方向走到C 点,那么∠ABC 等于( C ) A. 75° B.105° C.45° D.135°

新课标八年级数学竞赛讲座:第六讲 实数的概念及性质

第六讲 实数的概念及性质 数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的. 从有理数到无理数,经历过漫长曲折的过程,是一个巨大的飞跃,由于引入无理数后,数域就由有理数域扩充到实数域,这样,实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系. 由于引入开方运算,完善了代数的运算.平方根、立方根的概念和性质,是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础.平方根、立方根是最简单的方根,建立概念的方法,以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础. 有理数和无理数统称为实数,实数有下列重要性质: 1.有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式,都可以表示成分数p q 的形式;无理数是无限不循环小数,不能写成分数 p q 的形式,这里p 、q 是互质的整数,且0≠p . 2.有理数对加、减、乘、除是封闭的,即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数;无理数对四则运算不具有封闭性,即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数. 例题求解 【例1】若a 、b 满足b a 53+3=7,则S =b a 32-的取值范围是 . (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 运用a 、b 的非负性,建立关于S 的不等式组. 注: 古希腊的毕达哥拉斯学派认为,宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比.但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数,也不是整数的比所能表示,这严重地冲击了当时希腊人的传统见解,这一事件在数学史上称为第一次数学危机.希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受,相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死. 【例2】 设a 是一个无理数,且a 、b 满足ab -a -b+1=0,则b 是一个( ) A .小于0的有理数 B .大于0的有理数 C .小于0的无理数 D .大于0的无理数 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 对等式进行恰当的变形,建立a 或b 的关系式. 【例3】已知a 、b 是有理数,且0320 91412)121341()233 1(=---++ b a ,求a 、b 的值. 思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分,运用实数的性质建立关于a 、b 的方程 组. 【例4】(1) 已知a 、b 为有理数,x ,y 分别表示75-的整数部分和小数部分,且满足axy+by 2=1,求a+b 的值. (南昌市竞赛题) (2)设x 为一实数,[x]表示不大于x 的最大整数,求满足[-77.66x]=[-77.66]x+1的整数x 的值.(江苏省竞赛题) 思路点拨 (1)运用估算的方法,先确定x ,y 的值,再代入xy+by 2=1中求出a 、b 的值;(2)运用[x]的性质,简化方程. 注: 设x 为一实数,则[x]表示不大于x 的最大整数,[x]]又叫做实数x 的整数部分,有以下基本性质: (1)x -1<[x]≤x (2)若y< x ,则[y]≤[x] (3)若x 为实数,a 为整数,则[x+a]= [x]+ a .

初二下册数学竞赛试题及答案

八年级数学竞赛试题 一.选择题(共10小题,,每小题4分,共40分) 1. 一辆汽车从湄江出发开往娄底.如果汽车每小时行使a 千米,则t 小时可以到达,如 果汽车每小时行使b ()b a >千米,那么可以提前到达娄底的时间是( )小时. 2. . A at a b + B.bt a b + C.abt a b + D.bt at b - 3. 分式方程()() 1112x m x x x -=--+有增根,则m 的值为( ) 4. A.0和3 B.1 C.1和2- D.3 5. 由下列条件可以作出唯一的等腰三角形的是( ) 6. A.已知等腰三角形的两腰 B.已知一腰和一腰上的高 7. C.已知底角的度数和顶角的度数 D.已知底边长和底边上的中线的长 8. ,得( ) 9. A.(1x -(1x -(1x -+ D.(1x - 10. 当x = ()20033420052001x x --的值是( ) 11. A.0 B.1- C.1 D.20032- 12. 若34x -<<45x -=的x 值为( ) 13. A.2 B.3 C.4 D.5 14. 设0a b <<,224a b ab +=,则a b a b +-的值为( ) 15. C.2 D.3 16. 若不等式组21 1x a x a >-??<+? 无解,则a 的取值范围是( ) 17. A.2a < B.2a = C.2a > D.2a ≥ 18. 已知a 、b 为常数,若0ax b +>的解集是1 3 x <,则0bx a -<的解集是( ) 19. A.3x >- B.3x <- C.3x > D.3x < 20. 在等腰ABC △中,AB AC =,中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分, 则这个等腰三角形的底边长为( ) 21. A.7 B.11 C.7或11 D.7或10 二.填空题(共8小题,每小题5分,共40分) 22. 如图ABC △中,AD 平分BAC ∠,且AB BD AC +=,若64B ∠=?,则C ∠= .

新人教版八年级数学竞赛试题

永川中学片区初2019级桂山杯数学竞赛试题 (总分:100分时间:100分钟) 考号:班级:姓名: 一、选择题(共10小题,每小题4分) 1.下列计算中,正确的是() A . B . C . D . 2.已知一次函数()2 2m -1- + =m x y,函数y随着x的增大而减小,且其图象不经过第一象限, 则m的取值范围是() A. 2 1 > m B.2 ≤ m C.2 2 1 <

新课标八年级数学竞赛讲座:第三十四讲 分式方程(组)

第三十四讲 分式方程(组) 本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用. 【知识拓展】 分母里含有未知数的方程叫做分式方程.解分式方程组的基本思想是:化为整式方程.通常有两种做法:一是去分母;二是换元. 解分式方程一定要验根. 解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分.常见的思路有:取倒数法方程迭加法,换元法等. 列分式方程解应用题,关键是找到相等关系列出方程.如果方程中含有字母表示的已知数,需根据题竞变换条件,实现转化.设未知数而不求解是常见的技巧之一. 例题求解 一、分式方程(组)的解法举例 1.拆项重组解分式方程 【例1】解方程6 4534275--+--=--+--x x x x x x x x . 解析 直接去分母太繁琐,左右两边分别通分仍有很复杂的分子.考虑将每一项分拆:如7 2175-+=--x x x ,这样可降低计算难度.经检验211=x 为原方程的解. 注 本题中用到两个技巧:一是将分式拆成整式加另一个分式;二是交换了项,避免通分后分子出现x .这样大大降低了运算量.本讲趣题引路中的问题也属于这种思路. 2.用换元法解分式方程 【例2】解方程08 1318218111222=--+-++-+x x x x x x . 解析 若考虑去分母,运算量过大;分拆也不行,但各分母都是二次三项式,试一试换元法. 解 令x 2+2x —8=y ,原方程可化为0151191=-+++x y y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=-5x . 故当y=9x 时,x 2+2x —8=9x ,解得x 1=8,x 2=—1. 当y=-5x 时,x 2+2x —8=-5x ,解得x 3=—8,x 4=1. 经检验,上述四解均为原方程的解. 注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时,可通过换元将之简化. 3.形如a a x x 11+=+ 结构的分式方程的解法 形如a a x x 11+=+的分式方程的解是:a x =1,a x 12=. 【例3】解方程 3 10511522=+++++x x x x . 解析 方程左边两项的乘积为1,可考虑化为上述类型的问题求解. 11=x ,22=x 均为原方程的解. 4.运用整体代换解分式方程组

八年级数学竞赛专题训练18 直角三角形(附答案)

八年级数学竞赛专题训练18 直角三角形(吴梅录入) 阅读与思考 直角三角形是一类特殊三角形,有以下丰富的性质: 角的关系:两锐角互余; 边的关系:斜边的平方等于两直角边的平方和; 边角关系:30所对的直角边等于斜边的一半. 这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面. 在现阶段,勾股定理是求线段的长度的主要方法,若图形缺少条件直角条件,则可通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件;运用勾股定理的逆定理,通过代数方法计算,也是证明两直线垂直的一种方法. 熟悉以下基本图形基本结论: 例题与求解 【例l 】(1)直角△ABC 三边的长分别是x ,1x 和5,则△ABC 的周长=_____________.△ABC 的面积=_____________. (2)如图,已知Rt △ABC 的两直角边AC =5,BC =12,D 是BC 上一点,当AD 是∠A 的平分线时,则CD =_____________. D C (太原市竞赛试题) 解题思路:对于(1),应分类讨论;对于(2),能在Rt △ACD 中求出CD 吗?从角平分线性质入手. 【例2】如图所示的方格纸中,点A ,B ,C ,都在方格线的交点,则∠ACB =( ) A.120° B.135° C.150° D.165°

(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:方格纸有许多隐含条件,这是解本例的基础. 【例3】如图,P为△ABC边BC上的一点,且PC=2PB,已知∠ABC=45°,∠APC =60°,求∠ACB的度数. B C (“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路:不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数,综合运用条件PC=2PB及∠APC =60°,构造出含30°的直角三角形是解本例的关键. 【例4】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,分别以AB,AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD,DE与AB交于F,求证:EF=FD. B A C (上海市竞赛试题)解题思路:已知FD为Rt△FAD的斜边,因此需作辅助线,构造以EF为斜边的直角三角形,通过全等三角形证明. 【例5】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=CD,求证:222 += BD AB BC B (北京市竞赛试题)解题思路:由待证结论易联想到勾股定理,因此,三条线段可构成直角三角形,应设法将这三条线段集中在同一三角形中. 【例6】斯特瓦尔特定理:

八年级数学勾股定理练习题

勾股定理练习 一.填空题: 1. 已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为_______. 2.在Rt △ABC 中, ∠C=90°,AB=15,BC:AC=3:4,则BC=___________. 3.已知:如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,DE=4, AC=10,则AB=_____________. 4.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边, 花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是________m 。 5.已知两条线段的长为9cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条 6.如图,在△ABC 中,则DE 的长为_______. 7的正方形的边和长为7cm 。 (第3题) 8.在一棵树的10的A 处。另一只爬到树顶9.有两棵树,一棵高6的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了 米 ,AD=8,DC=6,CB=24,AB=26.则四边形ABCD 的面积 20dm 、3dm 、2dm ,A 和 A 点有一只蚂蚁,想到 B 点去吃可口的食物,则 _____________. (第9题) (第10题) (第11题) 二.选择题: 1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2.下列各组数中,以a ,b ,c 为边的三角形不是Rt △的是( ) A 、a=1.5,b=2,c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6,b=8,c=10 D 、a=3,b=4,c=5 C A B C D 20 32A B

最新初二数学竞赛试题

数学竞赛试题 一、填空题:每小题2分,共40分。 1、使等式x x x =-成立的的值是。 2、扇形统计图中扇形占圆的30%,则此时扇形所对的圆心角为。 3、如果点A(3,a)是点B(3,4)关于y轴的对称 点,那么a的值是。 4、如图1,正方形ABCD的边长为1cm,以对角线AC 为边长再作一个正方形,则正方形ACEF的面积是 2 cm . 5、已知四个命题:①1是1的平方根,②负数没有立方根,③无限小数不一定 是无理数,④ 有个。 6、已知7 2π? -? ? ,,,其 中无理数有个。 7、 若 A的算术平方根是。 (图1) F E D C B A (图2) F G E D C B A

8、如图2,在△ABC 中,AB=AC ,G 是三角形的重心,那么图中例行全等的三角形的对数是 对。 9、足球比赛的记分规则是:胜一场记3分,平一场记1分,负一场记0分;一 支中学生足球队参加了15场比赛,负了4场,共得29分,则这支球队胜了 场。 10、若方程组41 01,43x y k x y k x y +=+?<+

八年级数学下册竞赛试题 人教新课标版

八年级数学竞赛练习题 一、选择题: 1.如果a >b ,则2a -b 一定是( ) A.负数 B.正数 C.非负数 D.非正数 2.n 是某一正整数,由四位学生分别代入代数式n 3-n 算出的结果如下,其中正确的结果是 ( ) A.337414 B.337415 C.337404 D.337403 3.三进位制数201可表示为十进位制数21023031319?+?+?=,二进位制数1011可表示为十进位制数32101202121211?+?+?+?=,现有三进位制数a=221,二进位制数b=10111,则a ,b 的大小关系是( ) A.a >b B.a=b C.a <b D.不能比较 4.若2x+5y+4z=6,3x+y-7z=-4,则x+y-z 的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.4 5.过点P (-1,3)作直线,使它与两坐标轴围成的三角形面积为5,这样的直线可以作( ) A.1条 B.2 条 C.3条 D.4条 6.已知731 -的整数部分是a ,小数部分是b ,则a 2 +(1+7)ab=( ) A.12 B.11 C.10 D.9 7.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,单片软件至少买3片,盒装磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有( ) A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 8.如图,是一个边长为2的正方体,现有一只蚂蚁要从一条棱的中点A 处沿正方体的表面到C 处,则它爬行的最短线路长是( ) A.5 B.4 C.13 D. 17 二、填空题: 9.如果整数a(a ≠2)使得关于x 的一元一次方程ax+5=a 2+2a+2x 的解是整数,则满足条件 的所有整数a 的和是__________. 10. 对于所有的正整数k ,设直线kx+(k+1)y-1=0与两坐标轴所围成的直角三角形的面积为S k ,则 S 1+S 2+S 3+…+S 2006= .

八年级数学竞赛讲座整体的方法附答案

第二十五讲 整体的方法 我们知道成语“一叶障目”和“只见树木,不见森林”,它们的意思是说,如果过分关注细节,而忽视全局,我们就不会真正理解一个问题. 解数学题也是这样,在加强对局部的研究与分析的基础上,从整体上把握问题.所谓整体方法就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理. 整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用,整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用. 例题求解 【例1】 若x 、y 、z 满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001,则分式 y x z y x 3200020002000+++的值为 .(安庆市竞赛题) 思路点拨 原式=y x z y x 3)(2000+++,视x+3 y 与x+y+z 为两个整体,对方程组进行整体改造. 【例2】 若△ABC 的三边长是a 、b 、c 且满足22444c b c b a -+=,22444c a a c b -+=,22444b a b a c -+=,则△ABC 是( ) A .钝角三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等边三角形 ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 三个等式结构一样,孤立地从一个等式入手,都导不出a 、b 、c 的关系,不妨从整体叠加入手. 【例3】 已知2 19941+=x ,求多项式20023)199419974(--x x 的值. 思路点拨 直接代入计算繁难,由已知条件得199412=-x ,两边平方有理化,可得到零值多项式,整体代入求值. 【例4】如图,凸八边形A l A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8中,∠A l =∠A 5,∠A 2 =∠A 6 ,∠A 3 =∠A 7 ,∠A 4=∠A 8,试证明:该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值. (山东省竞赛题)

八年级数学上册知识点:勾股定理

八年级数学上册知识点:勾股定理八年级数学上册知识点:勾股定理 一、勾股定理: 1.勾股定理内容:如果直角三角形的两直角边长分别 为a,斜边长为c,那么a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.勾股定理的证明: 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是: (1)图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙, 面积不会改变; (2)根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等 式,推导出勾股定理。 4.勾股定理的适用范围: 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量 关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三 角形的三边就不具有这一特征。 二、勾股定理的逆定理 1.逆定理的内容:如果三角形三边长a,b,c满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边。 说明:(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否 是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来

确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边 的平方和与较长边的平方作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形; (2)定理中a,b,c及a2+b2=c2只是一种表现形式, 不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足 a2+b2=c,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形, 但此时的斜边是 b. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角 三角形的一般步骤: (1)确定最大边; (2)算出最大边的平方与另两边的平方和; (3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等, 若相等,则说明是直角三角形。 三、勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股 数. 四、一个重要结论: 由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足 “两个较小面积和等于较大面积”。 五、勾股定理及其逆定理的应用 解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题,折叠问 题、梯子下滑问题等,常直接间接运用勾股定理及其逆定

人教版八年级数学竞赛题

八年级数学竞赛题 班级: 姓名: 一.选择题(共8小题,每题3分,共24分) 1.若式子在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A . x ≥3 B . x ≤3 C . x >3 D . x <3 2.下列式子中,属于最简二次根式的是( ) A . B . C . D . 3.下列运算正确的是( ) A . 5﹣1= B . x 2?x 3=x 6 C . (a+b )2=a 2+b 2 D . = 4.如图,∠AOC=∠BOC ,点P 在OC 上,PD ⊥OA 于点D ,P E ⊥OB 于点E .若OD=8, OP=10,则PE 的长为( ) A . 5 B . 6 C . 7 D . 8 5.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是( ) A . B . C . D . 6.如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M 为边AD 的中点,延长MD 至点E ,使ME=MC , 以DE 为边作正方形DEFG ,点G 在边CD 上,则DG 的长为( ) A . B . C . D . 7.如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下: 甲:连接AC ,作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ,AC ,BC 于M ,O ,N ,连接AN ,CM ,则四边形ANCM 是菱形. 乙:分别作∠A ,∠B 的平分线AE ,BF ,分别交BC ,AD 于E ,F ,连接EF ,则四边形ABEF 是菱形. 根据两人的作法可判断( ) A 甲正确,乙错误 B 乙正确,甲错误 C 甲、乙均正确 D 甲、乙均错误 8.如图,在矩形纸片ABCD 中,AB=8,AD=4,把 矩形沿直线AC 折叠,点B 落在E 处,连接DE ,其 中AE 交DC 于P .有下面四种说法:①AP=5;②△ APC 是等边三角形; ③△ APD ≌ △ CPE ;④四边形ACED 为等腰梯 形,且它的面积为25.6.其中正确的有( )个. A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 A .1个 B 2个 C 3个 D 4个 二.填空题(共6小题,每题4分,共24分) 9.请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 _________ . 10.如图,ABCD 是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD ,请你添加一个适当的条件 _________ ,使ABCD 成为菱形(只需添加一个即可) 11.如图,正方形ODBC 中,OC=1,OA=OB ,则数轴上点A 表示的数是 _________ . 12.如图,点E 在正方形ABCD 内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是 _________ . 13.按如图方式作正方形和等腰直角三角形.若第一个正方形的边长AB=1,第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S 1,第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S 2,…,则第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形的面积和S n = _________ . 第10题 第11题 第12题 第13题

新课标八年级数学竞赛讲座:第二十二讲 直角三角形的再发现

第二十二讲直角三角形的再发现 直角三角形是一类特殊三角形,有着丰富的性质:两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30°所对的直角边等于斜边一半等,在学习了相似三角形的知识后,我们利用相似三角形法,能得到应用极为广泛的结论. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,则有: 1.同一三角形中三边的平方关系:AB2=AC2+BC2, AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2. 2.角的相等关系:∠A=∠DCD,∠B=∠ACD. 3.线段的等积式:由面积得AC×BC=AB×CD; 由△ACD∽△CBD∽△ABC,得CD2=AD×BD,AC2=AD×AB,BC2=BD×AB.以直角三角形为背景的几何问题,常以下列图形为载体,综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形,特殊四边形等丰富的知识. 注直角三角形被斜边上的高分成的3个直角三角形相似,由此导出的等积式的特点是:一线段是两个三角形的公共边,另两条线段在同一直线上,这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中. 例题求解 【例1】等腰三角形ABC的底边长为8cm,腰长5cm,一动点P在底边上从B向C 以0.25cm/秒的速度移动,当点P运动到PA与腰垂直的位置时,点P运动的时间为.(江苏省常州市中考题) 思路点拨为求BP需作出底边上的高,就得到与直角三角形相关的基本图形,注意动态过程. 【例2】如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,S矩形ABCD=40cm2,S△ABE:S△DBA=1:5,则AE的长为( ) A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm (青岛市中考题) 思路点拨从题设条件及基本图形入手,先建立AB、AD的等式. 【例3】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,DB为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE上,连结DG并延长交AE于F,若∠FGE=45°. (1)求证:BD×BC=BG×BE; (2)求证:AG⊥BE; (3)若E为AC的中点,求EF:FD的值.(盐城市中考题)

八年级数学培优竞赛专题25 配方法

专题 25 配方法 阅读与思考 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式,这种方法叫配方法,配方法是代数变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构,是变形求解的一种手段;配方法的实质在于揭示式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”,恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧,常见的等式有: 1、2222()a ab b a b ±+=± 2、2a b ±= 3、2222222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值,解方程、求最值等方面有较广泛的应用,运用配方解题的关键在于: (1) 具有较强的配方意识,即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系,如2a = 能联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力,即善于将某项拆开又重新分配组合,得到完全平方式. 例题与求解 【例1】 已知实数x ,y ,z 满足25,z 9x y xy y +==+- ,那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路:对题设条件实施变形,设法确定x , y 的值. 【例2】 若实数a ,b , c 满足2 2 2 9a b c ++= ,则代数式222 ()()()a b b c c a -+-+- 的 最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路:运用乘法公式 ,将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.

初二数学勾股定理教案(模板)

初二数学上册教案模板勾股定理(2课时) 一、教学目标及重点 1、教学目标 (1)经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程,通过自主学习体验获取数学知识的感受,培养学生的思维能力和语言表达能力。 (2)运用勾股定理解决实际问题。 (3)了解有关勾股定理的历史,通过有关勾股定理的历史讲解,对学生进行德育教育。 2、教学重点:勾股定理及其应用。 3、教学难点:通过有关勾股定理的历史讲解,了解数学发展史,激发学习兴趣,对学生进行德育教育。 二、探索发现:(在教师的引领下,小组合作,探索学习) 通过此案例引出:勾股定理(商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理)的渊源。 三、知识透析: 1.勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,

那么: 即:直角三角形两直角边的 等于斜边的平方。 2.注意:(1)勾股定理的条件是:只有在直角三角形中才使用;(2)勾股定理的变形:222a =-b c ;222b =-a c 3.勾股定理验证方法:(教师引导学生通过面积计算,实现勾股定理证明) (1)赵爽证明: (2)伽菲尔德“总统证明法” 四、典例分析: 题型1:勾股定理 1.=90ABC C A B C ?∠∠∠∠V 例在中,,、、所对的边分别是a 、b 、c 。 (1)当a=3,b=4,则c= (2)若a=5,b=12,则c= 例2.一个等腰三角形的腰长为13cm ,底边长为10cm ,则底边上的高为?( )

(随堂练习:教材3页1、2) 题型2:勾股定理验证 例3.请您用下图验证勾股定理 例4.教材5页第三问 (随堂练习:教材6页中间) 题型3:勾股定理应用 例5.有两棵树,一棵高10米,另一棵高4m,两棵相距8米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行()(2013安顺中考) A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 注:将应用题转化构造为直角三角形 例6.教材5页例题

八年级数学竞赛专题讲义

八年级数学竞赛专题讲义 八年级数学竞赛例题专题讲解:坐标平面上的直线 阅读与思考 我们知道,任意一个一次函数的图象都是平面上的一条直线,那么,是不是平面上的任意一条直线都是某个一次函数的图象呢?请读者思考. 一次函数、二元一次方程、直线三者有着紧密的联系,我们既可以用函数的方法来处理方程的问题,也可以从方程的观点来讨论函数;既可以用坐标平面上的直线来表示一次函数与二元一次方程,也可以用方程和函数的思想来研究直线的性质,以及直线与直线之间的关系. 数形结合是解函数问题的重要思想方法,它包括两方面内容: (1)由数定形 即通过函数解析式的系数符号,确定图象的大致位置. (2)由形导数 即从给定的函数图象上获得解的信息,如图象的大致位置;确定解析式中系数符号;图象上的点的坐标等. 一次函数的图象是一条直线,对于实际问题,由于自变量的取值范围受实际意义的限制,因此,作出的函数图象是常见直线的一部分,相应函数值就有最大值或最小值. 一次函数是表示日常生活中匀速变化的两个变量之间关系的数学模型,是最基本的函数,有着广泛的应用价值. 运用一次函数解题时应注意: 1. 一次函数的图象是一条直线. 2. 函数解析式y kx b =+中的系数符号,确定图象的大致位置及y随x变化的性质 . (0,0) k b >>(0,0) k b ><(0,0) k b <>(0,0) k b << 3. 确定一次函数解析式,通常需要两个独立的条件. 4. 一次函数与二元一次方程有着密切的联系,任意一个一次函数y kx b =+都可以看做是一个关于x,y的二元一次方程0 kx y b -+=;反过来,任意一个二元一次方程0 ax by c ++=,当0 b≠时, 可化为形如 a c y x b b =--的函数形式.

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