随机需求条件下生产_库存系统优化与仿真_田俊峰

系统仿真学报 Vol. 16 No. 11

JOURNAL OF SYSTEM SIMULATION Nov. 2004? 2522 ?

随机需求条件下生产－库存系统优化与仿真

田俊峰1，杨梅2

(1西南交通大学交通运输学院，四川成都 610031；2.铁道第二勘察设计院，线路处，四川成都 610031)

摘要：针对多周期、多产品、有能力约束动态制造系统的生产－库存问题，考虑随机需求条件和产品的需

求满足率，建立以系统总成本最低为目标的二级随机线性规划模型，通过随机模拟法将原问题转化为等价的

确定性问题，运用对偶理论和Benders分解法把等价问题分解为相互关联的主问题和子问题，然后分别进行

求解。最后的实例仿真结果验证了模型和算法的合理有效性，表明了它们在生产实践中的应用性。

关键词：生产－库存系统；二级随机线性规划；Ｂｅｎｄｅｒｓ分解算法；对偶理论　

文章编号：1004-731X (2004) 11-2522-03 中图分类号：TP391.9 文献标识号：A Optimization and Simulation of Production-Inventory System

with Stochastic Demand

TIAN Jun-feng1 , YANG Mei2

（1.School of Traffic & Transportation, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China;

2.Track Department, 2nd Railway Survey & Design Institute, Chengdu 610031, China）

Abstract: The paper studies production-inventory problem in multi-period multi-product capacitated dynamic manufacture system.

Considering stochastic demand and satisfying demand ratio of product, it puts forward a two-stage stochastic linear programming model, with the aim of minimizing summation of cost in the system. The primal stochastic problem is transformed into equivalent deterministic problem by stochastic simulation method. Then the equivalent problem is decomposed into interactional master problem and subproblem in accordance with dual theory and Benders decomposition algorithm. Next both decomposed problems are respectively solved. In the last simulation sample, the result validates that the model and algorithm are reasonable and effective, and shows that they are applicable in production.

Keywords: production-inventory system; two-stage stochastic linear programming; Benders decomposition algorithm; dual theory.

引言

生产－库存问题是现代生产管理的重要内容，二者之间存在着成本－效益的比较选择（trade-off），生产数量多会使库存增加，但往往会造成产品积压，总成本增加；另一方面，生产数量少会使库存下降，但同时又会不能有效地满足市场需求，效益降低。在动态的制造系统中，生产－库存优化需要解决的问题是：基于产品的市场需求，在合适的时间，生产恰当数量的产品，保持恰当数量的库存，使规划期内系统的总成本最小（或效益最大）。

目前对于确定性需求下的生产－库存问题，有很多文献对此进行了研究，设计了多种有效的算法[1～8]。但在现实的生产实践中，产品的需求信息通常是随机（不确定）的，所能了解的只是其概率统计特征信息。本文以此为出发点研究多周期、多产品、有能力约束动态制造系统的生产－库存问题，文章首先在第二部分考虑产品的需求满足率建立带有补偿问题的二级随机线性规划模型；在第三部分基于随机模拟的方法和对偶理论，设计Benders分解算法进行模型求解；最后在第四部分通过一个应用实例，变换模型的参数，对生产－库存系统的行为进行模拟，验证模型、算法的合理性和应用性。

收稿日期：2004-03-30 修回日期：2004-05-31

作者简介：田俊峰（1973－），男，博士生，研究方向为供应链管理研究；杨梅（1973－），女，硕士，研究方向为交通与物流规划。1 数学模型的建立

符号及参数：

i——产品编号，N

i,...,

2,1

=；

t——时间阶段编号，T

t,...,

2,1

=；

i

s——产品i的固定生产准备成本；

i

c——产品i的单位生产成本；

i

h——产品i的单位库存持有成本；

i

b——产品i的单位缺货补偿成本；

i

λ——产品i的需求满足率；

i

a——单位产品i占用的能力资源量；

i

C——每阶段生产产品i可提供的能力资源量；

随机变量：

it

D——t时间阶段客户对产品i的需求量；

it

X——t时间阶段产品i的缺货数量

决策变量：

it

Q——t时间阶段产品i的生产数量；

it

I——t时间阶段末产品i的库存；

it

Y——t阶段是否生产产品i，1

=

it

Y表示是，0

=

it

Y表示否；

如果需求信息是完全确定性的，生产－库存规划模型可以表示为：

Min∑∑

∑∑

∑∑

==

==

==

+

+

=

N

i

T

t

it

i

N

i

T

t

it

i

N

i

T

t

it

i

I

h

Q

c

Y

s

Z

11

11

11

（1）

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Nov. 2004 田俊峰, 等：随机需求条件下生产－库存系统优化与仿真 ? 2523 ?

s.t. it it t i it D Q I I ?+=?1, t i ,?， （2）

it i it i Y C Q a ≤ t ?， （3）

0≥it Q ；0≥it I ；}1,0{∈it Y t i ,?. （4）

目标函数（1）的第一项为生产准备成本；第二项为生产成本；第三项为库存持有成本。约束条件（2）为产品库存平衡约束；（3）为能力约束以及it Q 与it Y 之间的关系约束；（4）确保it Q 、it I 为非负变量，it Y 为0，1变量。

随机（不确定性）需求条件下产品通常是以一定的需求满足率提供给市场的，因为有时如果要满足所有可能出现的需求，会使系统总成本很高，同时也会受到自身生产能力的限制，这样制定的生产－库存方案就显得不够经济合理随机，此时应权衡不能满足需求时所造成的缺货补偿成本。由此可以建立如下带有补偿问题的二级随机线性规划（Two Stage Stochastic Linear Programming with Recourse Problem ）模型:

Min ∑∑==+=N i T

t it i Y f E Y s Z 1

1

)]([ （5）

s.t. }1,0{∈it Y t i ,?， （6）

)()(1

1

it i I i it i T

t it

i

X b I h Q

c Min

Y f ++=∑∑== （7）

s.t. it it it t i t i D X Q I I ?++=?1,, t i ,?， （8）

it i it i Y C Q a ≤ i ?， （9） it i it D X )1(λ?≤ t i ,?， （10） 0,,≥it it it X I Q t i ,?. （11）

目标函数（5）的第二项为（7）的数学期望值，（7）的最后一项为缺货补偿成本。约束条件（10）为需求满足率约束，其余与模型（1～4）相同。

2 算法设计

模型求解的难度在于随机变量的不确定性。对于连续的概率分布，需要进行复杂的积分运算；对于离散的概率分布，则要进行大规模的线性运算。

本文的算法设计思路为：

1） 假定每个时间阶段产品的需求服从独立的概率分布，通

过随机模拟法产生M 个需求样本M it it it

D D D ,,,21

L (N i ,,2,1L =；T t ,,2,1L =)[9]，向量空间

;,,2,1|),{(M m p D m

it m it L ==Ε,2,1=i },2,1;T t N L L =(m it p 为发生概率），从而将随机规划模型转换为等价的确定性模型。

2）运用Benders 分解法[10~11]把转换后的等价问题分解为主

问题（master problem ）和子问题（sub problem ），分别进行求解，两个问题通过变量t Y 联系起来。

3）利用对偶理论和线性规划基本原理，主问题向子问题发送最优解，子问题返回对偶解，此对偶解对主问题进行约束限制，双方反复进行交互，更新问题的上限和下限，使上限不断减小，下限不断增加，算法在有限步骤内终止。

为了叙述方便，i s 、i c 、i h 、i b 、i λ、i a 、i C 分别用向量s 、c 、h 、b 、λ、a 、C 表示； it Q 、it I 、it Y 、it D 、

it X 、it p 分别用向量t Q 、t I 、t Y 、t D 、t X 、t p 表示。

主问题：

Min θ∑=+=

T

t t

sY

Z 1

, （12）

s.t. ∑∑==?++≥

M m T

t m k t m t t m k t m k t m t m

t

w D Y v C u D p

1

1

)()()(]

?)1(??[λθ K k ,,2,1L =, （13）

}1,0{∈t Y t ?. （14）

子问题：

∑==

M

m m

t

t

t D

Y f Y f E 1

),?()]?([，

)(),?(1

∑=++=T

t m t m t m t m

t

m t t

bX hI cQ p

Min D Y f ，

M m ,,2,1L = （15）

s.t. m

t m t m t m t m t D X I I Q =+?+?1 t ?， （16）

t m t CY aQ ≤ t ?， （17） m t m t D X )1(λ?≤ t ?， （18） 0,,≥m t m t m t X I Q t ?. （19）

子问题的对偶问题为：

=),?(m t

t

D Y

Df ∑=?++T

t m t m t m t t m t m t m

t

w D v Y C u D p

Max

1

])1(

?[λ （20） s.t. c av u m t m

t

≤+ t ?, （21）

h u u m t m t ≤+?+1;h u m

T ?≥ 1,,2,1

?=T t L , （22） b w u m t m t ≤+ t ?, （23） N m t R u ∈；0,≤m t m t w v t ?. （24）

具体算法步骤为：

1）初始化，0=k ，上限+∞=Ub ，下限?∞=Lb ，选

取初始可行解},1?|?{?0t Y Y Y t t ?==；

2）对于给定的k Y

?，利用改进单纯形法和对偶理论（互补松弛性定理）[11]，求解每个样本（M m ,,2,1L =）对应的子

问题（15～19）和对偶问题（20～24）, 分两种情况进行讨论：

①　

若m ?，子问题不可行，对偶问题无界，由文献[12]

的定理1.14（p.57～p.58）可知：

;0|),,{(

?,?,?≤+=?∈?m t m t m t m t m t m t m t m t av u w v u w v u }0

,;;0;01≤∈≤+≤+?+m

t m t m t m t m t m t m t w v R u w u u u 使

0]?)1(??[1

>?++∑=T

t m t

m t t m t m t m t m

t

w D Y v C u D p

λ。所以此时应对主问题增加约束条件：

]?)1(??[1

≤?++∑=T

t m t m t t m t m t m t m t

w D Y v C u D p

λ， 即添加割平面去掉不可行解，1+=k k ，转向4）；

②　若m ?，子问题可行，最优解记为

,

2,1;??;??|)?,?,?{(?1

1

====∑∑==t I I Q Q Y I Q S M

m m t t M

m m t t t t t k }T L ,其对偶解记为m

t u ?、m t v ?、m

t w ?，=

ZU )]?([?1

t

T

t t

Y f E Y s +∑=，

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},min{Ub ZU Ub =，转向3）；

3）若ε≤?Lb Ub （0≥ε，为允许的最大差值），

k best S S ?=，算法停止；否则1+=k k ，对主问题添加割平面

=≥)]?([t

Y f E θ∑∑==?++M m T

t m t m t t m t m t m t m

t

w D Y v C u D p

1

1

]

?)1(??[λ，转向4）；

4）利用分枝定界法或隐枚举法求解主问题(12～14)，最优解为)?,?(θk Y ，)?,?(θk Y Z ZL =,},max{

Lb ZL Lb =，返回2）。 3 实例仿真

本例中，成本参数单位为元；能力为生产劳动时间数量，单位：小时；产品需求量的单位为千克。取2,1=i ；3,2,1=t ，模型基本参数用向量表示为：)46,15(=c ；)1.4,2.2(=h ；

)700,300(=s ；)3,2(=a ；)650,400(=C 。假定每个阶段

产品的需求量近似地服从泊松分布，随机变量)100(~1P D t ；)200(~2P D t （3,2,1=t ）。

在P Ⅲ800 PC 上编写VC ＃应用程序，产生均匀随机数，通过PQ 算法[9]随机抽取1000个泊松分布样本，并且按不同的数值进行分类统计，得到一组离散的随机变量。利用LINDO Systems 公司推出的数学规划应用程序库LINDO API 2.0，应用程序调用其中的线性规划（改进单纯形法）和整数规划（分支定界法）解析器[13]。取缺货补偿成本与生产成本、库存持有成 本之和的比值4,2,1,5.0,25.0,125.0,0625.0=+=h c b γ，需求满

足率5.0,7.0,9.0,1=λ。对生产－库存系统的行为进行仿真，得到如图1所示的结果。

图1.不同需求满足率下最优总成本与比值间的关系

从图1可知：①当需求满足率0.1=λ时，系统的最优总成

本稳定在35129.96（元），最优解∑

==1000

1

m m t

m t t

Q p Q ，

)3.201,6.98(1=Q ；=2Q )3.201,3.197(；)3.201,0(3=Q ，（单 位：千克）即产品1在第一、二阶段生产，其中第二阶段为第三阶段的需求进行存货，在第三阶段不生产；产品2在每个阶段均安排生产，不持有库存。最优总成本值与比值γ无关；因为

此时必须满足所有可能出现的需求，不存在缺货，所以会出现这样的情形。随着需求满足率的降低，最优总成本相应地减小；但对于某一给定的需求满足率（1<λ），最优总成本会随着缺货补偿成本（比值γ）的增加而呈上升的趋势。所有这些均与生产实际情况相符合，这说明模型和算法是合理有效的。②随着比值γ的增加，不同需求满足率最优总成本之间的差值逐渐减小，当1=γ时趋于一致，此时的需求满足率1=λ，如果缺货就显得不经济节约。所以在生产实践中，应根据市场需求和自身实际情况，深入权衡需求满足率、产品单位成本以及总成本之间的关系，制定合理的生产计划。

4 结论

本文研究了随机需求条件下多产品动态制造系统中的生产－库存问题，考虑产品的需求满足率建立带有补偿问题的二级随机线性规划模型，基于对偶理论基本原理设计Benders 分解算法进行求解。在应用实例中，变换模型的参数对生产－库存系统的行为进行仿真，结果表明模型和算法是合理有效的，在生产实践中具有一定的指导意义。

参考文献：

[1]

Renato de Matta.A lagrangian decomposition solution to a single line multiproduct schedule problem [J]. European Journal of Operations Research, 1994, 79: 25-37. [2] Roger M.Hill. Optimizating a production system with a fixed delivery schedule [J]. Journal of the operational research society, 1996, 47: 954-960. [3]

Roger M.Hill. The single-vendor single-buyer integrated production -inventory model with a generalized policy [J]. European Journal of Operations Research, 1997, 97: 493-499. [4]

Haijun Huang and Gang Xu. Aggregate scheduling and network soling of multi -stage and multi-item manufacturing systems [J]. European Journal of Operations Research, 1998, 105: 52-65. [5] Y. Pochet and L.A. Wolsey. Solving multi-item lot-sizing problems using strong cutting planes [J]. Management Science, 1991,37:53-67. [6]

H.D. Chen, D.W. Hearn, and C.Y. Lee. A New Dynamic Programming Algorithm for the Single Item Capacitated Dynamic Lot Size Model [J ]. Journal of Global Optimization, 1994, 4: 285-300. [7]

H. Tempelmeier and M. Dersto. A lagrangean -based heuristic for dynamic multi -level multi -item constrained lot sizing with setup times [J]. Management Science, 1996, 42: 738-757. [8]

H. Meyr. Simultaneous lot sizing and scheduling by combining local search with dual optimization [J]. European Journal of Operational Research, 2000, 120: 311-326. [9]

高惠璇. .统计计算[M]. 北京：北京大学出版社，1995.

[10] Sherali, H.D. and B.M.P. Fraticelli. A modification of Benders’

decomposition algorithm for discrete subproblems: An approach for stochastic programs with integer recourse [J]. Journal of Global Optimization 2002, 22: 319~342.

[11] 张建中，许绍吉. .线性规划[M]. .北京：科学出版社，1999. [12] Peter Kall, Stein W.Wallace. Stochastic Programming [M]. New York ： John

Wiley & Sons, 1995.

[13] LINDO Systems Inc. LINDO API User’s Manual [EB/OL],

https://www.360docs.net/doc/2b18673135.html,.