离散数学习题整合
CH01复习题
§1.2
1. 命题判断（每空1分，共4分）1.1~1.3P32-
A 小李和小王是同班同学
B 小猪不是鲜花
C 3-2n<0
D 若2+2=4，则太阳从西方升起。
上述语句中，是简单命题，不是命题，是符合命题且真值为假，是符合命题且真值为真。 （参考答案：ACDB ）
2. 命题符号化（每空2分，共4分）习题1.5(7)(3) P32-
p ：天下大雨，q ：他乘公共汽车去上班，命题“除非天下大雨，否则他不乘公共汽车去上班”可符号化为。（参考答案：q →p 必要条件为后件）
r ：天很冷，s ：老李来了，命题“虽然天很冷，老李还是来了” 可符号化为。（参考答案r ∧s ）
3. 五个真值表（每空2分，共4分）习题1.6(2)(4) P32-
设p 的真值为0，r 的真值为1，q 、s 都是命题，则命题公式（
)()（s q r p ∨?∧?的真值为，命题公式)()))((（s r p r q p ?∨→?∧→∨?的真值为。（参考答案：0,1）
4. 用符号p 、q 填空。（每空1分，共4分）基本概念
设p ：x>0（其中x 是整数） ，q ：太阳从西方升起，则是命题，是命题变项，是命题常项，不是命题。（参考答案：q ，p ，q ，p ）
5. 命题符号化，相容或与排斥或
设r ：现在小李在图书馆，s ：现在小李在学生宿舍，则“现在小李在图书馆或学生宿舍”可符号化为。（参考答案：B ）
A r ∨s
B (r ∧?s)∨(?r ∧s)
C r ∧s
D (r ∧?s)或(?r ∧s)
§1.2 命题公式及分类
已知：A 是含三个命题变项的命题公式，且A(001)=0，A(100)=1，则A 是。（D ）
A 矛盾是
B 可满足式
C 重言式
D 非重言式的可满足式
§1.3 等值演算
用等值演算法证明等值式：(p ∧q)→rp →(q →r). (演算的每一步都要写依据)
§1.4 范式
6. A(p,q)的真值表
求A 的永主析取范式、主合取范式、成真赋值和成假赋值。（参考答案：m 1∨m 3，M 0∧M 2，01、11，00、10）
7. （2分）命题公式B(p,q,r)=(?p∧r∧?q)的主析取范式是。（参考答案：C）
A m2
B M6
C m1
D M5 E
命题公式B(p,q,r)=(?p∨?q∨r)的主析取范式是。（参考答案：A）
A m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7
B M6
C m1
D M1
§1.5 全功能集（2分）
不是联结词全功能集。（参考答案：D）
A {↑}
B {?,→}
C {?,∨}
D {∧,∨}
是联结词全功能集。（参考答案：A）
A {↓,}
B {∨,∧}
C {∨}
D {∧}
§1.6 组合电路
（习题1.16）有一盏灯由三个开关控制，要求按任何一个开关都能使灯由黒变亮或由亮变黑，试设计这样的一个电路。
（解题基本步骤：状态设置、设计真值表、写主析取范式、化简、绘制电路. 答案不唯一）
§1.7 推理理论
(习题1.19(1))用直接证明法或归谬法证明下面的推理.
前提：?(p∧?q)，?q∨r，?r. 结论：?p.
证明：…
(习题1.19(3))用直附加前提法证明下面的推理.
前提：P→q. 结论：P→(p∧q).
证明：…
（例题1.28）公安人员审查一件盗窃案，已知事实如下：
（1）李或王盗窃了录音机；
（2）若李盗窃了录音机，则作案时间不能发生在午夜前；
（3）若王的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；
（4）若王的证词不正确，则作案时间发生在午夜前；
（5）午夜时屋里灯光灭了.
试问盗窃录音机的是李还是王，并证明你的结论。
参考答案：王盗窃了录音机.
设p：李盗窃了录音机；
q：王盗窃了录音机；
r：作案时间发生在午夜前；
s：王的证词正确；
t：午夜时屋里灯光灭了.
前提：p∨q，p→?r，s→t，?s→r，?t. 结论：q.
证明：…
CH02复习题
§2.1例2.1（3）
1 将命题“若李一的成绩比王二高，王二的成绩比吴三高，那么李一的成绩比吴三高”用0元谓词符号化。
解：设H(x,y)：x的成绩比y高，a：李一，b：王二，c: 吴三
则命题可符号化为H(a,b)∧H(b,c) H(a,c)
§2.1例2.4（4）
2 在一阶逻辑中将命题“素数不全是奇数”符号化。
解：设F(x)：x是素数，G(x)：x是奇数
则命题可符号化为x(F(x)∧G(x))
或x(F(x)G(x))
§2.2
3 （每空1分，共4分）
给定解释I，对一阶逻辑合式公式中每个出现的指定中的一个元素，称作在下的赋值。（自由个体变项个体域解释I）
§2.2
4 下面的一阶逻辑合式公式不是闭式。(D 有自由出现)
A x(F(x)G(X))
B y(F(x,y)G(x))
C xF(x)yG(y)
D xF(x,y)yG(y)
§2.2
5 下面各种叙述，不正确。(C 例2.8（5）) 也可改造成正误判断题
A 在给定的解释和赋值下，任何一阶逻辑合式公式都是命题√P45-
B 闭公式的真值与赋值无关，只需要给定解释
C 非闭式的公式的真值只与赋值有关
D 可满足式可能是逻辑有效式
§2.3
6 在四个合式公式?x?y(F(x)→(G(y)∧H(x,y))) 、?x(F(x)→?y(G(y)∧H(x,y)))、?x?(F(x)∧G(x))、??x(F(x)∧G(x)) 中共有个是前束范式。（参考答案：A）
A 2
B 3
C 1
D 0
（*参考答案：B）
7 已知F(x)=??x(M(x)∧F(x))，G1(x)=?x?(M(x) ∧F(x))，G2(x)=?x(?M(x)∨?F(x))，
G3(x)=?x(M(x)→?F(x))，则在G1(x)、G2(x)和G3(x)中，有个是F(x)的前束范式。
A 0
B 3
C 2
D 1
例2.11（3）
8 求公式xF(x)G(x) 的前束范式。
解：xF(x)G(x)
xF(x)xG(x) (蕴涵等值式)
xF(x)xG(x) (量词否定等值式) xF(x)G(x) ) (量词分配等值式) 解法2：xF(x)G(x) xF(x)yG(y) (换名规则)
x(F(x)yG(y)) (量词扩TH2.2(2)③) xyF(x)G(y) ) (量词扩TH2.2(2)④)
解法3：xF(x,)G(x)F(y)G(x) )
§2.4例2.17
设个体域D={a,b}，消去公式x(F(x)∧yG(y))中的量词。
离散CH03复习题
判断（1分/每小题）
若集合A={1，{1,2}，3}，则2A （×）
若集合B={2，{a ，b}}，则{a ，b}B （×）
单选（2分/每小题）
下面的集合算式不正确。（∵A =∴C ）
A A -(
B ∪C)=A-B)∪(A-C) B A-B=A ∩～B
C A=A
D A BA-B=
已知B={ {a ，b}，c }，则|P(A)|=.（∵P(A)= {，{c}，{{a ，b}}，B}，∴A ）
A |{，{c}，{{a ，b}}，B}|
B 2
C 3
D 8
填空（2分/每小题）
若|P(A)| = 128，则|A|=.(∵|P(A)|=27,∴7)设A={1,3,3}，则|A|=. ∵A={1,3}，∴2)
计算（8分/每小题）
某班有48个学生，第一次作业优秀7人，第二次作业优秀6人，两次作业都没得优秀的41人，求两次作业都得优秀的人数。（求解过程参见[例3.12]，参考答案：6）
解：用A 、B 分别表示第一次和第二次作业优秀的人数集合，E 为某班全体学生的集合 则：|E|=48，|A|=7，|B|=6，|～A ∩～B|=41
|～A ∩～B| = |E|-(|A|+|B|)+|A ∩B |
|A ∩B | = 41-48+(7+6)
= 6
已知A={{a ，b}，c ，d}，B={c ，d}，计算A ∩B 、A ∪B 、A -B 、AB 。（P74-3.13(1)）
画图
画（A ∩～B ）∪（C -B ）的文氏图。（3.15（3））
证明：（A ∩～B ）∪（C -B ）=（A ∪C ）- B
证：左式=（A ∩～B ）∪（C ∩～B ） （3.27 /差交运算转换 ）
= (A ∪C) ∩～B （3.8/分配律）
= (A ∪C)-B （3.27 /差交运算转换 ）
A B C
离散CH04复习题
判断（1分/每小题）
§4.1
1.A是任意集合，则A×A的任何子集称作A上的二元关系。（√）
2. 若集合B={2，{a，b}}，则{a，b}B （×）
单选（2分/每小题）
§4.1
3. A是任意集合，{
A 空 B恒等 C 全域 D A上的
4. 设A={a，b，c}，R={
A B C D
设S={1,2,3,4}，R是S上的关系，其关系矩阵是，R的关系图中有个环。
A 1
B 3
C 6
D 7
填空（2分/每小题）
§4.1
6. A、B是任意两个集合，若|A|=m，|B|=n，则|P(A×B)|=。（）
7.设A是任意集合，|A|=n，则A上有个不同的二元关系。(,|A×A|=n2)
§4.5
8. R是集合A上的等价关系，如果有序对
9.若R是集合A上的偏序关系，则可将此偏序关系简记作；有序对
计算（8分/每小题）
§4.2
10. 已知关系R={<2,{2}>，<{2},{2,{2}}>}，求RR、R{2}、R[{2}]. (同例4.7 理解定义4.9)
解：RR={<2，{2,{2}}>}
R{2} = {<2,{2}>} 限制
R[{2}] = ran（R{2}）= ran{<2,{2}>} = {{2}} 像集
11.已知A={a，b，c，d}，R1和R2是A上的关系，且R1={
R2={
解：∵
故R2R1={
证明题
综合：§1等值公式和等值运算+§3集合运算+§4关系性质的定义
12. 设集合A上的两个关系R1和R2都是对称的，证明R1∩R2仍是对称的。
证明：参见主教材P87-
13. 试证任何集合A的幂集P(A) 上的包含关系R是偏序关系
证明：
xP(A)，都有xx ，，
xy ∧ x ≠y
xy （集合包含关系的定义）
yx
x 、t 、yP(A),若
则 xt ∧ty (关系R 的定义)
xy （集合运算律）
14. 已知R 的关系图如下图所示，画R 的自反闭包r （R ）、对称闭包s （R ）、传递闭包t(R).
15. 画<{1,2,3,4,5,6,7,8}，R 整除>的哈斯图。
16. 判断函数f ：N →N ， 是否是满射、单射、双射，为什么?
解：作f 的对应关系图如右，由图可知 1无原像，故f 非满射，也非双射。 但f 是单射。
离散CH05
选择一个最合适的答案
1.下图中的边（和边的交替）序列Γ：e 0 e 1 e 2 e 3 e 4e 5 称为。（A ）
A 简单通路
B 初级通路
C 通路
D 复杂通路
2. 下面有向图中的顶点序列Γ：V 0 V 1 V 2 V 3 V 4 V 2 V 5 称为。（C ）
e 0 e 1 e 2 v 3 v 4 v 5 v 6 e 3 v 0 v 1 v 2 e 4 e 5 e 6
A 路径
B 初级通路
C 简单通路
D 复杂通路
3.能构成图的度数序列。（C ）
A （3，3，2，1）
B （2，3，2）
C （1）
D （3，3，3）
填空：
4. 设G （V,E ）是n 阶有向简单图，若u ，v ?V ，都有，则称G 是n 阶有向完全图。（?E ∧ < v ，u >?E ）
5. G （V,E ）是n 阶有向完全图，通常记为。(K n ）
6. 在下面的有向图中，从v 2到v 2的长度为2的初级回路是。
v 2e 4v 1e 1v 2 7.在下面的无向图中，顶点是割点，边是桥。（V 2）（e 3）
8.设G 是有向图或无向图，称p （G ）是图G 的。（连通分支个数）
简答（6分/每小题）
§5.2
9. 下面三个无向图，它们之间哪些同构，哪些不同构。若不同构，为什么？若同构，请建立顶点之间的双射。
图G 1 图G 2 图G 3
答：图G 1与图G 2不同构，因为图G 1与G 2存在度不相同的顶点。 … 2分 同理G 2G 3. … 2分
G 1G 3. … 2分
2 c
b
1
4 3 d a
建立顶点之间的如下对应关系f ：1→a ，2→b ，3→c ，4→d ，f 是双射，并且v 0 v 1 v 3 v 2 e 0 e 1 e 3 e 2 2
3e 1 3
两图的边也一一对应。
10.无向图的（点）着色：P132-例5.5
11. 图强连通，图单向连通，图弱连通，图非连通。
参考答案：D 2 、D 3 、D 4 、D 1）
12.应用题 P133-[例5.6]
离散CH06
选择一个最合适的答案
1. 下面三种说法，其中不正确的有个。(C 还有必要条件)
① Hall 定理是二部图G(V 1, V 2,E)存在完备匹配的充要条件
② 无论是有向图还是无向图，都有判断其是否存在欧拉通路和欧拉回路的充要条件 ③ 目前只有判断哈密顿图的充分条件
A 0
B 3
C 1
D 2
2. 下面四种说法，其中正确的有个。（A ）
①存在既是欧拉图又是哈密顿图的无向图 ②存在是欧拉图不是哈密顿图的无向图
③存在不是欧拉图却是哈密顿图的无向图 ④存在既不是欧拉图又不是哈密顿图的无向图
A 4
B 3
C 2
D 1
填空
§6.1
3. 用G (V 1,V 2,E )表示二部图G ，| V 1|=n ，| V 2|=m ，记号表示图G 为。
（完全二部图）
§6.4
4. 若图G 画在平面上使得除顶点处外没有出现，则称G 为平面图。（边交叉）
5. 下面的平面图共有个面，其中无限面R 0的次数deg （R 0）= 。（3，8）
平面图6-1
D 2 D 3 D 4
D 1
6. 非连通的平面图6-2的外部面是R 0，deg （R 0）= 。（9）
非连通平面图6-2
应用题：
7. P151-习题6.5 （二部图的应用）
8. P151-习题6.15 （哈密顿图的应用）
9. P152-习题6.18 （欧拉通路或欧拉回路的应用）
10. *P152-习题6.23 （平面图在作色中的应用）
离散CH07复习题
§7.1
1. P165-↓12设n 阶连通无向图G (V ,E )有m 条边，G 的生成树有条边，余树有条边。（n-1，m-n+1）
2. P167-例7.5（2）画出4个顶点非同构无向树。（2种）
3. P173-习题7.16（3）画出4个顶点非同构的根树（4种）
4. 下面三条叙述中有条正确。（B ）
① 一阶零图是一棵树 ② 只有一片树叶的树在同构意义下只有1种
③ 树中每条边都是桥 ④在树中任意两个不相邻顶点间加一条边会形成唯一一条初级回路
A 0
B 3
C 2
D 1
计算题
5. （6分）一棵树有2个4度顶点，3个3度顶点，其余都是树叶，则该树有片树叶。（9 <与P171-习题7.1同类型>）
解：设该树有x 片树叶、n 个节点、m 条边
则 度数之和 = 4×2＋3×3＋1×x = 17＋x
n = 2＋3＋x = 5＋x
m = n-1 （树）= 4＋x
17+x = 2m （握手定理）= 2(4+x) x = 9
6. P171-最小生成树-习题
7.8（b ）
7. P173-最佳二元前缀码-习题7.17
离散CH09
§9.1
1 R*是非零实数集，1是R*上普通乘法的幺元，*,对普通乘法，a 的逆元是。 R 1 R 0 R 2
（a-1或1/a）
2 n阶单位矩阵是n阶矩阵的幺元。（乘法）
3 在集合A的幂集P(A)上，是∪运算的幺元∩运算的零元。（?）
是∩运算的幺元∪运算的零元。（A）
4 正确。（D）
A 减法是自然数集N上的二元运算
B 除法是整数集上的二元运算
C 加法是非零实数集R*上的二元运算
D ⊕是任意集合A的幂集P(A) 上的二元运算
5 错误。（C）
A 0是加法的幂等元
B 1是乘法的幂等元
C 单位矩阵E是矩阵加法的幂等元
D ?是幂集P(S)上⊕运算的幂等元
6={0,1}，λ表示空串，是回文语言，是镜像语言,。(A，D)
A {0n10n|n N}={1,010,00100,…}
B {0n1n |n N}={λ,01,0011,…}
C {(01)n|n N}={λ,01,0101,…}
D {01，10}