小波变换基本原理

第五章 小波变换基本原理

问题

①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史

③小波变换与短时傅里叶变换比较

a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法

多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现

⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的

5.1 连续小波变换

一．CWT 与时频分析 1.概念：?

+∞

∞

--ψ=

dt a

b

t t S a

b a CWT )(

*)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别

小波 构造？

1910 Harr 小波

80年代初兴起 Meyer —小波解析形式

80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现

90年代初 Daubechies 正交小波变换

90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换

3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题

1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原

2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=?

∞

+∞

-ψdw w

w C 2

)(

①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式

??+∞∞-+∞

∞-ψ

-ψ=

dadb a

b t b a CWT a C t S )(),(11

)(2

3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似）

4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1

)(2

,22,,n t t a b t a

t n b a m m

n m b a m

m

-ψ=ψ?-ψ=

??==--ψ

dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞

∞

---ψ=?=

5.小波变换具有时移不变性

)

,()()

,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-?

6.用小波重构信号 ∑∑

∑∑+∞-∞=+∞

-∞

=+∞-∞=+∞

-∞

=ψψ=

m n m n n

m n

m n

m n m t d

t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{}

n m ,?ψ

如何构建正交小波？

5.2 分段逼近

P

1. =)(t φ

逼近函数)2(2)(

n t n t -→-φφ

)2(2)()()(S ,1,0n t C t S n t C t n

n n

n -≈?-≈∑∑φφ 尺度2

1=

a ?一般式：∑-=-≈n

m m n

m m a n t C

t S 2)2(2

)(,2

尺度φ

)(,0,τS a m 逼近收敛于

→∞→ 0,,0→∞→→逼近a m

2.两尺度函数间关系 )12()2()(-+=t t t φφφ

①张成空间满足10V V ? ②两尺度空间差异在哪？ 3.表征细节的小波变换的引入

很显然采样率越高，s T 越小， 逼近误差越小，采样率∞→无误差

发现

2

)

()()12(2

)

()()2(t t t t t t ?φφ?φφ-=

-+=

?

∑-≈?n

n n t C S )2(2)t (,1φ 12,2+=m m n

??

????-

-+-∑∑+m m m m m t C m t C )122()22(212,12,1φφ

??

????

---+-+-=∑∑+m m m m m t m t C m t m t C 2)()(2)()(21

2,12,1?φ?φ ∑

∑

-?-+-?+→++n

n n m

n n n t C C n t C C n m )(2

)(2

1

2,12,11

2,12,1?φ

001W V V ⊕=? 4.推广

?

⊕⊕⊕⊕⊕=⊕⊕=⊕=?----0

12011011W W W W V W W V W V V m m

0121W W W V V ⊕⊕⊕=--∞- ↑⊕⊕⊕=---m W W W V m m m m ,123

,lim ,1012=↓↓⊕⊕⊕⊕⊕==↑↑∞---∞

→∞V m W W W W V V m m m 逼近精度逼近精度

?

??

?-)2(22n t m m ?包含信息量决定 →形成最简单的MRA

尺 度

2V

二．分段逼近与小波变换（哈尔小波） 1.信号的尺度逼近与小波表示 尺度逼近 ∑→-n

m n

m m t S n t C

)()2(2

,2

φ 小波表示 ∑∑+∞-∞=+∞

-∞

=-=m n m m

n

m n t d

t S )2(2)(2

,? Harr 小波

2.Harr 小波特性

①同一尺度平移正交性：?+∞

∞

-'-='--)()(*)(n n dt n t n t δ??

②尺度，平移均正交 ?

∞

+∞

-''''+''='-->=

)(,,)2(*)2(2

)(),(δδ????

????

???-?形成正交基)2(22n t m m ??∞

+∞

--=dt n t t S d m

m n m )2(*)(22,?影即为小波系数

信号在正交基函数上投 分段逼近的推广—MRA 一．多分辨率分析含义

①由内空间 ????+-110m m m V V V 组成

②若0V 空间尺度函数)(t ?平移正交：?+∞

∞-=-)()(*)(n n t t δφφ

则)(t ?为0V 空间尺度函数,任一函数S(t)可用表示)(t φ

③成立当且仅当1)2()(+∈∈m m V t S V t S ④{}00

=m m

m V V 交集为

⑤平方可积空间即为并集逼近m V )(lim 2R L V m m =∞

→ 问题：Harr 小波构成最简单MRA

?同尺度m 也满足

?

+∞

∞

-''-=)()(*)(,,n n dt t t n m n m δ?? 作变量替换即可证明

?∑∞

+∞

--=-=dt

n t t S C n t C t S n n

n )(*)()

()(φφ

如何构造选其它具体的MRA 体系 二．正交小波函数的系统构造 1.两尺度方程引入 ①低通滤波器与尺度关系

Harr 小波满足 ???

???-+=-+=)12(21)2(212)12()2()(t t t t t φφφφφ

∑-=??

??

??=n

n t n h t

h 卷积关系满足)()(2)2(212

1

00φφ

②频域反映

令 )2(2)2

()()()()(00w t

w t w H n h φφφφ????

)()(00w w H h φφ?*?

)()()2()()(2)2(200w w H w w w H w φφφφ==?即

③含义

a. LPF n h H 为)(,1)0(00=

b ．根据MRA ，∏∞

==Φ=Φ1

00)0()2()2()2()(k k w

H w w H w φ

c.1)0(=Φ 2.QMF 的引入

①)(t φ的尺度正交关系的频域反映

?

+∞

∞

-=-)()(*)(n n t t δφφ

??--)()(w e n t j n w

φ

φ 频域也正交

?

∑+∞

∞

-=n

jnw n dw e w w )()(*)(21

δφφπ

两边对n 求和 ?

∑+∞

∞

-=?

n

inw dw e w w 1)(*)(21φφπ

利用泊松求和公式

∑∑+=-n

n

jnw

n w F e

n f )2()(π

（令)(2)(,1)(w w F n f πδ==则） 有 ∑∑+=-n

n

jnw

n w e

)2(2πδπ

∑∑-=?

n

n

jnw

n w e

)2(21πδπ

?∑+∞

∞

-=-?n

dw n w w w 1)2()(*)(πδφφ

∑?

+∞

∞

-=-n

dw n w w 1)2()(2

πδφ

即：∑∑=+?=-k

n

k w n w 1)2(1)2(2

2

πφπφ

② QMF 正交镜像滤波器组的导出 利用两尺度关系

∑=++k k w

H k w 1)2()2(2

0ππφ

对k 分奇偶讨论

1))12(2())12(2()22()22(2

020=+++++++?∑∑n

n n w

n w H n w n w H πφππφπ

1))12(2()2()22()

2

(2

2

2

2

0=+++++∑∑n

n

n w

w H n w w

H πφππφ 1)2

()2(2

02

0=++?πw

H w H

1)2(*)()(*)()()(00002

02

0=+++=++?πππw H w H w H w H w H w H ③含义

a.镜像为)()(,1)(1)0(0000w H w H H H ππ+=?=

b.功率互补条件—半带条件 )(*)()(00w H w H w P =

1

π

2

0)

(w H

3.正交小波滤波器满足的条件 ①频域关系

根据0)(),(=-k x x φ?可推出

0)(*)()(*)(1010=+++ππw H w H w H w H 上式的解为 )(*)(01π+-=-w H e w H jw ②时域关系 令 ∑-=??n

jnw e n h w H w H n h w H n h )()()()()

()(0011根据

)(*)1()1()()

(*)1()

1()(*)()1()(*)(001001

0000πππ+?--=+?--+?--?-?---w H e n h n h w H e

n h w H n h w H n h jw n jw

n n

③易证 QMF w H 也为)(1

④小波滤波器同样满足两尺度关系

∏∑∞==Φ=-=20111)

2

()2()2()2()()

2()(2)(k k k

w

H w H w w H w k t k h t ?φ?

4.尺度与小波滤波器频域关系的矩阵表示

??????=??????++??????++1001)()()()()(*)()()

(11

001010ππππw H w H w H w H W H w H w H w H 5.{

}{}解释的与MRA t t n m n m )()(,,φ? {}{}m n

m m

n

m V t W t →→)()(,,φ

? 正交补 112+-⊕⊕⊕=?m m m W W W L

?∑∑∞

+∞

-+∞

-∞=+∞

-∞===

dt

t t S d t d

t S n m n m m n m n n

m )(*)()

()(,,,,??

例：求Harr 小波的频域尺度函数和小波函数

??

??

??-=????

??=2121

212

1

10h h 解： 2)2()2()2()(11

210w w Sin e w Cos e w H w k k w j k w j k ?

===Φ∏∏∞

=∞=-+- ∑??=-==---n

w

j jw

jnw

w Sin e j e e n h w H )2

()1(21)()(211 4)4()()2

()2()(21w w S i n w w w H w =

?=Φ=?? 其频域幅值图如Fig 5–13所示

可发现其缺陷在于波纹太大 （原因—时域紧支撑） 例：理想LPF 也构成正交小波

?????

≤

=其它

021)(0πw w H

解：[]()

)

1()

1(2)()(00n n Sin w H IFT n h --==ππ 小波函数Sinc Sinc →?)( 三．有关小波函数的一些概念 1.小波消失矩 （vanishing moment ） 满足 阶消失矩具有则称N t N k dt t t k m k )(1

,1,0,0)()(1??-===?+∞

∞-

①母小波)(t ?平滑度由消失矩决定，消失矩越大，则)(w ?频域衰减越快

)(t ?越平滑

②消失矩越大，小波振荡程度越高 2.小波正则度（regularity ） ①定义：小波)(t ?的连续可导次数

②正则度为n 的小波)(t ?具有（n +1）阶消失矩（必要条件） 四．问题讨论

1.根据MRA 理论

①小波和尺度函数均可由无穷频域次乘积得出，最终由)(0n h 决定 ②不关心其解析表达式

2.MRA 理论 离散小波的数值实现

5.4 小波变换与数字滤波器组

一．时间离散小波变换的实现途径 1.不能直接对定义式离散化实现

)2(2),()(),(2

,,n t t S t t S d m m

n m n m -==?? 令 )(采样周期→=T kT l 当m 较小时，n t m -2不为整数

2.第一代小波变换：根据MRA 理论，由数字滤波器组实现

3.第二代小波变换：Swelden 算法 由预测和更新滤波器进行交替提升实现 二．Mallat 算法 1.两个近似假设

①∑∑∑-=+

=n

n m k n

kn n

k n m n m t d

t C t S t S 1

,000)()()()(?φ似由某一尺度空间函数近

②n m C ,由采样数据直接近似 ?

∞

+∞

--=dt n t t S C m m n m )2(*)(2

2

,φ

m m w jn

m jnw w e n t w e n t w t m

----??-??-??2)2()2()

()()()(2φφφφφφ

滤波器组

（Mallat 算法） （根据尺度函数和小波函数）

)2(2

)2(22

2

2

w e n t m w

jn m m

m m

-??--

-?-?φφ

?∞+∞---?=?dw e w w S C w n

j m m

n

m m 22

,)2(*)(221φπ

当分辨率m 足够高时 0)2(*→-w m φ

n

t m m m nw

j m

n m m m

t S n S dw

e w S C --=---∞

+∞

--==?

≈??

22

2

2

2

,)(2

)2(2

)(212

π

故可直接用样本数据取代 2.Mallat 算法 ①分解算法 a.推导

???

∞

+∞--∞

+∞-∞

+∞

-----=-==-dt

n t t S dt

n t t S dt t t S C m m m m n m n m )2

22(*)(2)2(*)(2

)()(1

12

1*

,1,1φφφ

两尺度关系 ?

∑∞

+∞

--+-?i

m m dt i n t i h t S ))2(2(*)(2)(2

02

1

φ

∑∑∑?++∞

+∞

->=

i

i

n m i n m i

m m C i h t t S i h dt

i n t t S i h 2,02,02

0)(2)(),()(2))2(2(*2)()(φφ

∑-+='i i m C n i h i

n i ,0)2(22

同理

-=-i m n m C n i h d ,1,1)2(2

②重构算法

a.推导（由两尺度关系，正交关系，及奇偶讨论可导出）

???

??-+-=∑∑--i i i m i m n m d i n h C i n h C ,11,10,)2()2(2

b.滤波器组实现（上采样+滤波）

5.5

小波变换的应用

一．小波地位

小波曾火热一时，但小波不是万能的，在某些应用场合特别适用 小波无法求解微分方程纯数字和物理地位不如FT 二．信号检测方面应用 发动机声音中的撞击声检测

傅里叶分析：时间平均作用模糊了信号局部特性 Gabor 变换 ：仍需长窗去包含振荡波形 小波变换 ： 小波基可任意窄 三．降噪应用 1.适用场合

经典滤波：要求信号与噪声频率足够窄且不重合 高斯类噪声和脉冲噪声 → 宽带噪声 → 小波去噪 2.滤波效果

①经典滤波：丢失波形尖锐处信息

②小波降噪：基本保留波形尖锐处信息（与小波基选择有关） 3.滤波手段

①传统方法：Prony 参数建模法

②小波降噪

b.可证明其统计最优性

c.阈值比较（阈值T 可基于信号标准差得出） 硬阈值：比较n m d ,

软阈值：考虑n m d ,符号，及其其它系数相关性 4.小波基选择：小波基应与主体信号量相近

相似度越高，主小波系数越大，噪声系数则越小 NI 信号处理工具箱

分解

重构