《线性代数》第3章习题解答
1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T
T
α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4
T
T
=-
----=-
∴
1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3]
[19,1,0,10,11]
T
T
T
αα+=-+-=
2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα==
3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α 解:
∵ 1236325αααα=+-
[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],
T
T
T
T =+--=
∴ [1,2,3,4].T α=
3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ==== 时，
11220m m k k k ααα+++= 成立， 则向量组12,,m ααα 线性相关
解：不正确.如：[][]121,2,3,4T
T
αα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k 使
11220,m m k k k ααα+++≠ 则向量组12,,,m ααα 线性无关。
解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T T
k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关
(3) 如果向量组12,,,m ααα 线性无关,则其中任何一个向量都 不能由其余向量线性表出.
解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组
12,,,m ααα 线性相关，与题没矛盾。
(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。
解：不正确。例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T T
ααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。
(5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 11223,k k k βααα=++则表示系数123,,k k k 不全为零。
解：不正确。例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T
T
T
βαα===
[]31230,0,1,000T
αβααα==++，表示系数全为0。
(6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关. 解：正确。因12,αα线性相关，即存在不全为零的数12,,k k 使
11221122120,000k k k ααααββ+=+++=从而k .因12,,0,0k k 不全为零，所以
1212,,,ααββ线性相关。
4.判断向量β能否由向量组1234,,,αααα线性表示，若能，写出它的一种表示方式。 (1) [][][]121,1,2,2,1,1,0,0,2,2,0,0,
T
T
T
βαα===[]
30,0,1,1T
α=，
[]40,0,1,1T
α=--
解：显然 131342βααααα=+=+- (2) [][][]121,2,5,
1,1,1,1,2,3,T
T T βαα=-==[]32,1,1T α=-，[]40,0,0.T
α=
解： 设112233,βχαχαχα=++得到方程组 1232233
2321
2535
x x x x x x x x x ++=??
+-=??++=?
对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到： 211231321
1211
12110541
2120133
013321
3
1502
140
5
10r r r r A r r r r ????
??
--??????=------??????---????????????
23132351
0541
00650133010330
1
20
1
2r r r r r -????-????--????+????????
故 1236,3,2,x x x =-==12
3
46320.
βαααα∴
=-+++
(3) [][][]121,2,3,4,1,1,2,2,1,0,0,0,T T T
βαα=== [][]341,2,2,2,2,0,0,0.T
T
αα=----=
解: 设11223344βχαχαχαχα=+++，对该方程组的增广矩阵作初等 行变换得到：
1232
421112101
1211020210202
22020300
20122020400200r r A r r r r --????-????--????=--????-????-????
4301
121102020020100001r r B -????-??-=????-??
因阶梯形矩阵B 所对应的方程组中存在矛盾方程，故方程组无解。 1234,,,.βαααα∴不能由线性表示
(4) [][][]125,2,2,0,1,1,2,3,1,2,3,1,T
T
T
βαα=--==- [][]341,1,1,2,1,4,5,11.T
T
αα=--=-
解： 设11223344βχαχαχαχα=+++ ，对该方程组的增广矩阵作初等变换得到： 111
1
5100011214201
0022315200
103312110000
1
1A ???????
?--???
?=
→----?????
??
?-????
123412
341,2,3,1,23x x x x βαααα∴==
==-=++-
5. 证明： 如果n 维单位坐标向量组12,,,n εεε 可由n 维向量组12,,,n ααα 线性表示，则向量组12,,,n ααα 线性相关。
证：1212,,,,,,n n αααεεε 向量组也可由线性表示,
∴向量组12,,,n ααα 与向量组12,,,n εεε 等价，所以向量组12,,,n ααα 的秩为n ，
所以线性无关。
6. 若向量组123,,ααα线性无关，证明：向量组112123,,αααααα+++ 也线性无关。
证： 设有常数 123,,,k k k 使
112123123123123233
1231
23233()()0()()0,,0,0,0,
1
11
1110,.0
1
k k k k k k k k k k k k k k k αααααααααααα+++++=+++++=∴++=+==?==≠∴ 即线性无关，系数行列式
上方程组只有零解
1231121230,,,k k k αααααα===+++从而向量组线性无关.
7. 判断下列向量组是否线性相关，若线性相关，试找出其中一个向量，使这个向量可由其余向量线性表示，并写出它的一种表示方式。 (1) [][]121,2,4,8,1,3,9,27,T
T
αα=-= [][]341,4,16,64,1,1,1,1.T
T
αα==--
解：以1234,,,αααα为列向量作矩阵[]1234,,,,A αααα=作初等行变换得到： 2112
3132
41421
11
11111056123411450
14503491613
815002030078276417286500
30
0r r r r A r r r r r r r r ??????++??????----??????=-+??????+-??????---????
??
显然1234()
4,,,,R A αααα=∴向量线性无关.
(2) [][]122,1,0,3,1,3,2,4,T
T
αα=-=- [][]343,0,2,1,2,2,4,6.T
T
αα=-=-
解：令 []1234,,,,A αααα=对
A 作初等行变换，得到： 34124213
213205320
340342213021302130202243022430280283
4
1
60
13
1
120
13
1
12r r r r A r r r r ---??????
??????++------??????=-+????????????---??????
21310101010131
3021
001
1301311200110
00
0r r B r r ????
????+--?
??
?→=+--????????????
故 R(A)=R(B)=3. 1234,,,αααα∴线性相关。 且由4123.αααα=++B可知，
(3) [][][]1233,1,2,1,5,7,7,13,20.T T T
ααα=-=-=-
解： 令[]123,,,A ααα=解方程组AX=0，其中X=[]123,,T
χχχ,对系数矩阵A 作初等行变换得到：
1
32
1211163223
170
16320
1231
5131
5131
51322
7
200
3
601
21r r r A r r r r --??????
+??????=-----??????+---??????-???????
21310
12510300
0r r B r r -??+?
?
=??-???
?
由B 得同解方程组[]133233,1,3,2,1,2T
X χχχχχ=-==-=取得
12331230,32αααααα∴-++==-, 1234,,,αααα∴线性相关。
(4) [][][]1231,2,1,1,1,1,2,1,3,4,5,1.T
T
T
ααα==-= 解：令[]123,,,A ααα=对A 作初等行变换得到：
213231
42411131131
1322140120
12
12501200021110220
2r r r r A r r B r r r r ??????-?????
?+----??????=-=-??????-??????---??????
∴R(A)=R(B)=3 , 123,,ααα∴线性无关。
8. 求下列向量组的秩，并求出一个极大无关组。
(1) [][][]1234,1,5,6,1,3,4,7,1,2,1,3,T
T
T
ααα=---=---=
[]42,1,1,0T
α=-
解：
令[]1234,,,,A αααα=对
A
作初等行变换，得到：
1232411267306
7302132113211321
541167300000673067300
000r r A B r r --????????????-------??????=→
=+-----???????????
?---??????
∴ R(A)=R(B)=2 , 向量组的秩为2, 12,αα是一个极大无关组。
(2) [][][]1231,0,0,0,3,0,0,0,0,1,0,0,T T T
ααα===
[]40,0,1,1.
T
α= 解：12,αα 线性相关，1234,,,αααα∴线性相关。而134,,ααα线性无关。∴向量组的秩是3。134,,ααα 是一个极大无关组。
(3) [][][][]12341,0,1,2,1,0,0,1,1,1,1,1T
T
T
T
αααα==== 解：令[]1234,,,,A αααα=对A 作初等行变换，得到： 311
2011
2010
11101111
1
10
2
1
0A r r B ????
?
???
=-=????-????????
显然R(A)=R(B)=3. 向量组的秩是3,并且123,,ααα 是向量组的一个极大无关组。 (3) [][][]1231,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,T T
T
ααα=== []44,5,6,7.
T
α=
解： 令[]1234,,,,A αααα=对
A 作初等行变换，得到：
2131
411234123412342234501230123
33456024600004456703690000r r A r r B r r ??????
-??????
---??????=-→=---??????
-??????---??????
显然R(A)=R(B)=2. 向量组的秩是2 , 并且12,αα 是一个极大无关组。
9. 设向量组123,,ααα 线性无关，112233βλαλαλα=++，证明： (1) 当30λ=时，12,,ααβ线性相关； (2) 当30λ≠时，12,,ααβ线性无关
证明： (1)当30λ=时，1122βλαλα=+，12,,ααβ∴线性相关。
(3) 当30λ≠时，设有常数123,,x x x ，使
1122
30,x x x ααβ++= 11312232333)()0.x x x x x λαλαλα++++=即( 123,,ααα 线性无关，∴ 11322333
0,
0,0.x x x x x λλλ+=??
+=??=?
3312120,0,0,,,.x x x λααβ≠∴===∴ 进而线性无关
10. 设112,βαα=+
212123312
,,,2,βααββ
ββαα=-=-证明：向量组线性相关.
证： (i) 若12,αα线性无关，设有常数123,,,x x x
1122330,x x x βββ++=使即 1231
1
2
3
2
(2)()0,
x x x x x x αα+++--= 因12,αα线性无关，123123
20
0x x x x x x ++=?∴?--=? 因方程组一定有非零
解，123,,βββ∴线性相关。
(ii) 若12,αα线性相关，不妨设21k αα=，于是： 112131(1),
(1),(2),
k k k βαβαβα=+??
=-??=-? 由此可知，123,,βββ线性相关。
11．n 个n+1维向量 [][][]11221,0,,0,,0,1,,0,,,0,0,,1,,T T
T n
n a a a ααα?=?
?=?
?
?=? 是否线性相关？ 解：∵n 维单位坐标向量组12,,,n εεε 线性无关，而无关组增添分量 仍无关，∴向量组12,,,n ααα 线性无关。
12. 设12,,,n ααα 是一组n 维向量，证明：它们线性无关的充分必要条 件是：任一n 维向量都可由它们线性表示。
证：必要性：若向量组12,,,n ααα 线性无关，则对任一n 维向量β，
向量组 12,,,,n αααβ 线性相关，故β一定可由 12,,,n ααα
线性表示。
充分性：若任一n 维向量均可由向量组12,,,n ααα 线性表示，则n 维单位坐标向量组12,,,n εεε 可由12,,,n ααα 线性表示，又12,,,n ααα 可由12,,,n εεε 线性表示，∴向量组12,,,n ααα 与向量组12,,,n εεε 等价，∴向量组12,,,n ααα 的秩是n ，∴12,,,n ααα 线性无关。
13. 试证：若向量组12,,,r ααα 与向量组12,,,,r αααβ 有相同的秩， 则β可由12,,,r ααα 线性表示。
证： 设向量组12,,,r ααα 的秩为r ，不失一般性，设1
12,,,r ααα (r 1≤r)为向量组
12,,,r ααα 的极大无关组，则1
12,,,r ααα 与12,,,r ααα 等价，依题设向量组
12,,,,r αααβ 的秩也为1r ,故1
12,,,r ααα 也是12,,,,r αααβ 的极大无关组，β∴可
由1
12,,,r ααα 线性表示，进而，可由12,,,r ααα 线性表示。
14. 设12,,,r t t t 是互不相同的r 个非零实数，r n ≤，证明： (1) 向量组 21111
,,,,T
n
t t t α??=??
2
22222
,,,,
,,,,
T
n
T
n
r r r r t t t t t t αα??
=??
??
=?
?
线性无关. (2) 任一r 维向量都可由12,,,r ααα 线性表示.
证： 令[]12,,,,r A ααα= 则A 的前r 行元素组成的r 阶子式
1
22
2
2
121
2
121
1
1
1
2
1
2
1
11r r r
r
r r r r
r
r
r
r
t t t t t t t t t t t t t t t t t t ---=
121()0r
i j j i r
t t t t t ≤<≤=-≠∏
故R(A)=r,12,,,r ααα 线性无关.
(2) 对任一r 维向量β，向量组12,,,,r αααβ 线性相关.而12,,,r ααα 线性无关，β∴可由12,,,r ααα 线性表示.
15. 设A 为n 阶方阵，12,,,r ααα 为n 维列向量， (1) 证明： 若12,,,r ααα 线性相关，则12,,,r A A A ααα 也线性相关；
(2)
问：若12,,,r ααα 线性无关，12,,,r A A A ααα 是否也线性无关，为什么 ？。
(1) 证明：若12,,,r ααα 线性相关，即存在不全为零的常数12,,,r k k k ，使
1122
0.r r k k k ααα+++= 从而有： []112211220.
r r r r A k k k k A k A k A αααααα+++=+++= 12,,,r k k k 不全
为零，12,,,r A A A ααα∴ 线性相关。
(2)12,,,r A A A ααα 不一定线性无关。如当A=E ，则12,,,r A A A ααα 线性无关，若A=0，则12,,,r A A A ααα 线性相关。
16. 试证： 设A 是n 阶方阵(2)n ≥，则 ,
(),()1,()1,
0,()1.n R A n R A R A n R A n *
=??==-??<-?
证： (i) 若R(A)=n ，则0A ≠，由A A A E *= ，得到 n
A A A *
=，
1
0n A A
-*=≠，()R A n *
∴=.
(ii) 如果R(A)=n-1，则A 的列向量组12,,,n ααα 线性相关，其中必有一列向量是组中其余向量的线性组合，不妨设：
12233.n n k k k αααα=+++ 据行列式的性质可知，A 的第2列至第n 列元素的代数余子式全为0，R(A) =n-1，∴A 的第1列元素的代数余子式中至少有一个不为0.由此得到
A *
的第1行元素不全为零，而第2行至第n 行元素全为0，() 1.R A *
∴=
(iii) 若 R(A) 1112131212223 2 ,,a x b x c x d a x b x c x d ++=++ = 若 112 2 0a b a b ≠，问： (1) 系数矩阵A 秩是多少？ (2) 增广矩阵A 的秩是多少？ (3) 方程组是否有解，有多少解？ (4) 方程组的导出组是否有基础解系？基础解系中含有多少个解向量？ 解： (1) R(A)=2. (2) () 2.R A = (3) 方程组有解，有无穷多解. (4) 方程组的导出组有基础解系，基础解系中有一个解向量。 18. 选择和填空 (1) 设A 是n 阶方阵，方程组AX=0有无穷多解，则方程组0T A A X = . (c) a . 只有零解 b .有n 个解 c .有无穷多解 d .无解 (2) 设A,B 均为n 阶方阵，且1AB =，则方程组AX=0与BX=0的非零解的个数之 和为 (0) (3) 设a 为实数，如果齐次线性方程组2201 22a X a -????=??-?? 有非零解，则a =(1或3) (4) 设A 为n 阶方阵，如果方程组AX=b 有唯一解，则A 一定(b ，d) a . 奇异 b . 非奇异 c . a ，b 都有可能 d .满秩 19. 求下列方程组的一个基础解系，并用基础解系表示其通解. (1) 123450,x x x x +--= 123412341234230,380,9370, x x x x x x x x x x x x -++=+-+=-++= 解： 对方程组的系数矩阵作初等行变换得到 2131 411511151112130724338110 724193701448r r A r r r r ----????-????--????=---????-????--??? ? 3 2 3277 22 42121221511101012012 20 000000000000 000r r r r r r r --?? ??-???? --????-+?? ?????????? 故 同解方程组： 3 1242x x x =-- 73242 2x x x = - 依次取2410,,01x x ?????? =?????????? ?? 得基础解系 3 21272101,210ηη--???????? ????==-???????? ???? .方程组的通解： 1122X k k ηη=+，其中12,k k 为任意实数. (2) 123420,x x x x -++= 1234 134124220,0,330,x x x x x x x x x x -++=-+=-+= 解：对方程组的系数矩阵A 作初等行变换得到 211 23132 41421121112110112211201300 130101101300 0003310302600 0r r r r A r r r r r r r r ---??????-+??????---??????=----??????--??????--?????? ∴ 同解方程组134x x x =-， 233x x = . 依次取自由未知量的值3410, 01x x ???? ?? =?????????? ??得方程组的基础解系：121130 ,1001ηη-????????????==???????????? ，方程组的通解为： 1122X k k ηη=+ ，其中12,k k 为任意实数. (3)123452220,x x x x x +-+-= 12345123452320,2470. x x x x x x x x x x +-+-=+-++= 解：对方程组的系数矩阵A 作初等行变换得到： 2 1311 22211 22211 21320011122471 10 3 3 3r r A r r ----???? -????=---????----???????? 故同解方程组：1245243,x x x x =--+ 223454455 , ,, x x x x x x x x x = =-+== 取 214253,,,x k x k x k ===得到方程组的通解： 12123345243100011010001x x k k k x x x --???????????????????????? =++??-?????????????????????????????????????? 其中，123,,k k k 为任意实数。 基础解系123243100,,.011010001ηηη--?????? ???????????? ===-?????????????????????????????? (4)123452360,x x x x x +-+-= 123451234524250,242420, x x x x x x x x x x +--+=+-+-= 解： 对方程组的系数矩阵作初等行变换得到： 2131121361 213622 421500071722 4 242000210r r A r r ----???? -? ???=---????----???????? 23132131 21361 21097000717 00001830001500 1 5r r r r r ---?? ?? +????---????---???????? 1 2 18 2312109000150 00 1r r r -??- ??-??????? ∴同解方程组 123 5 29x x x x =-+- 22 33 45 5,,5, x x x x x x x = === 取 2132,x k x k ==，得到方程组的通解： 12321 204320011130 0r r r r -?? +? ?-??+???? 12123452110010000x x k k x x x -?????????????????? =+?????????????????????????????? ，基础解系： 122110,.010000ηη-???? ????????==???????????????????? 20. 设 11 1221 223132a a A a a a a ?? ? = ? ??? ，证明：A 的行向量组一定线性相关。 21. 设A 是n m ?矩阵，B 是m n ?矩阵，其中n m <。若AB=E ，证明：B 的列向量组 线性无关。 22. 设A 是n 矩阵，且0A =，证明： A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合。 23. 设向量组12,,,r ααα 线性无关，1(1,2,,)r i ij j j a i j βα == =∑ ，证明：向量组 12,,,r βββ 线性无关的充分必要条件是: 1 112121 22 2 1 2 0r r r r rr a a a a a a a a a ≠ 24. 判断下列非齐次方程组是否有解，若有解，用导出组的基础解系表示其通解。 (1) 123424,x x x x ++-= 123412343638,510516, x x x x x x x x +--=++-= 解：对方程组的增广矩阵A 作初等行变换得到 2131121141 211433 61380040455 10 1 5 160 4 4r r A r r --???? -????=----????----???????? 3211241 241 20130010100 0r r r r r --?? ?? -??? ?-? ? ，所以原方程组的同解方程组为（取24,x x 为自由未知量） 12 423 , x x x =-++ 22 344 , 1,, x x x x x = = = 取 2142,x k x k ==，得到方程组的通解： 121234213100 ,001010x x k k x x -???????? ????????????????=++???????????????? ???????? 其中12 ,k k 为任意实数. (2) 1343 ,x x x +-=- 1234123 1 342434, 31,7733. x x x x x x x x x x -+-=-++=+-= 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换得到 2131 4110 1 1 3101132214340121 233110101 231027 073300 0424r r A r r r r ----???? -??? ?-----????=--????-????-???? 1432242341 443410 11310103012120120 8 2000212000160001600000r r r r r r r r r r r r +--????+??? ?-----? ???--????????????? . 取 3x 为自由未知量，得原方程组的同解方程组： 132333 43,28,,6 . x x x x x x x = -+=-== 取 3x k =，得到方程组的通解： 12341328 ,1006x x k x x -????????????-??????=+???????????? ?????? 其中k 为任意实数. (3) 123454133,x x x x ++-= 123412343252,22341 . x x x x x x x x -++=++-= 解：对方程组的增广矩阵A 作初等行变换得到： 21311 541331 5413333 12520161044722 2 34108 5 22 5r r A r r --???? -? ???=----????-----???????? 23231 541332085225000 3r r r r -?? -? ? ---??????? . ∵()23()R A R A =≠= ∴原方程组无解。 (4) 2322,x y z w +-+= 25865,34524. x y z w x y z w +-+=+-+= 解：对方程组的增广矩阵A 作初等行变换得到： 2131123221 232222 58650122133 4 52402 4 4 2r r A r r --???? -? ???=--????-----???????? 32321 0120201221200 0r r r r -?? +? ? -??-???? . ∴原方程组的同解方程组： 13423433 44 2,221,, . x x x x x x x x x x =-+=-+== 取 3142,x k x k ==，得到方程组的通解： 1212 34120221 100010x x k k x x -?????? ?? ????????-????????=++ ?????????????? ???????? ?? ， 其中12 ,k k 为任意实数. 25. 证明：线性方程组AX b =有唯一解的充分必要条件是其导出0A X =只有零解。 证： 必要性： 若方程组AX b =有唯一解，则()()R A R A n ==（未知量个数），∴ 导出组0A X =只有零解。 充分性： 如果导出组0A X =只有零解，则()R A n =（未知量个数），从而 ()()n R A R A n ≥≥=，即()()R A R A n ==。∴方程组AX b =有唯一解。 26. λ取何值时，下列非其次线性方程组 （i ）有唯一解；（ii ）无解；（iii ）有无穷多解；当有无穷多解时，用导出组的基础解系表示其通解。 （1）1231,x x x λ++= （2） 123421,x x x x -++= 1232 123,. x x x x x x λλλλ ++=++= 12341234242,7411. x x x x x x x x λ +-+=+-+= 解：计算系数行列式 111111111 1(2)11(2)111 1 1 1 1 11 1 λλλλλλλ λλ?==+=+-- 2 (2)(1) λλ=++ （i ）当2,1λλ≠-≠时，方程组有唯一解（克莱姆法则）. （ii ）当2λ=-时，对方程组的增广矩阵作初等行变换得到： 12322 1110 33321 21212121 1 2403 3 6r r A r r ---???? +? ???=----????---???????? 310 3331 2120 3r r --????+--?????? ∵()2()3R A R A =≠= ∴方程组无解。 （iii ）当1λ=时，对方程组的增广矩阵A 作初等行变换得到： 213111111 1111 11100001 1 1 10 0r r A r r ???? -????=????-???????? ∴原方程组的同解方程组： 12322 33 1, ,. x x x x x x x =--+== 取 2132,x k x k ==，得到方程组的通解： 12123111100,010x x k k x --?????? ?????????? =++???????????????????????? 其中12,k k 为任意实数. （2）对方程组的增广矩阵A 作初等行变换得到： 12322 11110 537321 2142 121421 7 4110 5 3 7 2r r A r r λλ----?? ?? -? ???=--????----???????? 310 53731 214200 5r r λ---?? ??+-??-???? . （i ）5λ≠ ∵()23()R A R A =≠=， ∴方程组无解。 （iii ）当5λ=时， 3 7355 5 1150 53730 11 2142121420 00 0A r ---- ???????? →---???????????? ∴原方程组的同解方程组： 61 4 1345553732345 55 33 44 ,,,. x x x x x x x x x x =--+=-+== 令 31425,5x k x k ==，得到方程组的通解： 4 1532512 341637,500050x x k k x x --???? ???????? ????-????????=++ ???????????????? ?????? ?? 其中12 ,k k 为任意实数. 27. 证明： 方程组 121,x x a -= 232343454565,,,. x x a x x a x x a x x a -=-=-=-= 有解的充分必要条件是：123450a a a a a ++++=. 证明：对方程组的增广矩阵A 作初等行变换得到： 11 22 513344 5511 10001 100001100011000 01100011000011000111 00010 1 1 a a a a A r r a a a a a a a --???? ????--??? ?=+--????????--??? ? ????--+???? 12 2 123524 512101000 1100001100 00110 0101a a a r r a r r a a a a -+?? ?? -? ? +-??+?? -?? ??-++?? 123 13 23 23 34 5351231 001001010001100001100 01 1 a a a r r a a r r a a r r a a a a -++?? ?? +-+?? +-???? -+?? ??-+++?? 373555 61 4215 5 50 12100 00 0r r - ??? ?-? ????? 1234 14234 2434344 5451234100010 100100101000110 a a a a r r a a a r r a a r r a r r a a a a a -+++?? +? ? -++? ? +-+??+? ? -?? +??++++?? . 显然当且仅当123450a a a a a =====时，()()4R A R A ==，即方程组有解。 28．讨论： 当参数,a b 取何值时，下列方程组有解；无解；当有解时，用导出组的基础解系表示其通解。 1234230 ,x x x x +-+= 1234 1234 1234 2641 , 3271,6, x x x x x x ax x x x x x b +-+=-+++=----= 解：对方程组的增广矩阵A 作初等行变换得到： 2 131 11 12301 123022164101221332 7 1016214116 1024 4 r r A r r a a r r b b --???? -? ???------????= ---+--????-? ???------???? 10 41101221 0080000 00 2B a b --?? ? ???→ =+??? ?+?? . 显然（i ）当2b ≠-时，()()R A R A ≠，方程组无解； (ii ）当 2b =- 时，方程组有解， 1 当8a =-时，原方程组的同解方程组： 13423433 44 41,221,,. x x x x x x x x x x =--=--+== 令 3142,x k x k ==，得到方程组的通解： 1212 34411221 ,100010x x k k x x --?????? ?? ????????--????????=++ ?????????????? ??????????其中12 ,k k 为任意实数. 2 当8a ≠-时， 1313 823104111001140122101021 010******** 00 0a r r A B r r r +---???? ????+????→-???????????? ， ∴原方程组的同解方程组： 1424344 1,21,0 ,. x x x x x x x =--=-+== 令 4x k =，得到方程组的通解： 12341121 0010x x k x x --?????? ??????-??????=+???????????????? ?? ，其中k 为任意实数. 29．设A 为n 阶方阵，试证：存在非零方阵B ，使0A B =的充分必要条件是0A =。 证：将n 阶方阵B 按列分块成[]1 2 n B βββ= ，则0A B =，即 [][]1 2 00n A A A βββ= ，于是，存在非零方阵B ，使0A B =?方 程组0A X =有非零解。0A ?=。 30. λ取何值时，向量组： [][][]1231,0,1,4,,3,1,3,1T T T ααλαλ=-=-=-+. （1）线性相关 ， （2）线性无关 . 解：以12,,ααα 为列向量，构造矩阵[]1 2 3A ααα=， 2 14 114 13 3 03 (23) 1 2 1 3 10 1 2 A λλλλλλλλ-----=-=-=- =-+--++-+ (1)(3)λλ=--+ 当1,3λλ≠≠-时，0,()3A R A ≠=，∴123,,ααα线性无关。 当13λλ==-或时，0,()3A R A =<，∴123,,ααα线性相关。 31. 设12,,,s ηηη 是方程组A X b =的s 个解，12,,,s k k k 为s 个实数，并且 121,s k k k +++= 证明： 1122 s s X k k k ηηη=+++ 也是方程组AX b =的解. 证：[]11221122s s s s AX A k k k k A k A k A ηηηηηη=+++=+++ 12()s k k k b b =+++= . 得证. 32. 设η*是非齐次线性方程组AX b =的1个解，12,,,n r ξξξ- 是对应齐次线性方程组AX b =的一个基础解系，证明： （1） 12,,,,n r ηξξξ*- 线性无关， （2） 12,,,,n r ηηξηξηξ**** -+++ 线性无关. 证：（1）（反正）如果12,,,,n r ηξξξ*- 线性相关，因12,,,n r ξξξ- 线性无关，η* ∴一定由12,,,n r ξξξ- 线性表示，即有：1122,,,n r n r k k k ηξξξ* --= ，从而 1122 0n r n r A k A k A k A ηξξξ* --=+++= ，此与η* 是AX b =的解矛盾，故12,,,,n r ηξξξ* - 线性无关。 （2）设有常数12,,,n r λλλ- ，使 1213 2 ()(),()0n r n r ληληξληξλη ξ** * * --++ +++++= ,即 12321()0n r n r n r λλλληλξλξ* ---+++++++= 由（1）知12,,,,n r ηξξξ* - 线性无关，故 123 2 ()0,0, ,0 n r n r λλλλλλ--++++=== 1230n r λλλλ-∴===== ，12,,,,n r ηηξηξηξ**** -∴+++ 线性无关. 33. 设(),()(),ij m n A a R A r n ?==<证明：其齐次线性方程组0A X =的任意n r -个 线性无关的解都是一个基础解系. 证明：因为10m n m A X ??=中()R A r n =<；所以10m n m A X ??=中有r 个独立变量、n r -个自由变量 ∴ 10m n m A X ??=的基础解系中只有1n -个解向量 ∴ 10m n m A X ??=的无穷个解向量中只有个n r -线性无关，任意1n r -+个解向量线性相关 在10m n m A X ??=的无穷个解向量中任取解向量1,,n r y y - 线性无关，再任取 一个解向量y 则， 1,,n r y y - ，y 线性相关 ∴ 任意y 可由线性无关的1,,n r y y - 线性表出 ∴ 1,,n r y y - 为10m n m A X ??=的一个基础解系。 34. 设有向量组 ()()()() 2 1231,1,1,1,1,1,1,1,1,0,,T T T T αλαλαλβλλ=+=+=+=，当λ取何值 时， （1）β能由123,,ααα线性表示， （2）β不能由123,,ααα线性表示。 解：以123,,ααα为列向量，构造矩阵[]12 3A ααα=，解方程组AX β=，其中 []123,,T X x x x =，计算系数行列式 1111 11'111(3)1 111111 1 1A λ λλλλ λ +?== +=++++ 2 1 11(3)01(3) λλ λ λλ =+=+ （i ）当0,3λλ≠≠-时，AX β=有唯一解，即β可由123,,ααα线性表示。 （ii ） 当0λ=时，对方程组AX β=的增广矩阵作初等行变换得到： []21321 1101 1101 11000001 1 1 00 0r r A A r r β???? -? ???==????-???????? ()()1R A R A ==，∴方程组有无穷多解，即β可由123,,ααα线性表示。 （iii ）3λ=-时， 2131322 1100 3360 33621 213121312131 1 2 90 3 3 120 6r r A r r r r -----?????? +??????=----+--??????---???????????? ()2()3R A R A =≠= ，∴方程组AX β=无解。即β不能由123,,ααα线性表示。