2010年初二奥赛培训05:全等证明

2010年初二奥赛培训05:全等证明
2010年初二奥赛培训05:全等证明

2010年初二奥赛培训05:全等证明

一、选择题(共3小题,每小题3分,满分9分)

1.(3分)如图,△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC,∠ACB,则AC的长与AE+CD的关系是()

A.AC=AE+CD B.AC>AE+CD C.AC<AE+CD D.无法确定

2.(3分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD 于E,交CB于F,且EG∥AB交CB于G,则CF与GB的大小关系是()

A.CF>GB B.GB=CF C.CF<GB D.无法确定

3.(3分)如图,已知四边形ABCD中,AD∥BC,若∠DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE恰好平分∠ABC,则AB的长与AD+BC的大小关系是()

A.AB>AD+BC B.AB<AD+BC C.AB=AD+BC D.无法确定

二、填空题(共3小题,每小题4分,满分12分)

4.(4分)如图,C是线段BD上一点,分别以BC、CD为边长的BD同侧作等边三角形BCA和等边三角形CDE,连接BE、AD,分别交AC于M,交CE于N,若CM=x,则CN=.

5.(4分)如图,△ABD中,∠BAD=45°,AE⊥BD于E,DF⊥AB于F,交AE于G,BE=4,DE=3,则AG=.

6.(4分)如图,△ABC和△BDE都是等边三角形,且A、D、E在一条直线上,若BE=2,CE=4,AE=.

三、解答题(共9小题,满分99分)

7.(11分)如图,已知△ABC中,AB>AC,BE、CF都是△ABC的高,P是BE上一点且BP=AC,Q是CF延长线上一点且CQ=AB,连接AP、AQ、QP,判断△APQ 的形状.

8.(11分)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D,CE⊥BD的延长线于点E.求证:.

9.(11分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是AB上任意一点,且BD=CE,连接DE交BC于F.

求证:FD=FE.

10.(11分)如图,已知点C是∠MAN的平分线上一点,CE⊥AB于E,B、D分别在AM、AN上,且AE=(AD+AB).问:∠1和∠2有何关系?

11.(11分)求证:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.

12.(11分)如图,已知在△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,且∠BAD=∠CAE=90°,AM为△ABC中BC边上的中线,连接DE.求证:DE=2AM.

13.(11分)如图,已知过△ABC的顶点A,在∠BAC内部任意作一条射线,过B、C分别作此射线的垂线段BD、CE,M为BC边中点.求证:MD=ME.

14.(11分)如图,已知在△ABC中,AB=AC,CE是AB边上的中线,延长AB到D,使BD=AB,连接CD.求证:CE=CD.

15.(11分)如图,已知正方形ABCD中,E为BC边上任意一点,AF平分∠DAE.求证:AE﹣BE=DF.

全等三角形证明方法

全等三角形得证明方法 一、三角形全等得判定: (1)三组对应边分别相等得两个三角形全等(SSS); (2)有两边及其夹角对应相等得两个三角形全等(SAS); (3)有两角及其夹边对应相等得两个三角形全等(ASA) ; (4)有两角及一角得对边对应相等得两个三角形全等(AAS) ; (5)直角三角形全等得判定:斜边及一直角边对应相等得两个直角三角形全等(HL)、 二、全等三角形得性质: (1)全等三角形得对应边相等;全等三角形得对应角相等; (2)全等三角形得周长相等、面积相等; (3)全等三角形得对应边上得高对应相等; (4)全等三角形得对应角得角平分线相等; (5)全等三角形得对应边上得中线相等; 三、找全等三角形得方法: (1)可以从结论出发,瞧要证明相等得两条线段(或角)分别在哪两个可能全等得三角形中; (2)可以从已知条件出发,瞧已知条件可以确定哪两个三角形相等; (3)从条件与结论综合考虑,瞧它们能一同确定哪两个三角形全等; (4)若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。三角形全等得证明中包含两个要素:边与角。 ①积极发现隐含条件: 公共角对顶角公共边 ②观察发现等角等边: 等边对等角同角得余角相等同角得补角相等 等角对等边等角得余角相等等角得补角相等 ③推理发现等边等角: 图1:平行转化图2 :等角转化图3:中点转化 图4:等量与转化图5:等量差转化图6:角平分线性质转化 图7:三线合一转化图8:等积转化图9:中垂线转化图10:全等转化 图11:等段转化 四、构造辅助线得常用方法: 1、关于角平分线得辅助线: 当题目得条件中出现角平分线时,要想到根据角平分线得性质构造辅助线。 角平分线具有两条性质:①角平分线具有对称性; ②角平分线上得点到角两边得距离相等。 关于角平分线常用得辅助线方法: (1)截取构造全等: 如下左图所示,OC就就是∠AOB得角平分线,D为OC上一点,F为OB上一点,若在OA上取一点E,使得OE=OF,并连接DE,则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

不等式知识点与题型总结

不等式 一、知识点: 1. 实数的性质: 0>-?>b a b a ;0<-??<,a b b a . 传递性 a b >且b c a c >?>. 加法性质 a b a c b c >?+>+;a b >且c d a c b d >?+>+. 乘法性质 ,0a b c ac bc >>?>;0a b >>,且00c d ac bd >>?>>. 乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈?>;0,n n a b n N a b *>>∈?>. 倒数性质 11,0a b ab a b >>? <. 3. 常用基本不等式: 条 件 结 论 等号成立的条件 a R ∈ 20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 2 2 2a b ab +≥,2()2 a b ab +≤, 22 2()22a b a b ++≥ a b = 0,0>>b a 基本不等式: 2a b ab +≥ 常见变式: 2≥+b a a b ; 21 ≥+a a a b = 0,0>>b a 22112 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ a b = 4.利用重要不等式求最值的两个命题: 命题1:已知a ,b 都是正数,若ab 是实值P ,则当a=b= 时,和a +b 有最小值2 . 命题2:已知a ,b 都是正数,若a +b 是实值S ,则当a=b=2 s 时,积ab 有最大值42s . 注意:运用重要不等式求值时,要注意三个条件:一“正”二“定”三“等”,即各项均为正数,和或积 为定值,取最值时等号能成立,以上三个条件缺一不可. 5.一元二次不等式的解法:设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根,且x 1≤x 2,则有

信息学奥赛培训计划(复赛)

信息技术学科信息学奥赛社团培训计划 制定人:玄王伟 2018年10月

信息学奥赛培训计划方案推进信息技术教育是全面实施素质教育的需要,是培养具有创新精神和实践能力的新型人才的需要。信息学奥赛的宗旨为:“丰富学生课余生活,提高学生学习兴趣,激发学生创新精神。”为此,我们应以竞赛作为契机进而培养学生综合分析问题、解决问题的意识和技能。 为响应学校号召,积极参与信息技术奥林匹克竞赛,校本课程特别开设C++语言程序设计部分,利用社团活动时间对部分学生进行辅导。教学材料以信息学奥赛一本通训练指导教程为主,力图让学生们对编写程序有较深入了解的同时,能够独立编写解决实际问题的算法,逐步形成解题的思维模式。因学习内容相对中小学学生具有一定的难度,本课程采用讲练结合的形式,紧紧围绕“程序=算法+数据结构”这一核思想,以数学问题激发学生学习兴趣,进而达到学习目标。为更好地保证信息学奥赛的培训效果,特制订本培训计划。 一、培训目标 1.使学生具备参加全国信息学奥林匹克竞赛分区联赛NOIP(初赛、复赛)的能力。 2.使学生养成较好的抽象逻辑推理能力、严谨的思维方式和严密的组织能力,并使学生的综合素质的提高。 3.使学生初步具备分析问题和设计算法的能力。 二、培训对象 我校小学及初中对信息学感兴趣且初赛成绩较好的学生,人数共

计14人,其中小学组12人,普及组2人。 三、培训要求 严格培训纪律,加强学生管理;信息学社团的组建由学生自愿报名、教师考察确定;培训过程中做与培训无关的事如打游戏、上网聊天等,一经发现作未参加培训处理;规定的作业、练习必须按时保质保量完成,否则按未参加培训处理。 四、培训内容 1.深入学习计算机基础知识,包括计算机软硬件系统、网络操作、信息安全等相关知识内容,结合生活实际让学生真正体会到参加信息学奥赛的乐趣。 2.全面学习C++语言的基础知识、学会程序的常用调试手段和技巧,在用C++解决问题的过程中引入基础算法的运用。 3.深入学习各类基础算法,让学生真正理解算法的精髓,遵循“算法+数据结构=程序”的程序设计思想,在算法设计的教学实例中引入数据结构的学习,从而形成一定的分析和解决问题的能力。 4.以实例为基础,展开强化训练,使学生开始具备运用计算机独立解决实际问题的能力。用计算机解决现实问题的最重要的一个前提就是数据模型的建立和数据结构的设计。数据模型的建立、数学公式的应用,是计算机解决问题的关键。因此,加强与数学学科的横向联系非常必要。 五、培训时间 自2018年10月份第三周开始至2018年11月中旬结束,包括每

七年级全等三角形证明经典题

七年级数学下册《全等三角形》专题练习 1、已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C(做AB=AE交AC于E点) 6、已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE(做AD=AF交AB于F点) 8. 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。求 证:BC=AB+DC。 C D B A

9、已知:AB 知:如图所示,AB = AD ,BC =DC ,E 、F 分别是DC 、BC 的中点,求证: AE =AF 。 35.在△ABC 中,?=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经过点C ,且MN AD ⊥于D ,MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证: ①ADC ?≌CEB ?;②BE AD DE +=; (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗若成立,请给出证明;若不成立,说明理由. A B C D D C B A F E P E D C B A D C B A M F E C B A F E D C B A F D C B F E D C B A D B C A F E

46. 如图, AB=12, CA⊥AB于A, DB⊥AB于B, 且AC=4m, P点从B向A运动, 每分钟走1m, Q 点从B向D运动, 每分钟走2m,P、Q两点同时出发, 运动几分钟后△CAP≌△PQB 试说明理由. 47、如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E. (图1) (图2) (图3) (1)试说明: BD=DE+CE. (2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BDCE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何请直接写出结果, 不需说明.

全等三角形证明经典题(含答案)

全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,111749AD 是整数,求AD 解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4即 4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=2 2. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12 CD AB 延长CD 与P ,使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2 4. 5. 证明:连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三 角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC A D B C

过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ,可得,∠EFD =CGD DE =DC ∠FDE =∠GDC (对顶角)∴△EFD ≌△CGD EF =CG ∠CGD =∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD =∠1∠1=∠2 ∴∠CGD =∠2∴△AGC 为等腰三角形,AC =CG 又EF =CG ∴EF =AC 7. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠ C 证明:延长AB 取点E ,使AE =AC ,连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD =∠CAD ∵AE =AC ,AD =AD ∴△AED ≌△ACD (SAS ) ∴∠E =∠C ∵AC =AB+BD ∴AE =AB+BD ∵AE =AB+BE ∴BD =BE ∴∠BDE =∠E ∵∠ABC =∠E+∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∴∠ABC =2∠C 8. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE 证明: 在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB =∠CEF =90° ∵EB =EF ,CE =CE ,∴△CEB ≌△CEF ∴∠B =∠CFE ∵∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° ∴∠D =∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC =∠FAC ∵AC =AC ∴△ADC ≌△AFC (SAS ) ∴AD =AF ∴AE =AF +FE =AD +BE 9. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ,连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE (SAS ) ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE (AAS )∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知:AB//ED ,∠EAB=∠BDE ,AF=CD ,EF=BC ,求证:∠F=∠C AB ‖ED ,得:∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度, ∵∠EAB=∠BDE , B A C D F 2 1 E D C B A F E A

分式不等式放缩、裂项、证明

放缩法的常见技巧 (1)舍掉(或加进)一些项(2)在分式中放大或缩小分子或分母。(3)应用基本不等式放缩(例如均值不等式)。(4)应用函数的单调性进行放缩(5)根据题目条件进行放缩。(6)构造等比数列进行放缩。(7)构造裂项条件进行放缩。(8)利用函数切线、割线逼近进行放缩。 使用放缩法的注意事项 (1)放缩的方向要一致。(2)放与缩要适度。 (3)很多时候只对数列的一部分进行放缩法,保留一些项不变(多为前几项或后几项)。(4)用放缩法证明极其简单,然而,用放缩法证不等式,技巧性极强,稍有不慎,则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法,只需要了解,不宜深入。 先介绍工具 柯西不等式(可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积) 均值不等式 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 绝对值三角不等式 定理1:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 推论1:|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3| 此性质可推广为|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|. 推论2:|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时, 等号成立. 常用放缩思想

这几个务必牢记 不常见不常用的不等式 这几个一般用不到,放的太大了,知道有印象就好了下面就是常用思路了,主要就是裂项部分

二项平方和 f(x)=(a1x-b1)^2+(a2x-b2)^2+……(anx-bn)^2 由f(x)≥0可得△小于等于0

1.分式不等式中的典范,典范中的典范,放缩、裂项、去等,步步精彩 解析: 步步经典,用笔化化就能明白思想,换元或许更直观,即令 t=1/(x+2) 第一步意义--开不了方的,开方,并且可取等号 第二步意义--开不了方的,开方,裂项,并且可取等号 个人认为这俩个放缩,很犀利,没见过,看似难实则简单, 看似简单实则难 2.构造+三角形★★★★ 平面内三点A、B、C,连接三点,令AB=c,AC=b,BC=a,求 解析: 构造,主要就是构造,b/c就是很明显的提示。 三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。 构造★★★★

信息学奥林匹克竞赛培训资料 图论基础

信息学奥林匹克竞赛培训资料图论基础图论基础 一、3种数据模型 线性表(数组、链表):1:1 树(普通树、二叉树、森林):1:n,线性链表可以看成是树的特例(单链) ,树也可以看成是图的特例图(无向图、有向图):m:n 二、图的基本概念 1、图=(顶点集,边集),顶点集必须非空,关键是把什么抽象成顶点,什么抽象成边, 2、图的分类:无向图和有向图,区分在于边是否可逆, 3、加权图(又称网或网络):权的含义,不加权的图也可以认为权是1。 4、阶和度:一个图的阶是指图中顶点的个数。 如果顶点A、B之间有一条边相连,则称顶点A和B是关联的; 顶点的度是指与该顶点相关联的边的数目,奇点和偶点, 对于有向图存在入度与出度之分; 定理:无向图中所有顶点的度之和等于边数的2倍; 有向图中所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和; 任意一个无向图一定有偶数个(或0个)奇点; 5、完全图:一个n阶的完全无向图含有n*(n-1)/2条边; 一个n阶的完全有向图含有n*(n-1)条边; 稠密图:当一个图的边数接近完全图时; 稀疏图:当一个图的边数远远少于完全图时; 在具体使用时,要选用不同的存储结构; 6、子图:从一个图中取出若干顶点、若干边构成的一个新的图;

7、路径:对于图G=(V,E),对于顶点a,b,如果存在一些顶点序列 x=a,x,……,x=b(k>1),且12k(x,x)?E,i=1,2…k-1,则称顶点序列x,x,……,x为顶点 a到顶点b的一条路径,而路径ii+112k 上边的数目(即k-1)称为该路径的长度。并称顶点集合{x,x,……,x}为一个连通 集。 12k8、简单路径:如果一条路径上的顶点除了起点和终点可以相同外,其它顶 点均不相同,则称此路径为一条简单路径;起点和终点相同的简单路径称为回路(或环)。 下左图1—2—3是一条简单路径,长度为2,而1—3—4—1—3就不是简单路 径;下右图1-2-1 为一个回路。 9、有根图:在一个图中,如果从顶点U到顶点V有路径,则称U和V是连通的; 在一个图中,若存在一个顶点W,它与其它顶点都是连通的,则称此图为有根 图,顶点W即为它的根,下面的两个图都是有根图,左图的1、2、3、4都可以作 为根;而右图的1、2才可以作为根。 10、连通图:如果一个无向图中,任意两个顶点之间都是连通的,则称该无向 图为连通图。否则称为非连通图;上左图为一个连通图。 强连通图:在一个有向图中,对于任意两个顶点U和V,都存在着一条从U到V 的有向路径,同时也存在着一条从V到U的有向路径,则称该有向图为强连通图; 上右图不是一个强连通图。 连通分支:一个无向图的连通分支定义为该图的最大连通子图,左图的连通分 支是它本身。

全等三角形证明经典50题(含答案)

全等三角形证明经典50题(含答案) 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4 即4-2<2AD <4+2 1<AD <3 ∴AD=2 2. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12 CD AB 延长CD 与P ,使D 为CP 中点。连接AP ,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 A D B C

∴AB=CP=1/2AB 3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2 证明:连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ,可得,∠EFD =CGD DE =DC ∠FDE =∠GDC (对顶角) B A C D F 2 1 E

全等三角形证明中考题选(答案齐全)

新人教版八年级上学期全等三角形中考证明题 一.解答题(共10小题) 1.(2013?泉州)如图,已知AD是△ABC的中线,分别过点B、C作BE⊥AD于点E,CF⊥AD交AD 的延长线于点F,求证:BE=CF. 2.(2013?河南)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.(1)操作发现 如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空: ①线段DE与AC的位置关系是_________; ②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是_________. (2)猜想论证 当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想. (3)拓展探究 已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA 上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.

3.(2013?大庆)如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C 旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H. (1)求证:CF=DG; (2)求出∠FHG的度数. 4.(2012?阜新)(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°. ①当点D在AC上时,如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论; ②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由. (2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立?不必说明理由. 甲:AB:AC=AD:AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°; 乙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°; 丙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.

全等三角形证明经典50题(含答案)

1、已知∠ABC=3∠C ,∠1=∠2,BE ⊥AE ,求证:AC-AB=2BE 2、已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC 3、如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证:AD ⊥BC . 4.如图,OM 平分∠POQ ,MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ,A 、B 为垂足,AB 交OM 于点N . 求证:∠OAB =∠OBA 5.(5分)如图,已知AD ∥BC ,∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线 交AP 于D .求证:AD +BC =AB . P E D C B A F A E D C B

6.(6分)如图①,E 、F 分别为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F , 若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M . (1)求证:MB =MD ,ME =MF (2)当E 、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立 请给予证明;若不成立请说明理由. 7.已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点, (1)求证:△AED ≌△EBC . (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积 相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明): 8.(7分)如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线 垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F . 求证:BD =2CE . O E D C B A F E D C B A

分式不等式的证明与方法

分式 摘要:分式不等式的证明是高中数学中的难点之一,本文主要通过作差法,利用基本不等式法,利用非负实数的性质,利用放缩法,环元法,构造法,类比法,局部不等式法来分析与 证明分式不等式,从而对分式不等式的证明有着整体的理解。通过方法与总结克服证明分式不等式的胆怯心理。 关键词:分式不等式 证明方法 作差法 基本不等式法 构造法 二.利用基本不等式法 均 值 不 等 式 即 : 利用不等式 ∑ =n i y i x m i n 11 ≥∑=∑=n i y i n n i x i n m 1 11)1(∑=-∑=n i i m m y x n n i i 1 2 1 1)((2,1,,=∈+i R y x i i )证明一 类难度较大的分式不等式是很简捷的。 例2.若1,2)(i R =∈+ a i 且N m s n i i a ∈=∑=,1 ,则有∑+=-n i m a a i i 1 ) (1)(s n n s m n +≥ 证明:(1)当m=1时, ∵n a a n i i n i i 2 1 1 1 ≥∑∑=-=,s n a n i i 2 1 1 ≥∑=-,所以有:)1 1 (a a i n i i +∑=-=∑∑==-+n i i n i i a a 1 1 1 ≧s n 2 +s=n(n s s n +) (2)当m=2时,

)1 1 (a a i n i i +∑=-≧ n m 2 1 -n i i n i m a a ∑+=-1 )(1≧n )( n s s n m + 综上,由(1)(2)知原不等式成立。 排序不等式即,适用于对称不等式 例3.设a,b,c 是正实数,求证: 23 ≥+++++b a c a c b c b a 证明:不妨设a ≧c b ≥则b a a c c b +≥+≥+1 11 由排序不等式得: ≥+++++b a c a c b c b a b a a a c c c b b +++++ (1) ≥+++++b a c a c b c b a b a b a c a c b c +++++ (2) 由(1)+(2)得 2( b a c a c b c b a +++++)3≥,所以2 3≥+++++b a c a c b c b a 利用倒数不等式即:若a i >0,则n a a n i i n i i 2 1 1 1 ≥∑∑=-= 例4.设βα,都是锐角,求证:且βα,取什么值时成立? 证明:1cos sin 2 2=+βα,不等式左边拆项得: ββαcos sin sin cos 2 2 2 2 1 1 + = β αβααsni 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 1 1 1 + + 又由于1sin sin cos sin cos 2 2222=++βαβαα 由倒数不等式有: ) (sin sin cos sin cos 2 2 2 2 2 βαβαα++)1 1 1 ( 2 2 2 2 2 sin cos sin cos β αβααsni + + ≥9 所以原不等式成立 当且仅当βαβααsin sin cos sin cos 2 2222==即2tan ,1tan ==αβ时等

信息学奥赛培训学习感受

信息学奥赛培训学习感受 吴忠三中何晓萍 参加本次培训之前,对信息学奥赛我仅是听说过而已,对它的了解几乎没有。这次培训是学校要求我们参加的,对信息学奥赛要考哪些内容,什么形式的考试我一点也不知道,心里没有底,想着既然学校领导让参加,只能硬着头皮来,只是听说信息学奥赛特别难,对本次培训后学生会出什么样的成果不抱一点希望,也没有信心。通过这几天的培训,我对信息学奥赛有了一定的了解,特别是在听过中卫中学、中卫第三中学这两位老师的经验交流后,对我的启发很大,使我有了回去组织培训辅导学生参加每年信息学奥赛的信心,下面谈谈本次培训我的收获。 本次培训使我深刻的感受到:信息学奥赛不但是对学生的挑战,也是对老师的一个挑战,同时也是师生共同提高的过程,这个过程很艰辛,但只要坚持,一定会取得不错的成绩,也会提高我们学科的地位,激发学生对这门学科的兴趣。因此,我认为,教师首先自己要自信心,不能怕失败,尤其是本次信息学奥赛,时间紧,培训少,不会有什么好的成果。但有了这次的经历,会为我们以后培训打下一个良好的基础。其次要不断地自学研究,不断地提高自己,扩大自己的知识面。信息学奥赛涉及的知识面很广,知识跨度大,有一定难度,很多知识是大学生学习的内容,对初中生来说比较难,所以老师要对信息学奥赛的题型有一定的研究,针对各类题目,有针对性的对学生进

行辅导,精心准备每次培训的内容,在辅导学生的同时与学生共同学习,教学相长。 再次要有恒心,既然要参加信息学奥赛,就要持之以恒的辅导学生,不能半途而废。信息学奥赛辅导要见成效,不是一朝一夕的事,象其它学科一样,更是一个长期而艰苦的学习过程,如果三天打鱼,两天晒网,没章可依,最后只能是浪费时间。 几天的培训不但增强了我对信息学奥赛的自信心,也使我对信息学奥赛的竞赛规则、竞赛题型、涉及的内容有了更深入的了解,同时疏理好了我们信息学奥赛的培训工作如何开展,下面就自己的想法谈几点。 一、制定计划是前题 凡事预则立,不预则废。要开展信息学奥赛辅导,就要做好充分的准备工作:首先从众多的辅导教材中选择一本比较适合当前学段的参考书,在此基础上制定详细的教学计划,这样老师和学生都学有所依,不能只单纯为减轻学生负担而忽略了教材在学生学习过程中的重要作用,因为信息学奥赛的学习内容与平时信息技术课堂教学联系较少,与其它学科更是相觑甚远,能够使学生从思想上重视信息学奥赛的学习。选好教材,制定好教学进度计划,使辅导能够从本质上规范化,从思想上重视辅导教学,才能够取得好的教学效果。

八年级全等三角形证明经典题

全等三角形证明经典题 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 2. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12 CD AB = 3. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 4. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C 5. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12 CD AB = A D B C C D B B A C D F 2 1 E A

6. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2 7. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 8. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C 一:如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 二:已知a 1+b 1= )(29b a +,则a b +b a 等于多少? B B A C D F 2 1 E C D B A

9. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证: AE=AD+BE 13. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC 。 14.已知:AB//ED ,∠EAB=∠BDE ,AF=CD ,EF=BC ,求证:∠F=∠C 14. 已知:AB=CD ,∠A=∠D ,求证:∠B=∠C 15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点,AC>AB ,求证:PC-PB

全等三角形证明题集锦(一)

r 三角形全等的判定专题训练题 1、如图(1):AD ⊥BC ,垂足为D ,BD=CD .求证:△ABD ≌△ACD . 2、如图(2):AC ∥EF ,AC=EF ,AE=BD .求证:△ABC ≌△EDF . 3、 如图(3):DF=CE ,AD=BC ,∠D=∠C .求证:△AED ≌△BFC . 4、 如图(4):AB=AC ,AD=AE ,AB ⊥AC ,AD ⊥AE .求证:(1)∠B=∠C ,(2)BD=CE 5、如图(5):AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,AB=CD ,BC=DE .求证:AC ⊥CE . (图1)D C B A F E D C B A F E (图3)D C B A E (图4)D C B A E D B A

r 6、如图(6):CG=CF,BC=DC,AB=ED,点A、B、C、D、E在同一直线上. 求证:(1)AF=EG,(2)BF∥DG. 7、如图(7):AC⊥BC,BM平分∠ABC且交AC于点M、N是AB的中点且BN=BC. 求证:(1)MN平分∠AMB,(2)∠A=∠CBM. 8、如图(8):A、B、C、D四点在同一直线上,AC=DB,BE∥CF,AE∥DF. 求证:△ABE≌△DCF. 9、如图(9)AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF. 求证:AM是△ABC的中线. 10、如图(10)∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE,BD=CE.求证:AB=AC. G F E (图6) D C B A N M (图7) C B A F E (图8)D C B A M F E (图9) C B A E (图10) D C B A

信息学奥赛辅导计划

信息学奥赛辅导计划 青少年信息学奥林匹克竞赛是一项旨在推动计算机普及的学科竞赛活动,重在培养学生能力,使学生开阔眼界、扩大知识面,使得有潜质有才华的学生在竞赛活动中得到锻炼和发展。全面提高学生的综合素质,努力培养高素质、高层次创新人才,是我们不断努力的目标。与一般计算机竞赛不同,信息学奥赛是一种综合能力的测试。为了更好培养学生对信息学的爱好和特长,培养学生创造性的用计算机解决实际问题,培养动手动脑能力;也为了全方面,多渠道备战NOIPXX保持我校在信息学竞赛领域市级领先的位置,针对我校学生的实际情况,为了争取在信息学奥赛中争得好成绩,现作如下计划: 一、现状分析: 初三级部社团的同学作为参加比赛的的关键力量严重匮乏,且学习水平一般,而且初三同学本学期四门学科即将中考,初三学生不能参加辅导;大部分学生的重视程度严重不足,还有部分学生在巨大的学习压力面前,选择了放弃,缺乏拼搏精神。初二同学基本语法掌握的比较好,尤其是编程技巧非常的突出,数据结构知识掌握的业非常不错,但是阅读程序能力太差;初一同学刚刚开始信息学奥赛的学习,处于入门阶段。 二、辅导目标: 1、培养学生具有参加全国信息学奥林匹克竞赛分区联赛的能力。

2、培养学生的抽象逻辑推理能力、严谨的思维方式和严密的组织能力,加强对学生的综合素质的提高。 三、辅导对象: 初一至初二年级信息学奥赛社团学生。 四、辅导内容: 1、全面学习scratch编程软件和Pascal 语言的基础知识、程序的调试,使学生能熟练掌握scratch编程软件和Pascal,并熟练应用常用基本算法。 2、深入学习各类算法设计思想,让学生形成一定的分析和解决问题的能力,在算法设计中展开各种数据结构的学习。 3、以实例为基础,展开强化训练,使学生能初步达到灵活运用的程 度,独立解决实际问题。加强与其他学科的合作。信息学竞赛中的信息二字,其实就是计算机对现实世界的数字化表示。用计算机解决现实问题,其中最重要的一步就是数据结构的设计,数据模型的建立、 数学公式的应用,在计算机中是关键。因此,加强与其他学科的横向联系非常必要,特别是数学特长生的培养。 4、初二同学主要训练编程的思维,提高代码的编写速度,训练学生的程序调试水平,提高阅读程序的准确率。特别要关心那些落课较多的同学,不断地鼓励他们,让他们以饱满的热心参加辅导。初一同

全等三角形证明经典40题(含答案)

1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 的长. 解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4 即4-2<2AD <4+2 1<AD <3 ∴AD=2 2. 已知:BC=ED ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠ 2 证明:连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 A D B C

3. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ,可得,∠EFD =CGD DE =DC ∠FDE =∠GDC (对顶角) ∴△EFD ≌△CGD EF =CG ∠CGD =∠EFD 又,EF ∥AB ∴,∠EFD =∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD =∠2 ∴△AGC 为等腰三角形, AC =CG 又 EF =CG ∴EF =AC 4. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠ C 证明:延长AB 取点E ,使AE =AC ,连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD =∠CAD ∵AE =AC ,AD =AD ∴△AED ≌△ACD (SAS ) ∴∠E =∠C ∵AC =AB+BD ∴AE =AB+BD ∵AE =AB+BE ∴BD =BE ∴∠BDE =∠E B A C D F 2 1 E A

全等三角形证明经典50的题目(含答案详解)

1.已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD 解:延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC 在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE中 AB-BE<AE<AB+BE∵AB=4 即4-2<2AD<4+21<AD<3∴AD=2 2.已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证: 1 2 CD AB 延长CD与P,使D为CP中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB∴ACBP为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP为矩形∴AB=CP=1/2AB 3.已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2 证明:连接BF和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF。∵∠ABC=∠AED。∴∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF和三角形AEF全等。∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2) 4.已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC 过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF,可得,∠EFD=CGDDE=DC ∠FDE=∠GDC(对顶角) ∴△EFD≌△CGD EF=CG ∠CGD=∠EFD 又,EF∥AB ∴,∠EFD=∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD=∠2 ∴△AGC为等腰三角形, AC=CG 又 EF=CG∴EF=AC 5.已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠ C A D B C B A C D F 2 1 E 精彩文档

分式不等式放缩裂项证明

分式不等式放缩裂项证明 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

放缩法的常见技巧(1)舍掉(或加进)一些项(2)在分式中放大或缩小分子或分母。(3)应用基本不等式放缩(例如均值不等式)。(4)应用函数的单调性进行放缩(5)根据题目条件进行放缩。(6)构造等比数列进行放缩。(7)构造裂项条件进行放缩。(8)利用函数切线、割线逼近进行放缩。 使用放缩法的注意事项 (1)放缩的方向要一致。(2)放与缩要适度。 (3)很多时候只对数列的一部分进行放缩法,保留一些项不变(多为前几项或后几项)。(4)用放缩法证明极其简单,然而,用放缩法证不等式,技巧性极强,稍有不慎,则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法,只需要了解,不宜深入。 先介绍工具 柯西不等式(可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积) 均值不等式 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 绝对值三角不等式 定理1:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|? 推论1:|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|? 此性质可推广为|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|. 推论2:|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|?

定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成 立. 常用放缩思想 这几个务必牢记 不常见不常用的不等式 这几个一般用不到,放的太大了,知道有印象就好了 下面就是常用思路了,主要就是裂项部分

二项平方和 f(x)=(a1x-b1)^2+(a2x-b2)^2+……(anx-bn)^2 由f(x)≥0可得△小于等于0

信息学奥赛训练计划(袁森龙)

2016~2017年信息学奥赛 训练计划 尊敬的方校长: 若给我机会,我定将尽我所能做好本职工作和学校安排的其它工作。坦率地讲,我对信息学奥赛的训练只是有一些了解,没有什么实际经验,更谈不上什么成绩,但有一些自己的看法和理解。与一般的计算机竞赛不同,信息学奥赛的核心是考察选手的智力和使用计算机解题的能力。针对临中学生的实际情况,为了能在信息学奥赛中取得好成绩,经过反复思考后制定了一份训练计划,内容如下: 一、训练目标 1、使学生具备参加全国信息学奥林匹克竞赛分区联赛NOIP(初赛、复赛)的能力。 2、使学生养成较好的抽象逻辑推理能力、严谨的思维方式和严密的组织能力,并使学生的综合素质的提高。 3、使学生初步具备分析问题和设计算法的能力。 二、训练对象 高一年级对信息学感兴趣且数学成绩较好的学生,人数为50人(经过筛选,最终参加比赛的人数会少于此人数)。 三、训练内容 1、全面学习Pascal语言的基础知识、学会程序的常用调试手段和技巧,在用Pascal解决问题的过程中引入基础算法的运用。 2、深入学习各类基础算法,让学生真正理解算法的精髓,从而形成一定的分析和解决问题的能力。在算法设计的教学实例中引入数据结构的学习。为什么要这样做呢?这是因为“算法+数据结构=程序”。

3、以实例为基础,展开强化训练,使学生开始具备运用计算机独立解决实际问题的能力。用计算机解决现实问题的最重要的一个前提就是数据模型的建立和数据结构的设计。数据模型的建立、数学公式的应用,是计算机解决问题的关键。因此,加强与数学学科的横向联系非常必要。 四、训练时间:从2016年9月份第三周开始到2017年11月底月结束 1、每周星期二下午(17:00~18:30) 2、每周星期四下午(17:00~18:30) 第一阶段:基础知识和基本技能部分 2016——2017学年度上学期 训练时间 教学内容 教学地点 备 注 第3周 Pascal 语言简介 机房 每周六下午练习1~2个小时,学生自行安排。 第4周 简单程序设计 机房 第5周 顺序结构(一) 机房 第6周 顺序结构(二) 机房 第7周 选择结构(一) 机房 第8周 选择结构(二) 机房 第9周 循环结构(一) 机房 第10周 循环结构(二) 机房 第11周 循环结构(三) 机房 第12周 一维数组 机房 第13周 多维数组 机房 第14周 函数 机房 第15周 过程 机房 第16周 递推和递归算法 机房

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