2016高考全国课标卷理科数学模拟试题六及详解

2016高考全国课标卷理科数学模拟试题六

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.(14浙江理）设全集U={x ∈N|x≥2，集合A={x ∈N|x 2≥5}，则?U A=( )

A. ?

B.{2

C.{5}

D.{2,5}

解析:全集U={x ∈N|x≥2}，集合A={x ∈N|x 2≥5}={x∈N|x≥3}，则?U A={x ∈N|x ＜3}={2}，故选：B

2.(14辽宁文理2). 设复数z 满足(z-2i)(2-i)=5，则z=（ ）

A ．2+3i

B ．2-3i

C ．3+2i

D ．3-2i

答案：A

3.（11课标理10）．在下列区间中，函数f(x)=e x +4x-3的零点所在的区间为

A ．(–14

，0 ) B ．(0，14) C ．(14，12) D ．(12，34) 答案:C

4.（11课标理9）由曲线y=x ，直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.310 B.4 C.3

16 D.6 解析;用定积分求解S=?4

0(x –x+2)=16/3，选C

5.(13湖南文理)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b.若2asin B ＝ 3 b ，则角A 等于( )．

A ．π12

B ．π6

C ．π4

D ．π3

解析：由2asin B ＝3b 得2sin Asin B ＝3sin B ，故sin A ＝32，故A ＝π3或2π3.又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3

. 6．(13课标1文理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．

A ．[－3,4]

B ．[－5,2]

C ．[－4,3]

D ．[－2,5]

解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.

故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.

7. (14课标2文理06）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个

底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）

A.2717

B. 95

C. 2710

D. 3

1 解析:几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π?2+22π?4=34π．底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π．切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：

2710 8.（14福建理08）在下列向量组中，可以把向量a =（3，2）表示出来的是（ ）

A.e 1=(0,0) e 2=(1,2)

B. .e 1=(-1,2) e 2=(5,-2)

C. .e 1=(3,5) e 2=(6,10)

D. .e 1=(2,-3) e 2=(-2,3)

解析:根据a =λe 1+μe 2，

选项A ：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A 不能；

选项B ：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，

μ=1，故选项B 能．

选项C ：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C

不能． 选项D ：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选

项D 不能．故选：B 9.（10四川文理6）将函数y=sinx 的图像上所有的点向右平行移动

10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）

A ．y=sin(2x-10π

) B.y=sin(2x-5

π) C.y=sin(21x-10π) D.y=sin(21x-20π) 解析：将函数y=sinx 的图像上所有的点向右平行移动10π

个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin(x －10π

) w_w 再把所得

各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是y=sin(21x-10

π). 10.（14课标2理11）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 101 B. 22 C. 1030 D. 2

2 解析：用向量法解，选C

11.（14安徽理6）．设函数f(x)(x ∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx ，当0≤x<π时，f(x)=0，则f(

623π)=（ ） A ．21 B ．23

C ．0

D ．21- 解析：f(623π)=f(617π)+sin 617π= f(611π)+sin 611π+ sin 617π= f(65π)+sin 65π+sin 611π+ sin 6

17π=21 12.（14重庆理08）设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|+|PF 2|=3b ，|PF|〃|PF|=

49ab ；则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B. 3

5 C. 49 D.3 解析：由于(|PF 1|+|PF 2|)2-(|PF 1|-|PF 2|)2=4|PF|〃|PF|，所以9b 2-4a 2=9ab (3b-4a)(3b+a)=0，则4a=3b ，e=5/3，选择B

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共20分．）

13. (14天津文理09）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取____名学生.

解析:由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300×44＋5＋5＋6

＝60 14.（14重庆理13）已知直线ax+y-2与圆心为C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点，且?ABC 为等边三角形，则实数a=_____. 解析:易知该等边三角形的边长为2，圆心到直线的距离为等边三角形的高h=3，由点到直线距离公式得a=4±15

15.(13课标1文理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.

解析：f(x)＝sin x －2cos x ＝f(x)＝5sin(α＋x)，其中cos α＝ 55，sin α＝–255，当x ＝2k π＋π2

－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )有最大值5，即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝cos(–α)=sin α＝–255

. 16.（14浙江理13）当实数x 、y 满足??

???≥≤--≤-+101042x y x y x 时，1≤ax+y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________.

解析：由约束条件作可行域如图，联立??

?=-+=421y x x ，解得C （1，23）． 联立???=-+=--0

4201y x y x ，解得B （2，1）．在x ﹣y ﹣1=0中取y=0得A （1，0）． 要使1≤ax+y≤4恒成立，则?????????≤-+≤-≥-+≥-0

41204012301a a a a ，解得：1≤a ≤23．∴实数a 的取值范围是[1, 23]． 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.(13江西理17)(本小题满分12分)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n 2﹣(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0.

(1)求数列{a n }的通项公式a n ；

(2)令b n =

2n

2a )2n (1n ++，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜645. (1)解：由S n 2﹣(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .

于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n .

(2)证明：由于a n ＝2n ，b n =2n 2a )2n (1n ++，则b n =2n 2a )2n (1n ++=])2n (1n 1[16122+-. T n =161[1﹣231+221﹣241+ (2)

1(1-n ﹣2)1(1+n +21n ﹣2)2(1+n ]=161[1+221+2)1(1+n ﹣2)2(1+n ]<161(1+1)=645 18.（11陕西理20）(本小题满分12分)如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

（2）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，

求X 的分布列和数学期望 .

解：（1）A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，

B i 表示事件“甲选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i=1，2．

用频率估计相应的概率，则有：

P(A 1) =0.1+0.2+0.3=0.6， P(A 2)=0.1+0.4=0.5， P(A 1)> P(A 2)， ∴甲应选择路径L 1；

P(B 1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P(B 2)=0.1+0.4+0.4=0.9，P(B 2)＞P(B 1)，∴

乙应选择路径L 2.

（2）用A ，B 分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，

由（1）知P(A)=0.6，P(B)=0.9，又事件A ，B 相互独立，X 的取值是0，1，2，

∴ P(X=0)=P(A B )=0.4×0.1=0.04 P(X=1)=P(A B)+P(A B )=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42 P(X=2)=P(AB)=0.6×0.9=0.54

∴X 的分布列为

∴EX=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5．

19.(13课标1理18) (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.

(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．

(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B.因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB.

由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB.

因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C.又A 1C ?平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C.

(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB.又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，

故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．

以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz.

由题设知A(1,0,0)，A 1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(－1,0,0)． 则BC ＝(1,0，3)，1BB ＝1AA ＝(－1，3，0)，C A 1＝(0，-3，3)．

设n ＝(x ，y ，z)是平面BB 1C 1C 的法向量，则?????=?=?0

01BB n BC n 即?????=+-=+0303y x z x 可取n ＝(3，1，－1)． 故cos 〈n ，C A 1〉＝-510.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为5

10. 20.（12北京理19）(本小题满分12分)

已知曲线C ：(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R)

（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；

（2）设m=4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线y=1与直线BM 交于点G 。求证：A ，G ，N 三点共线。

解：（1）由题意可得：??

???->->->-m m m m 520205，解得：7/2

（2）设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，G(x 0,1)由已知直线代入椭圆方程化简得：(2k 2+1)x 2+16kx+24=0，?=32(2k 2-3)>0，解得：k 2>3/2

由韦达定理得：x 1+x 2=16k/(2k 2+1) ①，x 1x 2=24/(2k 2+1) ②

MB 方程为：y=116x kx +x-2，则G(6311+kx x ，1)，则AG =(6

311+kx x ，-1)，AN =(x 2，kx 2+2) 欲证A ，G ，N 三点共线，只需证AG ，AN 共线 即6

311+kx x ( kx 2+2)=- x 2成立，化简得：4k x 1x 2=-6(x 1+x 2) 将①②代入易知等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证。 21.(12福建理) (本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x ＋ax 2－ex ，a ∈R .

(1)若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x 轴，求函数f(x)的单调区间；

(2)试确定a 的取值范围，使得曲线y ＝f(x)上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.

解： (1)由于f′(x)＝e x ＋2ax －e ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k ＝2a ＝0，所以a ＝0，即f(x)＝e x －ex.

此时f′(x)＝e x －e ，由f′(x)＝0得x ＝1.

当x ∈(－≦，1)时，有f′(x)＜0；当x ∈(1，＋≦)时，有f′(x)＞0.

所以f(x)的单调递减区间为(－≦，1)，单调递增区间为(1，＋≦)．

(2)设点P(x 0，f(x 0))，曲线y ＝f(x)在点P 处的切线方程为y ＝f′(x 0)(x －x 0)＋f(x 0)，令g(x)＝f(x)－f′(x 0)(x －x 0)－f(x 0)，

故曲线y ＝f(x)在点P 处的切线与曲线y ＝f(x)只有一个公共点P 等价于函数g(x)有唯一零点．

因为g(x 0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x 0)＝e x －ex 0＋2a(x －x 0)．

①若a≥0，当x ＞x 0时，g′(x)＞0，则x ＞x 0时，g(x)＞g(x 0)＝0；

当x ＜x 0时，g′(x)＜0，则x ＜x 0时，g(x)＞g(x 0)＝0.故g(x)只有唯一零点x ＝x 0.由P 的任意性知，a≥0不合题意．

②若a ＜0，令h(x)＝e x －ex 0＋2a(x －x 0)，则h(x 0)＝0，h′(x)＝e x ＋2a.

令h′(x)＝0，得x ＝ln(－2a)，记x *＝ln(－2a)，

则当x ∈(－≦，x *)时，h′(x)＜0，从而h(x)在(－≦，x *)内单调递减；

当x ∈(x *，＋≦)时，h′(x)＞0，从而h(x)在(x *，＋≦)内单调递增．

a ．若x 0＝x *，由x ∈(－≦，x *)时，g′(x)＝h(x)＞h(x *)＝0；由x ∈(x *，＋≦)时，g′(x)＝h(x)＞h(x *)＝0.

所以g(x)在R 上单调递增．所以函数g(x)在R 上有且只有一个零点x ＝x *.

b ．若x 0＞x *，由于h(x)在(x *，＋≦)内单调递增，且h(x 0)＝0，

则当x ∈(x *，x 0)时，有g′(x)＝h(x)＜h(x 0)＝0，g(x)＞g(x 0)＝0；任取x 1∈(x *，x 0)有g(x 1)＞0.

又当x ∈(－≦，x 1)时，

易知g(x)＝e x ＋ax 2－(e ＋f′(x 0))x －f(x 0)＋x 0f′(x 0)＜ex 1＋ax 2－(e ＋f′(x 0))x －f(x 0)＋x 0f′(x 0)＝ax 2＋bx ＋c ，

其中b ＝－(e ＋f′(x 0))，c ＝ex 1－f(x 0)＋x 0f′(x 0)．

由于a ＜0，则必存在x 2＜x 1，使得ax 22＋bx 2＋c ＜0.

所以g(x 2)<0，故g(x)在(x 2，x 1)内存在零点，即g(x)在R 上至少有两个零点．

c ．若x 0x 36

，可证函数g(x)在R 上至少有两个零点． 综上所述，当a<0时，曲线y ＝f(x)上存在唯一点P(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P. 请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22. (13天津文) (本小题满分10分)如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC.过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E.若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，求弦BD 的长．

解析：因为在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC ，所以AD ＝BC ，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠ABE ＝∠BCD.

所以∠BAD ＋∠ABE ＝180°.又因为AE 为圆的切线，所以AE 2＝BE 〃EC ＝4×9＝36，故AE ＝6.

在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠ABE ＝8

12222=?-+BE AB AE BE AB ， cos ∠BAD ＝cos(1800 –∠ABE)＝–cos ∠ABE ＝8

1-， 在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB 〃AD 〃cos ∠BAD ＝4

225，所以BD ＝215. 23.（12江苏文理）(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ????2，π4，圆心为直线ρsin ???

?θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．

解：在ρsin ????θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ?

???2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝ 2 2＋12－2×1×2cos π4

＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ. 24. (13辽宁文理) (本小题满分10分)已知函数f(x)＝|x －a|，其中a ＞1.

(1)当a ＝2时，求不等式f(x)≥4－|x －4|的解集；

(2)已知关于x 的不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x ≤2}，求a 的值．

解：(1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝??

???≥-<<≤+-4,6242,22,62x x x x x

当x ≤2时，由f(x)≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；

当2＜x ＜4时，f(x)≥4－|x －4|无解；

当x ≥4时，由f(x)≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；

所以f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x ≤1或x ≥5}．

(2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)，则h(x)=??

???≥<<-≤-a x a a x a x x a ,20,240,2 由|h(x)|≤2，解得2121+≤≤-a x a . 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x ≤2}，所以???????=

+=-22

1121a a 于是a ＝3.