中北大学2006_2007学年第一学期末数值分析考试试题A参考答案
2006/2007学年第一学期末考试试题参考答案（A 卷）
数值分析
使用班级： 06研
试卷2 ：闭卷考试(50分)，120分钟 一、填空题(每空1分，共10分)
1. 设0.001369x =有4位有效数字，则ln u x =的的计算结果中有 4 位有效数字；
解：ln 6.593674u
x ==- ，64311()()0.510 3.65100.5100.001369e u e x x ---≈?=??=?≤? 所以，ln 6.593674u
x ==- 有4位有效数字。 2. 设1113A ??
=
?-??
，则2A
= 3.2361≈；1A = 4 ；
3. 设(0)(0)0,(1)(1)1,(2)1,f f f f f ''=====则[0,1]f = 1 ，[0,1,2]f =1
2
-
，则()f x 的四次Hermite 插值多项式()222
2
4
32(1)1(1)6944
x x x x x x x x ---+
=-+； 4. 二次方程21610x x -+=的具有三位有效数字的最小正根为 0.0627 ；
5.
求积公式11
()f x x f f -≈+?d 具有 3 次代数精度；
6. 求解初值问题00()(,),()y t f t y y t y '==的改进Euler 法的格式为
1
12121
()2
(,)
(,)
n n n n n n h y y k k k f t y k f t h y hk +?
=++??
=??=++??
，它是 2 阶方法。
二、解答下列各题(每小题8分，共24分)
1.
求形如b
y ax =的拟合函数。
解：对b
y a x =两边取对数得ln ln ln y b x a =+，令l n ,l n ,l n s y t x c a ===，
则有s c bt =+，且s 、t
3分
令1122334411,,11
t s t s
c X A S t s b t s ???? ? ???
? ?=== ? ? ???
? ?????
，则有AX S =，从而正规方程组T T A AX A S =为
4
4.969813
5.4790824.969813
6.8196168.094554c b -??????= ??? ?-??????
.................................... 9分 解之得
1.1100131.995877c b ????= ? ?-????
............................................................................. 11分 所以拟合函数为
-1.9958773.034399b c b y ax e x x === ...................................................... 8分 3 用梯形公式和4n =的复合梯形公式计算14
04
d 1x x +?，并估计误差。
利用复合梯形公式得
3
1
401
4d [(0)(1)2()] 3.446929312k h
I x f f f a kh x ==≈+++≈+∑? ................... 6分
误差估计：
()()224233
0141651211111617()max 0.022112419219244T x x x R f x η≤≤??
-??? ?''=-≤≤?≈ ? ???+?? 所以，用3.4469293作为14
04
d 1I x x =+?有2位有效数字。................................................... 8分
三、(本题10分)用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组1231231
233136203374
x x x x x x x x x -+=??
++=??++=?，
取初始值()T
(0)
0,0,0x
=迭代一次，算出(1)x ；若要求误差不超过410-， 那么两种迭代方法各
要迭代多少次？
解：Jacobi 迭代法的迭代公式
()()()11230000
112321313121/3(32)/6433/7k k k
k k k
k k k x x x x x x x x x x x x x +++?=+-??==-+??=--??
任取 ...................................................... 2分
取()T
(0)
0,0,0x
=迭代一次的结果为T
(0)
4,0,37J
x
1??
= ???
.............................................................. 3分 Gauss-Seidel 迭代法的迭代公式
()()()11230000
111232*********/3(32)/6433/7k k k
k k k
k k k x x x x x x x x x x x x x ++++++?=+-??==-+??=--??
任取 ................................................. 5分
取()T
(0)0,0,0x =迭代一次的结果为T
(1)
111,,362G S x -??=- ??? ........................................................ 7分
Jacobi 迭代法的迭代矩阵11033116
0,23733077J J G G ∞??- ? ? ?=-
-= ? ? ?-- ?
??
， .............................................. 8分 Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵()1
11033110,661301414G S G D L U --??- ? ?
?=-+=-
- ? ?
?- ??
?， 2
3
G S G -∞= ................................................................................................................................... 9分
由()(0)
(1)(0)1k k G x x
x x G
-≤--知，要使()(0)410k x x --≤，Jacobi 迭代法的大约要经过 4ln 4356ln 7--≈次迭代；而Gauss-Seidel 迭代法大约要经过4
1112ln 3
-+≈次迭代。 四、(本题6分) 设A=3245??
???
，用反幂法求A 的按模最小的特征值及对应的一个特征向量。
取初始特征向量为1
0.99x ??
= ?
-??
开始迭代。误差要求：1210k k k λλελ---=≤，其中k λ为第k 次迭代得到的特征值。
解：也即求1
521437A --??
= ?-??
的最大特征值，且相应的特征向量不变。
所以，A 的按模最小的特征值的一个近似值为0.99997075681673，相应的特征向量为 0.707179175020760.70703437993988x ??
=
?-??
....................................................................... 6分
数值稳定性验证实验报告
实验课程：数值计算方法专业：数学与应用数学班级：08070141 学号：37 姓名：汪鹏飞 中北大学理学院
实验1 赛德尔迭代法 【实验目的】 熟悉用塞德尔迭代法解线性方程组 【实验内容】 1.了解MATLAB 语言的用法 2.用塞德尔迭代法解下列线性方程组 1234123412341234 54 1012581034 x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-??-+--=?? --+-=??---+=? 【实验所使用的仪器设备与软件平台】 计算机，MATLAB7.0 【实验方法与步骤】 1.先找出系数矩阵A ，将前面没有算过的x j 分别和矩阵的(,)A i j 相乘,然后将累加的和赋值给sum ，即(),j s u m s u m A i j x =+?.算 出()/(,) i i x b sum A i i =-,依次循环,算出所有的i x 。 2.若i x 前后两次之差的绝对值小于所给的误差限ε，则输出i x .否则重复以上过程，直到满足误差条件为止. 【实验结果】 (A 是系数矩阵，b 是右边向量，x 是迭代初值，ep 是误差限) function y=seidel(A,b,x,ep) n=length(b); er=1; k=0; while er>=ep
k=k+1; for i=[1:1:n] q=x(i); sum=0; for j=[1:1:n] if j~=i sum=sum+A(i,j)*x(j); end end x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); er=abs(q-x(i)); end end fprintf('迭代次数k=%d\n',k) disp(x') 【结果分析与讨论】 >> A=[5 -1 -1 -1;-1 10 -1 -1;-1 -1 5 -1;-1 -1 -1 10]; b=[-4 12 8 34]; seidel(A,b,[0 0 0 0],1e-3) 迭代次数k=6 0.99897849430002 1.99958456867649 2.99953139743435 3.99980944604109
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
利用栈求表达式的值,可供小学生作业,并能给出分数 数据结构课程设计说明书格式
中北大学 数据结构 课程设计说明书 2011年12月20日
1. 设计任务概述（包括系统总体框图及功能描述） 此课题是研究表达式求值的问题，以帮助小学生完成测试。为了达到这个功能，实际我们要做的就是出题，和计算分数给出评价的工作。整体设计都是以这个要求为轴心进行的。为了直观和方便，现画出软件整体设计模块图。 整体设计模块图可以清晰的看出软件的几大模块。整个系统的操作流程图可以看出操作的整体流程，如下图 2.
根据以上功能说明，设计运算信息，堆栈的存储结构，设计程序完成功能； 3. 功能模块详细设计 在此说明每个部分的算法设计说明（可以是描述算法的流程图），每个程序中使用的存储结构设计说明（如果指定存储结构请写出该存储结构的定义）。 3.1 详细设计思想 学生要进行测试，首先要有试题。那么我们就要先建立试题库。这个试题库的试题是我们在程序运行过程中手动输入，存放在一个shujuku.txt的文件中。 首先在主函数中调用创建试题库函数，将试题存入到试题库文件shitiku.txt中，然后将该调用从主函数中删除。 创建试题库函数：创建指向xuanti类型的指针，利用循环将输入的测试题该指针的xuanti单元中，最后将该指针中的测试题写入试题库文件shitiku.txt中。 3.2 核心代码 (正文宋体小四号字，1.5倍行距) #include
中北大学数值分析小论文
中北大学 《数值分析》 常微分方程初值问题的数值解法 专业： 班级： 学号： 姓名: 日期: 2012.12.26
常微分方程初值问题的数值解法 摘 要 微分方程的数值解法在科学技术及生产实践等多方面应用广泛. 文章分析了构造常微分方程初值问题数值解法的三种常用基本方法，差商代替导数法，数值积分法及待定系数法，推导出了Euler 系列公式及三阶龙格-库塔公式，指出了各公式的优劣性及适用条件，并对Euler 公式的收敛性、稳定性进行了分析。 Abstract The numerical solution of differential equations is widely used in science, technology, production practices and many other fields. This paper analyzed three kinds of basic methods for constructing numerical solutions for initial value problem of ordinary differential equations ：difference quotient instead of derivative method, numerical integral method and undetermined coefficients method. At the same time, the paper deduces the Euler series formula and the classical third order Runge-Kutta formula. In addition, the paper pointed out the advantages and disadvantages of each formula and application condition, it also analyzed the convergence and stability of the Euler formula. 1.引言 科学技术及实际生产实践中的许多问题都可归结为微分方程的求解问题，使用较多的是常微分方程初值问题的求解。对于一阶常微分方程的初值问题 000dy /dx f (x,y),y(x )y ,x x b ==<<，其中f 为已知函数，0y 是初始值。如 果函数f 关于变量y 满足Lipschitz 条件，则初值问题有唯一解。只有当f 是一些特殊类型的函数时，才能求出问题的解析解，但一般情况下都满足不了生产实践与科学技术发展的需要，因此通常求其数值解法。 2.主要算法 数值解法是一种离散化的方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。基本思想是离散化，首先要将连续区间离散化，对连续区域[]0x ,b 进行剖分01n 1n x x x x b -<<Λ<<=，n n 1n h x x +=-为步长；其次将其函离散
数值分析试卷及答案
二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2）
（3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。
数值分析试卷及其答案
1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
数值分析实验报告中北大学
实验类别：数值分析 专业：信息与计算科学班级： 学号： 姓名： 中北大学理学院
实验二 函数逼近与曲线拟合 【实验内容】 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳 量y 与时间t 的拟合曲线。 【实验方法或步骤】 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为；33221)(t a t a t a t ++=? 3、打印出拟合函数)(t ?，并打印出)(j t ?与)(j t y 的误差， 12 ,,2,1 =j ； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、* 绘制出曲线拟合图。 #include "stdio.h" #include "conio.h" #include "stdlib.h" #include "math.h" #define N 12//N 个节点 #define M 2//M 次拟合 #define K 2*M void zhuyuan (int k,int n,float a[M+1][M+2]) {int t,i,j; float x,y;
x=fabs(a[k][k]);t=k; for (i=k+1;i<=n;i++) if (fabs(a[i][k])>x) {x=fabs(a[i][k]);t=i;} for (j=k;j<=n+1;j++) {y=a[k][j];a[k][j]=a[t][j];a[t][j]=y;} } void xiaoyuan(int n,float a[M+1][M+2]) {int k,i,j; for(i=0;i 二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 数值分析试题答案 1、构造拉格朗日插值多项式(X)p 逼近3 (x)f x =，要求 （1）取节点011,1x x =-=作线性插值 （2）取节点0121,0,1x x x ===作抛物插值 答案：（1）代入方程得 0110 10010 1,1(x)y (x x )x y y y y p x x =-=-=+ -=- （2）代入方程得 1202011220120102101220210.1(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x ) (x)y x (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )y y p y y ==------= ++=------ 2、给出数据点：01234 39 61215 i i x y =?? =? 用1234,,,x x x x 构造三次牛顿插 值多项式3 () N x ，并计算 1.5x =的近似值3(1.5)N 。 33333133.15()93(1) 4.5(1)(2)2(1)(2)(3)(1.5) 5.6250, ()36 4.5(1)3(1)(2)(1.5)7.5000, 1.54 (1.5)(1.5)((1.5)(1.5)) 1.17194 N x x x x x x x N N x x x x x x x N R f N N N =+-+------==+--+--=-=-≈ -=四（分） 3、已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。 答案： )53)(43)(13() 5)(4)(1(6 )51)(41)(31()5)(4)(3(2 )(3------+------=x x x x x x x L 中北大学 课程设计说明书 学生姓名：梁一才学号：10050644X30 学院：信息商务学院 专业：电子信息工程 题目：信息处理综合实践: 图像分割算法研究与实现 指导教师：陈平职称: 副教授 2013 年 12 月 15 日 中北大学 课程设计任务书 13/14 学年第一学期 学院：信息商务学院 专业：电子信息工程 学生姓名：焦晶晶学号：10050644X07 学生姓名：郑晓峰学号：10050644X22 学生姓名：梁一才学号：10050644X30 课程设计题目：信息处理综合实践: 图像分割算法研究与实现 起迄日期：2013年12月16日～2013年12月27日课程设计地点：电子信息科学与技术专业实验室指导教师：陈平 系主任：王浩全 下达任务书日期: 2013 年12月15 日 课程设计任务书 1．设计目的： 1、通过本课程设计的学习，学生将复习所学的专业知识，使课堂学习的理论知识应用于实践，通过本课程设计的实践使学生具有一定的实践操作能力； 2、掌握Matlab使用方法，能熟练运用该软件设计并完成相应的信息处理； 3、通过图像处理实践的课程设计，掌握设计图像处理软件系统的思维方法和基本开发过程。 2．设计内容和要求（包括原始数据、技术参数、条件、设计要求等）： (1)编程实现分水岭算法的图像分割； (2)编程实现区域分裂合并法； (3)对比分析两种分割算法的分割效果； (4)要求每位学生进行查阅相关资料，并写出自己的报告。注意每个学生的报告要有所侧重，写出自己所做的内容。 3．设计工作任务及工作量的要求〔包括课程设计计算说明书(论文)、图纸、实物样品等〕： 每个同学独立完成自己的任务，每人写一份设计报告，在课程设计论文中写明自己设计的部分，给出设计结果。 2006/2007学年第一学期末考试试题参考答案(B 卷) 数值分析 使用班级： 06研 一、填空题(每空4分，共40分) 1. 由求解数学模型所采用的数值近似计算所产生的误差称为 截断 误差； 2. 设0.001369x =有4 位有效数字，则u = 的的计算结果中有 3位有效数字； 解：0.037000u = = ，6541 ()100.675100.5102 u ε---= ?=? 数值分析整理版试题及答案 例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 中北大学 数据结构与算法课程设计 说明书 学院、系：软件学院 专业：软件工程 学生姓名：xxx 学号：xxxx 设计题目：数制转换问题 起迄日期: 2013年12月9日- 2013年12月20日指导教师:xxx 2013 年12月 20 日 1、需求分析 任意给定一个M进制的数x ，请实现如下要求 1) 求出此数x的10进制值（用MD表示） 2) 实现对x向任意的一个非M进制的数的转换。 3) 用两种方法实现上述要求（用栈解决和用数组解决）。 2、概要设计 流程图 数组的流程图： 栈的流程图： 算法思想 １、用数组实现该问题： DtoM()函数和MtoD()函数是实现该问题的主要函数。DtoM()函数是实现十进制转换为其它进制的函数，它是将输入的十进制数ｘ取首先对需要转换的进制M取余，然后再对其取整，接着通过递归调用DtoM()函数依次将得到的整数部分依次先取余后取整，并将所得的余数依次存入一个数组中，然后逆向取出数组中的元素，即得到转换后的结果。而MtoD()函数则是实现其他进制M转换为十进制，并将其转换为非M进制的数。M进制转十进制则是从该M进制数的最后一位开始算，依次列为第０、１、２…ｎ位并分别乘以M的０、１、２…ｎ次方，将得到的次方相加便得到对应的十进制数，再调用DtoM()函数将其转换为非M进制的数。 ２、用栈实现该问题： 同样是利用DtoM()和MtoD()两个函数实现。两个函数的思想同利用数组实现时相同。只是栈具有后进先出的性质，故其用Pop()取数较数组的逆向取数方便些。 模块划分 １、用数组实现该问题： ⑴i,j,y,n,s,m,r,reminder,x是定义的全局变量，初始值都为０； ⑵DtoM(int g,int h)是实现十进制数转换为M进制数的函数； ⑶MtoD()是实现M(仅指二进制数和八进制数)进制数转换为十进制数的函数，并 在其中调用D2M(int g,int h)实现向非M进制数的转换； ⑷HtoD(int f)是实现十六进制数转换为十进制数的函数，并在其中调用D2M(int g,int h)实现向非十六进制数的转换； ⑸void main()是主函数，功能是给出测试的数据，并在特定条件下调用D2M() 2008/2009 学年第 2 学期末考试试题（A 卷） 数值分析参考答案 使用班级： 高教硕士、工程硕士 一、填空题（每空3分，共30分） 1、 由于计算机的字长限制，计算机在存取原始数据以及每一次计算都会对数据进行四舍 五入，由此产生的误差称为舍入误差；而数值计算方法得到的近似解与数学模型的准确解之间的误差称为截断 误差（或方法误差）； 2、 设*0.01320a =-是准确值a 经四舍五入得到的近似值，那么它的一个绝对误差限 ()*a ε=0.000005，相对误差()*r a ε=0.038%； 祖冲之的密率*355 113 π= 作为圆周率3.1415926535897...π=的近似值具有 7 位有效数字； 3、 方程cos x x =的根* x =0.73909（精确到小数点后5位）； 4、 设(1)0.5,(0)1,(1)2f f f -===，则一阶差商[1,0]f -=0.5，二阶差商 [1,0,1]f -=0.25，函数()f x 的二次Newton 插值多项式2()p x = 213 144 x x ++； 5、求积公式 ()()()1 -1 141 ()d 101333f x x f f f ≈ -++? 具有 3 次代数精度。 二、利用Doolittle 分解求解以下方程组（本题10分） 1232123212321232 4252 872107 4836712611203 x x x x x x x x x x x x x x x x +++=-??+++=-??+++=-?+++=-?? 解：采用紧凑格式的LU 分解，其过程为 由方程组的增广矩阵 所以，()T 1111x =--。 注：若不按以上紧凑格式方法做的其它做法，只要正确也给分。其中 ()LU 24215238 72107|148367112 6 11 20 3A b -? -???- ??- ??=???→ ?-?- ?? -????分解 1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--% 特别说明 本书严格按照该复试笔试科目最新考试题型、试题数量和考试难度出题，结合历年复试经验整理编写了复试五套终极预测模拟题并给出了答案解析。该套模拟题涵盖了这一考研复试笔试科目常考试题及笔试重点试题，针对性强，是考研报考本校复试笔试复习的首选资料。 版权声明 青岛掌心博阅电子书依法对本书享有专有著作权，同时我们尊重知识产权，对本电子书部分内容参考和引用的市面上已出版或发行图书及来自互联网等资料的文字、图片、表格数据等资料，均要求注明作者和来源。但由于各种原因，如资料引用时未能联系上作者或者无法确认内容来源等，因而有部分未注明作者或来源，在此对原作者或权利人表示感谢。若使用过程中对本书有任何异议请直接联系我们，我们会在第一时间与您沟通处理。 因编撰此电子书属于首次，加之作者水平和时间所限，书中错漏之处在所难免，恳切希望广大考生读者批评指正。 目录 2020年中北大学软件工程科学综合之软件工程考研复试终极预测五套题（一） (4) 2020年中北大学软件工程科学综合之软件工程考研复试终极预测五套题（二） (10) 2020年中北大学软件工程科学综合之软件工程考研复试终极预测五套题（三） (14) 2020年中北大学软件工程科学综合之软件工程考研复试终极预测五套题（四） (20) 2020年中北大学软件工程科学综合之软件工程考研复试终极预测五套题（五） (25) 2020年中北大学软件工程科学综合之软件工程考研复试终极预测五套题（一） 说明：本书由编写组多位高分在读研究生按照考试大纲、真题、指定参考书等公开信息潜心整理编写，仅供考研复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权请联系我们立即处理。一、名词解释 1．方法 【答案】类中操作的实现过程叫做方法。 2．软件的质量保证。 【答案】软件的质量保证就是向用户及社会提供满意的髙质量的产品，确保软件产品从诞生到消亡为止的所有阶段的质量的活动，即确定、达到和维护需要的软件质量而进行的所有有计划、有系统的管理活动。 3．单重继承 【答案】单重继承是指在类层次中，子类只继承一个父类的数据结构和方法。 4．软件工程过程。 【答案】在软件生产中，软件工程过程规定了获取、供应、开发、操作和维护时，要实施的过程、活动和任务。 它包括7个主要过程:获取过程、供应过程、开发过程、操作过程、维护过程、管理过程和支持过程。 5．变更控制 【答案】软件工程过程中某一阶段的变更，均要引起软件配置的变更，这种变更必须严格加以控制和管理，保持修改信息，并把精确、清晰的信息传递到软件工程过程的下一步骤。 6．经济可行性 【答案】经济可行性进行开发成本的估算及预期取得经济效益的评估。 7．集成测试 【答案】集成测试也称组装测试或联合测试，是指在单元测试的基础上，将所有模块按照设计要求组装成一个完整的系统进行的测试。组装模块的方式有两种：渐增式测试和非渐增式测试。 8．状态图 【答案】状态图是有限自动机的图形表示，它反映了状态与事件的关系。 二、简答题 中北大学 数值分析课程考试试题 (课程名称须与教学任务书相同) 2014/2015 学年第1 学期 试题类别 A 命题期望值70 拟题日期2014.12.12 拟题教师 课程编号教师编号1120048 Array 基层教学组织负责人 课程结束时间2014.11.28 印刷份数 使用班级2014级研究生 备注：（1）试题要求用B5纸由计算机打印，并将其电子稿于课程结束后上传至考务管理系统内。 （2）试题类别指A卷或B卷。 （3）试题印制手续命题教师到院教务科办理。 2014/2015 学年 第 1 学期末考试试题（A 卷） 课程名称 数值分析1 使用班级： 2014级研究生 一、填空题(每空2分，共30分) 1. 用1457?e 536=作为常数e (自然对数的底)的近似值具有 6 位有效数字，用355 ?π113 =作为圆 周率π的近似值的绝对误差限可取为72.66764110-? ；用?π?e u = 作为πe u =的近似 值至少具有 5 位有效数字；（4也对） 2. 已知求解某线性方程组的Jacobi 迭代公式为(k+1)(k)(k) 123(k+1)(k)(k) 2 13(k+1)(k)(k)3 120.10.27.20.10.28.3,1,2,0.20.28.4 x x x x x x k x x x ?=++?=++=??=++? 记其迭代矩阵为J G ，则J ∞ =G 0.4 ，又设该线性方程组的解为*x ，取初始解向量 为()T (0) 0,0,0=x ，则(1)= x () T 7.2,8.3,8.4，(20) * ∞ -≤x x 71.5410-?； 3. 方程e 0x x +=的根* x ≈ -0.5671433 (要求至少具有7位有效数字)； 4. 用割线法求解方程ln 20x x --=的迭代公式为()()1111 ln 2ln ln k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x -+-----=- --+； 若取初始值03x =，14x =， 则由该公式产生的迭代序列的收敛速度的阶至少是。 5. 取权函数( )x ρ= [－1,1]上计算函数()1f x =与()2 21g x x =-的内积 (),f g = 0 ； 6. 设()()10.5,01,(1)2f f f -===，二阶差商[]1,0,1f -= 0.25 ； 7. 设()f x 在区间[,]a b 上具有连续的二阶导数，取等距节点(),0,1,,k x a kh k n =+= ， b a h n -= ，则近似计算积分()d b a I f x x =?的复化梯形公式的截断误差T R = ()2[,]12 b a h f a b ηη-''-∈；该公式具有 1 次代数精度； 8. 求解常微分方程初值问题()()000 ,,y f t y t t T y t y '=≤≤???=?? 的Euler 折线法的计算公式为()1,n n n n y y hf t y +=+；它是一个 1 阶方法。数值分析试卷及答案
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