梯形典型例题

典型例题

例1：已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为___________________．

思路分析

本题是几何中的计算问题．通过作对角线的平行线，可以将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以利用勾股定理求出对角线的长．

解：如图4-50，梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥BC．设AD=x，BC=y，DB=z，由题得：x+y+z=16，

，（熟记梯形面积公式）

解得x+y=8，z=8，

过D作DE∥AC交BC的延长线于E．

∴四边形ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用）

∴DE=AC，AD=CE．（将“上底+下底”转化到一条线段上）

在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8，

根据勾股定理得，

∵AC=DE，

．

点评：本题主要考查用“方程思想”解决几何中的计算问题．解题过程中作“对角线的平行线”，将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以通过解直角三角形计算出对角线长，体现了添加辅助线的目的是把“分散的条件得以集中，隐含条件加以显现”的作用．解梯形有关问题时，我们也常通过“作平行线将之转化为平行四边形的问题来解决”．

例2：如图4-51，已知AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE．

思路分析

这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB，可以将梯形分成矩形和三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的．

证明：如图4-52，连结AC，过C作CF⊥AB于F．

在△CFB和△AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）

（构造三角形证明三角形全等）

∴△CFB≌△AEB（AAS）

∴CF=AE．

∵∠D=90°，CF⊥AB且AB∥CD，

∴AD=CF，

∴AD=AE．

在Rt△ADC和Rt△AEC中，

∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL）

∴CD=CE．

点评：本题主要考查直角梯形、三角形全等的综合运用．在直角梯形中，通过作梯形一底的垂线，将梯形分成特殊的四边形（矩形）和三角形．将题中已知条件AB=BC中的两条线段AB和BC分别放到两个三角形中，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE 的目的．解决梯形问题时，除可作以上辅助线外，作一腰的平行线、连对角线、作对角线的平行线也是经常用到的．

例3：如图4-53，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，延长AB至E，使BE=DC．求证：AC=CE．

思路分析

本题主要考查等腰梯形的性质及证明两条线段相等的基本方法．

证法一：∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴∠ADC=∠BCD （等腰梯形同一底上的两个角相等）

又∵AB∥DC，

∴∠BCD=∠CBE，（两直线平行，内错角相等）

∴∠ADC=∠CBE，

在△ADC和△CBE中，

∴△ADC≌△CBE （SAS）

∴AC=CE．

证法二：如图4-54，连结BD，

∵DC∥BE，DC=BE，

∴四边形DCEB是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DB=CE．

又∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD，（等腰梯形对角线相等）

∴AC=CE．

证法三：如图4-55，作CF⊥AE于F，DM⊥AE于M．

在△AMD和△BFC中，

∴△AMD≌△BFC （AAS）

∴AM=BF．

又∵AB∥DC，MD∥FC，

∴DC=MF．

又∵DC=BE，

∴AM+MF=BF+BE，

∴F为AE的中点，

∴CF是AE的垂直平分线，

∴AC=CE．

证法四：如图4-54，连结BD．

∵DC∥BE，DC=BE，

∴四边形DCEB是平行四边形，

∴∠DBA=∠E，（两直线平行，同位角相等）

又∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD，

在△ABC和△BAD中，

∴△ABC≌△BAD （SSS）

∴∠CAB=∠DBA，

∴∠CAB=∠E，

∴AC=CE．（等角对等边）（此种方法虽然较繁，但其思路很有价值，即通过证明“三线合一”说明是等腰三角形）

点评：证法一证两三角形全等得两线段相等；证法二、四利用角相等证线段相等；证法三中通过梯形常加的辅助线，作梯形底边上的高，连结梯形的对角线，将梯形分割成两个直角三角形与一个矩形，连结对角线再作对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形．

例4：要剪切如图4-56（尺寸单位：mm）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的铝板，第一块长500mm，宽300mm（如图4-57（1）），第二块长600mm，宽250mm（如图4-57（2）），可供选用．

（1）为了充分利用材料，应选用第_________种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共________个，剪完这些零件后，剩余的边角料面积是______________．

（2）从图4-57（1）、4-57（2）中选出你要的铝板示意图，在上面画出剪切线；并把边角余料用阴影表示出来．

思路分析

通过计算，两直角梯形零件面积分别为，而铝板的面积均为

，最多能剪出两个甲、两个乙零件，即在两铝板中设计打样．设计时，为了充分利用材料，考虑到（1）中宽为300mm，则一种方案作两个乙高，另一种方案为一个甲的下底，思路便打开，类似地，（2）也可以这样分割设计，做出尝试．

解：（1）应选用第一块铝板，最多能剪出甲、乙两种零件共4个，由计算得

第一块铝板面积为：，

而零件甲、乙的面积分别为，

，

∴剩余的边角料的面积是；

（2）如图4-58所示正确画出图形．

（设计零件个数，从个数、数量上，结合图中数与数之间的关系考虑，往往是应用题的切入点，此外对图形的拼凑、计算、想象，可有利于思维向纵深发展．）

习题精选

一、选择题

1．下列命题中，真命题有( )

①有两个角相等的梯形是等腰梯形；②有两条边相等的梯形是等腰梯形；③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分．

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

2．以线段a=16，b=13，c=10，d=6为边作梯形，其中a、c作为梯形的两底，这样的梯形( )

(A)只能作1个 (B)能作2个

(C)能作无数个 (D)不能作

3．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是CD中点，则( )

(A)AE=BE (B)AE＞BE

(C)AE＜BE (D)AE、BE 大小不确定

4．等腰梯形的两底长分别为a、b，且对角线互相垂直，它的一条对角线长是( )

(A)(B) (a＋b)

(c)(D)a＋b

5．有两个角相等的梯形是( )

A．等腰梯形B．直角梯形

C．一般梯形D．等腰梯形或直角梯形

6．已知直角梯形的一腰长为10cm，这条腰与底所成的角为30°，那么另一腰的长为( )

A． B．5cm C．10cm

D．15cm

7．如图4-59，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC与BD相交于点O，则图中全等三角形共有( )

A．1对 B．2

对 C．3对 D．4对（平移对角线BD即可）

8．如图4-60，AB∥CD，AE⊥DC，AE=12，BD=15，AC=20，则梯形ABCD的面积是( )

A．130 B．140 C．1 50 D．160

二、填空题

9．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，则∠D=________，CD=________．

10．直角梯形一底与一腰的夹角为30°，并且这腰长为6厘米，则另一腰长为_________．

11．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AC＜BC，AC⊥BD于O，AC=8，BD=6，则梯形ABCD的面积为_________．

12．已知梯形上、下底长分别为6、8，一腰长为7，则另一腰a的范围是 _______，若a为奇数，则此梯形为_________梯形．

13．梯形不在同一底上的两组角的比值分别为3∶6和4∶2，则四个角的度数分别为

_________．

14．等腰梯形中，上底：腰：下底=1：2：3，则下底上的内角的度数是____________．

15．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，若∠B=30°，AD= 2cm，BC= 6cm，那么梯形的周长为_____________．

16．已知梯形的上底长为2，下底长为5，一腰长为4，则另一腰长的取值范围是

_________________．

17．已知：等腰梯形的两底分别为10cm和20cm，一腰长为，则它的对角线长为_____________cm．

三、解答题

18．梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，若AB=AD=DC，梯形ABCD的周长为10，求梯形ABCD 的面积．

19．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且∠B＋∠C=90°，E为AD中点，F是BC中点．求证：

20．如图4-61，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，E为梯形内一点且EA=ED．求证：EB=EC．

21．如图4-62，四边形ABCD是矩形，四边形ABDE是等腰梯形，AE∥BD．求证：△BED ≌△BCD．

22．如图4-63，梯形ABCD中，∠B+∠C=90°，E、F分别为上、下底的中点．求证：．

参考答案：

一、1．B； 2．D； 3．A； 4．A．5．D； 6．B； 7．C； 8．C；

二、9．100°，b-a； 10．3；

11．24； 12．5

13．60°，60°，120°，120°．

14．60°； 15．；16．1

三、18．∵AD=AB=DC．∴∠1=∠2，

∵ AD∥BC，∴∠C=∠2+∠3，∠1=∠3．

∴∠2=∠3，∴∠C=2∠3．

∵ BD⊥DC，∴∠3=30°，

∴．

设CD=x，则x+x+x+2x=10，

∴ x=2．

在Rt△BCD中，BD=．

作DE⊥BC，垂足为E．

则，

∴，

∴．

19．过E作EM//AB，EN//CD交BC分别于M、N，则得、，有AE=BM，EN=CD，∠B=∠EMC，∠C=∠ENB，又∠B+∠C=90°，则∠EMC+∠ENB=90°，有∠MEN=90°。

又∵BF=CF，AE=DE，有MF=NF。

∴。

∴MN=BC-BM-CN=BC-AE-DE=BC-AD，。

20．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BAD=∠CDA，

∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，

∴∠BAD-∠EAD=∠CDA-∠EDA，即∠BAE=∠CDE．

在△BAE和△CDE中，

∴△BAE≌△CDE（SAS）

∴EB=EC．

21．∵四边形ABDE是等腰梯形，∴∠BDE=∠ABD，AB=DE，又∵AB=DC，∴DE=DC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABD=∠BDC，∴∠BDE=∠BDC．

在△BED和△BCD中．

∴△BED≌△BCD．

22．如图，过点E作EG//AB交BC于G，作EH//CD交BC于H，则∠B=∠EGC，∠C=∠EHB．

又∵∠B+∠C=90°，∴∠EGC+∠EHB=90°，

∴∠GEH=90°．

∵AD//BC，∴四边形ABGE和四边形EHCD都是平行四边形．

∴AE=BG，ED=HC，又∵AE=ED，BF=FC，

∴BG+HC=AD，GF=FH，BC-AD=GH，

∵E、F分是上、下底的中点，∴GH=FH．又∵∠GEH为直角，

∴EF是直角三角形斜边的中线，∴，（直角三角形的性质）

∴．

习题精选

1．一等腰梯形上底等于一腰，下底等于一腰的2倍，梯形的周长为25，那么它的对角线的长为( )

A．5 B．5

C．5D．3

答案：C

说明：设该等腰梯形的上底为x，则由题意可知腰也为x，且下底为2x，所以由该梯形的周长为25，可得x+2x+2x = 25，x = 5，如图，则CE = DF，

且CE+DF = DC?AB = 5，知CE =，因此，∠C = 60o；不难得出∠1 =∠2 =∠3 =∠ADC =∠C = 30o，所以DB⊥BC，DB == 5，答案为C．

2．如图，线段AC、BD相交于点O，欲使四边形ABCD为等腰梯形，应满足的条件是( )

A．AO = CO，BO = DO

B．AO = CO，BO = DO，∠AOB = 90o

C．AO = DO，BO = CO，AD≠BC

D．AO = DO，∠AOD = 90o

答案：C

说明：由选项A可得四边形为平行四边形；由选项B可得四边形为矩形；则选项C，AO = DO，BO = CO可得AC = BD，由于∠AOD = 180o?2∠DAO，∠COB = 180o?2∠BCO，得出∠DAO =∠BCO，因此，AD//BC，又AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形，且对角线AC = BD，即四边形ABCD为等腰梯形，选项C正确；由选项D中的条件无法得出两条对角线相等，所以答案为C．

3．如图，梯形ABCD中，AB//CD，若AD = a，CD = b，AB

= a+b，则下列等式一定成立的是( )

A．∠A =∠B

B．BC = a

C．BC = b

D．∠D = 2∠B

答案：D

说明：过点C作CE//AD，则CE = AD = a，AE = CD = b，所以BE = AB?AE = a，得出CE = BE，则∠B =∠ECB；因此，有∠D =∠AEC =∠B+∠ECB = 2∠B成立，答案为D．

填空题：

1．如图，直角梯形ABCD中，AD//BC，CD = 8，

∠ADC = 120o，则AB的长为____________．

答案：4

说明：过点D作DE⊥BC于点E，则AB = DE，由已知∠ADC = 120o，知∠C = 60o，所以RtΔDEC中，DC = 2EC，得EC = 4，则AB = DE =

= 4．

2．等腰梯形的上、下底分别是3cm和5cm，一个角是

135o，则等腰梯形的面积为____________．

答案：4cm2

说明：如图，等腰梯形ABCD，AB = 3，CD = 5，∠ABC = 135o，则∠BCD = 45o，过B作BE⊥DC，则ΔBEC为等腰直角三角形，BE = EC，同样过A作AF⊥DC，则有AF = FD，而FD+EC = CD?AB = 5?3 = 2，AF = BE，所以AF = 1，因此，该梯形的面积为(3+5)×1÷2 = 4cm2．

解答题：

1．如图，AB//CD，AE⊥CD，AE = 12，BD = 15，AC = 20，求梯形ABCD的面积．

分析：过点A作BD的平行线交CD的延长线于点F，得到□AFDB，则AB = FD，AF = BD，利用勾股定理分别求出EF、EC的长

解：过点A作AF//BD交CD的延长线于点F

∵AB//CD，∴四边形AFDB是平行四边形

∴AB = FD，AF = BD = 15

∵AE⊥CD，AC = 20，AE = 12

∴EF == 9，EC == 16

∴FC = EF+EC = 25

∵S梯形ABCD =(AB+CD)?AE =(FD+CD)?AE =FC?AE

∴S梯形ABCD =×25×12 = 150．

2．如图，在ΔABC中，∠ACB = 90o，延长BC到点D，使CD = BC，点E、F分别为边AB、AC的中点；求证：四边形EFDB是等腰梯

形．

分析：利用“两腰相等的梯形是等腰梯形”进行证明证明：连结EC

∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF//BC，EF =BC

∴四边形EFDB是梯形

∵∠ACB = 90o，∴EC = EB =AB

∵CD =BC，EF =BC，∴EF//CD且EF = CD

∴四边形EFDC是平行四边形

∴EC = FD，∴EB = FD

∴四边形EFDB是等腰梯形．

12．1 梯形选择题

1．下列说法正确的是（）

A．梯形的两条对角线相等

B．有两个内角相等的梯形是等腰梯形

C．有两条边相等的梯形是等腰梯形

D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形

2．四边形四个内角度数之比为2：2：1：3，则此四边形是（）

A．任意四边形 B．任意梯形 C．等腰梯形 D．直角梯形

3．直角梯形的一腰是另一腰的2倍，则此梯形的最大角与最小角的度数之比是（）

A ．2：1

B ．3：1

C ．4：1

D ．5：1

4．等腰梯形的两腰分别与两对角线互相垂直，一底边与一腰相等，那么它的四个内角的度数分别是（ ） A ．50°，50°，130°，130° B ．60°，60°，120°，120° C ．45°，45°，135°，135° D ．70°，70°，110°，110°

5．在周长为40cm 的梯形ABCD 中，DC AE BC AD //,//交BC 于E ，5=AD cm ，则ABE ?的周长为（ ） A ．40cm B ．30cm C ．20cm D ．15cm

6．顺次连结等腰梯形各边中点得到的图形是（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形

7．梯形的上底长为6cm ，过上底一个顶点引一腰的平行线，交下底所得的三角形的周长是19cm ，那么这个梯形的周长为（ ）

A ．31cm

B ．25cm

C ．19cm

D ．28cm

8．等腰梯形ABCD 中，AC BC AD ,//与BD 相交于点O ，图中全等三角形有（ ） A ．2对 B ．4对 C ．1对 D ．3对

9．直角梯形ABCD 中，10,20,90,//==?=∠=∠BC AD C B DC AB ，则A ∠和D ∠分别是（ ） A ．30°，150° B ．45°，135° C ．120°，60° D ．150°，30° 10．等腰梯形两底之差等于一腰长，则腰与上底的夹角为（ ） A ． 60° B ．120° C ．135° D ．150° 参考答案： 1．D ．

2．D ．提示：设四个角分别为x x x x 3,,2,2．由四边形的内角和为360°知四个角分别是90°，90°，45°，135°，可得一组对边平行，另一组对边不平行，且有两个角是90°．

3．D ．提示：应用直角三角形中，如果一条直线边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°． 4．B ．提示：运用等腰梯形及直角三角形的性质． 5．B ．提示：ABE ?的周长等于梯形周长减去10．

6．C ．提示：运用等腰梯形的对角线相等，可知所得的平行四边形有一组邻边相等． 7．A ．提示：梯形的周长等于所得三角形周长加上上底的2倍．

8．D ．提示：ABD ?与ABC ACD ??,与AOB DBC ??,与DOC ?全等． 9．D ．提示：运用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半． 10．B ．提示：平移一腰后可得等边三角形．

12．1 梯形 填空题

1．梯形上底长为5cm ，过上底的一端点引一腰的平行线与下底相交，若所得三角形的周长为20cm ，则梯形的周长为_____cm ．

2．等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则下底的一个底角为_______．

3．等腰梯形的一个锐角等于60°，它的上底是3cm ，腰长是4cm ，则下底是________． 4．一个梯形的面积是24，它的上、下底的长分别是5和7，则梯形的高是____． 5．如图，在梯形ABCD 中，CD BD DC AB AD BC AD ⊥==,,//，则____=∠C ．

6．如图，等腰梯形ABCD 中，BC AB AD BC AD 2

1

,//=

=，若梯形的周长是30cm ，则____,cm ____=∠=B AD ．

7．若等腰梯形的周长是30cm ，BD AD BC BC AD ,2,//=平分DC BD ABC ⊥∠,，则____=AD ． 8．梯形ABCD 中，cm 10,cm 3,30,30,//==?=∠?=∠AD CD B A CD AB ，则AB 的长是_____． 参考答案： 1．30 2．45° 3．7 4．4 5．60° 6．6 60° 7．6 8．3310+

12．1 梯形 解答题

1．如图，梯形ABCD 中，BC AD DC AB =,//，延长AB 到E ，使DC BE =．试说明CE AC =．

2．如图，等腰梯形ABCD 中，BD AC BC AD ,,//为对角线，延长BC 到E ，使AD CE =，连结DE ，试判断DEC ∠与DBC ∠相等吗

3．如图，等腰梯形ABCD 中，ABC BC AD ∠,//的平分线恰为BD ，已知梯形的周长为50cm ，

BC AD 2

1

=．求梯形各边的长．

4．如图，在梯形ABCD 中，N M CD AB ,,//是CD 和AB 的中点，AB MN ⊥，那么BC AD =吗说明你的理由．

5．如图，等腰梯形ABCD 中，?=∠72,//ABC BC AD ，平移腰AB 到DE ，再将DCE ?翻折，得到E C D '?，则____='∠C ED ．

6．根据下图，填写下表：

梯形个数 1 2

3

4

5 6 … n 周 长 5 8 11 14

…

7．在如图所示的梯形ABCD 中，AC BC AD ,//和BD 相交于点O ，试说明DOC AOB S S ??=．

8．如图所示，要剪切如图（1）（长度单位：mm ）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的矩形铝板可供选用：第一种长500mm ，宽300mm ，如图（2）所示；第二种长600mm ，宽250mm ，如图（3）所示．

（1）填空：为了充分利用材料，应选用第______种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共_______

个，剪下这些零件后，剩余的边角料的面积是________mm 2．

（2）画图：从图（2）或图（3）中选出所要用的铝板，在图上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来．

9．现有一块梯形土地，想从中修一条笔直小路将这块梯形土地分成面积相等的两部分，你能做到吗请设计方案． 参考答案：

1．由CBE D CD BE AD BC ∠=∠==,,，可得ADC ?≌CBE ?，所以CE AC =．

2．相等．因为ABCD 是等腰梯形，所以AC BD =．又因为四边形ACED 是平行四边形，所以BD AC DE ==，所以DBC DEC ∠=∠． 3．20,10====BC CD AB AD ．

4．相等．DC MN CM DM ⊥=,，因此D 与C 关于MN 对称，同理A 与B 关于MN 对称，则AD 与BC 是轴对称线段，故BC AD =．

5．36° 提示：?=∠=∠=∠72C B DEC ，所以?=∠='∠36EDC C ED ． 6．23,206,175+→→→n n ． 7．作高

AH ，因为AH AD S AH AD S ACD ABD ?=?=

??2

1

,21，所以ACD ABD S S ??=，所以AOD ACD AOD ABD S S S S ????-=-，所以COD AOB S S ??=．

8．（1）应选用第一种铝板，并且这块铝板最多能剪甲、乙两种零件各2个，即共计4个，剩余的边角料面积为：)mm (80000150)300100(2

1

200)300100(213005002=?+-?+-?． （2）如图所示．

9．此题的解法是借用了我们熟悉的三角形和平行四边形的等面积法，因此解决此问题的关键是如何将梯

形与三角形或平行四边形进行类比，或者如何将梯形变成为等面积的三角形和平行四边形． 有两种解题方案可供选择．

（1）将梯形与三角形（或平行四边形）进行类比，可得如下分法：取梯形ABCD 的上、下底的中点EF F E ,,即为所求．［如图（1）］

（2）将梯形问题转化为三角形（或平行四边形）的问题，也就是如何将一个梯形转化为一个面积相等的

三角形或平行四边形．

图（2）是将梯形ABCD变形为与它面积相等的三角形：取AD的中点E，连结CE并延长交BA的延长线于F，取FB的中点G，连结CG，则CG即为所求．

FG//，分别交图（3）是将梯形ABCD变形为与它面积相等的平行四边形：取AD的中点E，过E作BC

FB,同时相

F,，在GFBC中，过中点O作直线MN使它与线段DC

AB,（或它们的延长线）于G

CD

交即可，直线MN即为所求．