2012北京海淀区中考二模数学试题和答案(word版)

2012区九年级二模数学练习

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

1. -5的倒数是A ．1

5 B ．15

- C ．5- D ．5

2. 2012年4月22日是第43个世界地球日，中国国土资源报社联合腾讯网发起“世界地球日”微话题，共有18 891 511人次参与了这次活动，将18 891 511用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为 A. 18.9?106 B. 0.189?108 C. 1.89?107 D. 18.8?106

3. 把2x 2 ? 4x + 2分解因式，结果正确的是

A ．2(x ? 1)2

B ．2x (x ? 2)

C ．2(x 2 ? 2x + 1)

D ．(2x ?2)2 4. 右图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体，则这个几何体的俯视图是

A

B

C D 5．从1, -2, 3这三个数中,随机抽取两个数相乘,积为正数的概率是

A ．0

B ．13

C ．23

D ．1

6. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =3，D ，E 分别在 AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A ′

处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为

A. 2

1

B. 3

C. 2

D. 1

7．“北京市慈善义工协会” 于2012年3月开展了 “学雷锋 新雷锋”公益月活动, 主题是“弘扬雷锋精神，慈善义工与你同行”. 某校初三年级参加了 “维护小区周边环境、维护繁华街道卫生、义务指路”等慈善活动, 右图是根据该校初三年级六个班的同学某天“义务指路”总人次所绘制的折线统计图，则下列说法正确的是

A. 极差是40

B. 平均数是60

C. 中位数是51.5

D. 众数是58

8．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ,∠ABC =60°，AB = DC =2, AD =1， R 、P 分别是BC 、CD 边上的动点（点R 、B 不重合, 点P 、C 不重合），E 、F 分别是AP 、RP 的中点，设BR=x ，EF=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是

C D

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

A'E

D

A

B

C

F E P B

C

D

A

总人次折线统计图58

62

80

45

58

50

6班5班

4班3班2班1班80706050403020100

总人次

班级

初三年级六个班的同学某天“义务指路”

总人次折线统计图

9. 若二次根式23-x 有意义，则 x 的取值范围是 .

10．若一个多边形的内角和等于540?，则这个多边形的边数是 . 11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 、B 、C 在双曲线x

y 6

=上，BD ⊥x 轴于D , CE ⊥ y 轴于E ,点F 在x 轴上，且AO =AF , 则图中阴影部分的面积之和为 .

12．小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示： 按表中规律，当所得分数为71

分时，则挪动的珠子数为

颗; 当挪动n 颗珠子时（n 为大于1的整数）, 所得分数为 （用含n 的代数式表示）. 三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13

11|5|()3tan604---+?． 14．解方程：6123

x x x +=-+.

15. 如图，AC //EG , BC //EF , 直线GE 分别交BC 、BA 于P 、D ，且AC=GE , BC=FE . 求证：∠A =∠G .

16．已知2220a a --=，求代数式22

111

1121

a a a a a --÷--++的值．

17. 如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于点A (-2, 0)、B (0, 2).

（1）求一次函数的解析式;（2）若点C 在x 轴上，且OC =23, 请直接写出∠18. 如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠CBD =90?，BE//CD 交AD 于E , 且EA=EB ．若AB=54，DB =4, 求

四边形ABCD 的面积．

G

F

E

D

C A

P E

D

四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分，第22题4分）

19. 某街道办事处需印制主题为“做文明有礼的北京人，垃圾减量垃圾分类从我做起”的宣传单. 街道办事处附近的甲、乙两家图文社印制此种宣传单的收费标准如下：

甲图文社收费s （元）与印制数t (张)的函数关系如下表：

乙图文社的收费方式为：印制2 000张以内（含2 000张），按每张0.13元收费；超过2 000张，均按每张0.09元收费.（1）根据表中给出的对应规律，写出甲图文社收费s （元）与印制数t (张)的函数关系式； （2）由于马上要用宣传单，街道办事处同时在甲、乙两家图文社共印制了1 500张宣传单，印制费共179元，问街道办事处在甲、乙两家图文社各印制了多少张宣传单？

（3）若在下周的宣传活动中，街道办事处还需要加印5 000张宣传单，在甲、乙两家图文社中选择 图文社更省钱.

20．如图，AC 、BC 是⊙O 的弦, BC //AO , AO 的延长线与过点C 的射线交于点D , 且∠D =90?-2∠A .

（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，1

tan 2

D =

，求CD 和AD 的长．

21. 李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调

查，他将调查结果分为四类，A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ：较差.并将调查结果绘制成以下两幅不

完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）李老师一共调查了多少名同学？

（2）C 类女生有 名，D 类男生有 名，将上面条形统计图补充完整；

（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A 类和D 类学生中各随机选取一位同学进行 “一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.

22．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：

我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α (0? <α <360?) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120?的旋转对称图形. 如图1，点O 是等边三角形△ABC 的中心, D 、E 、F 分别为AB 、BC 、 CA 的中点, 请你将△ABC 分割并拼补成一个与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.

图1 小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形. 请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：

如图3，在等边△ABC 中, E 1、E 2、E 3分别为AB 、BC 、CA 的中点，P 1、P 2, M 1、M 2, N 1、N 2分别为AB 、BC 、CA 的三等分点.

（1）在图3中画出一个和△ABC 面积相等的新的旋转对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）； （2）若△ABC 的面积为a ，则图3中△FGH 的面积为 ．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线 2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点．（1）求m 的取

E 3 E 1 E 2 P 1 P 2

N 1

N 2 2

1

B

A 图3

G F

H

值范围；

（2）若m >1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB =1 : 3, 试确定抛物线的解析式；

（3）设（2）中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴, 将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线13

y x b =+与新图象只有一个公共点P (x 0, y 0)且 y 0≤7时, 求b 的取值范围.

24. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x m

y 222

-=

与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C . （1）求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)；

（2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上， Q 在直线 BC 上，

若以A 、M 、P 、Q

25. 在矩形ABCD 中, 点F 在

AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.

（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BM

CE

的值, 并证明你的结论;

（2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;

（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.

图1 图2 图3

海淀区九年级第二学期期末练习

F

A ( M

) D

N

D

C

E

N

M B F

E

C

B

F

N

M

E

C

B

A

数学试卷答案及评分参考 2012. 6

说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）

1. B

2. C

3. A

4. C

5. B

6. D

7. D

8. C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9.2

3

x ≥

10. 5 11. 12 12．8; 21n n +- （每空各 2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13

115()3tan604

---+?

=54-+ …………………………………………………4分

=1. …………………………………………………5分

14．解：去分母，得 ()()()()63223x x x x x ++-=-+． ………………………………2分

2261826x x x x x ++-=+-. ……………………………………………………3分 整理，得 324x =-．

解得 8x =-． ………………………………………………………………4分 经检验，8x =-是原方程的解．

所以原方程的解是8x =-． ……………………………………………………5分

15．证明：∵ AC //EG ，

∴ C CPG ∠=∠． …………1分 ∵ BC //EF ，

∴ CPG FEG ∠=∠．

∴ C FEG ∠=∠． …………………………………………2分

在△ABC 和△GFE 中，

,

,,

AC GE C FEG BC FE =??∠=∠?=?? ∴ △ABC ≌△GFE ． …………………………………………………4分

∴A G ∠=∠． …………………………………………………5分

16. 解：原式=()()()2

111

1111a a a a a +-?

-+-- ……………………………………………2分 =()2

1111a a a +-

-- …………………………………………………3分 =2

2

.(1)a -

- …………………………………………………4分 由2220a a --=，得 2(1)3a -=.

∴ 原式=2

3

-. …………………………………………………5分

17．解：（1）依题意设一次函数解析式为2y kx =+. …………………………………1分

∵ 点A (2,0-)在一次函数图象上，

∴022k =-+.

∴ k =1. ……………………………………………………2分

G

F

E

D

C A

P

∴ 一次函数的解析式为2y x =+. …………………………………3分 （2）ABC ∠的度数为15?或105?． （每解各1分） ……………………5分

18．解: ∵∠ADB =∠CBD =90?，

∴ DE ∥CB . ∵ BE ∥CD ， ∴ 四边形BEDC 是平行四边形. ………1分 ∴ BC=DE .

在Rt △ABD 中，由勾股定理得

8AD =. ………2分

设DE x =，则8EA x =-． ∴8EB EA x ==-．

在Rt △BDE 中，由勾股定理得 222DE BD EB +=. ∴ 2

22

48x

x +=-（）

． ……………………………………………………3分 ∴ 3x =．

∴ 3BC DE ==． ……………………………………………………4分 ∴11

16622.22

ABD BDC ABCD S S S BD AD BD BC ??=+=

?+?=+=四边形 ………… 5分 四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分, 第22题4分）

19．解：（1）甲图文社收费s （元）与印制数t （张）的函数关系式为0.11s t =. ……1分

（2）设在甲、乙两家图文社各印制了x 张、y 张宣传单， 依题意得 {1500,

0.110.13179.

x y x y +=+= ………………………………………… 2分

解得800,

700.

x y =??

=? ……………………………………………… 3分

答：在甲、乙两家图文社各印制了800张、700张宣传单. ………………4分

（3） 乙 . ……………………………………………………… 5分

20.（1）证明：连结OC .

∴ ∠DOC =2∠A . …………1分

∵∠D = 90°2A -∠， ∴∠D +∠DOC =90°. ∴ ∠OCD =90°.

∵ OC 是⊙O 的半径，

∴ 直线CD 是⊙O 的切线. ………………………………………………2分 （2）解: 过点O 作OE ⊥BC 于E , 则∠OEC =90?.

∵ BC =4,

∴ CE =1

2

BC =2.

∵ BC //AO ,

∴ ∠OCE =∠DOC .

∵∠COE +∠OCE =90?, ∠D +∠DOC =90?,

∴ ∠COE =∠D . ……………………………………………………3分 ∵tan D =

12

, ∴tan COE ∠=

12

. D E

C

A

∵∠OEC =90?, CE =2, ∴4tan CE

OE COE

=

=∠.

在Rt △OEC 中, 由勾股定理可得

OC =

在Rt △ODC 中, 由1

tan 2

OC D CD =

=

，得CD =, ……………………4分由勾股定理可得 10.OD =

∴10.AD OA OD OC OD =+=+= …………………………………5分 21．解：（1）(64)50%20+÷=. 所以李老师一共调查了20名学生. …………………1分 （2）C 类女生有 3 名，D 类男生有 1 名；补充条形统计图略.

说明：其中每空1分，条形统计图1分. ……………………………………4分 （3）解法一：由题意画树形图如下：

………………………5分

从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=31

62

=. ………………6分 解法二：

由题意列表如下：

………………………5分

由上表得出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=31

62

=. ………………6分 22.解：（1）画图如下：

(答案不唯一) …………………………………2分

图3

（2）图3中△FGH 的面积为

7

a

. …………………………………4分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）∵ 抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点，

∴210,

(2)4(1)0.m m m ì- ??í?D =-+->??

① ② …………………………………………1分

从D 类中选取从A 类中选取

女女男男女女

男女男

由①得1m 1， 由②得0m 1，

∴ m 的取值范围是0m 1且1m 1． ……………………………………………2分 （2）∵ 点A 、B 是抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴的交点，

∴ 令0y =，即 2(1)(2)10m x m x -+--=． 解得 11x =-，21

1

x m =-． ∵1m >， ∴

1

0 1.1

m >>-- ∵ 点A 在点B 左侧，

∴ 点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为1

(,0)1

m -. …………………………3分 ∴ OA=1，OB =

11

m -． ∵ OA : OB =1 : 3，

∴

1

31

m =-. ∴ 4

3

m =．

∴ 抛物线的解析式为212133

y x x =--． ………………………………………4分 （3）∵ 点C 是抛物线212133

y x x =--与y 轴的交点，

∴ 点C 的坐标为(0,1)-.

依题意翻折后的图象如图所示． 令7y =，即

212

1733

x x --=． 解得16x =, 24x =-．

∴ 新图象经过点D (6,7).

当直线13y x b =+经过D 点时，可得5b =. 当直线1

3y x b =+经过C 点时，可得1b =-．

当直线1(1)3y x b b =+<-与函数212

1(

33y x x x =-->的图象仅有一个公共点P (x 0, y 0)时，得

20001121333

x b x x +=--. 整理得 2

03330.x x b ---= 由2

(3)4(33)12210b b D =----=+=，得7

4

b =-

结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为15b -<≤或7

4

b <-． ……………7分 24.解：（1）∵2222222121211

2()()4422

y x x x mx m m x m m m m m m =-=-+-?=--，

∴抛物线的顶点B 的坐标为11

(,)22

m m -. ……………………………1分

（2）令22

20x x m

-=，解得10x =, 2x m =.

∵ 抛物线x x m

y 222

-=

与x 轴负半轴交于点A ， ∴ A (m , 0), 且m <0. …………………………………………………2分

过点D 作DF ⊥x 轴于F .

由 D 为BO 中点，DF //BC , 可得CF =FO =1

.2

CO

∴ DF =1

.2

BC

由抛物线的对称性得 AC = OC . ∴ AF : AO =3 : 4. ∵ DF //

EO ,

∴ △AFD ∽△AOE .

∴

.FD AF

OE AO

= 由E (0, 2)，B 11(,)22m m -，得OE =2, DF =1

4

m -.

∴1

34.24

m -=

∴ m = -6.

∴ 抛物线的解析式为21

23

y x x =--. ………………………………………3分 （3）依题意，得A （-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为x y -=,

直线BC 为3x =-. 作点C 关于直线BO 的对称点C '(0，3)，连接AC '交BO 于M ，则M 即为所求. 由A （-6，0），C ' (0, 3)，可得

直线AC '的解析式为32

1

+=x y .

由13,

2

y x y x

?

=+???=-? 解得2,2.x y =-??=? ∴ 点M 的坐标为(-2, 2). ……………4分

由点P 在抛物线2123y x x =--上，设P (t ，213

t - (ⅰ)当AM 为所求平行四边形的一边时. 如右图，过M 作MG ⊥ x 轴于G ,

过P 1作P 1H ⊥ BC 于H , 则x G = x M =-2, x H = x B =-3.

由四边形AM P 1Q 1为平行四边形， 可证△AMG ≌△P 1Q 1H . 可得P 1H = AG =4. ∴ t -(-3)=4. ∴ t =1.

∴1

7

(1,)3

P -. ……………………5分 如右图，同 方法可得 P 2H=AG =4. ∴ -3- t =4. ∴ t =-7.

∴27

(7,)3

P --. ……………………6分 (ⅱ)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M 作MH ⊥BC 于H , 过P 3作P 3G ⊥ x 轴于G , 则x H = x B =-3，x G =3P x =t . 由四边形AP 3MQ 3为平行四边形， 可证△A P 3G ≌△MQ 3H . 可得AG = MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t =-5. ∴35

(5,

)3

P -. ……………………………………………………7分 综上，点P 的坐标为17(1,)3P -、27(7,)3P --、3

5

(5,)3

P -. 25. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；

CE BM

证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．

∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ， ∴ 矩形ABCD 为正方形.

∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°． ∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°． ………………………………1分 ∵ E 为CF 的中点，EG//CD ,

∴ GF =DG =11

.22DF CD =

∴ 1

.2

GE CD =

∵ N 为MD (AD )的中点， ∴ AN =ND =

11

.22

AD CD = ∴ GE =AN , NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ……………………………2分

∴ △NGE ≌△BAN ． ∴ ∠1=∠2. ∵ ∠2+∠3=90°，

3

2

1

F

E

A (M )

C

D N

B

∴∠1+∠3=90°．

∴∠BNE =90°.

∴BN⊥NE．……………………………………………………………3分∵∠CDF =90°, CD=DF,

可得∠F =∠FCD =45°

，CF

CD

= .

于是

1

2

CF

CE CE CE

BM BA CD CD

====……………………………………4分

（2）在（1）中得到的两个结论均成立.

证明：如图，延长BN交CD的延长线于点G，连结BE、GE，过E作EH⊥CE，交CD于点H．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CG．

∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN.

∵N为MD的中点，

∴MN=DN．

∴△BMN≌△GDN．

∴MB=DG，BN=GN.

∵BN=NE，

∴BN=NE=GN.

∴∠BEG=90°．……………………………………………5分

∵EH⊥CE，

∴∠CEH =90°．

∴∠BEG=∠CEH．

∴∠BEC=∠GEH．

由（1）得∠DCF =45°．

∴∠CHE=∠HCE =45°．

∴EC=EH,∠EHG =135°．

∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°，

∴∠ECB =∠EHG．

∴△ECB≌△EHG．

∴EB=EG，CB=HG．

∵BN=NG，

∴BN⊥NE. ……………………………………………6分

∵BM =DG= HG-HD= BC-HD =CD-

，

∴CE

BM

. ……………………………………………7分

（3）BN⊥NE；CE

BM

不一定等于

2

.

………………………………………………8分

H

G

A

B C

D

E

M

N

F