山东省日照一中2016届高三上学期期中考试数学(理)试卷

山东省日照一中2016届高三上学期期中考试数学（理）试卷

命题人：虢忠英 审题人： 孙璟玲

班级 考试号 姓名 第Ⅰ卷 一、

选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合{}{}

2

40,5M x x x N x m x =-<=<<，若{}

3M N x x n ?=<<，则m n +

等于 A.9

B.8

C.7

D.6

2.下列命题是假命题的是 A ．(0,

),sin 2

x x x π

?∈>

B ．00,lg 0x R x ?∈=

C ．000,sin cos 2x R x x ?∈+=

D ．,30x x R ?∈>

3.已知偶函数()f x 在[]0,2上递减，则(

)1

22

11 , log , log 4a f b f c f ???=== ? ?

??

? 大小为

A. a b c >>

B. a c b >>

C. b a c >>

D. c a b >> 4.将函数cos 2y x =的图象向左平移4

π

个单位，得到函数()cos y f x x =?的图象，则()f x 的表达式可以是

A. ()2sin f x x =-

B. ()2sin f x x =

C.(

)22f x x =

D.(

))sin 2cos 22

f x x x =+ 5．在ABC ?中,已知 30,4,34=∠==B AC AB ,则ABC ?的面积是 A ．34 B ．38 C ．34或38 D ．3

6.函数()f x 的图像如图所示，'()()f x f x 是的导函数，则下列数值排序正确的是 A ．0'(2)'(3)(3)(2)f f f f <<<-

B ．0'(3)(3)(2)'(2)f f f f <<-<

C ．0'(3)'(2)(3)(2)f f f f <<<-

D ．0(3)(2)'(2)'(3)f f f f <-<<

7. 已知函数22()2,()log ,()log 2x f x x g x x x h x x =+=+=-的零点依次为,,a b c ，则

A ．a b c <<

B ．c b a <<

C ．c a b <<

D ．b a c << 8、函数21x y e x =-的部分图象为

9．已知函数f (x )＝x 3

＋2bx 2

＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈，x 2∈，则f (－1)的取值范围是

( )．

A.????

??－32，3 B.??????32，6 C ．

D.????

??－32，12 10.设函数y=f(x)在区间D 上的导函数为f′(x)，f′(x)在区间D 上的导函数为g(x)。 若在区间D 上，g(x)＜0恒成立，则称函数f(x)在区间D 上为“凸函数”。已知

实数m 是常数，432

3()1262x mx x f x =--

,

若对满足|m |≤2的任何一个实数m ， 函数f(x)在区间（a ，b ）上都为“凸函数”，则b - a 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ． -1

第Ⅱ卷．

二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)

11．曲线2

y x =和曲线2

y x =围成的图形的面积是________.上递减， ∴f（）＞f （1）＞f （2）又∵f（x ）是偶函数，f （）=f （﹣）=

∴

＞f （1）＞

，即c ＞a ＞b 故选D

4、【解】将函数y=cos2x 的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos （2x+）

=-sin2x=-2cosx?sinx ∵y=f（x ）?sinx ∴f（x ）=-2cosx 故选A ．

5、【解】由余弦定理可得42=+BC2﹣2×4×BC×cos30°，解得 BC=4，或BC=8．当BC=4时，△ABC的面积为×AB×BC×sinB=×4×4×=4，

当BC=8时，△ABC的面积为×AB×BC×sinB=×4×8×=8，故选C．

6、【解】由函数f（x）的图象可知：当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＞0，∴f′（2），f′（3），f（3）﹣f（2）＞0，由此可知f（x）′在（0，+∝）上恒大于0，其图象为一条直线，∵直线的斜率逐渐减小，∴f′（x）单调递减，∴f′（2）＞f′（3），

∵f（x）为凸函数，∴f（3）﹣f（2）＜f′（3）∴0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（3），故选B．

7、【解】令函数f（x）=2x+x=0，可知x＜0，即a＜0；令g（x）=log2x+x=0，则0＜x＜1，

即0＜b＜1；令h（x）=log2x﹣2=0，可知x=4，即c=4．显然a＜b＜c．故选A

8、【解】∵y=e x x2﹣1，∴y'=f'（x）=e x x2+2xe x=e x（x2+2x），

由f'（x）=e x（x2+2x）＞0，得x＞0或x＜﹣2，此时函数单调递增，

由f'（x）=e x（x2+2x）＜0，得﹣2＜x＜0，此时函数单调递减．∴当x=0时，函数f（x）取得极小值，当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，对应的图象为A．故选：A．

9、【解】f'（x）=3x2+4bx+c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，

且x 1∈，x2∈等价于f'（﹣2）≥0，f'（﹣1）≤0，f'（1）≤0，f'（2）

≥0．

由此得b，c满足的约束条件为

满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．由题设知f（﹣1）=2b﹣c，由z=2b﹣c，将z的值转化为直线z=2b﹣c在y轴上的截距，当直线z=2b﹣c经过点（0，﹣3）时，z最小，最小值为：3．当直线z=2b﹣c经过点C（0，﹣12）时，z最大，最大值为：12．故选C．10、【解】当|m|≤2时，f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0恒成立等价于当|m|≤2时关于m的一次函数

h(m)= x2﹣mx﹣3＜0恒成立.∴h(-2) ＜0且 h(2) ＜0，综上可得﹣1＜x＜1，

从而（b﹣a）max=1﹣（﹣1）=2故选B．

二、填空题: 11. 1

3

12. -6<<3

a 13. ①④ 14.

11

42

k

<<15.

1

,1

e

??

?

??

11、【解】作出如图的图象联立解得，即点A （1，1）

所求面积为：S===故答案为：．

12、【解】当a=0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax+2y ﹣z=0的斜率 k=﹣a 3＞k AC =﹣1 , a ＜3．当a ＜0时，k=﹣a

3＜k AB =2 a ＞﹣6．

综合得﹣6＜a ＜3，故答案为：（﹣6，3）． 13、解：对于①y=f （x ）的对称轴是2x ﹣=k

，

即x=

，当k=﹣1时，x=﹣

，故①正确；

对于②y=f （x ）的对称点的横坐标满足2x ﹣=k π，即x=，故②不成立；

对于③函数y=f （x ）的周期π，若f （x 1）=f （x 2）=0可得x 1﹣x 2必为必是半个周期的整

数倍，故不正确；对于④y=f （x ）的增区间满足﹣， ，k ∈Z ，

故④成立；f （x ）=2sin （2x ﹣

）=2cos （

）=2cos （

）=﹣2cos （2x+

），

故⑤不正确．故答案为：①④．

14、解：根据已知条件知函数f （x ）为周期为2的周期函数；且x ∈时，f （x ）=|x|； 而函数g （x ）的零点个数便是函数f （x ）和函数y=kx+k 的交点个数；

∴（1）若k ＞0，则如图所示：当y=kx+k 经过点（1，1）时，k=；当经过点（3，1）时，k=； ∴

；（2）若k ＜0，即函数y=kx+k 在y 轴上的截距小于0，显然此时

该直线与f （x ）的图象不可能有三个交点；即这种情况不存在；（3）若k=0，得到直线y=0，显然与f （x ）图象只有两个交点；综上得实数k 的取值范围是

；故答案为：（

）．

15、解：当x ＜1时，f （x ）=﹣|x 3﹣2x 2+x|=﹣|x （x ﹣1）2

|=

，

当x ＜0，f′（x ）=（x ﹣1）（3x ﹣1）＞0，∴f（x ）是增函数；当0≤x＜1，f′（x ）=﹣（x

﹣1）（3x ﹣1），∴f（x ）在区间（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数；画出函数y=f （x ）在R 上的图象，如图所示；

命题“存在t ∈R ，且t≠0，使得f （t ）≥kt“是假命题， 即为任意t ∈R ，且t≠0时，使得f （t ）＜kt 恒成立；

作出直线y=kx ，设直线与y=lnx （x≥1）图象相切于点（m ，lnm ）， 则由（lnx ）′=，得k=， 即lnm=km ，解得m=e ，k=；

设直线与y=x （x ﹣1）2

（x≤0）的图象相切于点（0，0）， ∴y′=′=（x ﹣1）（3x ﹣1），则有k=1，

由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx （x≥1）图象相切，

以及与y=x （x ﹣1）2

（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f （t ）＜kt 恒成立， ∴k 的取值范围是（，1]．故答案为：（，1]． 三.解答题:

16. 解：（1）1cos2()2212cos222

x

f x x x x +=

+?

+=++ 2sin(2)26

x π

=+

+ 所以最小正周期为 22

T π

π== 由2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+ 得3

6

k x k π

π

ππ-

+≤≤

+

所以()f x 的单调递增区间为[,

]()3

6

k k k Z π

π

ππ-++∈ ……6分

（2）由()2f α=2sin(2)226π

α++=+所以sin(2)6πα+= 所以122,6

3

k π

π

απ+=

+ 或22226

3

k π

π

απ+

=

+ （12,k k Z ∈） 即112

k π

απ=

+或24

k π

απ=

+

因为 [0,

]3

π

α∈ 所以12

π

α=

…………………………12分 17. 17. 解：（I ）若命题为p 真，即

21

016ax x a -+

>恒成立

①当0a =时，0x ->不合题意

②当0a ≠时，可得00a >?????

?- （II ）令

211

39(3)24x x x y =-=--+

由0x >得31x > 若命题q 为真，则0a ≥

由命题“p 或q ”为真且“p 且q ”为假，得命题p 、q 一真一假 当p 真q 假时，a 不存在 当p 假q 真时，02a ≤≤

综上所述，a 的取值范围是：02a ≤≤ 18.（1）由024x ≤≤ 得 2036

3

x π

π

≤≤

当

036

x π

= 即0x =时min 0t = 当

36

2

x π

π

=

即18x =时max 43

t =

所以t 的取值范围是4[0,]3

…………………………3分 （2

）令()g t t a =-，4[0,]3

t ∈ 当23a <

时，即203a ≤<

时，max 444

()()333

g t g a a ==-=-当23a ≥

时，即23

34

a ≤≤时，

max ()(0)0g t g a a ==-=

所以43()a M a a ?-?=???2

03

2334

a a ≤<≤≤ …………………………7分

（3）当23

[,]34a ∈时，易知()M a 单调递增

所以3()()24M a M ≤=

< 当2[0,)3

a ∈

时，'

()1M a =- 由'

()0M a = 得14

a =

当1[0,)4

a ∈时，'

()0M a > ()M a 单调递增

当12(,)43

a ∈时，'()0M a < ()M a 单调递减

所以函数max 14119()()243412

M a M ==

-=< 所以没有超标 答：目前该市的污染指数没有超标 …………………………12分 19

、

.

20、【解析】(1)0a =当时,).,0(,11)(+∞∈+-=

x x x x f 此时2

')

1(2

)(+=x x f 221

(1)(11)2

f '=

=+

(1)0(1,0)f =∴ 又直线过点

1122

y x ∴=

- (2) 2

2

()(0)(1)a f x x x x '=

+>+ 2

2

0()0.()(1)

a f x f x x '==

+①当时，恒大于在定义域上单调递增. 222

2(1)20()=0.()(1)(1)

a a x x a f x f x x x x x ++'>=+>++②当时，在定义域上单调递增. 221

0(22)4840,.2

a a a a a

()f x 开口向下，在定义域上单调递减。

1,2100.2a x -

<==

当时， 12221

10.102a x x x a a

+=-

=-->=> 对称轴方程为且

()+)f x ∴∞在单调递增，

单调递减。

0()0()11()0()22+)a f x a f x a f x a f x =>≤--<<∞综上所述，时，在定义域上单调递增；时，在定义域上单调递增时，在定义域上单调递减；时，在单调递减，单调递减。

21、解：（1）1()()()ln h x f x g x x ax b x =-=-

--，则'211

()h x a x x

=+- 因为()()()h x f x g x =-在()0,+∞上单调递增，

所以对(0,)x ?∈+∞，都有'

2

11

()0h x a x x =+-≥ 即对0x ?>，都有211a x x ≤

+ 因为211

0x x

+> 所以0a ≤ 所以实数a 的取值范围是(,0]-∞ …………………………4分

（2）设切点为0001(,ln )x x x -

,则切线方程为002000

111

(ln )()()y x x x x x x --=+- 即02000

112

(

)(ln 1)y x x x x x =++-- 令

010t x =>，由题意得220011a t t x x =+=+，00

2

ln 1ln 21b x t t x =--=--- 令2()ln 1a b t t t t ?+==-+--，则'

1

(21)(1)

()21t t t t t t

?+-=-+-=

当(0,1)t ∈时，'()0t ?<，()t ?在(0,1)上单调递减 当(1,)t ∈+∞时，'()0t ?>，()t ?在(1,)+∞上单调递增 所以()(1)1a b t ??+=>=-

所以a b +的最小值是1- …………………………8分

（3）由题意知112212

11

ln ,ln x ax x ax x x -

=-= 两式相加得12121212ln ()x x x x a x x x x +-

=+ 两式相减得21221112

ln ()x x x

a x x x x x --=- 即212112ln

1x x a x x x x +=- 所以 2

121

1212122112

ln 1ln ()()x

x x x x x x x x x x x x x +-=++- 即12122

1212211

2()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-

=-

不妨令120x x << 记2

1

1x t x =

> 令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=-

>+ 则2

'

(1)()0(1)

t F t t t -=>+ 所以2(1)()ln 1t F t t t -=-

+ 在(1,)+∞上单调递增 则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=-

>=+ 所以2(1)ln 1t t t ->+ 则221112

2()

ln x x x x x x ->+

所以12122

1212211

2()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-

=>-

又1212121212122()ln ln ln x x x x x x x x x x +-

<-==

所以2>

即1> 令2()ln ,G x x x =-

则0x >时，'211

()0G x x x

=+>， 所以()G x 在(0,)+∞上单调递增

又1ln 210.8512e =+-≈<

所以1G =>>

> 即2122x x e > …………………………12分