【创新设计】2015高考数学(北师大版)一轮训练：第4篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算]

第四篇 平面向量

第1讲 平面向量的概念及其线性运算

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )． A.EF

→＝OF →＋OE → B ．EF

→＝OF →－OE → C.EF

→＝－OF →＋OE → D ．EF

→＝－OF →－OE → 解析 由图可知EF

→＝OF →－OE →.

答案 B

2.(2014·九江模拟)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于 ( )．

A ．0

B ．BE

→

C.AD

→ D ．CF → 解析 因为ABCDEF 是正六边形，故BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →

＝CF →. 答案 D

3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的 ( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥

B ．若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0

不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 答案 A

4．(2013·赣州模拟)已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平

行四边形，则 ( )． A ．a －b ＋c －d ＝0 B ．a －b －c ＋d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0

D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0

解析 依题意得，AB

→＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0. 答案 A

5．(2014·兰州质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3A C →，则△ABM 与△ABC 的面积比为 ( )． A.1

5 B ．2

5 C.3

5

D ．45

解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝

2AD

→－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD

→＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为3

5，选C. 答案 C 二、填空题

6．(2014·高安中学模拟)给出下列命题： ①向量AB

→的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量AB

→与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上．

其中不正确命题的序号是________． 解析 ①中，∵向量AB

→与BA →为相反向量，

∴它们的长度相等，此命题正确．

②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．

③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．

④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．

⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，

C ，

D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 ②④⑤

7．在?ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用

a ，

b 表示)

解析 由AN

→＝3NC →，得4AN →＝3 AC →＝3(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－? ?

???a ＋12b ＝－14a ＋14b ．

答案 －14a ＋14b

8．(2014·西安大附中模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，

CD

→＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________． 解析 ∵BD

→＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，

∴存在实数λ，使AB →＝λBD →

.即???

2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.

答案 －1

三、解答题

9．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，1

3(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？ 解 设OA

→＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13

(a ＋b )，

∴AC

→＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a . 要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →.

即－23a ＋1

3b ＝λ(t b －a )＝λt b －λa . 又∵a 与b 为不共线的非零向量，

∴有???

?? －23＝－λ，13＝λt

??????

λ＝2

3，t ＝12.

∴当t ＝1

2时，三向量终点在同一直线上．

10．如图，在平行四边形OADB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，BM →＝1

3BC →

，CN

→＝13

CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →. 解 由题意知，在平行四边形OADB 中，BM →

＝13BC → ＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ， 则OM

→＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ． ON →＝23OD →＝23(OA →＋OB →

)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ， MN

→＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16

b ． 能力提升题组 (建议用时：25分钟)

一、选择题

1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP

→＝13?

?

12OA →＋12OB →＋ )2OC

→，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )． A ．AB 边中线的中点

B ．AB 边中线的三等分点(非重心)

C ．重心

D ．AB 边的中点

解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13 (OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B

2．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若AO

→＝x AB →＋(1－x )AC

→，则实数x 的取值范围是 ( )． A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－1,0)

D ．(0,1)

解析 设BO

→＝λ BC →(λ＞1)，则AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λ BC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →，

又AO

→＝x AB →＋(1－x )AC →，所以x AB →＋(1－x )AC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →.所以λ＝1－x ＞1，得x ＜0. 答案 A 二、填空题

3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则

△ABC 的形状为________．

解析 OB

→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，

OB

→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．

答案 直角三角形 三、解答题

4.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，

AC

→＝b ，试用a ，b 表示AG →.

解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →

＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝? ????1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)

＝(1－λ)AB →

＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2

B ．

又AG

→＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →) ＝(1－m )AC

→＋m 2AB →＝m 2a ＋(1－m )b ，

∴?????

1－λ＝m

2，1－m ＝λ

2，

解得λ＝m ＝23，∴AG

→＝13a ＋13

B ．