群论试题

群论试题

一、名词解释：（5’*6）

1、群：有限或无限个数学对象（称为元或元素）A 、B 、C …..的集合{}.......C B A 、、，其中有一个与次序有关的运算方法（称为群乘），能从集合中任意两个元A 、B 得出确定的元C （记为AB=C ），若满足下面四个条件，则这一集合称为群，用G 表示，集合中的元素称为群元。

（1）封闭性：集合中任意两个元的乘积（包括自身相乘）都在此集合之内； （2）结合律成立：A(BC)=(AB)C ；

（3）单位元存在：集合中存在单位元E ，使集合中的任意元A 有 EA=AE=A ； （4）集合中每一元A 有逆元A -1存在，满足A -1A=A A -1=E 以上就是群的定义。

2、子群：群G 中的一些元的集合S ，若在相同的群定义下又构成群，则S 称作群G 的子群。

3、正规表示：把群元空间作为表示空间，群元本身作为此空间的变换算符。于是算符（群元）作用在这个空间的基失（也是群元）上的矩阵，就是这个群的一个表示。这个表示称为这个群的正规表示。

4、舒尔引理：若有一非零矩阵A 同一个群的某一表示中的所有矩阵对易， （1） 若此表示是不可约表示，则A 必为单位矩阵的常数倍；

（2） 若A 不是单位矩阵的常数倍，则表示必为可约的。当A 是厄米矩阵时，约

化矩阵就是使A 对角化的矩阵。

5、不可约表示特征标的完全性定理：lm l

m i r

i l i h g C C δχχ=

∑=)()(1

* 这就是特征标的

完全性关系

6、不可约表示特征标的正交性定理：一个群的两个不等价不可约幺正表示为i G

D 和j G D ，相应的特征标)(R i χ和)(R j χ必满足 g R R ij j G

R i δχχ=∑∈)()(*

或写成

g C C h ij j C

i C δχχ=∑)()(*

二、证明（20’）

7、 现在给置换操作???

?

?

?

?c b

a 32

1一个新的定义，

把放有东西①的位置改放东西a1，把放有东西②的位置改放东西b1等等〔其中a ，b ，c 也是东西1,2,3的一中排列〕.证明：

﹝1﹞全部新的置换操作仍服从原列表. ﹝2﹞操作结果与意义跟原定义相同.

解：E=?????

?

?c b a 32

1

； A=?????

??a b c 32

1 ； B=???

??

??b c

a 32

1； C=?????

??c a b 32

1； D=?????

??b a c 32

1

； F=????

?

?

?a c

b 32

1

EE=?????

??c b a 32

1????? ??c b a 32

1

=???

??

??c b a 32

1

=E ； EC=????

?

?

?c b a 32

1????? ?

?c a b 32

1=???

?

? ??c a

b

32

1=C 同理可得：EB=B ；EA=A ；ED=D ；EF=F ； CE=C ；CC=E ；CB=F ；CA=D ；CD=A ；CF=B ； BE=B ；BC=D ；BB=E ；BA=F ；BD=C ；BF=A ； AE=A ；AC=F ；AB=D ；AA=E ；AD=B ；AF=C ； DE=D ；DC=B ；DB=A ；DA=C ；DD=F ；DF=E ； FE=F ；FC=A ；FB=C ；FA=B ；FD=E ；FF=D ； 则全部新的置换群操作仍服从原群表.

﹝2﹞相当与把东西的位置变化了，所以结果与意义与原定意义相同. 三、计算题（25’*2） 8、 试写出d D 2群的正规表示。 解：d D 2群的群元为

E =??????????10

010

001，z C 2=???????

???--100010001

，x C 2=???????

???--100

010001

，y C 2=???

??

??

???--100010001

， 1d σ=??????????--10

0001

010

，2d σ=???????

???10

0001010

，z Ic 4=???????

???--10

001010

，14-z Ic =????

?

??

???--10

001010

则可求得其群表为：

E

z C 2 x C 2 y C 2 1d σ 2d σ z Ic 4 1

4-z Ic E

E

z C 2

x C 2 y

C 2 1d σ

2d σ z Ic 4

1

4-z

Ic

z C 2

z C 2

E

y

C 2

x

C 2

2d σ 1d σ

1

4-z Ic

z Ic 4

x C 2 x C 2 y

C 2 E

z C 2

z Ic 4

1

4-z Ic

1d σ 2d σ y

C 2

y

C 2

x

C 2

z C 2

E

1

4-z Ic z Ic 4 2d σ

1d σ

1d σ 1d σ 2d σ 1

4-z Ic

z Ic 4

E

z C 2

y

C 2 x C 2 2d σ 2d σ 1d σ

z Ic 4 1

4-z Ic

z C 2

E

x

C 2

y C 2

z Ic 4

z Ic 4

1

4-z Ic

2d σ 1d σ

x C 2 y

C 2 z C 2

E

1

4-z Ic

1

4-z Ic

z Ic 4 1d σ

2d σ

y

C 2

x

C 2

E

z C 2

则求得各群元的正规表示矩阵为：

)(E D r

=

E

z C 2

x

C 2

y

C 2

1d σ 2d σ z Ic 4

1

4-z

Ic

E

1 0 0 0 0 0 0 0 z C 2

0 1 0 0 0 0 0 0 x C 2 0 0 1 0 0 0 0 0 y

C 2

0 0 0 1 0 0 0 0 1d σ

0 0 0 0 1 0 0 0 2d σ 0 0 0 0 0 1 0 0 z Ic 4

0 0 0 0 0 0 1 0 1

4-z Ic

1

)(2z r

C D =

E

z C 2

x

C 2

y

C 2

1d σ 2d σ z Ic 4

1

4-z

Ic

E

0 1 0 0 0 0 0 0 z C 2

1 0 0 0 0 0 0 0 x C

2 0 0 0 1 0 0 0 0 y

C 2

0 0 1 0 0 0 0 0 1d σ

0 0 0 0 0 1 0 0 2d σ 0 0 0 0 1 0 0 0 z Ic 4

0 0 0 0 0 0 0 1 1

4-z Ic

1

)(2x r

C D =

E

z C 2

x

C 2

y

C 2

1d σ 2d σ z Ic 4

1

4-z

Ic

E

0 0 1 0 0 0 0 0 z C 2

0 0 0 1 0 0 0 0 x C 2 1 0 0 0 0 0 0 0 y

C 2

0 1 0 0 0 0 0 0 1d σ

0 0 0 0 0 0 0 1 2d σ 0 0 0 0 0 0 1 0 z Ic 4

0 0 0 0 0 1 0 0 1

4-z Ic

1

)(2y r

C D =

E

z C 2

x

C 2

y

C 2

1d σ 2d σ z Ic 4

1

4-z

Ic

E

0 0 0 1 0 0 0 0 z C 2

0 0 1 0 0 0 0 0 x

C 2

1

y

21d σ

0 0 0 0 0 0 1 0 2d σ 0 0 0 0 0 0 0 1 z Ic 4

0 0 0 0 1 0 0 0 1

4-z Ic

1

)(1

d r

D σ

= E

z C 2

x

C 2

y

C 2

1d σ 2d σ z Ic 4

1

4-z

Ic

E

0 0 0 0 1 0 0 0 z C 2

0 0 0 0 0 1 0 0 x C 2 0 0 0 0 0 0 1 0 y

C 2

0 0 0 0 0 0 0 1 1d σ

1 0 0 0 0 0 0 0 2d σ 0 1 0 0 0 0 0 0 z Ic 4

0 0 1 0 0 0 0 0 1

4-z Ic

1

)(2

d r

D σ

= E

z C 2

x

C 2

y

C 2

1d σ 2d σ z Ic 4

1

4-z

Ic

z C 2

0 0 0 0 1 0 0 0 x C 2 0 0 0 0 0 0 0 1 y

C 2

0 0 0 0 0 0 1 0 1d σ

0 1 0 0 0 0 0 0 2d σ 1 0 0 0 0 0 0 0 z Ic 4

0 0 0 1 0 0 0 0 1

4-z Ic

1

)(4z r

Ic D =

E

z C 2

x

C 2

y

C 2

1d σ 2d σ z Ic 4

1

4-z

Ic

E

0 0 0 0 0 0 1 0 z C 2

0 0 0 0 0 0 0 1 x C 2 0 0 0 0 1 0 0 0 y

C 2

0 0 0 0 0 1 0 0 1d σ

0 0 0 1 0 0 0 0 2d σ 0 0 1 0 0 0 0 0 z Ic 4

0 1 0 0 0 0 0 0 1

4-z Ic

1

)(1

4-z r

Ic D =

E

z C 2

x

C 2

y

C 2

1d σ 2d σ z Ic 4

1

4-z

Ic

E

0 0 0 0 0 0 0 1 z C 2

0 0 0 0 0 0 1 0 x C 2 0 0 0 0 0 1 0 0 y

C 2

0 0 0 0 1 0 0 0 1d σ

0 0 1 0 0 0 0 0 2d σ 0 0 0 1 0 0 0 0 z Ic 4

1 0 0 0 0 0 0 0 1

4-z Ic

1

9、试写出水分子的对称操作以相应的群表