模型降阶方法综述

模型降阶方法综述

大系统模型降阶是一个活跃的研究领域，比较成熟的经典降阶方法主要有：Pade逼近法，时间矩法，连分式法，Routh逼近法及棍合法等。本文综述了这一领域的现有文献，介绍了每种降阶方法的基本思想、优缺点和适用范围，特别指出了一些新的经典模型降阶方法的进展。文中最后提出了模型降阶方法的可能研究方向。

一、Pade逼近法

Pade逼近法是大系统模型简化中最早出现的一种经典降阶方法。到目前为止，人们仍然公认它是一种行之有效的传递函数降阶法。

Pade逼近法是泰勒级数展开理论的应用，适用于传递函数可表示成有理多项式分式(或传递函数阵为有理分式阵)的场合。降阶方法简单，易于编制上机程序，低频(稳态)拟合性能好。但是，Pade逼近法的高频(动态)拟合性能较差且不能保证降阶模型的稳定性。因而在模型降阶方法中，很少单独使用Pade逼近法。

为了弥补Pade逼近法的不足，Brown等引入了使降阶模型稳定的补充性能准则，但却提高了降阶模型的阶次；Rossen等把造成降阶模型不稳定的极点隔离开来，并用任意稳定极点取代，可以防止降阶模型不稳定，但加大了计算量；Chuang和Shamash先后提出在和附近交替展成Pade近似式，可获得有较好动态拟合性能的降阶模型；Shih等采用线性变换方法将中不稳定的极点映射到另一平面，以扩大Pade展开式的收敛域，并由此选出稳定的降阶模型。

为了克服泰勒级数收敛慢的弱点，Calfe等提出了切比雪夫多项式模型降阶方法，可获得稳定的降阶模型；Bistritz等提出了广义切比雪夫一Pade逼近法，即Darlington多项式展开法。这两种降阶方法均可使降阶模型在预定的区间上既稳定又具有最小相位，但计算量大，仅适用于单变量系统。

二、时间矩法

时间矩法首先由Paynter提出，采用与Pade逼近法类似的方法，把高阶系统和降阶模型都展成多项式，再令时间矩对应项相等，可以求得降阶模型的各系数。因此，时间矩法本质上仍是Pade遏近法，其优缺点也相似。

有的学者从时间矩或马尔可夫参数组成的Hankel阵出发，提出了相应的模型降阶方法，但本质上仍属于时间矩法的范畴。

三、连分式法

连分式是函数论中研究得比较深入的课题。1974年左右，开始应用连分式进行模型降阶，5年后，又推广于多变量系统降阶。连分式降阶法的基本出发点是：将真有理传递函数G(s)在附近展成连分式，然后截取前面起主要作用的若干项(也称偏系数)构成降阶模型。由于连分式比其他多项式或幂级数展开式收敛快，少量偏系数就能反映原系统的主要信息，所以连分式法是一种很有效的频域模型降阶方法，至今仍被广泛应用。

在降阶过程中，常用的连分式有：Cauer一I型，Cauer一II型，Cauer一III型，修正Cauer 型和Jordan型等。在现代频域降阶法中，连分式法的计算量最少，数学和物理概念直观，降阶手法灵活且易掌握。连分式降阶法的拟合优度不亚于时域最优化法，但后者的寻优程序十分复杂。此外，连分式降阶法也不必求取系统的本征值，因此不但工程技术人员乐于接受，也引起了控制学界的广泛注意，纷纷从函数结构、近似理论、时矩理论和级数理论等不同角度探讨连分式降阶的机理，在理论和实践中都取得了若干进展。

连分式降阶法还存在一些不足的方面：首先是不能保证降阶模型的稳定性；其次是动态拟合精度较差；再次是在多变量系统降阶时要求输入和输出同维。应当指出，到不久之前，上述

几方面的不足得到了一定程度的克服。例如：采用Chen和Tsay的平方幅度连分式展开法，可以保证降阶模型的稳定性：把Cauer一I型与Cauer一II型结合起来，或直接用Cauer II 型、修正Ceuer型，可得动态拟合优度相当好的降阶模型；利用矩阵分块算法后，矩阵连分式法适用于任意输入、输出维数的多变量系统降阶。当然，连分式降阶法还有不少值得深入研究的课题，如：偏系数或偏商矩阵取多少才算合适？有无统一的准则？对降阶模型的稳定性有什么影响等。

四、Routh逼近法

Hutton等提出了一种混合型的连分式降阶法，其降阶模型的分母直接取决于原系统分母多项式的系数(或系数阵)，而与分子多项式系数(或系数阵)无关。所以，只要原系统稳定，就能保证降阶模型也是稳定的。由于在计算展开式各系数(或系数阵)时利用了Routh表，故得名为Routh逼近降阶法。在Routh逼近法中，所用连分式形式为展开和展开，其收敛速度较快。有时，也将Routh逼近法称为部分Pade法。Routh逼近法最初出现在频域，后来又发展成时域Routh逼近法。Shamash先把时域中的状态方程变换为等价的频域形式，然后分母用Rouht法，分子用Pade法进行降阶，最后再反变换到时域，得到降维的状态方程。因此，Shamash方法本质上是一种混合法。

Routh逼近法计算过程比连分式法复杂，计算量大，而且数理概念不如连分式法清晰。但从应用情况看，Routh逼近法还是可行的。后来，Krishnamurthy等提出了简化Routh逼近法，完全撇开展开式，根据Routh稳定判据思想，分别由Routh表取得降阶模型的分子多项式和分母多项式系数，并能推广用于不稳定系统的降阶，但缺乏严密的数学论证，没有实用结沦。

五、混合降阶法及其他

近年来，许多学者针对各种经典降阶方法的长处与不足，加以适当组合和改进，提出了不少混合降阶方法，取得了较好的降阶效果。此外，还提出了一些新降阶法的基本思想，引起了控制学界的注意。1950年，Shamash撰文指出：当原系统存在相近的零极点时，Routh逼近法、稳定方程降阶法及Rouht一Hurwitz降阶法的逼近程度差，拟合精度低；相比之下，Pade 逼近法的降阶效果尚好。从而提出了各种模型降阶法的适用范围问题。1982年，Ashoor等也指出：如果初始马尔可夫参数失配，则Pade逼近法的动态拟合精度很差；如果同时考虑时间矩与马尔可夫参数的匹配，可以提高逼近度，且匹配参数越多，逼近程度越好。但是，究竟取多少参数匹配量较合适Ashoor未作深入探讨。1984年，Alexandro提出了稳定偏Pade 逼近降阶法，可以提高降阶模型的拟合精度，获得稳定的降阶模型，并可确定偏Pade逼近法的系数对降阶模型极点的影响。但这一方法似乎很难推广于多变量系统降阶。1982年，Bistritz等针对离散多变量系统，采用广义最小部分实现算法，提出了最小阶Pade稳定降阶法，效果较好。1983年，Sinha等将Pade逼近法和Routh逼近法结合起来，在时域中进行模型降阶，利用时域马尔可夫参数匹配，得到稳定的降阶模型，且稳态及动态拟合精度较高。1954年，Hwang将一般的状态空间模型转换为Cauer一I型和Cauer一II型标准连分式展开形式，建立了相似变换矩阵，并给出了逐次递推结果；次年，又将这一结果用于模型降阶，提出了一种新的偏连分式降阶方法，可以保证降阶模型具有较好的动态和稳定拟合精度。1952年，Lepschy等提出了一种Routh一Pade混合模型降阶方法，可以得到稳定的降阶模型，并具有适当的稳定裕度，但要求原系统是稳定的；次年，他们又提出了Pade法和微分方程法的混合降阶法王，可以保证降阶模型的稳定性及较高的拟合精度，且计算简单。1986年，Yung等提出了Cauer连分式扩展法，在和附近作连分式展开，可以得到动态及稳态拟合精度均较高的降阶状态空间模型。这一方法的实质是对时间矩加权，可以选择某一频带内的拟合精度。

1985年，Shoji等分析了Pade逼近法与连分式展开法之间的内在联系，找出了同一性，提出

了模型的奇异性条件，说明并非所有的高阶系统都能进行降阶，从而提出了模型可简化性问题。遗憾的是，目前尚未发现这一问题的理论分析结果。1984年，Wilson撰文指出：在使方程误差为最小的模型降阶方法中，即使原系统是可控的和渐近稳定的。降阶模型却不一定是可控的和渐近稳定的，必须谨慎地选择降阶模型的状态变量。Wilson的工作表明，模型降阶的机理研究尚待深化。1986年，Lamba等提出了一种修正Routh逼近法，利用模型与原系统阶跃响应之差作为性能指标，然后使响应差极小以求取降阶模型参数，从而提高了降阶模型的动态拟合精度，同时也提出了模型降阶的性能准则问题。1986年，Liaw等提出了一种散度分析与连分式相结合的传递函数混合降阶法，从能量贡献的大小确定降阶模型的阶次，再用连分式法确定模型参数。这一方法可以保证降阶模型的稳定性，具有良好的动态和稳态拟合精度。Liaw的能量法别具一格，颇有新意。1988年，笔者将Liaw的方法加以改进，把能量法与Pade逼近法结合起来，用于多变量系统降阶；同年，在能量法的基础上，笔者又提出了一种基于主导能量最优逼近的模型降阶方法，获得了连续和离散多变量系统均可适用的统一降阶模式，可以确保降阶模型的稳定性，并具有良好的动态和稳态拟合精度。