狭义相对论20151017

一、经典力学的困难

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，这是说，我们看到的现象，或对事物的描述，往往随观测角度的不同而不同。在物理学中描述一个物理过程，离不开参考系。例如，在运动的车厢顶部落下一个包裹，在地面上和在车厢内看到它的轨迹是不同的，这就是所谓事物的相对性。

经典力学中，物体的速度与所选参考系有关，而利用经典电磁学的麦克斯韦方程组可以得出真空中电磁波的传播速度为真空介电常数ε0与真空磁导率μ0的几何平均数的倒数，是一个与参考系无关的量。

伽利略相对性原理和他的坐标变换，已经在超越个别参考系的描述方面，迈出重大的一步。它的一个重要结论，是速度的合成律，例如一个人以速度v 相对自己掷出一个球，而他本人又以速度u 相对地面运动，则球出手时相对地面的速度为u+v 。按常识，这种算法是天经地义的；但把这种算法运用到光的传播问题上，就产生了矛盾。

设想两个人传球，甲将一个会发光的球传给乙。乙看到球，是因为球发出的光线到达乙的眼睛。设两人之间的距离为L ，球发出的光相对它的传播速度为c 。甲即将传球前，球处于静止状态，球发出的光相对地面的速度就是c ，乙看到此情景的时刻比甲延迟L/c ；在极短冲击力的作用下，球出手时速度达到v ，按上述经典的合成律，此刻由球发出的光相对地面的速度为v+c ，乙看到球出手的时刻比甲晚L/(v+c)，也就是说，甲先看到球出手，后看到甲传球。这种先后颠倒的现象谁也没看到过。

会有人说，由于光速非常大，两个时间差的差别微乎其微，在日常生活中是观察不到的，这个例子没有现实意义。那么来看一个天文上的例子。

1731年英国一位天文爱好者用望远镜在南方夜空的金牛座发现蟹状星云。根据后来的观测推算，蟹状星云是在公元1060年左右（地球上观测到的时间）的一次超新星爆发抛出的气体壳层。这一点在我国的史籍《宋会要》中有以下记载：“嘉佑元年三月，司天监言，客星没，客去之兆也。初，至和元年五月晨出东方，守天关。昼见如太白，芒角四出，色赤白，凡见二十三日。”当一颗超新星爆发时，它的外围物质向四面八方飞散，也就是说有些抛射物射向我们。如果光线服从经典速度合成律的话，从蟹状星云到地球的距离（约5000光年）和爆发中抛射物的速度（约1500千米/秒）来计算，两者发出的光到达地球的时间将相差25年，即地球将在25年内持续看到超新星开始爆发时发出的强光。而史书记载，客星从出现到隐没还不到2年。

大海中轮船激起的波浪的速度只与洋流的速度有关，而与船的速度无关。这给上述问题提供了另外一种可能的解释，即发光物体发出的光的传播速度与发光物体的速度无关，只与传播介质的运动状态有关。于是上述矛盾不复存在；但又出现了一个新的问题：传播光线的介质是什么？按照旧时的看法，是一种叫做“以太”（aether ）的物质，那地球以怎样的速度在以太中运动？在地球上，如果能够精确测定各个方向光速的差异，就可以确定地球相对于

以太的运动；实验的精度足够高时（达到22

c

v 量级），可在地球上测定各个方向光速的差异。

1881年，迈克耳孙和莫雷首次用迈克耳孙干涉仪做了观测实验；6年后，进行了更精密的测量。从理论上分析，将仪器旋转90o ，应有0.4个条纹的移动；实验的结果却是：根本不存在条纹移动。

二、爱因斯坦狭义相对论的基本假设

当别人忙着在经典物理框架内用形形色色的理论来修补“以太说”时，爱因斯坦另辟蹊径，提出两个重要假设：

1、相对性原理

爱因斯坦的相对性原理与伽利略的思想基本上一致，即所有惯性系都是等价的，在它们之中所有的物理规律都一样。但伽利略变换只适用于经典力学，不保证电磁学（包括光）也满足相对性原理。爱因斯坦提出的相对性原理希望把一切物理规律都包括进去。

2、光速不变原理

在看到经典力学与电磁学存在的矛盾后，爱因斯坦大胆假设提出假设：在所有惯性系中测得的真空光速c 的大小都是相同的。

三、洛伦兹变换推导

两个惯性系S 系和S'系，其对应的坐标轴彼此平行。S'系相对S 系以速率u 沿x 轴正方向运动，事件在两个坐标系的坐标分别为(x,y,z,t)和(x',y',z',t')。当t=t'=0时，两个坐标系的原点重合。经典力学中从S 系到S'系的伽利略坐标变换式为

?????='='-='z

z y

y ut

x x 逆变换为

?????'

='

=+'=z z y y ut

x x 为调和经典力学和经典电磁学的矛盾，洛伦兹提出不同惯性系的物理方程应该具有相

同的形式，为此必须放弃绝对时间的概念，即

()???

??='='-='z

z y

y ut x x γ γ称为洛伦兹因子，逆变换为

()???

??'

='

='+'=z z y y t u x x γ 设任意事件从S'系到S 系的变换为

()t u x x '?+'=γ

（1）

任意事件从S 系到S'系的变换为

()t u x x ?-='γ

（2）

将（1）改写为t'的表达式并把（2）带入，得到

(

)u

x t t ?-+?='γγγ2

1 （3）

设由重合的原点O 和O'在t=t'=0时刻发出沿x 轴正向的光，波前坐标分别为(x,y,z,t)和(x',y',z',t')，那么根据光速不变原理，有

t c x ?= （4） t c x '?=' （5）

（1）和（2）相乘，得

()

t t u t u x t u x x x x x '??-'??+??'-'?='?22γ

（6）

将（4）和（5）代入（6），得

2

2

222

2

11c

u u

c c -=

?-=γγ

（7）

并记

c

u =

β （8）

当u<

2

221c

u c x u t t -?-=

' （9）

2

221c u c x u t t -'?+

'=

（10）

四、狭义相对论的时空观

1、同时的相对性和时间延缓

假设S'系中两个事件(x 1',t 1')和(x 2',t 2')在不同位置同时发生，即t 1'=t 2'=t'，则在S 系中观察

()021*********≠'-'=-=????

?

??

?

???? ??'?+'=??? ??

'?+'=c

u x x t t t c x u t t c x u t t γγγ 结论：沿两个惯性系相对运动方向配置的两个事件，若在一个惯性系中同时发生，则在另

一个惯性系中观测，总是处于前一个惯性系运动后方的事件先发生。

S'系中，在x'位置先后发生的两个事件间隔事件Δt'=t 2'-t 1'，则在S 系中测得

t c u t t t t t '?>-'?=

'??=-=?2

2

121γ

结论：在一个惯性系中同一位置先后发生的两个事件，在另一个惯性系中观测其发生的时间间隔变长。

2、长度收缩

()()t u l t u x t u x x x l ???-??=?--?-='-'='?γγγγ112212

由于在S 系中测两端坐标为同时发生的事件，所以Δt=0，故

l c

u l l l '?<-?'?='

?=?22

1γ

结论：运动的物体的测量长度缩短。

3、因果的绝对性

()()()()??? ??-'-'=???? ?

?'-''-'?-'-'=??????'-'+'-'=-s v c u t t t t x x c u t t x x c u t t t t 2212112221212212111γγγ 因为u

可以取任何值）的两个事件，在不同惯性系中发生的先后顺序可能颠倒。

4、双生子佯谬

假设有两个双生子，甲留在地球上（忽略地球自转），乙乘极高速的飞船到宇宙空间去旅行。经过若干年，飞船返回到地球，甲和乙重逢时，地球上的甲认为乘飞船航行的乙比他年轻，而飞船上的乙认为地球上的甲比他年轻，相互矛盾。正确的答案是：甲和乙重逢时，乘飞船航行的乙比留在地球上的甲年轻一些。产生问题的原因在于不恰当地运用了狭义相对论，狭义相对论的前提是地球和飞船应是两个完全等价的惯性系，而本问题不满足这一条件。乙乘极高速的飞船到宇宙空间去旅行时，地球上的甲认为乘飞船航行的乙衰老速度较慢，而飞船上的乙认为地球上的衰老速度较慢；问题在于飞船返航前调头的过程，地球相对飞船而言是从后方沿曲线运动到前方，不再是惯性系，故狭义相对论原理不再适用。这个过程需要用广义相对论原理进行解释，简而言之就是在飞船调头时，飞船内的乙观测到地球上的甲在迅速衰老。

双生子实验在1971年完成：将具有极高精度的铯原子钟放在飞机上，沿赤道向东和向西绕地球一周，回到原处后，分别比静止在地面上的钟慢了59纳秒和快了273纳秒。因为地球以一定的角速度自西向东转动，地面不是惯性系，而地心指向太阳的参考系可认为是惯性系。由于飞机的速度总小于太阳的速度，因此飞机相对惯性系总是向东转的，只是沿赤道向东飞行时相对惯性系的速度大、向西飞行时小，静止在地面上则介于两者之间。上述实验结果与广义相对论（对时钟的影响不仅有运动学效应，还有引力效应）的理论计算比较，在实验误差范围内相符。因而，我们今天不在说“双生子佯谬”，而是称之为“双生子效应”。

五、速度的合成

对位置x'和时间t'求导，有

()()??

?

????? ???-='???? ???-='?-='??-='x c u t t x c u t t t u x x t u x x d d d d d d 22γγγγ 速度就是位置随时间的变化，即

221d d d d d d c v u u v x c u t t

u x t x v x x

x ?--=?-?-=''=

' 21d d c

v u u v t x

v x x

x '?++'==

?

??

?

??-=

??? ???-=''=

'221d d d d d c v u v x c u t y

t y v x y y γγ 其余速度分量同理。

追光问题：当v x '=c 时，

c c

c u u

c v x =?++=

2

1 即真空光速与参考系无关。

六、狭义相对论动力学

1、相对论动量

假设有两个静止时质量相同（都为m 0）的小球A 和B ，在光滑水平面（S 系）上以大小相等、方向想法的速度在原点发生完全弹性斜碰撞，运动方向与x 轴夹角（锐角）为θ。碰撞后x 方向上的速度分量不变，y 方向上的速度分量发生交换。碰撞前A 在x 方向上的速度分量指向x 轴正方向，在y 方向上的速度分量指向y 轴正方向。S'系相对S 系的速度为u=v·cosθ，方向为x 轴正方向。

????????????? ??-?-???? ??-?=??? ??-='碰撞后碰撞前22

2221sin 1sin 1c u v c u v v c u v v Ax Ay Ay γθγθ

γ ????

????????? ??+????? ??+?-=??? ??-='碰撞后碰撞前22

2221sin 1sin 1c u v c u v v c u v v Bx By By γθγθ

γ 考虑y'方向上的速度分量：S'系中碰撞前后y'方向上动量守恒，即

???

? ??+?'+???? ??-?-'=???? ??+?-'+???? ??-?'222222221sin 1sin 1sin 1sin c u v m c u v m c u v m c u v m B

A B A

γθ

γθγθγθ 化简后得到

2

22

2

11c

u c u m m A

B -+'=' 当θ→0时，u→v ，上式变为

2

22

211c

v c v m m A

B -+'=' 考虑x'方向上的速度分量

22

0222212cos 1cos 21c

v v

c v v v c u u v v Bx Bx Bx +-=+?-=--=

'→θθθ 整理得

022

2='++'Bx Bx v v v c

v 解得

2

2

11c v c v v Bx Bx '-??

? ??'-=

带入m B '表达式，得

2

11??

? ??'-'='c v m m Bx A

B

当θ→0时，A 在S'系中静止，m A '=m 0，所以

2

01???

??'-=

'c v m m Bx B

即，在惯性系中对一个以速度v 运动的物体的质量的测量结果为

2

2

01c v m m -=

即运动物体的测量质量增大。动量为

2

201c

v v m p -?=

2、力

2

1

2202322202201d d 1d d d 1d

d d ???

?

??-?+???? ??-???=-?=

=c v t v m c v c t v v v m t c u v

m t

p F

3、相对论动能

在一维下，

()()v v m m v v v m r t v m r F d d d d d d d d 2??+?===?

m

c m v v v m m v m v v m m c m v m c m c m m m

d d d d 2d 2d 2222

222

22

20220

=+???+=??+=??=γ

因此有

m c r F d d 2=?

设质点从位置a 运动到位置b ，速度从0增至v ，质量从m 0变为m ，则

2

0220

d d c

m c m m c r F m m b a

?-?=?=???

故质点速度为v 时的动能为

202c m mc E k -=

当v<

c

v 为变量做泰勒展开，得

20222022

20211211111v m c v c m c v c m E k ≈???? ??--+=?????

?

? ??--= 4、质能关系

静能：m 0c 2

总能：E=E k +m 0c 2=mc 2 总能增量：ΔE=Δmc 2

5、相对论动量与能量的关系

420222222

202

2

21c m c p E c v c m E E p c v v m p c m E +=???

?

????

-=

=??

???=?=

七、高速运动物体的视觉形象

尺度收缩效应的形象是人们观测物体上各点对观察者所在参考系的同一时刻的位置（异地同时测量）构成的形象，可称为“测量形象”；而物体产生的“视觉形象”，即我们看到的（或照相机拍摄的）形象，是由物体上各点发出后同时到达观察者的光线所组成，这些光想并不是同时自物体发出的。

以运动物体作为参考系S'系，观察者所在参考系为S 系。S'系相对于观察者所在的S 系以速率u 沿x 轴正方向运动。S'系中物体上一点P'的坐标为(x',y')，在变换到S 系为

????

?'

='

-=y y x x 21β 设观察者处于垂直于运动的y 负方向上，且很远，这样便可以认为从物体上各点射向观察

者的光线都平行于y 轴。为了使光线同时到达观察者，以坐标原点为基准，在它以上的点在x 方向的位置需要有一定的提前量，以下的点则需要有延迟量。于是物体的形象发生剪切，这才是物体的视觉形象。S 系中，在x 方向上的平移量为Δx=ut ，而c

y

t =是是光线走过距离y 所需的时间。设构成视觉形象的各点坐标为(x *

,y *

)，则有变换关系

??

???'=='

-'-=-=?-=*

*y y y y x y x x x x βββ21 在远方的观察者是物体在垂直于视线方向上的投影。把物体的视觉形象与原物体放在一

起对比，P'变到了P *位置，设P'到原点距离为R ，以R 为半径作圆，再由P *作平行视线的光线交圆于点Q ，则在观察者看到的投影形象中P'似乎转动了一个角度Δθ=∠P'OQ 。

令P'和Q 的极坐标分别为(R,θ)和(R,θ*)，则Δθ=θ*-θ，

R x '=

θcos R

y '

=θsin

R

y x R x '-'-=

=*

*

ββθ21cos 利用三角函数运算法则sin 2θ+cos 2θ=1计算（考虑象限）得

R

y x '

-+'=

*

21sin ββθ

进而得出

()

c

u

=

=-=-=?***βθθθθθθθsin cos cos sin sin sin 该式表明，观察者看到的高速运动的物体的形象似乎是原物体整体转过一个角度Δθ=arcsinβ。该现象首先由Terrell 发现，故称为“Terrell 转动”。令

()

θβθβθ

θ

βθβθcos sin 1d sin cos 1d d d 022R R R R x ---=--==*

即

θβ

βθsin 1cos 2

--

=

结合sin 2θ+cos 2θ=1，得

βθ=sin

则x *的极值为

R R

R R

R R ±=-

=----=--θβ

θβθβ

ββθβθβsin sin sin 11sin cos 12

2

2

这说明，观察者是“看不到”尺度收缩效应的。

八、闵可夫斯基空间与时空四矢量

1、洛仑兹变换矩阵

????

????????=??

????????????????

??????-??=??????????'??'''t c i z y x t c i z y x i i t c i z y x L 0

00100001000

γγβγβγ

式中i 为虚数单位。洛仑兹变换矩阵的逆等于其转置，即L -1=L T 。

2、洛仑兹协变矢量：X=(x,y,z,ict)T 称为时空四矢量。其导数dX=(dx,dy,dz,ic ﹒dt)T 仍为时空四矢量。

3、洛仑兹变换不变量

()()()()()()()[]()[]

()()()()

2

222222222,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,t c z y x ict z y x ict z y x ict z y x L L ict z y x ict z y x L ict z y x L t ic z y x t ic z y x t c z y x T

T

T T

T T T

-++====''''''''='-'+'+' 即，时空四矢量的各分量的平方和是与参考系无关的常量。

4、间隔的不变性

设有两个事件：事件1(x 1,y 1,z 1,ict 1)，事件2(x 2,y 2,z 2,ict 2)。两个事件的间隔定义为

()()()()

()()

2

222212212212212r t c ict ict z z y y x x S ?-?=--------=? （41） 由于两个时空四矢量的和差仍为时空四矢量，所以ΔS 2为不变量。

（1）同地相继发生的两个事件：ΔS 2=c 2(Δt)2，原时Δt 为不变量；

（2）异地同时发生的事件：ΔS 2=-(Δr)2，Δr 大小不变，但方向可能改变； （3）用光信号联系的两个事件：ΔS 2=0。