上海大学2013-2014高等数学期末模拟试题一及答案
上海大学2013-2014高等数学
期末模拟试题一及参考答案
一、单项选择题（6×3分）
1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )
A.0
B.
C.
D.
2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）
A.充分条件
B.充分必要条件
C.必要条件
D.既非充分又非必要条件
3、设函数，则等于（）
A. B.
C． D.
4、二次积分交换次序后为（）
A. B.
C. D.
5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散 C.不能确定其敛散性
6、设是方程的一个解，若，则在处（）
A.某邻域内单调减少
B.取极小值
C.某邻域内单调增加
D.取极大值
二、填空题（7×3分）
1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影
＝
2、设，，那么
3、D为，时，
4、设是球面，则＝
5、函数展开为的幂级数为
6、＝
7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为
三、计算题(4×7分)
1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。
2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。
3、计算二重积分，其中
4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。
5、求级数的和。
四、综合题(10分)
曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。
五、证明题 (6分)
设收敛，证明级数绝对收敛。
模拟试题一参考答案
一、单项选择题（6×3分）
1、 A
2、 C
3、 C
4、 B
5、 A
6、 D
二、填空题（7×3分）
1、2
2、
3、 4 、
5、 6、0 7、
三、计算题(5×9分)
1、解：令则，故
2、解：令
则
所以切平面的法向量为：
切平面方程为：
3、解：＝＝＝
4、解：令，则
当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则
＝＝＝
5、解：令则
，
即
令，则有
＝
四、综合题(10分)
解：设曲线上任一点为，则
过的切线方程为：
在轴上的截距为
过的法线方程为：
在轴上的截距为
依题意有
由的任意性，即，得到
这是一阶齐次微分方程，变形为：
(1)
令则，代入（1）
得：
分离变量得：
解得：
即
为所求的曲线方程。
五、证明题 (6分)
证明：
即
而与都收敛，由比较法及其性质知：
收敛
故绝对收敛。
上海大学材料科学考研复试经验
上海大学材料科学考研 复试经验 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
一、关于导师 1.可以查看调剂网站上相关导师的介绍！材料加工2属于钢冶，是钢冶在招生。（因为数学1和数学2的问题） 2.上大材料学院网站上教授名录中了解相关导师的研究方向，钢冶老师一般都是与钢铁的冶炼或电磁冶金有关！相关导师为：鲁雄刚、丁伟中、翟启杰、张捷宇、任忠明等。而材料加工1一般与汽车用钢、钢材方面研究有关！相关导师为：吴晓春、朱丽慧、李麟等。 3.建议积极联系导师，写邮件、短信、电话为主，注意礼貌。由于老师比较忙，可能不能及时回复，这个也需要体谅! 联系导师是整个复试乃至决定是否能被录取的关键。导师名额有限，一般博导可以招3名学硕1名专硕，其中可能有2名学硕名额已经为直研所占，所以请复试的同学千万注意这方面。在钢冶和材料加工2复试报到时就要填写你所填报的导师，该导师手中有无名额基本决定你能否被录取，（假如你填报的是大导师，他可能会把你给小导师带，仍然挂他的名字）所以在复试之前务必了解清楚。这个希望学弟学妹引起重视，联系导师很关键！ 二、复试笔试准备 1.复试科目可查看学校规定的相关复试科目。认真复习，真题不是很清楚。 2.关于相关复试参考书目有2本的问题 就是出20道题，10道出自书A，10道出自书B，让你选作。 3.材料加工2和钢冶的复试笔试考题比较基础，如出20道简单或计算题，要求做10道！以材料科学基础为例，基本考察的就是晶向晶面的作图、相图、强化类型、形核自由能条件等等，记得不是太清楚了，比较基础，多看看相关书不成问题！ 材料加工1的复试笔试情况基本同上，题目为选择、简单、计算、开放型题目。都是基础题，希望学弟学妹认真准备。 三、复试英语面试 材料加工2和钢冶： 用英语进行一些家常事的对话！比如自我介绍、自己的大学生活、为什么来读研、未来的打算等等！口语为主（钢冶考不考专业英语不是很清楚，可以考虑准备，万无一失） 材料加工1：分为2种 1.专业英语的考察，看一篇文章，读、讲讲文章大意。 2.自我介绍，口语家常！ 四、复试专业面试 复试专业面试一般考察3个方面： 1.毕业设计原理、实验方法、意义等在复试前弄清楚。 2.大学时的专业课一些考得较好的、科目名字较为生僻的都会成为老师们了解的热点。 3.关于读研目的的考察 在面试过程中，保持积极、乐观向上的态度！ 五、关于分数线和本科学校 1.复试分数线来说： 材料加工1分数相对材料加工2和钢冶要高一些。 从调剂分数来讲，材料加工2和钢冶由于招收人数接近是材料加工1的2倍，所以分数也低不少，所以调剂材料加工1的同学假如分数不是很给力的话，可以考虑调剂材料加工2。（去年材料加工1调剂分数貌似350算挺低的了） 不过分数并不是决定你能不能上的关键，它只是你能不能来复试的门槛，关键在于你在复试中的表现。
上海大学数学研究分析历年考研真题
上海大学数学分析历年考研真题
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上海大学2000年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 设 122(1)n n x x nx y n n +++= +L ，若lim n n x a →∞=，证明：（1）当a 为有限数时，lim 2 n n a y →∞=； （2）当a =+∞时，lim n n y →∞ =+∞. 2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且 [] 0,1min ()1f x =- 证明：[] 0,1max ()8f x ''≥ 3、 证明：黎曼函数[]1 , x= (0,,)()0,10,p q p q q q R x ?>? =??? 当为互质整数在上可积当x 为无理数. 4、 证明：1 2210 () lim (0),t tf x dx f t x π+ -→=+?其中()f x 在[]1,1-上连续. 5、 设()1ln 11n n p a n ? ?=+- ???，讨论级数2 n n a +∞ =∑的收敛性. 6、 设 ()f x dx +∞ ? 收敛且()f x 在[]0,+∞上单调，证明：0 1 lim ()()h n h f nh f x dx + +∞ +∞ →==∑?. 7、 计算曲面2 2 2 2 x y z a ++=包含在曲面22 221(0)x y b a a b +=<≤内的那部分的面积. 8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数 1 sin k k k +∞ =∑的值. 上海大学2001年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 计算下列极限、导数和积分: (1) 计算极限1 lim ();x x x + → (2) 计算 2 ()()x x f t dt ?=?的导数()x ?',其中()f x 2 ,(1) .1,(1)t t t t ≤?=? +>? (3) 已知( ) 21 1arctan 2tan 1sin 2 x x ' ??=??+??,求积分2011sin I dx x π=+?.
高等数学(B2)期末模拟试卷(一)及答案
高等数学（B2）期末模拟试卷（一） 一、选择题（本大题共 小题，每题 ，共 ） ? ) 1ln(41222 2 -++--= y x y x z ，其定义域为 ?????????????????????????????????（?） ? { } 41),(2 2<+ ???????????????????（?） ? 5- ? 1- ? 1 ? 5 ? 设05432:=+++∏z y x ，4 1 321:-= =-z y x L ，则∏与直L 的关系为 ??（ ?） ? L 与∏垂直 ? L 与∏斜交 ? L 与∏平行 ? L 落于∏内 ? 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{} 40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D )(2 2y x f +为 D 上的连续函数，则 σ d y x f D )(22?? +可化为 ?????????????????????????????????????????????? ????（ ） ? σd y x f D )(1 22?? + ? σd y x f D )(21 22??+ σd y x f D )( 4 1 22??+ ? σd y x f D )(81 22??+ ? 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解 ?????????????????????????????????????????????（ ?） ? x e cx y += ? x e c y x c +=+21 x c e c y x 21+= ? )(21x e x c c y += ? 下 列 哪 个 级 数 收 敛 ?????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????（ ） ? ∑∞ =-1 ) 1(n n ? ∑ ∞ =+1 1001 n n ? ∑∞ =+1100n n n ? ∑∞ =1100100 n n ? 若 ??=D d 4 σ，其中 ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数 北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数， 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域． 解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++ 上海大学材料学院本科生学业导师工作条例 以建立研究型学院本科生人才培养基地为目标，充分发挥学校“三制”优势，调动广大教师参与学院本科生人才培养的积极性；以科研优势为依托，遵循教与学的客观规律，针对低年级与高年级学生不同需求，完善材料学院导师制工作体系；参照《上海大学导师制实施办法》，并结合材料学院研究型学院特色，以学业指导及科研实践指导为主要内容，制定《上海大学材料学院本科生导师工作条例》，要求如下： ●导师资格：由全院教师共同参与，将学业指导与科研实践（毕业论文、设计）指导相结合，按照1：3—5的比例，由教研室（或系）确定专业导师，原则上每位学生由其专业导师从三年级起负责学业指导，直至离校。 ●导师职责：以学生的科研实践指导及专业指导为工作重点，以提高学生的自学能力和创新实践能力为目标，及时解决学生在学业中遇到的困难，协助辅导员做好优秀生培养、学业困难学生学习指导以及学生就业推荐工作。 （1）、指导学生参加科研实践，安排学生参加课题组讨论及讲座，指导学生撰写文献综述并给予考评，积极为学生提供更多的研究实践。 －1－ （2）、每学期根据学生成绩情况有针对性地找学生谈心，帮助学业困难学生调整学习方法，引导与帮助优秀学生利用“三制”优势调整学业计划。 （3）、以各专业教学计划为依据，在学生选择选修课程时能够根据课题及学生自身发展需求给予及时引导与帮助。 （4）、帮助优秀生完成考研、第二学科、提前毕业等学业目标，并在学生就业推荐方面提供帮助。 （5）、指导学生按学校要求认真完成毕业论文（设计）。 （6）、积极配合辅导员组织学生参加各类学科竞赛。 ●具体要求 （1）、高年级专业导师应了解《学生手册》及学校教学管理方面的各项规定，熟悉专业教学计划，与教学秘书与辅导员多做交流并据此开展学生的专业指导工作。 （2）、科研实践指导是高年级专业导师的主要任务，要根据各课题组实际情况有组织、有安排地对学生进行指导，努力提高学生自学能力与动手创新实践能力。 （3）、每位学生由其高年级专业导师从三年级负责直至离校，专业导师应与辅导员保持密切联系、及时沟通，认真、负责、平等地对待每一位学生。 ●学生对象：面向全院高年级学生，学生、导师进行双向选择。 －2－ 离散数学图论部分综合练习 一、单项选择题 1．设无向图G 的邻接矩阵为 ??????? ? ??? ?? ???010 1010010000 011100100110 则G 的边数为( )． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．已知图G 的邻接矩阵为 ， 则G 有（ ）． A ．5点，8边 B ．6点，7边 C ．6点，8边 D ．5点，7边 3．设图G ＝ A．{(a, e)}是割边B．{(a, e)}是边割集 C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集D．{(d, e)}是边割集 图三 7．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示，则下列结论成立的是( )． 图四 A．（a）是强连通的B．（b）是强连通的 C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的 应该填写：D 8．设完全图K n 有n个结点(n≥2)，m条边，当（）时，K n 中存在欧拉 回路． A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m为偶数9．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )． A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v＋2 10．无向图G存在欧拉通路，当且仅当( )． A．G中所有结点的度数全为偶数 B．G中至多有两个奇数度结点 C．G连通且所有结点的度数全为偶数 D．G连通且至多有两个奇数度结点 11．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树． A．1 m n-+B．m n-C．1 m n++D．1 n m -+ 12．无向简单图G是棵树，当且仅当( )． A．G连通且边数比结点数少1 B．G连通且结点数比边数少1 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) .d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 （第七题删掉了） 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422 11、(本小题5分) ． 求? π +20 2sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) . d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) . 823 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 (答案) 【注】 高等数学考试时间：7月13日（第二十周周二) 地点:主教楼１6０1教室 以下题目供同学们复习参考用！！！! 《高等数学》(二）期末模拟试题 一、填空题：(15分） 1．设,y x z =则=??x z .1-y yx 2. 积分=??D xydxdy ．其中Ｄ为40,20≤≤≤≤y x 。 16 3． L 为2x y =点(０,0)到(１,1)的一段弧，则=? ds y L .121 55- 4. 级数∑∞ =-1)1(n p n n 当p 满足 时条件收敛.10≤ （C)?? ?+----2 22 2 1 1 1 1 y x x x dz dy dx ; (D ）??? 1 1 0 2 0 dz rdr d π θ。 5.方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为 。B （A ）x e b ax )(+ （B)x cxe b ax ++ (C ）x ce b ax ++ (D ）x xe b ax )(+ 三、),(2 2 x y f z -=其中)(u f 有连续的二阶偏导数,求22x z ??.(８分) 解：)2(x f x z -?'=?? )2()2(222-?'+-?''=??f x f x z f f x '-''=242 例、设)](,[2 xy y x f z ?-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，求x y z ???2． x f f y z ?'?'+-?'=???21)1( ]2[1211 2y f x f x y z ?'?''+?''-=????x y f x f ?'??'?''+?''+??]2[2221??' ?'+??''?'+22f x y f 11 22)(f x xy f ''-''+'?'=??222122)2(f xy f y x ''?'+''?'-+?? 四、计算?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (,L 为由点A （1,０）到B(0,1），再到 C(-1,0)的有向折线。（8分） 解：2cos ,2sin -=-=y e Q y y e P x x y e x Q y e y P x x cos ,2cos =??-=?? .,,围成的区域为由设CA BC AB D 由格林公式 ?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (???-+--??-??=CA x x D dy y e dx y y e dxdy y P x Q )2cos ()2sin ()( 02-=??dxdy D =2 五、计算 ?? ∑ ++dxdy zx dzdx yz dydz xy 2 22,其中∑为球体4222≤++z y x 及锥体22y x z +≥的公共部分的外表面。(８分） 解：,围成的空间区域为由设∑Ω 大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e 1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ． (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-? 10211dx x 2π . (5) =?∞ +121dx x 1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 21. (2) 设x x x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B) (A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C) (A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D) (A) ?=')()(x f dx x f . (B) C x f dx x f dx d +=?)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x -='?. (D) )())((0x f dt t f x ='?. 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 6 2)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x 关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020 （一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B 、 5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内 （ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限 （1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 （1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ； （2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ； （3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分 （1 ）； （2 ）； （3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x 大一高数期末考试试题 一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim()x x x e x →-= .2 ．()()120051 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导， 且1 ()() x tf t dt f x =? ，1)0(=f ，则 ()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分， 共计16分） 1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x * =; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ）x A y 2sin * =.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ） 若 )(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是 周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则 上海大学2000年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 设 122(1)n n x x nx y n n +++= +，若lim n n x a →∞=，证明：（1）当a 为有限数时，lim 2 n n a y →∞=； （2）当a =+∞时，lim n n y →∞ =+∞. 2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且 [] 0,1min ()1f x =- 证明：[] 0,1max ()8f x ''≥ 3、 证明：黎曼函数[]1 , x= (0,,)()0,10,p q p q q q R x ?>? =??? 当为互质整数在上可积当x 为无理数. 4、 证明：1 2210 () lim (0),t tf x dx f t x π+ -→=+?其中()f x 在[]1,1-上连续. 5、 设()1ln 11n n p a n ? ?=+- ???，讨论级数2 n n a +∞ =∑的收敛性. 6、 设 ()f x dx +∞ ? 收敛且()f x 在[]0,+∞上单调，证明：0 1 lim ()()h n h f nh f x dx + +∞ +∞ →==∑?. 7、 计算曲面2 2 2 2 x y z a ++=包含在曲面22 221(0)x y b a a b +=<≤内的那部分的面积. 8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数 1 sin k k k +∞ =∑的值. 上海大学2001年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 计算下列极限、导数和积分: (1) 计算极限1 lim();x x x + → (2) 计算 2 ()()x x f t dt ?=?的导数()x ?',其中()f x 2 ,(1) .1,(1)t t t t ≤? =? +> ? (3) 已知) 211sin x x ' ?=?+?,求积分2011sin I dx x π=+?. 学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线-------------------------------- 1. 描述晶体与非晶体的区别，从结构、性能等方面。 2. 描述晶体结构与空间点阵的区别。 3. 在简单立方晶系中，作图表示下述的晶面和晶向，并指出其中哪些晶面与 晶向是垂直的，哪些是平行的。()()()[][][]211,110,111,201,011,111 4. 试在六方晶系的晶胞上画出)(2110晶面、[]0211和[]1011晶向。 5. 铜为面心立方结构，X 射线衍射测定a=0.3615nm ，（1）按刚球密堆模型 计算最近邻原子中心距离是多少？以任一原子为中心，这样距离的原子数目是多少？（2）原子密排面和密排方向是什么？堆垛顺序如何？（3）原子密排面{hkl}和密排方向 《微积分下》作业1答案 学院 专业 年级班级 姓名 学号 一、单选题（20×3） 1. =-? dx x 2 1 ( B ) A. ? ?-+-1 2 1 )1()1(dx x dx x B. ?? -+-10 2 1)1()1(dx x dx x C. ? ?-+-1 2 1 )1()1(dx x dx x D. ? ?-+-1 2 1 )1()1(dx x dx x 2.下列各式中积分值为零的是（ B ） A.dx x ?-1 1 2 B.dx x x ?-1 1 C.dx x ?-1 121 D. dx x ?-+1 1241 3． ? =π (sin xdx x A ） A.π B.π- C.π2 D.π2- ? =π sin xdx x ?-π 0cos x xd ?+-=π π 0cos 0cos xdx x x =ππ π=+0 sin x 4.下列不等式中正确的是（ B ） A.dx x dx x ? ? ≤ 1 1 32 B. dx x dx x ? ? ≥ 1 1 32 C. dx x dx x ? ? ≤ 2 1 2 123 D. dx x xdx ? ? ≥ 2 1 21 2 在]1,0[上3 2 x x ≥∴dx x dx x ? ? ≥ 1 1 32 5．若='=?-)(()(x a dt te x a x t ??为常数），则( A ) A.x xe -- B. x xe - C. a x ae e --+- D. a x ae e --- dt te dt te x x a t a x t ??---==)(? x xe x --=')(? 6. =?dx x x e )sin(ln 1 1( C ) A.1sin 1- B.11sin - C.1cos 1- D.11cos - =? dx x x e )sin(ln 1 1 )(ln )sin(ln 1 ?e x d x =11cos 1)cos(ln +-=-e x 7．下列广义积分 dx xe x ? +∞ -0 的值是（ A ） 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 高等数学公式 From:上海大学通信与信息工程学院 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 2 2 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-= -+=++-=++=+=+-=? ?? ?????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 2 2 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 0ππ 05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为高数期末考试试题及答案[1]
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