2009年江苏高考数学试卷及答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

参考公式：

样本数据

12,,

,n x x x 的方差2

2

1111(),n n i i

i i s x x x x n n ===-=∑∑其中

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。 1.若复数

12429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为______

2.已知向量

a

和向量

b

的夹角为

30

，

||2,||3

==a b ，则向量

a

和向量

b

的数量积

=a b __________ .

3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为_____

4.函数

s i n ()(y A x A ω?

ω?

=+为常数，

0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，

则ω=

_______ .

5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为________ .

6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班

6

7

6

7

9

1

1 π-

23

π-

3π

-

O x

y

则以上两组数据的方差中较小的一个为2

s

=________ .

7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W =________ .

8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为________ .

9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线

3

:103C y x x =-+上，

且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________.

10.已知

512

a -=

，函数

()x

f x a =，若实数

,m n

满足

()()f m f n >，则,m n 的大小关系为 _______

. 11.已知集合

{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ?则实

数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =________ .

12.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直.

上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）. 13．如图，在平面直角坐标系

xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆

2

2

221(0)x y

a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12

A B 与直线

1B F 相交于点T ，

线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT

的中点，则该椭圆的离心率为________. 14．设

{}n a 是公比为

q

的等比数列，

||1

q >，令

1(1,2,n n b a n =+=若数列{}

n b 有连续四项在集合

x

y

A1 B2

A2 O

T

M

开始

0S ← 1T ←

2S T S ←-

10S ≥

2

T T ←+W S T ←+

输出W 结束

Y

N

{}53,23,19,37,82--中，则6q = ________

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。 15．（本小题满分14分） 设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )

ααββββ===-a b c （1）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；

（2）求||+b c 的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，

求证：a ∥b .

16．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E,F 分别是11A B,A C 的中

点，点D 在

11B C 上，11A D B C ⊥

求证：(1)EF ∥ABC 平面（2）111A FD BB C C ⊥平面平面

17．（本小题满分14分） 设

{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足

2222234577a a a a ,S +=+=（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；

（2）试求所有的正整数m ，

使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22

1

:(3)(1)4C x y ++-=和圆

222:(4)(5)4C x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被

圆

1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；

（2）设P 为平面上的

点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线12l l 和，它们分别

与圆

1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆

2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.

x

y

O

1

1 .

.

19.(本小题满分16分)

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满

意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n

n a +.如果一个人对两种交易(卖出或

买进)的满意度分别为

1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为12h h .

现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖

出A 与买进B 的综合满意度为

h 乙

求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当

35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； 设3

5A B

m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

记(2)中最大的综合满意度为

0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，

但等号不同时成立？试说明理由。

求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当

3

5A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； 设3

5A B

m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

记(2)中最大的综合满意度为

0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，

但等号不同时成立？试说明理由。

20．(本小题满分16分)设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.若(0)1f ≥，求a 的取值范

围；求

()f x 的最小值；设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出(不需给出演算步骤)不等式

()1h x ≥的解集.

参考答案

1.【答案】20- 【解析】略

2.【答案】3

【解析】32332=??

=a b

3.【答案】(1,11)-

【解析】

2

()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+

，由

(11)(1)0

x x

-+<得单调减区间为

(1,11)-。

4.【答案】3

【解析】3

2T π=，

23T π

=，所以3ω=， 5.【答案】0.2

【解析】略

6.【答案】2

5

【解析】略 7.【答案】22 【解析】略 8.【答案】1：8 【解析】略 9.【答案】

(2,15)-

【解析】略

10.【答案】m n < 【解析】略 11.【答案】4 【解析】由

2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ?知4a >，所以c =4。

12.【答案】（1）（2） 【解析】略 13.【答案】2

75e =-

【解析】用,,a b c 表示交点T ，得出M 坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.

x

y

A1

B2

A2 O T

M

14.【答案】9-

【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解. 15.【解析】由a 与2-b c 垂直，(2)20?-=?-?=a b c a b a c ，

即

4sin()8cos()0αβαβ+-+=，tan()2αβ+=；

(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c

222||sin 2sin cos cos ββββ+=+++b c 2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+ 1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，最大值为32，所以||+b c 的最大值为42。

由tan tan 16αβ

=得sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ?-=，

所以a ∥b .

16.【解析】证明：（1）因为E,F 分别是

11A B,A C 的中点，所以EF //BC ，又EF ?面ABC ，

BC ?面ABC ，所以EF ∥ABC 平面；

（2）因为直三棱柱

111ABC A B C -，所以1111BB A BC ⊥面，11BB A

D ⊥，又11A D B C ⊥，所以111AD BC C ⊥面B ，又11AD AFD ?面，所以

111A FD BB C C ⊥平面平面。

17.（1）设公差为d ，则

2222

254

3a a a a

-=-，由性质得

43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所【解析】

以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ?+=，解得1

5a =-， 2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和2

6n S n n =-。

A

B

C

A1

B1

C1

E

F

D

（2）12272523m m m a a (m )(m )a (m )++--=-，令23m t -=，1242m m m a a (t )(t )a t ++--=86t t =+-，

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，当1t =，2m =时，8

63

t t +-=，2573?-=，是数列{}n a 中的项；1t =-，1m =时，8

615

t t +-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合。

所以满足条件的正整数2m =。

18.【解析】(1)

0y =或7

(4)24y x =--，

(2)P 在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P 坐标为313(,)22-或51

(,)

2

2-。 19.【解析】(1)

=

,=,

125320A B A B

A B A B m m m m h h m m m m ??++++乙甲([3,12],[5,20])

A B m m ∈∈

当

3

5A B

m m =时， 2

3

5

=,35(20)(5)125B B B B B B B m m m h m m m m ?=++++甲23

5=,

320(5)(20)35B

B B B B B B m m m h m m m m ?=++++乙

显然

=h h 乙

甲

(2)当

35A B

m m =时，2211

=,

20511(20)(5)(1)(1)100()251B B B B B B B

m h m m m m m m ==++++++甲

由

111

[5,20][,]

205

B B m m ∈∈得，故当11

20B

m =即20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综

合满意度为10

5

20.【解析】（1）若(0)1f ≥，则20

||11

1a a a a a

（2）当x a ≥时，

22()32,f x x ax a =-+2

2

min

(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ?≥≥???==??<

当x a ≤时，22

()2,

f x x ax a =+-2min

2

(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ?-≥-≥??==??<

综上22

min

2,0

()2,03a a f x a a ?-≥?=?

(3)

(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ?=--=-

当

6622a a ≤-

≥或时，0,(,)x a ?≤∈+∞；

当

6622a -

<<时，0,?>得

22

3232()()033a a a a x x x a ?--+-?--≥??>?

1）

26(

,)

22a ∈时，(,)x a ∈+∞

2）22[,]22a ∈-时，2

32[,)

3a a x +-∈+∞

3）62

(,]

22a ∈--时，223232(,][,)33a a a a x a --+-∈+∞