2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题28 基本不等式及其应用 理(含解析)新人教A版

2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题28 基本不等式及其应用

理（含解析）新人教A 版

【高频考点解读】

1.了解基本不等式的证明过程；

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【热点题型】

题型一 利用基本不等式证明简单不等式 【例1】 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0.

求证：? ????y x ＋z x ? ????x y ＋z y ? ??

??x z ＋y z ≥8.

证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，

∴y x ＋z x

≥2yz x

＞0，x y ＋z y

≥2xz y

＞0， x z ＋y z ≥2xy z

＞0， ∴? ????y x ＋z x ? ????x y ＋z y ? ??

??x z ＋y z ≥

8yz ·xz ·xy xyz ＝8，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立． 【提分秘籍】

利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．

【举一反三】

已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1

c

≥9.

题型二 利用基本不等式求最值

【例2】 解答下列问题：

(1)已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； (2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值； (3)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋1

4x －5

的最大值；

(4)已知函数f (x )＝4x ＋a

x

(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，求a 的值．

(3)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋1

5－4x )＋3≤－2＋3

＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋1

4x －5

的最大值为1.

(4)∵f (x )＝4x ＋a x

≥2

4x ·a x

＝4a ，

当且仅当4x ＝a x

，即4x 2

＝a 时f (x )取得最小值．

又∵x ＝3，∴a ＝4×32

＝36. 【提分秘籍】

(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．

(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．

【举一反三】

(1)设a ＞0，若关于x 的不等式x ＋a x

≥4在x ∈(0，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．16 D ．1

(2)设0＜x ＜5

2，则函数y ＝4x (5－2x )的最大值为______．

(3)设x ＞－1，则函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）

x ＋1的最小值为________．

【答案】 (1)A (2)25

2 (3)9

【解析】

题型三 基本不等式的实际应用

【例3】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制

50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油? ??

??2＋x 2

360升，司机的工资是每小时14元．

(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；

(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

【提分秘籍】

有关函数最值的实际问题的解题技巧

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；

(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．

【举一反三】

首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2

－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳

得到可利用的化工产品价值为100元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

【解析】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000

x

－

200≥2

12x ·80 000

x

－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x

，即x ＝400时等号成立，

故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．

(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －? ??

??12x 2－200x ＋80 000＝－

12x 2＋300x －80 000＝－1

2(x －300)2－35 000，因为x ∈[400，600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．

故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损. 【高考风向标】

1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21

281002

f x m x n x m n =

-+-+≥≥，

在区间122

??????

，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）

（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812

【答案】B 【解析】

2.【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，(

)2

a b

q f +=，1

(()())2

r f a f b =

+，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =<

D ．p r q =>

【答案】C

【解析】p f ==(

)ln 22

a b a b

q f ++==，11

(()())ln 22r f a f b ab =

+==()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为

2a b +>()2

a b

f f +>，所以q p r >=，故选C ． 3．（2014·辽宁卷）对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2

－2ab ＋4b 2

－c ＝0且使|2a ＋b |

最大时，3a －4b ＋5

c

的最小值为________．

【答案】－2 【解析】

4．（2014·山东卷）若?

????ax 2＋b x 6

的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2

的最小值为

________．

【答案】2

【解析】T r ＋1＝C r

6(ax 2)6－r

·? ??

??b x r

＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b

3

＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2

≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2

＋b 2

的最小值是2.

5．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m 3

，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )

A ．80元

B ．120元

C ．160元

D ．240元

【答案】C

【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2

)．容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立)．故选C.

6．(2014·重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 【答案】7＋4 3

【解析】由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab 得3a ＋4b ＝ab ， 且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3

b

＝1，

∴a ＋b ＝(a ＋b )·? ??

??4a ＋3b ＝7＋? ????3a b

＋4b a ≥

7＋2

3a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b

＝4b

a

时取等号．

5．（2014·四川卷）已知F 为抛物线y 2

＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →

＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )

A ．2

B ．3 C.172

8 D.10

【答案】B 【解析】

【高考押题】

1．设非零实数a ，b ，则“a 2

＋b 2

≥2ab ”是“a b ＋b a

≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】 B

【解析】 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2

≥2ab ，而a b ＋b a

≥2?ab ＞0，所以“a 2

＋b 2

≥2ab ”是“a b ＋b a

≥2”的必要不充分条件，故选B.

2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4

b

的最小值是

( )

A.7

2

B ．4

C.9

2

D ．5

【答案】 C

【解析】 依题意，得1a ＋4b ＝12? ????1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥1

2

(5＋2

b a ·4a b )＝9

2

，当且仅当?????a ＋b ＝2，

b a ＝4a b ，a ＞0，b ＞0，

即a ＝23， b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是9

2.

3．若正数x ，y 满足4x 2

＋9y 2

＋3xy ＝30，则xy 的最大值是 ( )

A.4

3

B.5

3

C ．2

D.54

【答案】 C

【解析】 由x ＞0，y ＞0，得4x 2

＋9y 2

＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.

4．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1

b

，则m ＋n 的最小值是

( ) A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【答案】 B

【解析】 由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1

b

＝2a ，

∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4.

5．要制作一个容积为4 m 3

，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是

( )

A ．80元

B ．120元

C ． 160元

D ．240元

【答案】 C

【解析】

6．已知向量m ＝(2，1)，n ＝(1－b ，a )(a ＞0，b ＞0)．若m ∥n ，则ab 的最大值为________．

【答案】 1

8

【解析】 依题意得2a ＝1－b ，即2a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)，因此1＝2a ＋b ≥22ab ，即

ab ≤18，当且仅当2a ＝b ＝12时取等号，因此ab 的最大值是18

.

7．已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【答案】 6

【解析】 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤? ??

?

?x ＋3y 22

，令x ＋3y ＝

t ，则t 2＋12t －108≥0，

解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.

8．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 【答案】 7＋4 3 【解析】

9．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1

y

的最小值．

解 (1)∵x ＞0，y ＞0，

∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .

∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有

?????2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得?

????x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.

∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.

∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.

(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝? ????1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120? ????7＋5y x ＋2x y ≥120? ?

?

??7＋2

5y x

·2x y ＝

7＋210

20

， 当且仅当5y x ＝2x

y

时，等号成立．

由????

?2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得?

????x ＝1010－20

3，y ＝20－4103

.

∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020

. 10．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．

(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？

(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)