湖南省衡阳市八中2011届高三数学第五次月考 文【会员独享】
衡阳市八中2011届高三第五次月考试题数学（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．幂函数)(x f y =的图像经过点1(,4)2，则1
()3
f 的值为
( )
A.1
B.4
C.9
D.16
2．若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的 （ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件
3．如图，下列四个几何体中，它们的三视图（正视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相同的是 （ ）
A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（2）（3）
D ．（1）（4）
4．在()0,ABC AB AB BC ABC ??+=?
中，若则是 ( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D. 等腰直
角三角形
5．已知曲线C 的参数方程是2cos 2sin x a y θ
θ=+??=?
(θ为参数)，曲线C 不经过第二象限，
则实数a 的取值范围是
（2
2的圆柱 （1）棱长为2的正方体 （3）底面直径和高均为2的圆锥
（4）长、宽、高分别为2、3、4的长方体
（ ）
A. a ≥2
B. a ＞3
C. a ≥1
D. a ＜0
6．定义在[2,2]-的函数满足()()f x f x -=-，且在[0,2]上是增函数，若
(1)()f m f m -<成立，则实数m 的取值范围是
( ) A ．122m <≤ B ．
13m -≤≤ C ．112m -≤< D ．1
2
m > 7．已知1a >，1b >，且1ln 4a ，1
4
，ln b 成等比数列，则ab
（ ）
A ．有最大值e
B ．有最小值e
C
D ．有最
8．已知双曲线C ：2
2
21(0)y x b b
-=>，过点M(1，1)能作直线l 交双曲线C 于A 、
B 两点，使得M 是线段AB 的中点，则实数b 取值范围为： （ ）
A ．
B ．(1,0)(0,1)-
C ．(0,1)
D ．(1,)+∞
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对
应题号后的横线上.
9．已知：||1,||2,,60,||a b a b a b ==<>=+
则= 。
10．已知抛物线C :y ＝x 2，则抛物线C 准线方程为： 。
11．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶3∶5，
现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n ＝______.
12．函数sin cos y x x =+在[0,]π上的单调增区间是： 。
13．直线31y k x b y x a x =+=++与曲线相切于点（2，3）
，则b 的值
为: .
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14．由曲线y x =，y x =-，2x =，2x =-围成的图形
绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ；满足
224x y +≤，22(1)1x y +-≥，22(1)1x y ++≥的点组 成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为
2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式1V :2V = 。
15．已知数列{}n a 是各项均为正整数的等差数列，公差d ∈*N ，且{}n a 中任意
两项之和也是该数列中的一项．
（1）若14a =，则d 的取值集合为 ；
（2）若12()m a m *=∈N ，则d 的所有可能取值的和为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若cos 10
C =-
，
cos 5
B =
.
（1）求cos A 的值；（2）若a =ABC ?的面积.
17．某高校2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[160，165），第2组[165，170），第3组[170，175），第4组[175，180），第5组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示。 ⑴求第3、4、5组的频率；
⑵为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ ⑶在⑵的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求：第4组至少有一名
学生被甲考官面试的概率？
18．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ， AB = AD=2PA ，E 、F 分别是PB 、PC 的中点. ⑴证明：EF ∥平面PAD ；
⑵求直线CE 与直线PD 所成角的余弦值.
19
有560单位维生素A 和630单位维生素B.
⑴若混合食物中恰含580单位维生素A 和660单位维生素B ，求混合食物的成本为多少元?
⑵分别用甲、乙、丙三种食物各多少千克，才能使混合食物的成本最低？最低成本为多少元？
20．已知数列{},n n a n S 的前项和为且对任意正整数(1)n n n S p a =-总有（p 为常数，
且0,1p p ≠≠），数列{}n n b b kn q =+满足（q 为常数）
⑴求数列{}n a 的首项1a 及通项公式（用p 表示）；
⑵若恰好存在唯一实数p 使得1133,,a b a b ==求实数k 的取值的集合。
21．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>和圆O ：222x y b +=，
过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为
,A B ．
⑴①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠= ，求椭圆离心率e 的取值范围；
⑵设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：222
2
a b ON
OM
+
为定值．
衡阳市八中2011届高三第五次月考答卷
数学（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选
9． ；10． ； 11． ；12． ； 13． ；14． ；
15．；.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
衡阳市八中2011届高三第五次月考试题
数学（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．幂函数)(x f y =的图像经过点1(,4)2，则1
()3
f 的值为
( C )
A.1
B.4
C.9
D.16
2．若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的
（ B ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件 3．如图，下列四个几何体中，它们的三视图（正视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相同的是 （ C ）
A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（2）（3）
D ．（1）（4）
4．在2
0,ABC AB BC AB ABC ??+=? 中，若则是 ( B )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D. 等腰直角三
角形
5．已知曲线C 的参数方程是2cos 2sin x a y θ
θ=+??=?
(θ为参数)，曲线C 不经过第二象限，
则实数a 的取值范围是 （ A ）
A. a ≥2
B. a ＞3
C. a ≥1
D. a ＜0
6．定义在[2,2]-的函数满足()()f x f x -=-，且在[0,2]上是增函数，若(1)()
f m f m -<成立，则实数m 的取值范围是
( A )
A ．122m <≤
B ．13m -≤≤
C ．112m -≤<
D ．12
m >
7．已知1a >，1b >，且1ln 4a ，1
4
，ln b 成等比数列，则ab
（ B ）
A ．有最大值e
B ．有最小值e C
D ．有最小
（2
2的圆柱 （1）棱长为2的正方体 （3）底面直径和高均为2的圆锥
高
8．已知双曲线C ：2
2
21(0)y x b b
-=>，过点M(1，1)能作直线l 交双曲线C 于A 、
B 两点，使得M 是线段AB 的中点，则实数b 取值范围为： （
C ）
A ．
B ．(1,0)(0,1)-
C ．(0,1)
D ．(1,)+∞
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9．已知：||1,||2,,60,||a b a b a b ==<>=+
则= 。10．已知抛物线C :y ＝x 2，则抛物线C 准线方程为： 。答案：1
4
y =-
11．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n ＝______. 答案：80
12．函数sin cos y x x =+在[0,]π上的单调增区间是： 。答案：[0,]4
π
13．直线31y kx b y x ax =+=++与曲线相切于点（2，3），则b 的值为: . 答案：—15
14．由曲线y x =，y x =-，2x =，2x =-围成的图形
绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ；满足
224x y +≤，22(1)1x y +-≥，22(1)1x y ++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出
1V 与2V 的一个关系式1V :2V = 。 答案： 4:3
15．已知数列{}n a 是各项均为正整数的等差数列，公差d ∈*N ，且{}n a 中任意两项之和也是该数列中的一项．
（1）若14a =，则d 的取值集合为 ；
（2）若12()m a m *=∈N ，则d 的所有可能取值的和为 ． 答案：（1）{}1,2,4；（2）121m +-
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若cos C =，
cos 5
B =
. （1）求cos A 的值；（2
）若a =ABC ?的面积.
解：（1
）cos()cos
A B C +=-
=
cos cos[()]1010A A B B =
+-=+=
224
cos 22cos 1215
A A ∴=-=?
-= (6)
分
（2
）cos A =
sin A
∴=
=
， 4b
∴=. 1114sin 4225
ABC
S ab C ?∴===……………………………………12分
17．某高校2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[160，165），第2组[165，170），第3组[170，175），第4组[175，180），第5组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示。 ⑴求第3、4、5组的频率；
⑵为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4
、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
⑶在⑵的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求：第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率？
18．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB= AD=2PA，
E、F分别是PB、PC的中点.
⑴证明：EF∥平面PAD；
⑵求直线CE与直线PD所成角的余弦值.
解：(Ⅰ) 在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.
又BC∥AD，∴EF∥AD,
又∵AD?平面PAD，E F?平面PAD,
∴EF∥平面PAD.
(Ⅱ)连结BD，取BD中点G，连结EG，CG，EC，
则
设AB= AD=2PA=2
EG=1
2
PD=
2
，
CG
CE=
2
∴222cos 235
CE GE CG CEG CE GE +-∠==
?, ∴直线CE 与直线PD
19
560单位维生素A 和630单位维生素B.
⑴若混合食物中恰含580单位维生素A 和660单位维生素B ，求混合食物的成本为多少元?
⑵分别用甲、乙、丙三种食物各多少千克，才能使混合食物的成本最低？最低成
本为多少元？
【解】解法一：设分别用甲、乙、丙三种食物xkg ，ykg ，zkg ，混合食物的成本
为p 元，则（Ⅰ）依题意得10607040580804050660x y z x y z x y z ++=??++=??++=?，即102318316z x y x y x y =--??
+=??-=?.
（2分）
由此解得x ＝6，y ＝z ＝ 2. （4分）
故混合食物的成本为6×11＋2×9＋2×4＝92(元). （5分） （II ）
10
607040560
8040506300,0,0x y z x y z x y z x y z ++=??++≥??
++≥??>>>?，即
300. （7分） 且119475p x y z x =++=+. （8分）
作可行域，. （10分）
由231603130
x y x y +-=??--=?，得点A (5，2). 平移直线7x ＋5y ＝0，由图知，当直线经过点A 时，
它在y 轴上的截距为最大，所以点A 为最优解， 此
时
7
5
p =?+
?+=
(元). （12分）
故用甲种食物5kg ，乙种食物2kg ，丙种食物3kg 时，才能使混合食物的成本最低，其最低成本为85元. （13分）
解法二：设分别用甲、乙、丙三种食物xkg ，ykg ，zkg ，混合食物的成本为p 元，则
10
607040560
8040506300,0,0x y z x y z x y z x y z ++=??++≥?
?
++≥??>>>?，即463130,0x y x y x y +≥??-≥??>>?. （7分）
且11947540p x y z x y =++=++.
（8分）
因为75(46)(3)x y x y x y +=++-≥，所以75404540p x y =++≥+=.
（10分）
当且仅当4632313x y x y +=??-=?，即5
2
x y =??=?时等号成立，所以p 的最小值为45.
（12分）
故用甲种食物5kg ，乙种食物2kg ，丙种食物3kg 时，才能使混合食物的成本最低，其最低成本为85元. （13分）
20．已知数列{},n n a n S 的前项和为且对任意正整数(1)n n n S p a =-总有（p 为常数，且0,1p p ≠≠），数列{}n n b b kn q =+满足（q 为常数）
⑴求数列{}n a 的通项公式（用p 表示）；
⑵若恰好存在唯一实数p 使得1133,,a b a b ==求实数k 取值的集合。
（
||
）
1133a b a b =??=?31()31
p
k q p p k q
p ?=+?-?
??
?=+?-?3()211p p k p p ?=+--3()211p p k p p ?-=-- 考虑函数3(),0f x x x x =-≠且1x ≠
则2'()313(33
f x x x x =-=+
- 所以3(),0f x x x x =-≠且1x ≠
在(,3-∞-
，(3
，)+∞
上为增函数；在(上为减函数； 恰好存在唯一实数p 使得1133,,a b a b ==
只要方程3
2x x k -=，0x ≠且1x ≠恰有一个实数解。
由图象可知，实数k 的取值的集合为
(,{0}()99
-∞-
+∞ 21．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的
两条切线，切点分别为,A B ．
（Ⅰ）（ⅰ）若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；
（ⅱ）若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=
，求椭圆离心率e 的取值范围；
（Ⅱ）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：222
2
a b ON
OM
+
为定值．
解：（Ⅰ）（ⅰ）∵ 圆O 过椭圆的焦点，圆O ：222x y b +=，
∴ b c =，
∴ 2
2
2
2
b a
c c =-=， ∴ 2
2
2a c =，
∴2
e =
． （ⅱ）由90APB ∠=
及圆的性质，可得OP =，
∴2
22
2,OP b a =≤
∴22
2a c ≤ ∴2
12e ≥
1e ≤<． ---------------- 6分 （Ⅱ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则
011011
y y x x x y -=--
整理得220011x x y y x y +=+
22211x y b +=
∴PA 方程为：211x x y y b +=，
PB 方程为：222x x y y b +=．
∴11x x y y +=22x x y y +， ∴
021
210
x y y x x y -=--,
直线AB 方程为 ()0
110
x y y x x y -=-
-，即 200x x y y b +=． 令0x =，得20b ON y y ==，令0y =，得2
b OM x x ==，
∴
2222
22222002
2
4
42a y b x a b a b a b b b
ON
OM
++
===，
∴22
22
a b ON OM
+为定值，定值是2
2a b ． ----------------13分
专题三 数列、推理与证明
(时间∶120分钟 满分∶160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)