必做01 空间向量与立体几何(原卷版)

理科必做部分

专题1 空间向量与立体几何

【三年高考】

1. 【2017江苏高考，22】如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，

AA 1=3，120BAD ∠=?．

（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．

2. 【2015江苏高考，22】如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2

ABC BAD π

∠=∠=

,2,1PA AD AB BC ====

（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；

（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长

3.【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=

.

（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；

（2）若P A =PD =A B =DC ，90APD ∠= ，求二面角A -PB -C 的余弦值.

4.【2017课标II ，理19】如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，

o 1

,90,2

AB BC AD BAD ABC ==

∠=∠= E 是PD 的中点。 （1）证明：直线//CE 平面PAB ；

（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45 ，求二面角M AB D --的余弦值。

5.【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．

（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值.

6.【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线

为旋转轴旋转120?得到的，G 是 DF

的中点. （Ⅰ）设P 是 CE

上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小.

7.【2017北京，理16】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD =6，AB=4． （I ）求证：M 为PB 的中点； （II ）求二面角B -PD -A 的大小；

（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．

8.【2017天津，理17】如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=?.点D ，E ，N 分别为棱P A ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A =AC =4，AB =2.

（Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；

（Ⅲ）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为

7

21

，求线段AH 的长. 9．【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5

4

AE CF ==

，EF 交BD 于点H ．将DEF ?沿EF 折到D EF '?位置，10OD '=． （Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．

10．【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.

（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； （II ）已知EF =FB =

1

2

AC =23，AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.

11．【2016高考天津理数】（本小题满分13分）

如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2. （I ）求证：EG ∥平面ADF ； （II ）求二面角O -EF -C 的正弦值； （III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =

2

3

HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.

12．【2016年高考北京理数】（本小题14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，

1AB =，2AD =，5AC CD ==.

（1）求证：PD ⊥平面PAB ；

（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；

（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求

AM

AP

的值；若不存在，说明理由. 13．【2016高考新课标3理数】如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC ，

3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．

（I）证明MN 平面PAB；

（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

14．【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台ABC DEF

-中,平面BCFE⊥平面ABC,=90

ACB

∠ ,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

(I)求证：EF⊥平面ACFD；

(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值

.

15.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=1

2

AD，E为边AD的中点，异面

直线PA与CD所成的角为90°.

（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

E D C

B

P

A

16．【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ，则θ

cos的最大值为 .

【2018年高考命题预测】

纵观2017各地高考试题，高考对立体几何的考查，可以发现均以规则几何体为背景，这样建立空间直角坐标系较为容易，考查学生的化归与转化能力、空间想象能力以及基本运算能力. 从高考试题来看，空间向量的坐标及运算，空间向量的应用，重点考查空间向量的应用求夹角、求距离.课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度，题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考查，但有时选择题、填空题也涉及，难度中等偏高，从高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力．立体几何题型一般是一个解答题，1至2个填空或选择题．解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，其重点是考查空间想象能力和推理运算能力，其解题方法一般都有二种以上，并且一般都能用空间向量来求解．立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力，近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题.预测2017年高考，可能以锥体为几何背景，第一问以线面平行，面面平行为主要考查点，第二问可能给出一个角，计算角的问题，常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法，有可能求点的位置或设置一个探索性命题，突出考查空间想象能力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力．复习建议：空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°.平面图形的翻折与空间图形的展开问题，

要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.

【2018年高考考点定位】

对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题． 【考点1】空间向量 【备考知识梳理】 1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量.如位移、速度、力等 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移. 2．向量运算和运算率

b a AB OA OB +=+=，b a OB OA BA -=-=，)(R a OP ∈=λλ

加法交换律：.a b b a +=+加法结合律：).()(c b a c b a

++=++数乘分配律：.)(b a b a λλλ+=+

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线

向量或平行向量.a 平行于b 记作a ∥b

.

注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a

、

b

平行时，也具有同样的意义.

共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠0）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa

注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数.②

判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a ∥b （若用此结论判断a 、b

所在直线平行，

还需a （或b ）上有一点不在b （或a

）上）.

⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a

同向，当λ<0

时与a

反向的所有向量

⑶若直线l ∥a

，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP 的表达式. 推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a

的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要

条件是存在实数t ，满足等式OP OA ta =+

①

其中向量a

叫做直线l 的方向向量

在l 上取a AB

=，则①式可化为 .)1(OB t OA t OP +-= ② 当21

=

t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(2

1OB OA OP += ③ ①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式.[来源:高考资源网ZXXK]

4．向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a 在α平面内，我们就说向量a

平行于平面α，记作a ∥α.注意：向量a

∥α与直线a ∥α的联系与区别. 共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量

共面向量定理 如果两个向量a 、b 不共线，则向量p

与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，

使.b y a x p

+=①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面.

推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使

,MB y MA x MP +=④

或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=⑤

在平面MAB 内，点P 对应的实数对（,x y ）是唯一的.①式叫做平面MAB 的向量表示式 又∵.,OM OA MA -=.,OM OB MB -=代入⑤，整理得

.)1(OB y OA x OM y x OP ++--= ⑥

由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面

MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个

向量MA 、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件

5．空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c

不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数

组,,x y z ，使.c z b y a x p

++=

说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a 、b 、c

不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是

{

}

R

z y x c z b y a x p p ∈++=、、,|

，这个集合可看作由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c

都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基

底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0

可视为与任意非零向量共线.与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0 .

推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x 、、，使

.OC z OB y OA x OP ++=

6．数量积

（1）夹角：已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作a OA

=，b OB =，则角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作??b a

，[来源:高考资源网]

说明：⑴规定0≤??b a

，≤π,因而??b a

，=??a b

，；

⑵如果??b a ，=2

π

，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b ；

⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同， 图（3）中∠AOB =??OB OA ,， 图（4）中∠AOB =-π??OB AO ,,

从而有??-OB OA ,=?-?OB OA ,=-π??OB OA ,.[来源:学#科#网Z#X#X#K]

（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模.[来源:高考资源网ZXXK]

（3）向量的数量积：??b a b a ,cos 叫做向量a 、b 的数量积，记作b a ?.即b a ?=??b a b a

,cos ，

向量AB 方向上的正射影在e

:B A e a AB e

a ''=??=?

,cos ||

（4）性质与运算率

⑴??=?e a e a ,cos ，⑵a ⊥b ?b a

?=0，⑶2||.a a a =?

（4）()()a b a b λλ?=? ，（5）b a ?=b a ? ，（6）()a b c a b a c ?+=?+?

7．空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算

设()123,,a a a a = ，()123,,b b b b = ，则①()112233,,a b a b a b a b ±=+++

；

②()123,,a a a a λλλλ= ；③112233a b a b a b a b ?=++

.

(2)共线与垂直的坐标表示

设()123,,a a a a = ，()123,,b b b b = ，

则112233,,a b a b a b a b a b λλλλ?=?===

， 11223300a b a b a b a b a b ⊥??=?++= (,a b

均为非零向量)．

(3)模、夹角和距离公式

设()123,,a a a a = ，()123,,b b b b = ，则2

222123a a a a a ==++ ，

112233222222

123123

cos ,a b a b a b a b

a b a b a a a b b b ++???==

?++++

. 设()()111222,,,,,A a b c B a b c ，则()()()

222

212121AB d AB a a b b c c ==

-+-+-

.

【规律方法技巧】

1．将四点共面问题，转化为三个向量共面问题，利用共面向量定理来解决． 2．利用向量共线说明两线平行时注意说明四点不共线，否则不一定正确． 3. 立体几何中的向量方法

(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定

A

B

A '

B '

e

l

①直线的方向向量：l 是空间一直线，,A B 是直线l 上任意两点，则称AB →

为直线l 的方向向量，与AB 平行

的任意非零向量也是直线l 的方向向量．

②平面的法向量可利用方程组求出：设,a b

是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量

的方程组为0

n a n b ??=???=?? .

4.易错点：（1）共线向量定理中a ∥b ?存在实数λ使b ＝λa 易忽视a

≠0.（3）共面向量定理中，注意

有序实数对(,x y )是唯一存在的．（3）一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量．

5.如何建立适当的坐标系：根据几何体本身的几何性质，恰当建立空间直角坐标系最为关键，如果坐标系引入的恰当，合理，即能够容易确定点的坐标，需要总结一些建系方法.常见建系方法：

（1）借助三条两两相交且垂直的棱为坐标轴，如正方体，长方体等规则几何体，一般选择三条线为三个坐标轴，如图1、2；

（2）借助面面垂直的性质定理建系，若题目中出现侧面和底面垂线的条件，一般利用此条件添加辅助线，确定z 轴，如图3；

（3）借助棱锥的高线建系等.对于正棱锥，利用定点在底面的射影为底面的中心，可确定z 轴，然后在底面确定互相垂直的直线分别为x ，y 轴.如图

4.

【考点针对训练】

1.一个四面体的顶点在空间直角坐标系o xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体直观图．

2. 有以下命题：①如果向量a 、b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a 、b

的关系是不

共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC

不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定

共面；③已知向量a ，b ，c

是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +- 也是空间的一个基底．其中正确的命

题是____.

【考点2】空间角，距离的求法

【备考知识梳理】

1．空间的角 (1)异面直线所成的角

如图，已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线','a a b b .则把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是0,

2π??

??

?

. (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0?的角．直线与平面所成角的范围是0,

2π??

????

.

(3)二面角的平面角

如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角．二面角的范围是[]0,π.

(4)等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等.

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 2．空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v

，则1l 与2l 的夹角θ满足12cos cos ,v v θ=?? .

(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为,u v

，则直线l 与平面α的夹角θ满足

sin cos ,u v θ=??

.

(3)求二面角的大小

(ⅰ)如图①，,AB CD 是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小

,AB CD θ=?? ．

(ⅱ)如图②③，12,u u

分别是二面角l αβ--的两个半平面,αβ的法向量，则二面角的大小θ满足

12cos cos ,u u θ=?? 或12cos cos ,u u θ=-??

．

3.空间距离:

（1）两条异面直线的距离

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与b ，a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．④根据异面直线间的距离公式EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定）求距离.

（2）点到平面的距离

点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法

（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；

（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离. 【规律方法技巧】

a

b

E

F

1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角. （1）异面直线所成的角的范围是]2

,0(π

.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，

把异面问题转化为共面问题来解决

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角; ④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ. （2）直线与平面所成的角的范围是]2

,

0[π

.求线面角方法:

①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径.

②利用三棱锥的等体积，省去垂足,

在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长

h

=θsin 进行求解.

③妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ

=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其

中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.

④万能方法，空间向量求解不用找角

设AB 是平面α的斜线，BO 是平面α的垂线，AB 与平面α所成的角BAO θ∠=,向量AB

与n 的夹角

ABO ψ∠=，则sin cos AB n

AB n

θψ?==? . 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤；

（3）确定点的射影位置有以下几种方法：

①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；

②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； ③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：

a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；

b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；

c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； （4）二面角的范围[]0,π，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:

①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；

D

B

A C α

②射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝

S S

'

；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等.

③空间向量法:法一: ,AB CD 是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小

,AB CD θ=??

．

法二：设1n ,2n

是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧（同等

异补），则二面角l αβ--的平面角12cos cos ,u u θ=?? 或12cos cos ,u u θ=-??

.

2. 求距离的关键是化归.即空间距离向平面距离化归，具体方法如下： （1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形.

（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法.

（3）求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之.异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定） 3.求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：

①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置.

②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理.

③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：

根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线.解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面.作二面角的平面角应把握先找后作的原则.此外在解答题中一般不用公式“cos θ＝

S S

'

”求二面角否则要适当扣分. ④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及转移法.

⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离.

【考点针对训练】

1.已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值_____________.

2.在梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，2AD AB ==，AB BC ⊥，如图把ABD ?沿BD 翻折，

使得平面ABD ⊥平面BCD . （Ⅰ）求证:CD ⊥平面ABD ；

（Ⅱ）若点M 为线段BC 中点,求点M 到平面ACD 的距离． D

D

D

A

B

C A

B

C

C B

A

【考点3】空间向量的应用

【备考知识梳理】

1. 直线的方向向量：l 是空间一直线，,A B 是直线l 上任意两点，则称AB →

为直线l 的方向向量，与AB

平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． 2. 如何确定平面的法向量

（1）首先观察是否与存在于面垂直的法向量，若有可直接确定，若不存在，转化为待定系数法； （2）待定系数法：由于法向量没有规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，于是可把法向量的某个坐标设为1，再求另两个坐标.由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的两条相交向量，设

(,,),n x y z = 由0

n a n b ??=???=??

解方程组求得. 【规律方法技巧】 1.用向量证明空间中的平行关系

①设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则1l ∥2l (或1l 与2l 重合)? 1v ∥2v

.

②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量1v 和2v

，则l ∥α或l ?α?存在两个实数

,x y ，使12v xv yv =+

.

③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u

.

④设平面α和β的法向量分别为1u ，2u ，则α∥β?1u ∥2u

.

2.用向量证明空间中的垂直关系

①设直线l 1和l 2的方向向量分别为1v 和2v ，则l 1⊥l 2?1v ⊥2v ?1v .2v

＝0.

②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u

③设平面α和β的法向量分别为1u 和2u ，则α⊥β?1u ⊥2u ?1u 22u

＝0.

3.用法向量球距离：

（1）用法向量求异面直线间的距离：如右图所示，a 、b 是两异面直线，n 是a 和b 的法向量，点E∈a，F∈b，

则异面直线 a 与b 之间的距离是n

n EF d ?=

；

（2）用法向量求点到平面的距离

如右图所示，已知AB 是平面α的 一条斜线，n 为平面α的法向量，

则 A 到平面α的距离为n

n AB d ?=；

（3）用法向量求直线到平面间的距离

首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题 （4）用法向量求两平行平面间的距离

首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题. 4. 用法向量求角 （1）用法向量求二面角

如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量1n 与2n ，则平面α与β所成的角跟法向量1n 与

2n 所成的角2n 相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.

A

B

C

n

α

（2）法向量求直线与平面所成的角

要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的夹角的余弦a n ,cos ，易知θ=a n ,或者

a n ,2

-π

.

5.利用空间向量坐标运算求解问题的方法：用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．

6.易误警示：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．

异面直线所成角范围是(0°，90°]，若异面直线a ，b 的方向向量为m ，n ，异面直线a ，b 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|.解题过程是：(1)建系；(2)求点坐标；(3)表示向量；(4)计算．

(1)异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系．

(2)直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系．

求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 【考点针对训练】

1.如图，在多面体ABCDEF 中，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知//AB CD AD CD ⊥，，

1AB AD ==，2CD =.

α

β

1n