2014年全国高考数学试题及答案-福建文科卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学（文史类）

第I 卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

1. 若集合}42|{<≤=x x P ，}3|{≥=x x Q ，则=Q P 等于（ ）

A ．}43|{<≤x x

B ．}43|{<

C ．}32|{<≤x x

D ．}32|{≤≤x x 2. 复数i i )23(+等于（ ）

A ．i 32--

B ．i 32+-

C ．i 32-

D ．i 32+

3. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于

（ ）

A ．π2

B ．π

C ．2

D ．1

4. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出n 的值是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 5. 命题“0),,0[3≥++∞∈?x x x ”的否定是（ ）

A ．0),0,(3<+-∞∈?x x x

B ．0),0,(3≥+-∞∈?x x x

C ．0),,0[03

00<++∞∈?x x x D ．0),,0[03

00≥++∞∈?x x x 6. 已知直线l 过圆4)3(22=-+y x 的圆心，且与直线01=++y x 垂直，

则直线l 的方程是（ ）

A ．02=-+y x

B ．02=+-y x

C ．03=-+y x

D ．03=+-y x 7. 将函数x y sin =的图像左移

2

π

个单位，得到函数)(x f y =的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．)(x f y =是奇函数 B ．)(x f y =的周期是π C ．)(x f y =的图像关于直线2

π

=

x 对称 D ．)(x f y =的图像关于直线)0,2

(π

-

对称

8. 若函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（

）

A B C D

9. 要制作一个容积为3

4m ，高为m 1的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，

侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）

A ．80元

B ．120元

C ．160元

D ．240元

10. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则

→

→→→+++OD OC OB OA 等于（ ）

A ．→

OM B ．2→

OM C ．3→

OM D ．4→

OM

11. 已知圆1)()(:2

2=-+-b y a x C ，平面区域??

???≥≥+-≤-+Ω00307:y y x y x ，若圆心Ω∈C ，且圆C 与x

轴相切，则2

2

b a +的最大值为（ ）

A ．5

B ．29

C ．37

D ．49

12. 平面直角坐标系中，两点),(111y x P ，),(222y x P 间的“-L 距离”定义为

||||||212121y y x x P P -+-=，

则平面内与x 轴上两个不同的定点21,F F 的“-L 距离”之和等于定值（大于||21F F ）的点的轨迹可以是（ ）

A B C D

第II 卷（非选择题 共90分）

注意事项：

用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。 一、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上。

13. 如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计，阴影部分

的面积是____。

14. 在ABC ?中，3,2,600

===∠BC AC A ，则AB 等于___________。

15. 函数???>+-≤-=0

,ln 620

,2)(2x x x x x x f 的零点个数是___________。

16. 已知集合}2,1,0{},,{=c b a ，且下列三个关系式：0)3(;2)2(;2)1(≠=≠c b a 有且只有一个正确，

则等于c b a ++10100等于_____________。

二、 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。 17. （本小题满分12分）已知等比数列}{n a 中，81,352==a a 。

（I ）求数列}{n a 的通项公式；

（II ）若数列n n a b 3log =，求数列}{n b 的前n 项和n S 。 18. （本小题满分12分）已知函数)cos (sin cos 2)(x x x x f +=。

（I ）求)4

5(

π

f 的值； （II ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间。

19. （本小题满分12分）如图，三棱锥中BCD A -中，⊥AB 平面BCD ，BD CD ⊥。

（I ）求证：⊥CD 平面ABD ；

（II ）若1===CD BD AB ，M 为AD 中点，求三棱锥MBC A -的体积。

20. （本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP

为1035~4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 低于4085~12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家。某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表

（I ）试判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；

（II ）现从该城市的5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上

收入国家的标准的概率。

21. （本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点)10(，

F 的距离比它到直线3-=y 的距离小2 （I ）求曲线Γ的方程；

（II ）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线3=y 分别与直线l 及y 轴交于点N M ,，

以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论。

22. （本小题满分14分）已知函数a ax e x f x ()(-=为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线)

(x f y =在点处的切线斜率为1-。

（I ） 求a 的值及函数)(x f 的极值；

（II ） 证明：当0>x 时，x

e x <2；

（III ） 证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当),(0+∞∈x x 时，恒有x

ce x <。

参考答案

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分60分。

1.A

2.B

3.A

4.B

5.C

6.D

7.D

8.B

9.C

10.D

11.C

12.A

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分16分。

13. 0.18

14. 1

15. 2

16. 201

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分12分。

解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，依题意得

14

1

3

81a q a q =??=? 解得11

3

a q =??

=?

因此13n n a -=

（Ⅱ）因为3log 1n n b a n ==-，

所以数列{}n b 的前n 项和21()22

n n n b b n n

S +-== 18.本小题主要考查诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的图像与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分12分。 解法一：（Ⅰ）5555(

)2cos (sin cos )4444

f ππππ

=+ 2cos (sin

cos )4

44

π

π

π

=---

2=

（Ⅱ）因为2

()2sin cos 2cos f x x x x =+

sin 2cos 21x x =++

)14

x π

=++

所以22

T π

π== 由222,2

4

2

k x k k Z π

π

π

ππ-≤+

≤+

∈

得3,88

k x k k Z ππ

ππ-

≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ?

?

-

+∈???

?

解法二：2()2sin cos 2cos f x x x x =+

sin 2cos 21x x =++

)14

x π

++

（Ⅰ）511()144

f ππ

=+

14

π

=+

2=

（Ⅱ）22

T π

π=

= 由222,2

4

2

k x k k Z π

π

π

ππ-≤+

≤+

∈

得3,88

k x k k Z ππ

ππ-

≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ?

?

-

+∈???

?

19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想。满分12分。

解法一：（Ⅰ）因为AB ⊥平面,BCD CD ?平面BCD ，

所以AB CD ⊥

又因为,CD BD AB BD B ⊥?=

AB ?平面,ABD BD ?平面ABD

所以CD ⊥平面ABD

（Ⅱ）由AB ⊥平面BCD ，得AB BD ⊥

11,2

ABD AB BD S ?==∴= M 是AD 的中点，

1124

ABM ABD S S ??∴=

= 由（Ⅰ）知，CD ⊥平面ABD ，

∴三棱锥C ABM -的高1h CD ==

因此三棱锥A MBC -的体积

11

312

A MBC C ABM ABM V V S h --?==?=

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD

又平面ABD ?平面BCD BD =

如图，过点M 做MN BD ⊥交BD 于点N ， 则MN ⊥平面BCD ，且11

22

MN AB ==， 又,1CD BD BD CD ⊥==

1

2

BCD S ?∴=

∴三棱锥A MBC -的体积 A MBC A BCD M BCD V V V ---=-

11

33BCD BCD AB S MN S ??=

?-? 112= 20.本小题主要考查概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想。满分12分。

解：（Ⅰ）设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为

80000.2540000.3060000.1530000.10100000.20a a a a a

a ?+?+?+?+?

6400=

因为6400[4085,12616]∈

所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准。

（Ⅱ）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：

{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{C ，D}，{C ，E}， {D ，E}，共10个。

设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ， 则事件M 包含的基本事件是：{A ，C}， {A ，E}，{C ，E}，共3个， 所以所求概率为3

()10

P M =

21.本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想。满分12分。

解法一：（Ⅰ）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，

依题意，点S 到F （0，1）的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点F （0，1）为焦点、直线1y =-为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为24x y =

（Ⅱ）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下：

由（Ⅰ）知抛物线Γ的方程为2

1

4

y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，则2

0014

y x =， 由1

2

y x '=

，得切线l 的斜率 001

|2

x x k y x ='==，

所以切线l 的方程为0001

()2

y y x x x -=-，

即2

001124

y x x x =-

由200

1124

0y x x x y ?

=-???=?，得01(,0)2A x 由2001124

3y x x x y ?

=-???=?

，得00

16(,3)2M x x + 又(0,3)N ，所以圆心00

1

3

(,3)4

C x x +

， 半径00

113||||24r MN x x =

=+，

||AB ===所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变。

解法二：（Ⅰ）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，

则|(3)|2y --=，

依题意，点(,)S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-，

1y =+，

化简得，曲线Γ的方程为24x y = （Ⅱ）同解法一

22.本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全程量词与存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想。满分14分。 解法一：（Ⅰ）由()x

f x e ax =-，得()x

f x e a '=-

又(0)11f a '=-=-，得2a = 所以()2x

f x e x =-，()2x

f x e '=- 令()0f x '=，得ln 2x =，

当ln 2x <时，()0,()f x f x '<单调递减； 当ln 2x >时，()0,()f x f x '>单调递增； 所以当ln 2x =时，()f x 有极小值， 且极小值为ln2(ln 2)2ln 22ln 4f e =-=-，

()f x 无极大值。

（Ⅱ）令2()x g x e x =-，则()2x g x e x '=-

由（Ⅰ）得，()()(ln 2)2ln 40g x f x f '=≥=->，即()0g x '> 所以()g x 在R 上单调递增，又(0)10g =>， 所以当0x >时，()(0)0g x g >>，即2

x

x e < （Ⅲ）对任意给定的正数c ，取01x c

=

， 由（Ⅱ）知，当0x >时，2

x

x e < 所以当0x x >时，2

2

1

e x x c

>>

，即x x ce < 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x

x ce <

解法二：（Ⅰ）同解法一；

（Ⅱ）同解法一； （Ⅲ）令1

(0)k k c

=

>，要使不等式x x ce <成立，只要x e kx >成立 而要使x

e kx >成立，则只需要ln()x kx >，即ln ln x x k >+成立。 ①若01k <≤，则ln 0k ≤，易知当0x >时，ln ln ln x x x k >≥+成立， 即对任意[1,)c ∈+∞，取00x =，当0(,)c x ∈+∞时，恒有x

x ce < ②若1k >，令()ln ln h x x x k =--，则11()1x h x x x

-'=-

=， 所以当1x >时，()0h x '>在(1,)+∞内单调递增， 取04x k =，

0()4ln(4)ln 2(ln )2(ln 2)h x k k k k k k =--=-+-，

易知ln ,ln 2k k k >>，所以0()0h x > 因此对任意(0,1)c ∈，取04x c

=

，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce < 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x

x ce <

解法三：（Ⅰ）同解法一；

（Ⅱ）同解法一；

（Ⅲ）①若1c ≥，取00x =，

由（Ⅱ）的证明过程知，2x

e x >，

所以当0(,)x x ∈+∞时，有2x

x

ce e x x ≥>>，即x

x ce < ②若01c <<，

令()x h x ce x =-，则()1x h x ce '=- 令()0h x '=得1

ln x c

= 当1

ln

x c >时，()0,()h x h x '>单调递增 取02

2ln x c

=，

22ln

0222()2ln

2(ln )c

h x ce

c c c

=-=-， 易知

22

ln 0c c

->，又()h x 在0(,)x +∞内单调递增， 所以当0(,)x x ∈+∞时，恒有0()()0h x h x >>，即x

x ce <

综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x

x ce < 注：对c 的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分。