广东省广州市执信中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
广东省广州市执信中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）
A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?
2．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）
A．﹣1 B．0C．D．1
3．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）
A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）4．（5分）设F1、F2是椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）
A．B．C．D．
5．（5分）“a2+b2≠0”的含义为（）
A．a，b不全为0 B．a，b全不为0
C．a，b至少有一个为0 D．a≠0且b=0，或b≠0且a=0
6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
A．6B．9C．12 D．18
7．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）
A．B．C．D．
8．（5分）数列{a n}满足a1=1，，记数列{a n2}前n项的和为S n，若
对任意的n∈N*恒成立，则正整数t的最小值为（）
A．10 B．9C．8D．7
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共计30分．
9．（5分）不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是．
10．（5分）把89化为二进制的结果是．
11．（5分）如图所示的程序框图输出的结果是．
12．（5分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．
13．（5分）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=．
14．（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．
其中，所有正确结论的序号是．
三、解答题：本大题共6个小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．15．（12分）已知函数．
（1）求的值；
（2）设，若，求的值．
16．（12分）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～8岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图：求：
（1）根据直方图可得这100名学生中体重在（56，64）的学生人数；
（2）请根据上面的频率分布直方图估计该地区17.5﹣18岁的男生体重；
（3）若在这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62的概率是多少？
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD中为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB．
18．（14分）等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{b n}的公比q=
（1）求a n与b n；
（2）求+．
19．（14分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=
﹣2x．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．
20．（14分）设函数f（x）=﹣x
（1）若[8﹣f（x）]在[1，+∞]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；
（2）设a=1，x+y=k，若不等式对一切（x，y）∈（0，k）恒成立，求实数k的取值范围．
广东省广州市执信中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）
A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?
考点：集合的包含关系判断及应用．
专题：集合．
分析：先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断
解答：解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，
∵B={x|﹣1＜x＜1}，
在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=
∴B?A．
故选B．
点评：本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．
2．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）
A．﹣1 B．0C．D．1
考点：相关系数．
专题：规律型．
分析：所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．
解答：解：由题设知，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，
∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，
故选D．
点评：本题主要考查样本的相关系数，是简单题．
3．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）
A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）
考点：简单线性规划的应用．
专题：计算题．
分析：由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围
解答：解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）
由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2
即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4
∴b=2，a=1+即C（1+，2）
则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=（）
（x﹣1）
当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣
∴
故选A
点评：考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．4．（5分）设F1、F2是椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）
A．B．C．D．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，得|PF1|=|F1F2|且∠PF1F2=120°，设交x轴于点M，可得|PF1|=2|F1M|，由此建立关于a、c的等式，解之即可求得椭圆E的离心率．
解答：解：设交x轴于点M，
∵△F1PF2是底角为30°的等腰三角形
∴∠PF1F2=120°，|PF1|=|F2F1|，且|PF1|=2|F1M|．
∵P为直线上一点，
∴2（﹣c+）=2c，解之得3a=4c
∴椭圆E的离心率为e==
故选：C
点评：本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
5．（5分）“a2+b2≠0”的含义为（）
A．a，b不全为0 B．a，b全不为0
C．a，b至少有一个为0 D．a≠0且b=0，或b≠0且a=0
考点：全称命题．
专题：阅读型．
分析：对a2+b2≠0进行解释，找出其等价条件，由此等价条件对照四个选项可得正确选项．解答：解：a2+b2≠0的等价条件是a≠0或b≠0，即两者中不全为0
对照四个选项，只有A与此意思同，A正确；
B中a，b全不为0，是a2+b2≠0充分不必要条件；B错误．
C中a，b至少有一个为0，C错误．
D中只是两个数仅有一个为0，概括不全面，故D不对；
故选A
点评：本题考查逻辑连接词“或”，求解的关键是对≠的正确理解与逻辑连接词至少有一个、和、或的意义的理解．
6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
A．6B．9C．12 D．18
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
分析：通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．
解答：解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；
底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，
此几何体的体积为V=×6×3×3=9．
故选B．
点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．7．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）
A．B．C．D．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：计算题．
分析：通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．解答：解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，
所以φ=．
故选A．
点评：本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．
8．（5分）数列{a n}满足a1=1，，记数列{a n2}前n项的和为S n，若
对任意的n∈N*恒成立，则正整数t的最小值为（）
A．10 B．9C．8D．7
考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．
专题：计算题；转化思想．
分析：由题干中的等式变形得出数列{}是首项为1，公差为4的等差数列，得出a n2的
通项公式，证明数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，得出数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大项，再由，求出正整数得m的最小值．
解答：解：∵，∴，
∴（n∈N*），
∴{}是首项为1，公差为4的等差数列，
∴=1+4（n﹣1）=4n﹣3，∴a n2=
∵（S2n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S n+1）
=（a n+12+a n+22+…+a2n+12）﹣（a n+22+a n+32+…+a2n+32）
=a n+12﹣a2n+22﹣a2n+32
=
=＞0，
∴数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，
数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大项为
S3﹣S1=a22+a32==，
∵≤，∴m≥
又∵m是正整数，
∴m的最小值为10．
故选A．
点评：本题考查数列与不等式的结合问题，难度之一为结合已知和要求的式子，观察出数列是等差或等比数列；难度之二求数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大值，证数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，证明方法：（S2n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S n+1）＞0．是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共计30分．
9．（5分）不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：计算题．
分析：把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘同号得正的取符号法则，得到2x+1与x ﹣1同号，可化为两个不等式组，分别求出两不等式组的解集的并集即可得到原不等式的解集．解答：解：不等式2x2﹣x﹣1＞0，
因式分解得：（2x+1）（x﹣1）＞0，
可化为：或，
解得：x＞1或x＜﹣，
则原不等式的解集为．
故答案为：
点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是高考中常考的基本题型．把一元二次不等式转化为两个不等式组的理论依据为：两数相乘同号得正、异号得负的取符号法则．
10．（5分）把89化为二进制的结果是1011001（2）．
考点：进位制．
专题：计算题．
分析：利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．
解答：解：89÷2=44 (1)
44÷2=22 0
22÷2=11 0
11÷2=5 (1)
5÷2=2 (1)
2÷2=1 0
1÷2=0 (1)
故89（10）=1011001（2）
故答案为：1011001（2）
点评：本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．属于基础题．
11．（5分）如图所示的程序框图输出的结果是5．
考点：程序框图．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算S=（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+10的值．
解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算S=（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+10
∵（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+10=5
故答案为：5
点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
12．（5分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．
考点：向量在几何中的应用．
专题：计算题；数形结合；转化思想．
分析：根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的
值．
解答：解：∵AB=3，BD=1，
∴D是BC上的三等分点，
∴，
∴=
==9﹣=，
故答案为．
点评：此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．
13．（5分）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=3.2．
考点：极差、方差与标准差．
专题：概率与统计．
分析：首先根据所给的这组数据求出这组数据的平均数，再利用求方差的公式，代入数据求出这组数据的方差，得到结果．
解答：解：∵收到信件数分别是10，6，8，5，6，
∴收到信件数的平均数是=7，
∴该组数据的方差是，
故答案为：3.2
点评：本题考查求一组数据的方差，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．
14．（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．
其中，所有正确结论的序号是②③．
考点：轨迹方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由题意曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．
解答：解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：
?[（x+1）2+y2]?[（x﹣1）2+y2]=a4（1）将原点代
入验证，此方程不过原点，所以①错；
对于②，把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积
=a2sin∠F1PF2，≤a2，所以③正确．
故答案为：②③．
点评：此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．
三、解答题：本大题共6个小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．15．（12分）已知函数．
（1）求的值；
（2）设，若，求的值．
考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）直接利用两角和的正切公式求出的值．
（2）由条件利用诱导公式求出tanα=2，再利用同角三角函数的基本关系求出，
．再利用两角和的余弦公式求出的值．
解答：解：（1）===；
（2）因为=tan（α+π）=tanα=2．
所以，即sinα=2cosα．①
因为sin2α+cos2α=1，②
由①、②解得．
因为，所以，．
所以
==
．
点评：本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．
16．（12分）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～8岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图：求：
（1）根据直方图可得这100名学生中体重在（56，64）的学生人数；
（2）请根据上面的频率分布直方图估计该地区17.5﹣18岁的男生体重；
（3）若在这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62的概率是多少？
考点：频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：（1）根据直方图求出这100名学生中体重在（56，64）的学生数；
（2）求出样本的平均数，利用平均数来衡量该地区17.5﹣18岁的男生体重；
（3）求出样本数据中低于62kg的频率，即是概率．
解答：解：（1）根据直方图得，这100名学生中体重在（56，64）的学生人数为：
（0.03+0.05×2+0.07）×2×100=0.4×100=40（人）；…（4分）
（2）根据频率分布直方图得，样本的平均数是：
利用平均数来衡量该地区17.5﹣18岁的男生体重是65.2kg；…（8分）
（3）根据频率分布直方图得，样本数据中低于62kg的频率是（0.01+0.03+0.05×2）×2=0.14，∴这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62kg的概率是P=0.14．…（12分）
点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应利用频率分布直方图进行有关的计算，是基础题．
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD中为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB．
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）PA=PD，连BD，四边形ABCD菱形，Q为AD中点，证明平面PAD内的直线AD，垂直平面PQB内的两条相交直线BQ，PQ，
即可证明平面PQB⊥平面PAD；
（2）连AC交BQ于N，交BD于O，点M在线段PC上，PM=tPC，实数t=的值，说明PA∥平面MQB，利用PA∥MN，
说明三角形相似，求出t=．
解答：解：（1）连BD，四边形ABCD菱形∵AD=AB，∠BAD=60°
∴△ABD是正三角形，Q为AD中点
∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q为AD中点AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD
（2）当t=时，使得PA∥平面MQB，
连AC交BQ于N，交BD于O，
则O为BD的中点，又∵BQ为△ABD边AD上中线，
∴N为正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的边长为a，则AN=a，AC=a．
∴PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA∥MN
即：PM=PC，t=．
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
18．（14分）等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{b n}的公比q=
（1）求a n与b n；
（2）求+．
考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．
专题：计算题；转化思想．
分析：（1）由题意，据b2+S2=12，{b n}的公比q=建立方程即可求得q，d，由公式求a n与b n；
（2）求+．要先求，根据其形式要选择裂项求和的技巧．
解答：解：（1）由已知可得
解得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6
∴a n=3n，b n=3n﹣1
（2）证明：S n=∴==
∴==
点评：本题考查等差与等比数列的综合，考查了根据题设条件建立方程求参数的能力，以及根据所得的结论灵活选择方法求和的能力．求解本题的关键是对的变形．
19．（14分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=
﹣2x．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；
（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1．当直线l不与x 轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S△OAB=|OC|?|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，从而可得答案．
解答：解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，
所以=2．
所以=2．
故c=a，
从而双曲线E的离心率e==．
（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1．
设直线l与x轴相交于点C，
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，
所以|OC|?|AB|=8，
因此a?4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1．
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为﹣=1也满足条件．
设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；
则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），
由得y1=，同理得y2=，
由S△OAB=|OC|?|y1﹣y2|得：
|﹣|?|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）．
由得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，
因为4﹣k2＜0，
所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），
又因为m2=4（k2﹣4），
所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1．
点评：本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．
20．（14分）设函数f（x）=﹣x
（1）若[8﹣f（x）]在[1，+∞]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；
（2）设a=1，x+y=k，若不等式对一切（x，y）∈（0，k）恒成立，求实数k的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）由题意，利用复合函数的单调性性质可得令u（x）=8﹣f（x）=x﹣+8，原命题等价于，解得即可；
（2）由条件f（x）f（y）=（﹣x）（﹣y）
===xy+，令xy=t，由x+y=k，则t∈（0，
]，令g（t）=f（x）f（y）=t+，t∈（0，]，利用导数求函数g（t）的最小值，即可得出结论．
解答：解：（1）令u（x）=8﹣f（x）=x﹣+8，要使y=log[8﹣f（x）]在[1，+∞）上是单调递减等价于
由u（1）＞0得1﹣a+8＞0 a＜9
由u（x）在[1，+∞）上是增函数，
即对1≤x1≤x2＜+∞，u1（x）﹣u2（x）=（x1﹣x2）+﹣恒成立，
解得a≥﹣1，所以﹣1≤a≤9．
（2）由条件f（x）f（y）=（﹣x）（﹣y）
===xy+，
令xy=t，由x+y=k，则t∈（0，]
令g（t）=f（x）f（y）=t+，t∈（0，]
当1﹣k2≤0，g（t）单调递增，则g（t）max=，条件不成立．
当1﹣k2＞0，即﹣1＜k＜1时，t+，当且仅当t=取到等号．①当时，即0≤k≤2时，g（t）在t∈（0，]上是减函数，
且g（t）min=≥（）2恒成立，满足题意，
②当＞，即﹣1＜k＜0或2＜k＜1时，即则g（）＞g（），即，不成立．
综上所述：0≤k≤2．
点评：本题主要考查复合函数的单调性，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．