奈奎斯特判据

5.4 频域稳定判据

5.4.1 奈奎斯特稳定判据

闭环控制系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的根均具有负的实部，或者说，全部闭环极点都位于左半s 平面。第3章中介绍的劳斯稳定判据，是利用闭环特征方程的系数来判断闭环系统的稳定性。这里要介绍的频域稳定判据则是利用系统的开环频率特性)(ωj G 来判断闭环系统的稳定性。

频域稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，它是频率分析法的重要内容。利用奈奎斯特稳定判据，不但可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的动态性能以及指出改善系统性能指标的途径。因此，奈奎斯特稳定判据是一种重要而实用的稳定性判据，工程上应用十分广泛。

1．辅助函数

对于图5-33所示的控制系统结构图，其开环传递函

数为

)()()()()(0s N s M s H s G s G =

= （5-59）

相应的闭环传递函数为 )()()()()

(1)()(1)()(000s M s N s G s N s N s G s G s G s +=+=+=Φ （5-60） 式中，为开环传递函数的分子多项式，阶；为开环传递函数的分母多项式，阶，。由式(5-59)、式(5-60)可见，)(s M m )(s N n m n ≥)()(s M s N +和分别为闭环和开环特征多项式。现以两者之比构成辅助函数

)(s N ()()()1()()

M s N s F s G s N s +==+ （5-61） 实际系统传递函数分母阶数n 总是大于或等于分子阶数，因此辅助函数的分子、分母同阶，即其零点数与极点数相等。设)(s G m 1z ?，2z ?，…，n z ?和1p ?，，…，分别为其零、极点，则辅助函数可表示为

2p ?n p ?)(F s )

())(()())(()(2121n n p s p s p s z s z s z s s F ++++++=L L

（5-62）

综上所述可知，辅助函数具有以下特点：

)(s F （1）辅助函数是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。

)(s F （2）的零点和极点的个数相同，均为个。

)(s F n （3）与开环传递函数之间只差常量1。)(s F )(s G )(1)(s G s F +=的几何意义为：F 平面上的坐标原点就是G 平面上的（0,1j ?）点，如图5-34所示。

2．幅角定理

辅助函数是复变量的单值有理复变函数。由复变函数理论可知，如果函数在平面上指定域内是非奇异的，那么对于此区域内的任一点d ，都可通过的映射关系在平面上找到一个相应的点 (称为d 的像)；对于平面上的任意一条不通过任何奇异点的封闭曲线)(s F s )(s F s )(s F )(s F 'd 'd s )(s F Γ，也可通过映射关系在平面(以下称)(s F Γ平面)找到一条与它相对应的封闭曲线 (称为的像)，如图5-35所示。

'Γ'Γ

Γ

图5-35 平面与平面的映射关系

s F 设平面上不通过任何奇异点的某条封闭曲线s )(s F Γ，它包围了在平面上的)(s F s Z 个零点和P 个极点。当以顺时针方向沿封闭曲线s Γ移动一周时，则在平面上相对应于封闭曲线的像将以顺时针的方向围绕原点旋转F Γ'ΓR 圈。R 与Z 、的关系为

P P Z R ?= （5-63）

3．奈奎斯特稳定判据

为了确定辅助函数位于右半平面内的所有

零、极点数，现将封闭曲线扩展为整个右半平面。为

此，设计)(s F s Γs Γ曲线由以下3段所组成：

ⅰ– 正虚轴ωj s =：频率ω由0变到∞；

ⅱ–半径为无限大的右半圆：

θj e R s =∞→R ，θ由2π变化到2π?；

ⅲ– 负虚轴ωj s =：频率ω由∞?变化到0。

这样，3段组成的封闭曲线（称为奈奎斯特路径，

简称奈氏路径）就包含了整个右半平面，如图5-36

所示。

Γs 图5-36 奈奎斯特路径

在平面上绘制与F Γ相对应的像'Γ：当沿虚轴变化时，由式（5-61）则有

s )(1)(ωωj G j F += （5-64）

式中，)(ωj G 为系统的开环频率特性。因而将由下面几段组成：

'Γ ⅰ– 和正虚轴对应的是辅助函数的频率特性)(ωj F ，相当于把)(ωj G 右移一个单位；

ⅱ–和半径为无穷大的右半圆相对应的辅助函数。由于开环传递函数的分母阶数高于分子阶数，当时，，故有1)(→s F ∞→s 0)(→s G 1)(1)(→+=s G s F ；

ⅲ–和负虚轴相对应的是辅助函数频率特性)(ωj F 对称于实轴的镜像。

图5-37绘出了系统开环频率特性曲线)(ωj G 。将曲线右移一个单位，并取镜像，则成为平面上的封闭曲线F 'Γ如图5-38所示。图中用虚线表示镜像。

对于包含了整个右半平面的奈氏路径来说，式（5-63）中的s Z 和P 分别为闭环传递函数和开环传递函数在右半平面上的极点数，而s R 则是平面上F 'Γ曲线顺时针包围原点的圈数，也就是平面上系统开环幅相特性曲线及其镜像顺时针包围（G 0,1j ?）点的圈数。在实际系统分析过程中，我们一般只绘制开环幅相特性曲线不绘制其镜像曲线，考虑到角度定义的方向性，有

N R 2?= （5-65） 其中，是开环幅相特性曲线N )(ωj G （不包括其镜像）包围G 平面（0,1j ?）点的圈数（逆时针为正，顺时针为负）。将式（5-65）代入式（5-63），可得奈奎斯特判据（简称奈氏判据）：

N P Z 2?= （5-66）

式中，Z 是右半平面中闭环极点的个数，是右半平面中开环极点的个数，是G 平面上s P s N )(ωj G 包围（0,1j ?）点的圈数（逆时针为正）。显然，只有当时，闭环系统才是稳定的。

2=?=

N P Z .

图5-37 )(ωj G 特性曲线 图5-38 平面上的封闭曲线

F 例5-9 设系统开环传递函数为

)

52)(2(52)(2+++=s s s s G

试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。

图5-39

幅相特性曲线及其镜像

解 绘出系统的开环幅相特性曲线如图5-39所

示。当0=ω时，曲线起点在实轴上2.5)0(=j G 。

当∞→ω时，终点在原点。当5.2=ω时曲线和负

虚轴相交，交点为。当06.5j ?3=ω时，曲线和负

实轴相交，交点为0.2?。见图5-39中实线部分。

在右半平面上，系统的开环极点数为0。

开环频率特性s )(ωj G 随着ω从变化到0∞+时，

顺时针方向围绕点（）一圈，即0,1j ?1?=N 。

用式（5-66）可求得闭环系统在右半平面的极点数为 s 2)1(202=?×?=?=N P Z

所以闭环系统不稳定。

利用奈氏判据还可以讨论开环增益K 对闭环系统稳定性的影响。当K 值变化时，幅频特性成比例变化，而相频特性不受影响。因此，就图5-39而论，当频率3=ω时，曲线与

负实轴正好相交在（0,2j ?）

点，若K 缩小一半，取6.2=K 时，曲线恰好通过点（），这是临界稳定状态；当时，幅相特性曲线0,1j ?6.2

0,1j ?例5-10 系统结构图如图5-40所示，

试判断系统的稳定性并讨论K 值对系统稳定性的

影响。

图5-40 例5-10系统结构图 图5-41 1>K

和1

特性曲线 解 系统是一个非最小相角系统，开环不稳定。开环传递函数在右半平面上有一个极点， s 1=P 。幅相特性曲线如图5-41所示。当0=ω时，曲线从负实轴点（）出发；当0,j K ?∞→ω时，曲线以趋于坐标原点；幅相特性包围点（o 90?0,1j ?）的圈数与N K 值有关。图5-41绘出了1>K 和1

当1>K 时，曲线逆时针包围了点（0,1j ?）的21圈，即21=N ，此时

0)21(212=×?=?=N P Z ，故闭环系统稳定；当1

即，此时0,1j ?0=N 10212=×?=?=N P Z ，

有一个闭环极点在右半平面，故系统不稳定。 s 5.4.2 奈奎斯特稳定判据的应用

如果开环传递函数在虚轴上有极点，则不能直接应用图5-36所示的奈氏路径，因为幅角定理要求奈氏轨线不能经过的奇点，为了在这种情况下应用奈氏判据，可以对奈氏路径略作修改。使其沿着半径为无穷小（）的右半圆绕过虚轴上的极点。例如，当开环传递函数中有纯积分环节时，s

平面原点有极点，相应的奈氏路径可以修改如图5-42所示。图中的小半圆绕过了位于坐标原点的极点，使奈

氏路径避开了极点，又包围了整个右半平面，前述的奈氏判

据结论仍然适用，只是在画幅相特性曲线时，s 取值需要先从

绕半径无限小的圆弧逆时针转到，然后再沿虚轴

到)(s G )(s F 0→r s 0j o 90+0j ∞j 。这样需要补充小圆弧所对应的+

→=00j j s )

(ωj G 特性曲线。

图5-42 开环含有积分 环节时的奈氏路径

设系统开环传递函数为 11(1()(1m i i n v v j j K s G s s T s τ=?=)

)

+=+∏∏ 式中，v 为系统型别。当沿着无穷小半圆逆时针方向移动时，有0lim jv r s re θ→=，映射到G 平

面的曲线可以按下式求得

001lim 01lim (1)()lim (1)

j r j r m i jv jv i n v v

s re r v j j s re K s K G s e e r s T s θθ

θθτ→→?=?=→==+=

=+∏∏?=∞ （5-67） 由上述分析可见，当沿小半圆从s 0=ω变化到时，+=0ωθ角沿逆时针方向从0变化到2π，这时G 平面上的映射曲线将从)0(j G ∠位置沿半径无穷大的圆弧按顺时针方向转过2v π?角度。在确定)(ωj G 绕点)01(j ，?圈数的值时，要考虑大圆弧的影响。

N 例5-11 已知开环传递函数为

)

1()(+=Ts s K s G 其中，T ，绘制奈氏图并判别系统的稳定性。

0>K 0>

解 该系统在坐标原点处有一个极点，为Ⅰ型系统。取奈氏路径如图5-42所示。当沿小半圆移动从)(s G s 0=ω变化到时，在平面上映射曲线为半径的+=0ωG ∞→R 2π圆弧。幅相特性曲线（包括大圆弧）如图5-43所示。此系统开环传递函数在右半平面无极点，；的奈氏曲线又不包围点（s 0=P )(s G 0,1j ?），0=N ；因此02=?=N P Z ，闭环系统是稳定的。

图5-43 例5-11的奈氏图 图5-44 例5-12的奈氏图

例5-12 已知系统开环传递函数为

)

1()3()()(?+=

s s s K s H s G 试绘制奈氏图，并分析闭环系统的稳定性。 解 由于在右半平面有一极点，故)()(s H s G s 1=P 。当0K 1<<时，其奈氏图如图

5-44(a)所示，图中可见，当ω从到0∞+变化时，

奈氏曲线顺时针包围点（）0,1j ?21?圈，即21?=N ，2)21(212=+=?=N P Z ，因此闭环系统不稳定。当1K >时，其奈氏图如图5-44(b)所示，当ω从到0∞+变化时，奈氏曲线逆时针包围点（）0,1j ?21+圈，21+=N ，0)21(212=?=?=N P Z ，此时闭环系统是稳定的。

5.4.3 对数稳定判据

实际上，系统的频域分析设计通常是在Bode 图上进行的。将奈奎斯特稳定判据引申到Bode 图上，以Bode 图的形式表现出来，就成为对数稳定判据。在Bode 图上运用奈奎斯特判据的关键在于如何确定)(ωj G 包围点（0,1j ?）的圈数。

N 系统开环频率特性的奈氏图与Bode 图存在一定的对应关系，如图5-45所示。

（1） 奈氏图上1)(=ωj G 的单位圆与Bode 图上的dB 0线相对应。单位圆外部对应于0)(>ωL ，单位圆内部对应于0)(<ωL 。

（2） 奈氏图上的负实轴对应于Bode 图上o 180线。

)(?=ω?

在奈氏图中，如果开环幅相特性曲线在点(0,1j ?)以左穿过负实轴，则称为“穿越”。

若沿ω增加方向，

曲线按相位增加方向(自上而下)穿过点(0,1j ?)以左的负实轴，则称为正穿越；反之曲线按相位减小方向(自下而上)穿过点(0,1j ?)以左的负实轴，则称为负穿越，

如图5-45()所示。如果沿a ω增加方向，

幅相特性曲线自点(0,1j ?)以左的负实轴上某点开始向下(上)离开，或从负实轴上(下)方趋近到点(0,1j ?)以左的负实轴上某点，则称为半次正(负)穿越。

图5-45 奈氏图与Bode 图的对应关系

在Bode 图上，对应在0)(>ωL 的频段范围内沿ω增加方向，对数相频特性曲线按相位增加方向(自下而上)穿过线称为正穿越；反之，曲线按相位减小方向(自上而下)穿过

线为负穿越。

同理，在o 180?o 180?0)(>ωL 的频段范围内，对数相频曲线沿ω增加方向自线开始向上(下)离开，或从下(上)方趋近到线，则称为半次正(负)穿越，如图5.45（b ）所示。

o 180?o 180?在奈氏图上，正穿越一次，对应于幅相特性曲线逆时针包围点(0,1j ?)一圈，而负穿越一次，对应于顺时针包围点()一圈，因此幅相特性曲线包围点()的次数等于正、负穿越次数之差，即

0,1j ?0,1j ?N N N +?=? （5-68）

式中是正穿越次数，是负穿越次数。在Bode 图上可以应用此方法方便地确定。

+N ?N N 例5-13 单位反馈系统的开环传递函数为

*21()2()(1)(2)

K s G s s s s +=++ 当时，判断闭环系统的稳定性。

*0.8K =解 首先计算)(ωj G 曲线与实轴交点坐标。

2222245110.81()0.8()222()(1)(2)45j j G j j j ωωωωωωωωωωω???++?+????==?++??++??

令0)(Im =ωj G ，解出21=ω。计算相应实部的值[]5333.0)(Re ?=ωj G 。由此可画出开环幅相特性和开环对数频率特性分别如图5-46()和(c )所示。系统是Ⅱ型的，相应在b )(ωj G ，)(ω?上补上大圆弧，如图5-46(b)、(c)中虚线所示。应用对数稳定判据，在o 1800)(>ωL 的频段范围（0～c ω）内，)(ω?j 在处有负、正穿越各+=0ω21次，所以

02020

2121=×?=?==?=?=?+N P Z N N N

可知闭环系统是稳定的。

图5-46 开环零、极点分布及幅相特性和对数频率特性图