2011年内蒙古自治区高中数学联赛预赛试题及解答

各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2012各省数学竞赛汇集

目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页 2. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页 3. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页 4. 20XX年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页 5. 20XX年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页 6. 20XX年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页 7. 20XX年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页 8. 20XX年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页 9. 20XX年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页 10. 20XX年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页 11. 20XX年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页 12. 20XX年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页 13. 20XX年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页 14. 20XX年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页 15. 20XX年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于 ,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为 ___ 1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 _____8 、已知等差数列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足：1123, 7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b += ___ 132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___. 二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在ABC ?中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一一试（考试时间：80分钟满分100分）一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数是。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最小值为。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。（1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值；（2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二试（考试时间：150分钟总分：200分）一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的延长线交于P 点。求证：直线PA 与BC 垂直。二、（本题50分）正实数z y x ,,，满足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。。 O 2

2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品

2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为_____8 、已知等差数列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.

高中数学竞赛试题汇编八《圆锥曲线》

【2012四川】设M 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的动点，则MO MF 的最大值是 (A) 3 (B) 3 (C) 43 (D) 答案：B 【2013黑龙江】设12,F F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使() 220OP OF F P +?=u u u r u u u u r u u u u r ，O 为原点，且12PF =u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率是 (A) (B) 1 (C) (D) 答案：B 【2012江西】椭圆22 22153 x y +=的内接正方形面积是答案 45017 . 【2011江西】以抛物线2y x =上的一点M （1,1）为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形△MAB 和△MCD ，则线段AB 与CD 的交点E 坐标是答案(1,2)-. 【2013全国】点A ，B 在抛物线2 4y x =上满足4OA OB ?=-u u u r u u u r ， O 为坐标原点，F 为焦点，则OFA OFB S S ???= 答案2.

【2013辽宁】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，斜率为1且过点M （b ，0）的直线与椭圆交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，若125 OA OB ?=-u u u r u u u r ，则该椭圆的方程是答案22 1164 x y +=. 【2013吉林】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点A,B,C,D 若菱形ABCD 的内切圆半径等于椭圆焦距的6 ，则椭圆的离心率是答案 2 【2011新疆】已知O,F 分别为抛物线的顶点和焦点，PQ 为过焦点F 的弦， |OF|=a,|PQ|=b ，求△OPQ 的面积. 答案略【2013山东】椭圆22 143 x y +=的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ，求该平行四边形面积的最大值. 答案略【2012辽宁】设不过原点O 的直线l 与椭圆2 214 x y +=交于,P Q 两点，且直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围. 答案略

高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》

高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》一、知识清单 1. 求轨迹方程的步骤：建(系),设(点),限(制条件),代(入坐标),化(简). 2．直线方程的几种形式：一般/点斜/斜截/截距/两点式. 3．l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1l 2的充要条件是k 1k 2=-1。 4．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。 5．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2200| |B A C By Ax d +++=。 6．圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2；圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0) 圆的参数方程为?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x 【2010黑龙江】与圆()2221x y -+=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有 (A) 2条 (A) 3条 (A) 4条 (A) 6条答案：选C 【2010浙江】设P 是圆22 36x y +=上的动点，A （20,0）线段PA 的中点M 的轨迹方程为 . 答案：()22109x y -+=. 【2010黑龙江】已知22 1a b +=，且c a b <+恒成立，则c 的取值范围是 (A) (,2)-∞- (B) (,-∞ (C) ( (D) (-∞ 答案：选B 【2012河北】已知点P 是直线40kx y ++=，PA ，PB 是圆C: 2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 .

全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案)

2012各省数学竞赛汇集 2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-u u u r u u u r u u u r u u u r 则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310 _______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为___12 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB = ===,3BC =,4CD =该四面体的体积为____________. 8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.（* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.

高中数学竞赛试题及解题答案

浙江省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1.集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ?=?,则实数a 取值范围为（....） A. 3a ≥ B. 1a ≤-. C. 1a ≤-或 3a ≥ D. 13a -≤≤ 2.若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（.....） A. 4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且2 8z i =，则z =（） A.22z i =+ B. 22z i =-- . C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =-- 5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足 00min{}C A C B CA CB ?=?，则下列一定成立的是（）。 A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线 C. 00C A C B ⊥ D. 012 C M AB = 6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（） A. 20 B. 22 ... C. 24 . D. 25 , 7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（）个。 A.4 B. 6 ... C. 7 .D 8 8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（）。 A. . .. 9. 设函数234()(1)(2)( f x x x x x =--()f x = A.0x = B. 1x = . C. 2x =10. 已知(),(),()f x g x h x 正视图：上下两个 2

北京高中数学知识应用竞赛试题及参考标准答案

第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案试题 1、（满分20分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要接着向前没行一段距离才能停住。我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要的因素。在一个限速为40千米/时的路段上，先后有A、B两辆汽车发生交通事故。事故后，交通警察现场测得A车的刹车距离超过12米，不足15米，B车的刹车距离超过11米，不足12米。又知A、B两种车型的刹车距离S（米）与车速x（千米/时）之间有如下关系：假如仅仅考虑汽车的车速因素，哪辆车应负责任？ 2.（满分20分）北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在那个节目中曾经有如此一个抢答题：小晰蜴体长15cm，体重15g,问：当小晰蜴长到体长为20cm时，它的体重大约是多少（选择答案：20g,25g,35g,40g）?尝试用数学分析出合理的解答。 3. （满分20分）受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口顺某季节每天的时刻与水深关系表：时刻水深（米）时刻水深（米）时刻水深（米） 0:00 5.0 8:00 3.1 16:00 7.4 1:00 6.2 9:00 2.5 17:00 6.9 2:00 7.1 10:00 2.4 18:00 5.9 3:00 7.5 11:00 3.5 19:00 4.4 4:00 7.3 12:00 4.4 20:00 3.3 5:00 6.5 13:00 5.6 21:00 2.5 6:00 5.3 14:00 6.7 22:00 2.7 7:00 4.1 15:00 7.2 23:00 3.8 (1)请在坐标纸上，依照表中的数据，用连续曲线描出时刻与水深关系的函数图像；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时刻必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 4．（满分20分）2000年末，某商家迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，

2010年高中数学联赛预赛试题汇编

2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1．设集合? ?? ? ?? -∈==)34,3(,21|sin |ππx x x E ，则E 的真子集的个数为 15 ． 2．已知函数4 6)(2++= x b x x f 的最大值为49，则实数=b 5 ． 3．若1|lg |

全国高中数学联赛试题专题分类汇编集合

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编 1、集合部分 2019A 2、若实数集合{}1,2,3,x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为． ◆答案：3 2 - ★解析：假如0x ≥，则最大、最小元素之差不超过{}max 3,x ，而所有元素之和大于 {}max 3,x ，不符合条件．故0x <，即x 为最小元素．于是36x x -=+，解得3 2 x =-。 2019B1. 若实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值为． ◆答案：3- ★解析：条件等价于1,2,3,x 中除最大数以外的另三个数之和为0 ．显然0<，从而 120x ++=，得3x =-． 2018A1、设集合{ }99,,3,2,1Λ=A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B I 的元素个数为 ◆答案：24 ★解析：由条件知，{}48,,6,4,2ΛI =C B ，故C B I 的元素个数为24。 2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A Y 的所有元素之和是 ◆答案： 31 ★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A Y ，元素之和为31. 2018B 三、（本题满分50分）设集合{}n A ,,2,1Λ=，Y X ,均为A 的非空子集（允许Y X =）．X 中的最大元与Y 中的最小元分别记为Y X min ,max ．求满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目。 ★解析:先计算满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目.对给定的X m max =，集合 X 是集合{ }1,,2,1-m Λ的任意一个子集与{}m 的并，故共有1 2-m 种取法.又Y m min ≤，故Y 是{}n m m m ,,2,1,Λ++的任意一个非空子集，共有121--+m n 种取法. 因此，满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目是： ()[] ()1212212 21 11 1 11 +?-=-=-∑∑∑=-==-+-n n m m n m n n m m n m n 由于有序集合对),(Y X 有()()() 2 121212-=--n n n 个，于是满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目是() ()124122122 +-=-+?--n n n n n n n

各省高中数学竞赛试题汇编——函数小题目

各省数学竞赛试题汇编——函数小题目 1．【2018年湖南预赛】函数的定义城为_________. 【答案】【解析】由得，所以函数的定义城为. 故答案为 2．【2018年湖南预赛】已知函数对任意的实数满足：，且当时，，当时，，则象与的图象的交点个数为___________。【答案】10 【解析】由题意知，f（x）=且周期是6，，且此函数是偶函数，在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：由图可得，两个函数图象的交点个数是10个． 3．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________. 【答案】6 【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 4．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.

【答案】6 【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 5．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________. 【答案】6 【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 6．【2018年贵州预赛】若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________. 【答案】【解析】由知x＞0，故. 令，则. 当时，；当时，. 所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减. 故，即. 7．【2018年安徽预赛】设点P、Q分别在函数的图象上，则的最小值=_________. 【答案】【解析】设P（），Q（）使最小.由互为反函数，知点P、Q处的切线斜率都是1，直线PQ的斜率都是-1.故. 故答案为： 8．【2018年广东预赛】函数的值域为_____________. 【答案】当时，的值域为（）；当时，的值域为（）. 【解析】

全国高中数学联赛试题分类汇编1集合含答案(mathtype WORD精编版)

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编 1、集合部分 2019A 2、若实数集合{}1,2,3,x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为． ◆答案：32 - ★解析：假如0x ≥，则最大、最小元素之差不超过{}max 3,x ，而所有元素之和大于 {}max 3,x ，不符合条件．故0x <，即x 为最小元素．于是36x x -=+，解得3 2 x =-。 2019B1. 若实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值为． ◆答案：3- ★解析：条件等价于1,2,3,x 中除最大数以外的另三个数之和为0 ．显然0<，从而 120x ++=，得3x =-． 2018A1、设集合{ }99,,3,2,1Λ=A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B I 的元素个数为 ◆答案：24 ★解析：由条件知，{}48,,6,4,2ΛI =C B ，故C B I 的元素个数为24。 2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A Y 的所有元素之和是 ◆答案： 31 ★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A Y ，元素之和为31. 2018B 三、(本题满分50分)设集合{ }n A ,,2,1Λ=，Y X ,均为A 的非空子集(允许Y X =)．X 中的最大元与Y 中的最小元分别记为Y X min ,max ．求满足Y X min max >的有序集合对 ),(Y X 的数目。 ★解析:先计算满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目.对给定的X m max =，集合 X 是集合{ }1,,2,1-m Λ的任意一个子集与{}m 的并，故共有1 2-m 种取法.又Y m min ≤，故Y 是{}n m m m ,,2,1,Λ++的任意一个非空子集，共有121--+m n 种取法. 因此，满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目是： ()[] ()1212212 21 11 1 11 +?-=-=-∑∑∑=-==-+-n n m m n m n n m m n m n 由于有序集合对),(Y X 有()()() 2 121212-=--n n n 个，于是满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目是() ()124122122 +-=-+?--n n n n n n n 2017B 二、(本题满分40分)给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集+ N 分拆为k 个互不相交的子集k A A A ,,,21Λ，每个子集i A 中均不存在4个数d c b a ,,,(可以相同)，满足m cd ab =-．

1981-2018年全国高中数学联赛真题分类汇编含解析答案11逻辑与不定方程

1981年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编 1、逻辑部分 2014B 3、对于实数R 的任意子集U ，我们在R 上定义函数U x U x x f U ?∈? ??=,,01)(，如果B A ,是实数R 的两个子集，则1)()(≡+x f x f B A ，的充分必要条件是 ◆答案：B A ,互为补集 ★解析：对于任意的R x ∈，1)()(≡+x f x f B A ，这说明)(),(x f x f B A 中至少有一个是1，即B A x ∈，所以R B A = ，另一方面，)(),(x f x f B A 中仅有一个是1，即φ=B A ，从而B A ,互为补集。 2001*15、（本题满分20分）用电阻值分别为654321,,,,,a a a a a a (654321a a a a a a >>>>>) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论． ★解析：首先，对电路图进行截取分段考虑，如下三个图设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为FG R ．当i i a R = ，6,5,4,3=i ，1R ，2R 是1a ，2a 的任意排列时，FG R 最小．证明如下：

1°设当两个电阻1R ，2R 并联时，所得组件阻值为R ：则2 1111R R R +=．故交换二电阻的位置，不改变R 值，且当1R 或2R 变小时，R 也减小，因此不妨取1R >2R ． 2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为R AB ： 2 132312132121R R R R R R R R R R R R R R AB +++=++=．显然1R +2R 越大，AB R 越小，所以为使AB R 最小必须取3R 为所取三个电阻中阻值最小的一个． 3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为CD R ： 4 32431421423241312 14111R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R AB CD ++++++=+=．若记∑≤<≤= 411j i j i R R S ，∑≤<<≤=412k j i k j i R R R S ．则S 1、S 2为定值．于是4 313212R R S R R R S R CD --=．只有当43R R 最小，321R R R 最大时，CD R 最小，故应取34R R <，23R R <，13R R <，即得总电阻的阻值最小． 4°对于图3，把由321,,R R R 组成的组件用等效电阻AB R 代替．要使FG R 最小，由3°必需使56R R <；且由1°，应使CE R 最小．由2°知要使CE R 最小，必需使45R R <，且应使CD R 最小．而由3°，要使CD R 最小，应使234R R R <<且134R R R <<．这就说明，要证结论成立 1998*4、设命题P :关于x 的不等式01121>++c x b x a 与02222>++c x b x a 的解集相同；命题 Q :2 12121c c b b a a ==。则命题Q （） A.是命题P 的充分必要条件 B.是命题P 的充分条件但不是必要条件 C.是命题P 的必要条件但不是充分条件 D.既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件 ◆答案：D ★解析：若两个不等式的解集都是R ，否定A 、C ，若比值为1-，否定A 、B ，选D 1995*3、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )

全国高中物理竞赛历年试题与详解答案汇编

全国高中物理竞赛历年试题与详解答案汇编 ———广东省鹤山市纪元中学 2014年5月全国中学生物理竞赛提要编者按：按照中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会第九次全体会议的建议，由中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会常务委员会根据《全国中学生物理竞赛章程》中关于命题原则的规定，结合我国目前中学生的实际情况，制定了《全国中学生物理竞赛内容提要》，作为今后物理竞赛预赛和决赛命题的依据，它包括理论基础、实验基础、其他方面等部分。其中理论基础的绝大部分内容和国家教委制订的（全日制中学物理教学大纲》中的附录，即 1983年教育部发布的《高中物理教学纲要（草案）》的内容相同。主要差别有两点：一是少数地方做了几点增补，二是去掉了教学纲要中的说明部分。此外，在编排的次序上做了一些变动，内容表述上做了一些简化。1991年2月20日经全国中学生物理竞赛委员会常务委员会扩大会议讨论通过并开始试行。1991年9月11日在南宁由全国中学生物理竞赛委员会第10次全体会议正式通过，开始实施。一、理论基础力学 1、运动学

参照系。质点运动的位移和路程，速度，加速度。相对速度。矢量和标量。矢量的合成和分解。匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。抛体运动。圆周运动。刚体的平动和绕定轴的转动。 2、牛顿运动定律力学中常见的几种力牛顿第一、二、三运动定律。惯性参照系的概念。摩擦力。弹性力。胡克定律。万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出）。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。 3、物体的平衡共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。重心。物体平衡的种类。 4、动量冲量。动量。动量定理。动量守恒定律。反冲运动及火箭。 5、机械能功和功率。动能和动能定理。重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式（不要求导出）。弹簧的弹性势能。功能原理。机械能守恒定律。碰撞。 6、流体静力学静止流体中的压强。浮力。 7、振动简揩振动。振幅。频率和周期。位相。振动的图象。参考圆。振动的速度和加速度。由动力学方程确定简谐振动的频率。阻尼振动。受迫振动和共振（定性了解）。 8、波和声横波和纵波。波长、频率和波速的关系。波的图象。波的干涉和衍射（定性）。声波。声音的响度、音调和音品。声音的共鸣。乐音和噪声。热学 1、分子动理论原子和分子的量级。分子的热运动。布朗运动。温度的微观意义。分子力。分子的动能和分子间的势能。物体的内能。 2、热力学第一定律

(完整word版)No.49全国高中数学联合竞赛模拟试题

2011年全国高中数学联赛模拟题1 一试考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分） 1、已知函数)0(1 22 2<+++=b x c bx x y 的值域为]3,1[，则=+c b 2、已知,R a ∈并且a x x a +>-222)0(>a ，则a 的取值范围是 3、设在xOy 平面上，2 0x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为 3 1 ，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M I 所表示的图形面积为 4、3322)(22+-+-= x x x x x f 的最小值为 5、已知复数ααsin cos i z +=，ββsin cos i u +=，且i u z 5 3 54+= +.则)tan(βα+＝ 6、过椭圆C ：12 32 2=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ ≥1)。当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为 7、设][x 表示不超过x 的最大整数，则=++++]500[log ]3[log ]2[log ]1[log 3333Λ 8、设p 是给定的奇质数，正整数k 也是一个正整数，则k=____________ 二、解答题（共3题，共56分） 9、（本题16分）在△ABC 中，A,B,C 所对边分别为c b a ,,，且3 4 cos cos ,10===a b B A c ，P 为△ABC 的内切圆上的动点，求点P 到A,B,C 的距离的平方和的最大值和最小值 10、（本题20分）数列}{n a 中，2,841==a a 且满足)(212+ ++∈-=N n a a a n n n （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设)(,) 12(1 21+∈++=-= N n b b b T a n b n n n n Λ，是否存在最大的正整数m ，使得对于任意的+∈N n ,均有

高中数学联赛试题分类汇编

1、集合部分 2018A1、设集合{}99,,3,2,1Λ=A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B I 的元素个数为 2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A Y 的所有元素之和是 2015B 6、设k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集{} )(2),(22y x y x y x A +=+=和 {}03),(≥++-=k y kx y x B ，若B A I 是单元集，则k 的值为 2014A 2、设集合? ?? ?? ?≤≤≤+21|3b a b a 中最大元素与最小元素分别为N M ,，则N M -的值为 2014B 3、对于实数R 的任意子集U ，我们在R 上定义函数U x U x x f U ?∈?? ?=,,01)(，如果B A ,是实数R 的两个子集，则1)()(≡+x f x f B A ，的充分必要条件是 2013A1、设集合{}3,1,0,2=A ,集合{} A x A x x B ?-∈-=2 2,|，则集合B 中所有元素的和为 2018B 三、（本题满分50分）设集合{}n A ,,2,1Λ=，Y X ,均为A 的非空子集（允许Y X =）．X 中的最大元与Y 中的最小元分别记为Y X min ,max ．求满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目。

2017B 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集+ N 分拆为k 个互不相交的子集k A A A ,,,21Λ，每个子集i A 中均不存在4个数d c b a ,,,（可以相同），满足m cd ab =-． 2017B 四、（本题满分50分）。设{}5,4,3,2,1,,,2021∈a a a Λ，{}10,,3,2,1,,,2021ΛΛ∈b b b ，集合{}0))((,201|),(<--≤<≤=j i j i b b a a j i j i X ，求X 的元素个数的最大值。

各省高中数学竞赛试题汇编——立体几何

各省数学竞赛试题汇编——立体几何 1．【2019年全国联赛】如图，正方体的一个截面经过顶点A，C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3：1的两部分，则的值为. 【答案】【解析】设.截面与FG交于J. ，解得（舍去）故. 2．【2018年全国联赛】设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与所成角不小于30°且不大于60°，则这样的点Q所构成的区域的面积为. 【答案】【解析】设点P在平面上的射影为O.由条件知，. 即OQ∈[1，3]，故所求的区域面积为. 3．【2017年全国联赛】在正三棱锥中,,过AB的平面将其体积平分.则棱与平面所成角的余弦值为_____________。【答案】【解析】设的中点分別为，则易证平面A BM即为平面

由平行四边形的性质知, 所以，又直线P C在平面上的射影为直线MK,由得因此，棱P C与平面所成角的余弦值为. 故答案为： 4．【2016年全国联赛】设P为一圆锥的顶点，A、B、C为其底面圆周上的三点，满足∠ABC=90°，M为AP的中点．若AB =1，AC=2，AP=，则二面角M-BC-A的大小为________. 【答案】【解析】由，知AC为底面圆的直径.如图所示，设底面中心为O. 于是，平面ABC. 故. 设H为M在底面上的射影.则H为AO的中点.在底面中作于点K. 由三垂线定理知. 从而，为二面角M-BC-A的平面角. 由，结合得:. 故二面角M-BC-A的大小为.

5．【2014年全国联赛】四棱锥P-ABCD中，已知侧面是边长为1的正三角形，M、N分别为边AB、BC的中点.则异面直线MN与PC之间的距离为___________. 【答案】【解析】如图，设底面对角线AC与BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，与MN交于点H. 由于PO为底面的垂线，故PO⊥CH.又AC⊥CH，于是，CH与平面POC垂直.从而，CH⊥PC. 因此，CH为直线MN与PC的公垂线段.注意到，. 故异面直线MN与PC之间的距离为. 6．【2013年全国联赛】已知正三棱锥底面边长为1，高为.则其内切球半径为______. 【答案】【解析】如图，设球心在平面与平面内的射影分别为，边的中点为，内切球半径为.则分别三点共线，，且 . 故. 解得.