竞赛组合数学(3)-容斥原理
体育比赛中的数学问题
体育比赛中的数学 体育比赛中的数学是组合问题的重要组成部分，主要结合逻辑推理考察孩子的分析能力和思维的灵活性，走美杯每年都会考到本知识点，这个内容也是2015年四年级学而思杯很可能考到的内容，家长可以让孩子看这个资料适当预习下，咱们这讲内容会在春季下半册书上学习。 一、对单循环赛、淘汰赛的认识 在体育比赛中，每两个人之间都要赛一场并且只赛一场，称这样的比赛为单循环赛。例如：有n 个队参加比赛，其中每个队都要和其他队各赛一场，即每个队都赛了(n- 1) 场。每一场比赛都被算在两个(n- 1) 中，也就是说在n 个(n- 1) 每一场比赛都计算了两次。那么一共进行了n ?(n- 1) ÷ 2 场比赛。 练习1 （2008 年第四届“IMC 国际数学邀请赛”（新加坡）初赛）学校进行乒乓球选拔赛，每个选手都要和其它所有选手各赛一场，一共进行了36 场比赛，有（）人参加了选拔赛。 A、8 B、9 C、10 分析：36 ? 2 =72 （场）。如果有n 个选手，那么n ?(n- 1) =72。两个连续的自 然数乘积为72，n =9 。
在体育比赛中，规定每一场赛事中败者淘汰胜者晋级，称这类比赛为淘汰赛。在淘汰赛中，每一轮淘汰掉一半选手，直至产生最后的冠军。n 个队进行淘汰赛，每进行一场比赛就要淘汰一个队，最后只剩下冠军，也就是说其它选手都被淘汰 掉了，决出冠军需要进行(n- 1) 场比赛。 练习 2 16 个人进行淘汰赛， （1）决出冠军需要进行几场比赛？冠军一共参加了几场比赛？ （2）要决出前三名需要进行几场比赛？分析：（1）第 16 ÷2 =8 （场），8 名胜利者晋级！ 第二轮：8 ÷2 =4 （场），4 名胜利者晋级！ 第三轮：4 ÷2 =2 （场），2 名胜利者晋级！ 第四轮：2 ÷2 = 1 （场），决出冠军！ 要决出冠军共需要进行8 +4 +2 + 1 = 15 （场）。在每一轮比赛中，冠军都参加了其中一场比赛，冠军一共参加了1 ? 4 =4 场比赛。 （2）第四轮比赛中的两位选手分别是1、2 名，3、4 名应该是第三轮中淘汰的两位选手，他们之间要再进行一场比赛才能定出来名次。决出前三名供需15 + 1 = 16 场比赛。 二、比赛中的积分 若规定比赛中胜积2 分，负积0 分，平局积1 分。从比赛结果看，每一场比赛中，若能出现胜者，对手就一定是败者，双方一共积了2 +0 = 2 分；若能出现平局，比赛的双方共积了1 +1 = 2 分。从以上分析可见，每一场比赛后，所有选手的总积分都会增加2 分。若进行了m 场比赛，比赛的总积分一定是2 m 。 若规定比赛中胜积3 分，负积0 分，平局积1 分。每一场比赛中，若有胜负，双方共积3 +0 =3 分；若能出现平局，比赛双方共积2 分，由此可见，其中每出现一场平局，总积分就会减少1 分。若进行了m 场比赛，比赛的总积分在2 m 到3 m之间。 练习 3 （09 年迎春杯决赛）A,B,C,D,E,F 六个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场．胜者得3 分，负者得0 分，平局每队各得1 分．比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第3 名的队得了8 分，那么这次比赛中共有场平局．
小学数学容斥原理
容斥原理 知识结构 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或” 的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ， 即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含” 进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， 大圆表示C 的元素的个数． 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．
【数学竞赛各阶段书籍推荐】
金牌学生推荐（可参照选择） 一、第零阶段：知识拓展 《数学选修4-1：几何证明选讲》 《数学选修4-5：不等式选讲》 《数学选修4-6：初等数论初步》 二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛） 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星） 3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星） 5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几） 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著 三、第二阶段：全国高中数学联赛 一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社 2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社 3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽 4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚） 5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠 6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本） 7、《概率与期望》单樽 8、《同中学生谈排列组合》苏淳 9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版 10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版 11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 12、《圆锥曲线的几何性质》 13、《解析几何》浙江大学出版社 二试 平几 1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星）
2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》 不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神 10、《重要不等式》中科大出版社 11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》 数论 （9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题） 12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》 13、奥林匹克小丛书《数论》 14、命题人讲座《初等数论》冯志刚 组合 15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》 16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》 17、命题人讲座刘培杰《组合问题》 18、《构造法解题》余红兵 19、《从特殊性看问题》中科大出版社 20、《抽屉原则》常庚哲 四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上 命题人讲座《圆》田廷彦 《近代欧式几何学》 《近代的三角形的几何学》 《不等式的秘密》范建熊、隋振林 《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选 《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军 《初等数论难题集》 命题人讲座《图论》 奥林匹克小丛书第二版《图论》 《走向IMO》
化工原理概念分析题问答流体流动
第1章 流体流动 1.在工程上，为什么将流体定义为由质点所组成的 答：工程上仅关注流体分子微观运动所产生的宏观结果。流体质点是由大量分子所组成的 微团，质点的运动状态反映并代表着流体的运动状态。 2.流体的连续性假定有何意义 答：假定组成流体的质点之间无间隙，则流体在连续运动过程中无间断，从而可以应用连 续的数学函数描述流体的连续运动过程。 3. 4.5.6.7.答：烟囱拔烟效果好是指(Pout-Pin) 差值大。烟囱出口的水平面上压强相等。当烟囱内的高 温气体温度一定（即密度一定），烟囱外大气温度一定（即密度一定）时， ()out in air fluegas air fluegas P P H g H g H g ρρρρ-=-=-，故烟囱愈高，其拔烟效果愈好。 8.柏努利方程式的应用条件有哪些 答：（1）粘度等于零的理想流体；（2）稳定流动；（3）无机械能的加入或引出；（4）不可 压缩的流体。
9.层流与湍流的本质区别是什么 答：流体层流时，其每一个质点均仅在主流方向上有速度。流体湍流时，其质点除了在主 流方向上有速度以外，同时在其他方向上存在着随即的脉动速度，即流体湍流时，其质点 之间发生相互摩擦与碰撞的概率很大。 10.雷诺数的物理意义是什么 Re 惯性力答：粘性力du u u G u u u d d ρ ρμμμ??====，可见Re 反映流体流动过程中的惯性力与粘性力的相 11.12.13.14.在满流的条件下，水在垂直直管中往下流动，对同一瞬时沿管长不同位置的速度而言， 是否会因重力加速度而使下部的速度大于上部的速度 答：不会。因为，若出现下部的速度大于上部的速度，说明出现了不稳定流动，供给的流 量减小了，或不是满流的条件了。若始终是稳定流动且满流的条件，根据流体流动的连续 性方程，流动过程中，对于不可压缩的水来说。体积流量不变，流速不变。 15.如图所示管路，A 阀、B 阀均处于半开状态。现在分别改变下列条件，试问：（1）将A 阀逐渐关小，h1、h2、(h1-h2)分别如何变化（2）将B 阀逐渐关小，h1、h2、(h1-h2)分别如
小学奥数精讲：容斥原理习题及答案
小学奥数精讲：容斥原理习题及答案 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有 人. 2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是 平方厘米. 3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有 个. 4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为 人. 5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有 人. 6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有 个. 7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有 个. 8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有 人 . 6
9.分母是1001的最简真分数有个. 10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人. 二、解答题 11.某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数? 12.求小于1001且与1001互质的所有自然数的和. 13.如图所示,A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4,求A、B、C 三个图形公共部分(阴影部分)的面积. 14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.
初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题及答案 (10)
初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题 1．世界杯足球赛每个小组共有四个队参加比赛，采用单循环赛制（即每两个队之间要进行一场比赛），每场比赛获胜的一方得3分，负的一方得0分，如果两队战平，那么双方各得1分，小组赛结束后，积分多的前两名从小组出线．如果积分相同，两队可以通过比净胜球或其他如抽签等方式决定谁是第二名，确保有两支队伍出线． （1）某队小组比赛后共得6分，是否一定从小组出线？ （2）某队小组比赛后共得3分，能从小组出线吗？ （3）某队小组比赛后共得2分，能从小组出线吗？ （4）某队小组比赛后共得1分，有没有出线的可能？ 【分析】（1）假设四个球队分别为A、B、C、D，如四个球队的比赛结果是A战胜了B，D，而B战胜了C，D，C战胜了A，D，D在3场比赛中都输了，可知不能出线，则知不一定从小组出线； （2）假如A在3场比赛中获得全胜，而B战胜了C，C战胜了D，战胜了B，这样，小组赛之后，A积9分，B、C、D都积3分，则可出线； （3）假如A队三战全胜，B、C、D之间的比赛都战平，则有出线的可能； （4）如果只得1分，说明他的3场比赛成绩是1平2负，而他负的两个球队的积分至少是3分，则可知必然被淘汰． 【解答】解：（1）不一定． 设四个球队分别为A、B、C、D， 如四个球队的比赛结果是A战胜了B，D， 而B战胜了C，D，C战胜了A，D，D在3场比赛中都输了， 这样，小组赛之后，ABC三个球队都得6分，D队积0分， 因此小组中的第三名积分是6分， ∴不能出线； （2）有可能出线． 如A在3场比赛中获得全胜，而B战胜了C，C战胜了D， D战胜了B，这样，小组赛之后，A积9分，B、C、D都积3分， 因此这个小组的第二名，一定是3分出线；
小学思维数学讲义：容斥原理之重叠问题(二)-含答案解析
容斥原理之重叠问题（二） 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 教学目标 例题精讲 知识要点 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， 大圆表示C 的元素的个数． 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．
容斥原理公式及运用
容斥原理公式及运用 在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 一、容斥原理1：两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。 【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 二、容斥原理2：三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩
B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到： 【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？ 参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B ∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩ A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
初中数学竞赛专题复习第四篇组合第25章染色问题试题人教版
第25章 染色问题 25.1.1★★圆周上等间距地分布着27个点，它们被分别染为黑色或白色．今知其中任何2个黑点之间 至少间隔2个点．证明：从中可以找到3个白点，它们形成等边三角形的3个顶点． 解析 我们将27个点依次编号，易知它们一共可以形成9个正三角形 (1，10，19)，(2，11，20)，…，(9，18，27)． 由染色规则知，其中至多有9个黑点． 如果黑点不多于8个，则其中必有一个正三角形的所有顶点全为白色．如果黑点恰有9个，那么由 染色规则知，它们只能是一黑两白相间排列，其中也一定有一个正三角形的所有顶点全为白色． 25．1．2★★某班有50位学生，男女各占一半，他们围成一圈席地而坐开营火晚会．求证：必能找到一位两旁都是女生的学生． 解析 将50个座位相间地涂成黑白两色，假设不论如何围坐都找不到一位两旁都是女生的学生，那么25个涂有黑色记号的座位至多坐12个女生．否则一定存在两相邻的涂有黑色标记的座位，其上面都坐着女生，其间坐着的那一个学生与假设导致矛盾．同理，25个涂有白色标记的座位至多只能坐12个女生，因此全部入座的女生不超过24人，与题设相矛盾．故命题得证． 25.1.3★在线段AB 的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色，在线段中间插入n 个分点，在各个分 点上随意地标上红色或蓝色，这样就把原线段分为1n +个不重叠的小线段，这些小线段的两端颜色不同者叫做标准线段．求证：标准线段的个数是奇数． 设最后一个标准线段为1k k A A +．若0k A A =，则仅有一个标准线段，命题显然成立；若n k A A =，由 A 、 B 不同色，则0A 必与k A 同色，不妨设0A 与k A 均为红色，那么在0A 和k A 之间若有一红 蓝的标准 线段，必有一蓝红的标准线段与之对应；否则k A 不能为红色，所以在0A 和k A 之间，红蓝和 蓝红的标准线段就成对出现，即0A 和k A 之间的标准线段的个数是偶数，加上最后一个标准 线段1k k A A +，所以，A 和B 之间的标准线段的个数是奇数． 25．1．4★★能否用面积为14?的一些长方块将1010?的棋盘覆盖? 解析 如图中标上1～4这些数，显然每个1×4的长方块各占1、2、3、4一个，于是如果可以覆盖，则1、2、3、4应一样多，但1有25个，2则有26个，矛盾!因此不能覆盖．
化工原理竞赛 (2)
一、概述 本设计是以年产8万吨丁苯橡胶为目标的设计、各种设备参数的计算及选型，此次设计内容复杂，本小组是以汽提塔分离苯乙烯和胶乳为主、工艺流程为辅的设计。 汽提塔简介： 它是利用蒸汽蒸馏去除废水中的挥发物（如酚）的工艺叫汽提。汽提塔主要设备为汽提塔，液体由塔顶连续进入，水平流过一塔板后，由溢流管流入下一塔板。蒸汽由塔底上升，顶开塔板上的浮阀，水平方向吹入液体层后，继续上升进入上一塔板。 汽提塔的工作原理： 汽提是通过惰性气体来降低溶质的气相分压。从而达到溶剂的再生目的。汽提用气体用的是惰性气体，一般有水蒸气、氮气。汽提塔的原理跟分馏塔原理一样，通过塔盘上气液两相的接触实现传质与传热，使不同挥发度的组分分离。 二、塔设计及校核 一.)汽提塔全塔物料衡算 本次设计塔选择的是汽提塔，已知数据：年产8万吨丁苯橡胶
混合进料 胶乳量 kg/h 苯乙烯 kg/h 塔顶温度 40~60℃（50℃） 塔底温度50~70℃（60℃） X w ≤; 操作压力为13~26 kpa 加热方式为直接蒸汽加热； 计算求得 X 1=——————————————— =% X 2=% y 2=0 又因为M F =%104+%)×3×105= 则 L=== Kmol/h 苯乙烯Cp= KT/(kg ·k) Q=ΕCpm △t=×+Cp ’××= KJ 2=Cpm △t=×m ×(100-95)=×5×m=Q 1 L X 1 y 1 %/104 %/104+%/3×105 x 2 y 2 V
所以 m== kg v== Kmol/h v(y1-y2)=L(x1-x2) y1== y= M LFm= kg/ kmol M LFwm=×104+× 3×105= kg/kmol M Lm=+/2 = kg/kmol Mv Fm= y1×104+(1- y1) x18=(18+86y1)= Mv Fwm = y2×104+1×18=18 kg/kmol Mvm =(18+86y1+18)/2=(18+43 y1) kg/kmol = 二.)平均密度计算 1)气相平均密度计算
小学四年级奥数 容斥原理
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A∪B＝A＋B－A∩B (其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。 图示如下: A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。 1．先包含——A＋B 重叠部分A∩B计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A＋B－A∩B 把多加了1次的重叠部分A∩B减去。 A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数＋B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又是B 类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数＋同时是A类、B类、C类的元素个数。 用符号表示为：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C 图示如下： 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数。 1．先包含——A＋B＋C A∩B、B∩C、C∩A重叠了2次，多加了1次。 2．再排除——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C 重叠部分A∩B∩C重叠了3次，但是在进行A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C计算时都被减掉了。3．再包含——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。 例1 容斥原理
数学竞赛教案讲义排列组合与概率
第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。2 乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0 n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3） k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6） k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。
2008化工原理竞赛题解
北京化工大学“BASF ”杯 第一届化工原理学科竞赛试题 一、简答题 1.（5分）医院输液容器即为一马里奥特恒速装置：如图所示，为了使高位槽底部排出的液体量不随槽中液面的下降而减少，通常可将高位槽上端密封，并于底部设置与大气相通的细管。试说明其恒速原理。 解答：由于液体从下管排出而使槽内上方空间形成真空，在大气压力的作用下，A 管中的液面开始下降，降至A 处时，空气进入槽内补充，从而使槽中A 截面处的压力始终为大气压力。 在1-2截面列柏努利方程， 2 22 11 21u p g z p += +ρ ρ 又 a p p p ==21 所以 g h g z u 21222= = 由此可见，只要液面下降不低于A 处，则h 2一定，流速一定。一旦A 处暴露，则h 2 下降，出口流速相应减少。 2．（3分）日常生活中存在大量正确利用传热学原理强化或削弱传热过程的实例，试针对导热、对流传热和热辐射三种传热方式各举一例 答：（1）导热——房屋窗户采用双层玻璃，中间抽成真空 （2）对流——电风扇 p p
（3）热辐射——暖壶胆表面涂以银白色，并且光洁度很高 3．（5分）生产中有一股热流体需要被降低至一定温度，选用液氨作为冷剂，利用其蒸发达到致冷的目的。 （1） 试构想出一种合适的换热器，图示其主要结构，并在图中标出其所有相关物流的 名称、流向。 （2） 生产中如果要改变冷却效果，例如，使热流体出口温度更低，试给出一种合理、 可行的方法。 答：（1） 液氨 （2）答：在汽氨管线上设置阀门，通过改变阀门的开度调整换热器壳程的压力，从而改变壳程液氨的温度，实现对传热过程的调整。要使热流体出口温度降低，只需开大阀门，降低壳程压力（温度） 4．（8分）一逆流吸收塔，气量、液量和塔高不变，气膜控制过程，在气体和吸收剂进口组成不变的情况下，使得吸收温度降低，吸收属于低浓度吸收，且温度对ky 的影响可忽略，试通过具体分析过程指出吸收效果如何变化？示意性画出平衡线和操作线如何变化？定性分析吸收推动力如何变化？ t ↓,m ↓, 气膜控制过程，Ky=ky 所以，H OG ＝V/ Kya 不变，塔高不变，N OG 不变，↓ = V L m S / 由吸收因数关联图得↑ --2 221mx y mx y ， 2 221>=--c mx y mx y ，)1(221c mx cy y -=- y 2↓
容斥原理(二)
才子教育小学奥数系列 容斥原理（二） 【例题分析】 例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？ 分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。 （人） 答：只有两次达到优秀的有11人。 例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？ 分析与解：根据题意画图。
才子教育小学奥数系列 方法一：（人） 方法二：（人） 答：共有10个小朋友去了冷饮店。 例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？ 分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。 （人） 答：只参加跑和投掷两项的有3人。 例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。 分析与解：根据已知条件画出图。
竞赛中的组合计数问题和概率
组合计数问题和概率 组合计数问题是教学竞赛中常见的一类问题，也是数学竞赛中与实际生活联系最为直接的内容。计数问题的顺利解决会给其他排列组合问题的解决打下竖实的基础。概率作为新增内容，拓展了排列组合的研究和应用的领域。实则是以排列组合为基础的内容，所以概率的考查通常与计数问题联系在一起，既要用到排列组合的知识来解答，也要用到排列、组合的解题思路。解组合计数问题的基本方法有枚举法和利用基本计数原理及基本公式、映射方法、算二次方法、递推方法、容斥原理等，其中蕴含的数学思想有分类讨论的思想、化纳和转化的思想、函数与方程的思想等重要的数学思想。 例1． （2004年全国高中联赛题）设三位数为abc n =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有 A ．45个 B ．81个 C ．165个 D ．216个 解：选C 。理由：a , b , c 要构成三角形边长，显然不为零，即a , b , c ∈{1, 2, 3, …, 9}。 （1）若构成等边三角形，则c b a ==可取{1, 2, …, 9}中任何一个值，所以这样的三位数的个数为 91 91==C n 。 （2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三角形个数为n 2，且等腰三角形的三边长为a 1, b 1=c 1。当111c b a =<时，即腰大于底边时，等腰（非等边）三角形由数组(a 1, b 1)惟一确定，有29C 个；当111c b a =>时，即腰小于底边时，这时数组(a 1, b 1)有29C 个，但必须1112b a b <<才能构成三角形。而不能构成三角形的组数(a 1, b 1)是 共20种情况，故这时等腰（非等边）三角形只有2039-C 个。 同时，每个数组(a 1, b 1)可形成23C 个三位abc ，故156)20(2929232=-+=C C C n 。 综上，16521=+=n n n ，故选C 。 评注：本题综合运用了枚举法和基本计数原理。列表枚举和树图枚举看似复杂，但在很多题中能起到意想不到的作用，有时不防一试。 例2．设p ，q 为给定的正整数，q p n 32?=，求2n 的正约数中小于n 且不是n 的约数的正整数的个数（当31=p ，19=q 时，本题为美国第13届邀请赛题）。 解：因为2n 的正约数都具有形式：p d 21(32≤≤?=αβα，)20q ≤≤β，要求从中找出使得p ≤≤α0， q ≤≤β0不同时成立，并且小于 n 的所有d 的个数。 令p p X 2|32{≤
化工原理理论知识竞赛试题
茂名学院第四届化工原理 理论知识竞赛 命题：吴景雄 一、填空题（每小题3分，共36分） 1、某转子流量计（出厂时是用20C、常压的空气标定），用于测量40C常压空气 的流量，则转子流量计读数的校正系数为 _____________ 。 2、由三条支管组成的并联管路，各支管的长度及摩擦系数都相等，管径的比为 d i：d2：d3=1: 2：3,则这三支管的流量比为________ 。 3、含尘气体在降尘室内按斯托克斯定律进行沉降。理论上能完全除去30 ym的 粒子，当气体处理量增大1倍，则该降尘室理论上能完全除去的最小粒径 为 __________ 。 4、用一台离心泵输送某液体，当液体温度升高，其它条件不变，则离心泵所需 的扬程 _______ ，允许安装高度_______ 。 5、用离心泵把水从水池送至高位槽，水池和高位槽都是敞口的，两液面高度差 恒为13m，管路系统的压头损失为H f = 3X 105Q2;在指定的转速下，泵的特性方程为H=28-2.5X 105Q2；（Q的单位为m3/s, H、H f的单位为m）。则泵的流量为 __________ m3/h。 &续上题，如果用两台相同的离心泵并联操作，贝U水的总流量为__________ m3/h0 7、用图解法求理论板数时，在、X F、X D、血、q、R、F各参数中，与理论板数无 关。 8、在板式塔中，板上液面落差过大会导致___________________ ;造成液面落差 的主要原因有塔板结构、塔径和 _______________ 。 9、某精馏塔的精馏段操作线方程为y=0.72x+0.275,贝U该塔的操作回流比R 为 ________ ，馏出液的摩尔分率为_________ 。 10、对于精馏操作，若在F、X F、q、D不变的条件下，加大回流比R，假设全 塔效率不变，则X D将________ ，XW将 ________ 。（增加、减小、基本不变、不能确定） 11、在逆流填料吸收塔的操作中，如果进塔液相摩尔比X2增大，其他操作条件 不变，则气相总传质单元数将 ________ ，气相出口摩尔比丫2将________ 。 （增大、减小、基本不变、不能确定） 12、在常压逆流操作的填料吸收塔中，用纯溶剂吸收混合气中的溶质A。已知进
小学奥林匹克数学 容斥原理试卷(二)
容斥原理（二） 【例题分析】 例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？ 例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的
++---?=（人） 方法二：664311210 答：共有10个小朋友去了冷饮店。 例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？ 30人参 的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参 7。 答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？ 满分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。 当x 取最大值7时，全班有()39746+=人，当x 取最小值0时，全班有()390+=39人。 答：这个班最多有46人，最少有39人。 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有1 2 的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？ 2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两 他们住的一套房子共有多少平方米？
快乐学堂小升初数学专题三容斥原理
快乐学堂小升初数学专题三容斥原理 在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 容斥原理1 如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B = A+B - A∩B ) 例1 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 分析 依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。 答案 15+12-4=23 试一试 电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？ 100-(62+34-11)=15 课堂训练 1. 在1,2，3，…,100这100个自然数中，能被5或9整除的数有( )。
2. 在1,2，3，…，100这100个自然数中，能被2和3整除，但不能被5整除的数有( )个。 3. 500以内既是完全平方数也是完全立方数的数有( )个。 容斥原理2 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C） 例2 某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？ 分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B 类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C 类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。 答案：25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3 例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？ 分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。