《数学建模》选题

《数学建模》选题(一)

1、选址问题研究

在社会经济发展过程中, 经常需要在系统中设置一个或多个集散物质、传输信息或执行某种服务的“中心”。在设计和规划商业中心、自来水厂、消防站、医院、飞机场、停车场、通讯系统中的交换台站等的时候,经常需要考虑将场址选在什么位置才能使得系统的运行效能最佳。选址问题, 是指在指定的范围内, 根据所要求的某些指标,选择最满意的场址。在实际问题中,也就是关于为需要设置的“设施”选择最优位置的问题。选址问题是一个特殊类型的最优化问题,它属于非线性规划和组合最优化的研究范围。由于它本身所具有的特点,存在着单独研究的必要性和重要性。

1.1“中心”为点的情形

如图1，有一条河，两个工厂P 和Q位于河岸L（直线）的同一侧，工厂 P 和 Q 距离河岸L分别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米，现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个水泵站，向两工厂P、Q 输水，请你给出一个经济合理的设计方案。

图1 图2

（即找一点 R ，使 R 到P、Q及直线l的距离之和为最小。）

要求和给分标准：

提出合理方案，建立坐标系，分情况定出点R的位置，0分——70分。

将问题引申：

（１）、若将直线 L缩成一个点（如向水库取水），则问题就是在三角形内求一点R，使R到三角形三顶点的距离之和为最小（此点即为费尔马点）。

（２）、若取水的河道不是直线，是一段圆弧（如图2），该如何选点？

对引申问题给出给出模型和讨论30分——50分。

抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无模型优缺点讨论扣10分。

1.2“中心”为线的情形

在油田管网和公路干线的设计中提出干线网络的选址问题： 问题A ：在平面上给定n 个点n P P P ,,,21 ，求一条直线L ，使得

∑=n

i i

i

L P d w 1

),( （1）

为最小，其中i w 表示点i P 的权，),(L P d i 表示点i P 到第直线L 的距离。 问题B ：平面上给定n 条直线n L L L ,,,21 , 求一点X , 使

∑=n

i i

i

L X d w 1

),( （2）

为最小，其中i w 表示直线i L 的权，),(i L X d 表示点X 到第直线i L 的距离。 问题C ：在平面上给定n 个点n P P P ,,,21 ，求一条直线L ，使得

),(max 1L P d w i i n

i ≤≤ （1）

为最小，其中i w 表示点i P 的权，),(L P d i 表示点i P 到第直线L 的距离。 问题D ：平面上给定n 条直线n L L L ,,,21 , 求一点X , 使

),(max 1i i n

i L X d w ≤≤ （2）

为最小，其中i w 表示直线i L 的权，),(i L X d 表示点X 到第直线i L 的距离。

参考文献

【1】林诒勋, 尚松蒲. 平面上的点—线选址问题[J]. 运筹学学报,2002,6(3):61—68.

【2】尚松蒲, 林诒勋. 平面上的min-max 型点—线选址问题[J]. 运筹学学报,2003,7(3):83—91. 要求和给分标准：

选择问题A 和B(或者C 和D)进行研究：根据文献重述模型（10分），提出自己的算法(30分)，计算机仿真验证算法的正确性（40分，含如何在平面上随机产生n 个点，对每个点随机赋权，按照算法编程实现求干线的程序，并将寻得的干线和点在平面上图示，建议用MATLAB 编程）。 将问题引申：

如果同时确定两条、三条干线，应该如何讨论？其他情形的讨论？

对引申问题给出给出模型和讨论20分——30分。

抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无模型优缺

点讨论扣10分。

2 Hsieh 模型的参数估计方法研究

(本题目可三人共同完成，但工作量要基本相同，每个人的工作要写清楚)

Hsieh 模型为由（1）和（2）构成的如下非线性方程组：

()

1/2

22

A E F -=+ （1）

()1tan F E η-=- （2）

其中，

E =1-ωr c 2Kei(α)/(2T ),

F =ωr c 2Ker(α)/(2T ), α=r w (ωS /T )1/2

A 为井水位与不排水条件下含水层孔压的潮汐响应振幅比，称为相对振幅。η为井水位与孔压之间的相位差，取决于含水层的导水（渗透）性能；Ker 和Kei 分别为开尔文函数(在Matlab 中用besselk( )来表示)的实部和虚部；S 为储水系数，无量纲；T 为导水系数；ω为井水位某潮汐分波频率；r w =0.028m 为揭露含水层处井孔半径，或滤水管半径；r c = 0.0445m 为井水位波动范围处的井孔套管半径。A 和η对S 不敏感，但是对T 在一定取值区域内敏感。

问题：已知A 和η反推S 和T 及其两者的误差，即求解二元非线性方程组并由A 和η的误差估计S 和T 的误差。

振幅比A 和相位差η值(角度值，计算时要转化成弧度值)是通过实际数据求算出来的，存在一定的误差，它们的值及误差见如下数据。 相位移η 误差

振幅比A

误差 -6.485 0.201 0.964629451 0.014

-7.746 0.2 0.973051011 0.014

-8.702 0.18

0.969201155 0.013

-8.24 0.192 0.969682387 0.013 -8.606 0.208 0.978825794 0.015 -7.011 0.219 0.967276227 0.015 -6.66 0.158 0.990615977 0.011 -4.945 0.144 0.986525505 0.01 -6.047 0.158 0.983638114 0.011 -4.503 0.153 0.987247353 0.011 -5.603 0.215 0.985563041 0.015 -5.925 0.161 0.968960539 0.011 -4.702 0.206 0.981713186

0.015

-4.37 0.186 0.98147257 0.013

要求和给分标准：

根据文献重述模型（10分），如：由于A 和η可以实验测得，为了便于计算机求解，将Hsieh 模型进行等价变形，

????

?-==+η

tan /12

2

2E F A F E ，其中E ≈1-ωr c 2Kei(α)/(2T ), F ≈ωr c 2Ker(α)/(2T ), α=r w (ωS /T )1/2

其中r w =0.028， r c = 0.0445m ，ω为井水位某潮汐分波频率；

提出自己的求解非线性方程组算法(30分)，如：（1）这是一个非线性方程组求根问题，可以用Newton-Raphson 方法求解，求解算法如下：……（2）这是一个非线性方程组求根问题，可以用推广的多元二分法求解，求解算法如下：……（3）等等这是一个非线性方程组求根问题，可以等价转化为求最小值问题，求解算法如下：……。

按照算法的求解S 和T 及其两者的误差。（40分），注意：求非线性方程组的根和估计根的误差需要提出两种算法和分别变成求出，建议用MATLAB 编程。 将问题引申：

对如何保证算法的收敛性，如何估计误差，给出误差公式讨论？ 20分——30分。

抄袭者零分；无算法者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无算法优缺点讨论扣10分。

提示：（1）由A 和η的误差理论上导出S 和T 的误差界

由《高等数学》下册P86-87隐函数存在定理求出S ，T 关于A ，η的偏导数，再利用P75公式(10)和(11)即可估计绝对和相对误差界。

（2）用BootStrap 方法估计误差界。

用《概率论与数理统计》中BootStrap 方法估计误差界。 （3）二者进行比较。 参考文献：

廖欣, 刘春平等. 响应是否满足不排水条件的检验[J]．地震学报，2011，33(2):234-242.

4题:写字楼电梯系统的模拟系统

城市繁华地区有一座12层的写字楼，在高峰时间7：50-9：10，人们进入一楼大厅并乘电梯到所在的楼层，有4部电梯为大楼服务，乘客到达大楼的时间

间隔在0-30秒内随机变化，达到后每个乘客第一部可乘的电梯（1-4号），当某人进入电梯后并选择达到楼层后，电梯在关门前等待15秒，如果另一个人在15秒内到达来，这种等待将重新开始，如果15秒内无人到达，电梯就把全体乘客送上去。假定中途没有其他乘客要上电梯。送完最后一个乘客后，电梯回到大厅，途中也不上客人。

一部电梯的最大容量为12人，当一位乘客来到大厅，没有电梯可乘，就开始大厅排队等待。

写字楼的管理者希望提高优质服务，但目前有些乘客抱怨在电梯回来之前，他们在大厅等待的时间太长，也有人抱怨他们在电梯呆的时间太长，还有人说高峰时间大厅太挤，实际情况如何呢？首先对该写字楼电梯系统做理论分析，然后用计算机模拟电梯系统，回答下列问题，：

（1）在一个典型的早上高峰时间，电梯实际上为多少乘客提供服务？

（2）如果一个人的等待时间是他在队伍中的时间，即从到达大厅到进入一部可乘电梯的时间，问一个人在队中等待的平均时间和最长时间是多

少？

（3）最长的队长是多少？（这个问题的回答将向管理者提供大厅拥挤程度的信息。）

（4）如果运送时间是一位乘客从到达大厅到他或她到达要去的楼层的时间，包括等电梯的时间平均运送时间和最长的运送时间是多少？

（5）一位乘客实际上呆在电梯中的平均时间和最长时间是多少？

（6）每部电梯停多少次？早高峰时间每部电梯实际上使用时间的百分比是多少？

5、送货路线设计问题

现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达，而且他们往往一人送多个地方，请设计方案使其耗时最少。

现有一快递公司，库房在图1中的O点，一送货员需将货物送至城市内多处，请设计送货方案，使所用时间最少。该地形图的示意图见图1，各点连通信息见表3，假定送货员只能沿这些连通线路行走，而不能走其它任何路线。各件货物的相关信息见表1，50个位置点的坐标见表2。

假定送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米。送货员的平均速度为24公里/小时。假定每件货物交接花费3分钟，为简化起见，同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算。

现在送货员要将100件货物送到50个地点。请完成以下问题。

1. 若将1~30号货物送到指定地点并返回。设计最快完成路线与方式。给出结果。

要求标出送货线路。

2. 假定该送货员从早上8点上班开始送货，要将1~30号货物的送达时间不能超过指定时间，请设计最快完成路线与方式。要求标出送货线路。

3. 若不需要考虑所有货物送达时间限制(包括前30件货物)，现在要将100件货物全部送到指定地点并返回。设计最快完成路线与方式。要求标出送货线路，给出送完所有快件的时间。由于受重量和体积限制，送货员可中途返回取货。可不考虑中午休息时间。

以上各问尽可能给出模型与算法。

图1 快递公司送货地点示意图

O点为快递公司地点，O点坐标(11000,8250),单位：米

表1 各货物号信息表

表2 50个位置点的坐标

表3 相互到达信息

《数学建模》选题（二）

第一题：水灾评估问题

给定某地区的水灾灾度标准分级的选取如下表：

现有此地区某3年的受灾损失情况如下表：

1、给出水灾灾害损失评估的具体模型

2、按模型给出给定年份的灾害损失的具体评估步骤和实施过程：

（1）如何给定出评价因素的权重。

（2）评价因素的评价程度如何定量描述（隶属函数如何确定）。

（3）如何确定评价矩阵。

3、定出年分的灾害等级。

第二题

随着全国各高校招生规模的扩大，学生综合素质出现参差不齐的现象，为了确保大学生质量，更好的促进大学生教育的发展，构建一套科学合理的大学生综合素质评价体系已成为亟待解决的现实课题，请你建立一个合理可行的综合素质评价模型，并给出对某位学生的评价实例。（下面是一个参考实例）聘请20位长期从事学位与大学生培养工作的专家对某一位学生的政治素质、文化素质、创造素质和身心素质这四个考核项目进行评分，如下表

建立模型，给出对此学生的评价结果。

提示：1.如何确定政治素质、文化素质、创造素质、和身心素质的权重。

2.用什么方法对数据进行处理，进而得到评价矩阵

3.如何确定每种评定素质中各“考核指标”权重

4.如何将评价结果数量化，给出对考核对象的定量描述。

第四题：

研究生考试已经结束，现将我院三年的统计成绩统计给你，请你对所得到的数据进行定量分析（相应所需比较数据自己从网上搜索），根据数据信息，给出我院考研情况的整体分析，包括对学生的建议，对领导以建议等，相当于一个

研究报告。

第五题：

以下是四川地区的地震数据资料，请你根据数据，给出对地震烈度的预测方法，并对方法进行适当的评价。

数学建模选题（三）

方程作业

1、若用)(t x 表示t 时刻某范围内一种群的数量或密度，当种群数量较大时，我们将)(t x 看作t 的连续函数，则)(t x 的变化与出生、死亡、迁入、迁出等因素有关.若用E I D B ,,,分别表示种群的出生率、死亡率、迁入率、迁出率，则种群数量或密度变化的一般模型是：

?????=-+-=00)(x t x E

I D B dt dx

(7)

其他模型都是根据这个原理建立的.

试通过数学建模的方法，建立数学模型讨论不同模型对人口的影响以及各模型的优缺点，查阅相关数据试讨论中国人口未来的情况。 2．战争的预测与评估问题

目前，在超级大国的全球战略影响下，世界并不太平，国与国之间和地区之间的种族歧视、民族矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成的局部战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌对状态，从而导致了地区性的紧张局势和潜在的战争威胁。在这种情况下，必然会导致敌对双方的军备竞赛，在一定的条件下就会爆发战争。随着高科技的发展，军事装备现已成为决定战争胜负重要因素。这里我们所说的军事装备是指军事实力的总和，主要包括武器装备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等。

现代条件下的战争，一般都是多兵种的协同作战，所谓的多兵种就是综合使用陆、海、空、导弹、空降等兵力和相应的武器装备去完成不同的战争任务。由于每一兵种和相应的武器装备都有各自的优势和相应的适合攻击的目标。因此，现代战争的结局在很大程度上取决于是否能够广泛合理地利用诸兵种地合成部队协同作战，在战争中争取保证一定优势，尤其是在“制空权”和“制海权”的优势，这是现代战争的一大特点。

另一方面，现代战争往往是根据不同兵种的特点，可以在不同的区域参加战斗，即一场战争可以在不同几个区域同时展开，都对战争的结果产生一定的影响。 现在要求建立数学模型讨论以下问题：

(1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多因素之间的互相关系进行讨论；

(2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析。

3、（餐厅废物的堆肥优化问题）

一家环保餐厅用微生物将剩余的食物变成肥料。餐厅每天将剩余的食物制成桨状物并与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料，加入真菌菌种后放入容器内。真菌消化这此混合原料，变成肥料，由于原料充足，肥料需求旺盛，餐厅希望增加肥料产量。由于无力购置新设备，餐厅希望用增加真菌活力的办法来加速肥料生产.试通过分析以前肥料生产的记录(如表2.2所示)，建立反映肥料生成机理的数学模型，提出改善肥料生产的建议。

2013年数学建模选题（四）

1.有4种资源被用于生产3种产品，资源量、产品单件可变费用、单件售价、资源单耗量及组织3种商品生产的固定费用见表如下，现要求制定一个生产计划，使总收益最大，建立模型用lingo求解并进求解。

数据详细表

２. 公司在各地有4项业务，选定了4位业务员去处理。由于业务能力、经验和其他情况不同，4业务员去处理4项业务的费用各不相同，见表如下。应当怎样分派任务，才能使总的费用最小，建模并用lingo求解。

业务费用表

3.海龙汽车配件厂主管生产的张经理正在考虑如何培训及合理安排工人以降低生产成本。该厂生产3类不同的汽车零配件A、B、C，有6个不同级别的工人，每人每周工作时间为40小时，由于零配件复杂程度不同，要求不同熟练技术的工人完成。如A类配件的生产线复杂程度最高，要求1-3级工人去操作，B类次之，C类配件生产线对工人级别要求最低，已知目前不同级别工人人数，小时工资及每周用于各生产线的时间如下表：

考虑到生产任务的变化，张经理正在对工人进行培训，使得不同级别的工人均能在A、B、C三类配件的生产线上工作，当然由于A、B、C零配件的差别，不同级别工人专长不同，以及不同级别工人在不同生产线上的工作效率不同。下表给出了不同级别工人在A、B、C生产线上的工作效率

已知下季度各周A、B、C零配件的需求数分别为1940、1000及10060件。张经理初步测算，按目前两表中给出的工作时间安排及工作效率，该厂可以胜任下季度的任务，但这样安排的结果是没有一点机动空闲时间，同时工资的支出也不经济合算，因此他考虑：

(1)如何确定一个更有效的任务分配方案，使下季度任务用更少工资支付完成，

以便腾出时间和费用用于零配件返修以及完成临时追加的任务；

(2)新任务分配方案较原有分配方案能带来多少工资的节约；

(3)根据新的任务分配方案，哪些工人应该补充，哪些工人有多余可以调整任务；

(4)能否将此问题转化为一个运输问题的数学模型，试运用lingo软件编程求解。