D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定 二、填空题 8.已知y=(cos x-a)2-1,当cos x=-1时y取最大值,当cos x=a时,y取最小值,则a的范围是________. 9.抛物线y=8x2-(m-1)x+m-7的顶点在x轴上,则m=________. 10.设函数f1(x)=x 1 2 ,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则f1(f2(f3(2010)))= ________. 11.在函数f(x)=ax2+bx+c中,若a,b,c成等比数列且f(0)=-4,则f(x)有最________值(填“大”或“小”),且该值为________. 12.已知幂函数f(x)=x 1-α 3 在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是 减函数,那么最小的正整数a=________. 13.方程x2-mx+1=0的两根为α,β,且α>0,1<β<2,则实数m的取值范围是________. 三、解答题 14.已知函数f(x)=2 x -x m,且f(4)=- 7 2 . (1)求m的值; (2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 15.已知对于任意实数x,二次函数f(x)=x2-4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的,求函数g(a)=(a+1)(|a-1|+2)的值域.
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法教案
一. 教学内容: 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式,求函数的定义域,求函数的值域,求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念; 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式; 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值; 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题,重视函数单调性在确定函数最值中的作用; 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题; 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 (一)求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y=f(x),不能把它写成f(x,y)=0; 2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形; 3、求函数解析式的一般方法有: (1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。 (2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值; (3)换元法:若给出了复合函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的表达式时可以令t=g (x),以换元法解之; (4)构造方程组法:若给出f(x)和f(-x),或f(x)和f(1/x)的一个方程,则可以x代换-x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(-x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式; (5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。 (二)求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示; 2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题; 3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等;
函数定义域值域求法(全十一种)
创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ???>-≥②①0 x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π, ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分,得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--,, 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。 (2)其解法是:已知)x (f 的定义域是[a ,b ]求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为[-2,2],求)1x (f 2-的定义域。 解:令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤ ≤-。
求函数值域的常见方法大全教师版
第 1 页 共 6 页 求函数值域的几种常用方法 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就求函数值域的方法归纳如下,供参考。 一、直接观察法 这是最基本的方法,通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析,求函数的值域。 例1 求函数y = x 1 的值域。 解: x ≠0 ,∴ x 1 ≠0 显然函数的值域是:( -∞,0 )∪(0 ,+∞). 例2 求函数y = 3 -x 的值域。 解: x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是:(,3]-∞ . 二、反函数法 当一个函数存在反函数又便于求其反函数时,可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。 例3 求函数y = 6 54 3++x x 值域。 解:由原函数式可得:x = 3 564--y y , 则其反函数为:4653x y x -= - 其定义域为:x ≠5 3 , 故所求函数的值域为:33 (,)(,)55 -∞?+∞. 注:本题还可以用分离系数法,把原函数式变形为:3252530 y x = ++同样达到目的。 例4 求函数11()211()2 x x y -= +值域。 解:由原函数式可得:1 21log 1y x y -=+, 则其反函数为:1 2 1log 1x y x -=+ 由 101x x ->+,知11x -<<, 故所求函数的值域为:(1,1)-. 注:本题还可以利用函数的有界性法,把原函数式变形为:11()02 1x y y -= >+同样达到目的 三、配方法 配方法是求二次函数(即形如2 ()()()f x ag x bg x c =++的函数)值域最基本的方法之一。 例5 求函数y =2 x -2x + 5,x ∈[-1,2]的值域。 解:将函数配方得:y =(x -1)2 + 4, x ∈[-1,2], 由二次函数的性质可知: 当x = 1时,min y = 4 , 当x = - 1,时max y = 8 , 故函数的值域是:[ 4 ,8 ]. 例6 求函数y = 的值域。 解: 将函数变形为:y =故函数的值域是:[ 0 , 3 2 ].
函数定义域值域求法总结
、函数定义域、值域求法总结
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函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下,括号内整体的取值范围相同。 一般地,若已知 f(x)的定义域为[a,b],求函数f[g(x)]的定义域时,由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用,从而范围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。 一般地,若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求函数 f(x)的定义域时,由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时,g(x)的取值范围。 定义域是X 的取值范围,g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响,所以它们的范围相同。 ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 ():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域 ()():f g x ,f (x)????题型二已知的定义域求的定义域 ()[]():f g x ,f h(x)????题型三已知的定义域求的定义域()[]()[] )x (h f x f x g f →→
(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ???≠-≥+0201x x ? ???≠-≥2 1 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②214 3)(2-+--=x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-= x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3- ]
定义域和值域的求法
定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.
函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域 方法是:若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈,则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域,求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域,再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下,供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
幂函数知识点及典型题
幂函数 知识点 一、幂函数的定义 一般地,形如y x α =(R x ∈)的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如1 12 3 4 ,,y x y x y x -===等 都是幂函数 二、幂函数的图像 幂函数n y x =随着n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握n y x =,当11 2,1,,,323 n =±±± 的图像和性质,列表如下. ① 它们都过点()1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限. ② 11 ,,1,2,332a =时,幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数. ③ 1 ,1,22 a =---时,幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数. ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点. 三、幂函数基本性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 四、解题方法总结 1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论; 2.对于幂函数y =α x ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象 限,其次确定曲线的类型,即α<0,0<α<1和α>1三种情况下曲线的基本形状,还要注意α=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双,大竖小横”,即α>0(α≠1)时图象是抛物线型;α<0时图象是双曲线型;α>1时图象是竖直抛物线型;0<α<1时图象是横卧抛物线型. 典型题 类型一、求函数解析式 例1.已知幂函数2 223 (1)m m y m m x --=--,当(0)x ∈+, ∞时为减函数,则幂函数y =__________. 类型二、比较幂函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. (1)4 3 3.14 -与43 π - (2)35 (- 与35 (- (3)比较0.5 0.8 ,0.5 0.9,0.5 0.9 -的大小 类型三、求参数的范围
人教版必修一求函数值域的几种常见方法
人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1.直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R , 当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1.求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3, ∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}(此法亦称分离常数法) ④当x>0,∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥, 当x<0时,)1(x x y -+ --==-2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2,+∞).(此法也称为配方法) 函数x x y 1+ =的图像为: 2.二次函数比区间上的值域(最值): 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ①142+-=x x y ; ②]4,3[,142∈+-=x x x y ;③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x
求函数的定义域与值域的常用方法完整版
求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
求函数的定义域与值域的常用方法 引入: 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 (一)解析式的表达形式 (解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。) 1、一般式 (是大部分函数的表达形式) 例:一次函数:b kx y +=)0(≠k 二次函数:c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数:x k y = )0(≠k 正比例函数:kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==,那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ,则[]=)(x g f , []=)(x f g 。 解:[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f (二)解析式的求法 (根据已知条件求函数的解析式,常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值(式)法、方程法等。) 1. 配凑法 例1.已知 :23)1(2+-=+x x x f ,求f(x); 解:因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知:221)1(x x x x f +=+,求)(x f 。 解: 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意:使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知:x x x f 2)1(+=+,求f(x); 解:令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知:11)11(2-=+x x f ,求)(x f 。
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题
函数专题之值域与最值问题 一.观察法:通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域. 例1:求函数) + =的值域. y- 3x 3 2( 点拨:根据算术平方根的性质,先求出) -的值域. 3 2(x 解:由算术平方根的性质,知) 2(x -≥3。∴函数的值域为) 3 -≥0,故3+) 2(x 3 ,3[+∞ . 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。本题通过直接观察算 术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法:当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域. 例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域. 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数, 故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。 这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})三.配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域. 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。 此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。 配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4:求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域. 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。
5、函数的定义域和值域答案
函数定义 映射 一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射(mapping ).记作“:f A B →” 函数的概念 1.定义:如果A ,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 )(x f y =,A x ∈。 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性,B 中元素具有唯一性; 区别:函数是一种特殊的映射,它要求两个集合中的元素必须是数,而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体,分别称为定义域.值域和对应法则.当我们认识一个函数时,应从这三方面去了解认识它. 例 函数y =x x 2 3与y =3x 是不是同一个函数?为什么? 练习 判断下列函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数,说明理由? ① f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ; g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ;g ( x ) = 2x 重点一:函数的定义域各种类型例题分析
高中数学:幂函数的概念、图象和性质
高中数学:幂函数的概念、图象和性质 1、幂函数的概念 一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数;其定义域是使有意义的值的集合。 例1、已知幂函数,且当时为减函数。求幂函数的解析式。 分析:正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析式,一般用待定系数法,弄明白幂函数的定义是解题的关键。 解答:由于为幂函数, 所以,解得,或。 当时,,在上为减函数; 当时,,在上为常函数,不合题意,舍去。 故所求幂函数的解析式为。 2、幂函数的图象和性质 图象: 定
义域值域奇 偶性奇偶奇 非奇非 偶 奇 单 调性上增 上减, 上增 上增上增 , 上分别减 定 点 , (1)所有的幂函数在上都有定义,并且图象都过点; (2)如果,则幂函数的图象过点和,并且在区间上是增函数; (3)如果,则幂函数的图象过点,并在区间上是减函数。在第一象限内,当从趋向于原点时,图象在轴右方无限地逼近轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴; (4)当为奇数时,幂函数为奇函数;当为偶数时,幂函数为偶函数。 例2、比较,,的大小。 分析:先利用幂函数的增减性比较与的大小,再根据幂函数的图象比较与的大小。 解答: 而在上单调递增,且, 。故。
例3、若函数在区间上是递减函数,求实数m的取值范围。 分析:本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。 函数是一个比较常用的幂函数,它也叫做反比例函数,其定义域是,是一个奇函数,对称中心为(0,0),在和 上都是递减函数。一般地,形如的函数都可以通过对 的图象进行变换而得到,所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。 解答:由于,所以函数的图象是由幂 函数的图象先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到的,所以其图象如图所示。 其单调递减区间是和,而函数在区间上是递减函数,所以应有。 例4、若点在幂函数的图象上,点在幂函数的图象 上,定义,试求函数的最大值及其单调区间。分析:首先根据幂函数的定义求出,然后在同一坐标系下画出函数和的图象,得出的函数图象,最后根据图象求出最大值和单调区间。
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的定义域与值域的常用方法 引入: 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值 一、 求函数的解析式 (一)解析式的表达形式 (解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。) 1、一般式 (是大部分函数的表达形式) 例:一次函数:b kx y +=)0(≠k 二次函数:c bx ax y ++=2)0(≠a 反比例函数:x k y = )0(≠k 正比例函数:kx y =)0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==,那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ,则[]=)(x g f ,[]=)(x f g 。 解:[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g (二)解析式的求法 (根据已知条件求函数的解析式,常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值(式)法、方程法等。) 1. 配凑法 例1.已知 :23)1(2 +-=+x x x f ,求f(x); 解:因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 65)(6)1(5)1(22+-=++-+=x x x f ,x x 所以 例2、已知:221)1(x x x x f +=+,求)(x f 。 解: 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意:使用配凑法也要注意自变量的范围限制。
求解函数定义域,值域,解析式讲义(精华版)
求解函数定义域、值域、解析式 【课堂笔记】 知识点一 定义域、值域的定义 在函数)(x f y =中,x 叫做自变量,x 的取值范围的集合A 叫作函数的定义域;与x 的值相对应的值y 叫作函数值,函数值的集合})({A x x f ∈叫作函数的值域。 下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。 (1)当函数是以解析式的形式给出的时候,其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。 (2)当函数是由实际问题给出时,其定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要有实际意义。 注意:(1)求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,要注意逻辑连接词的恰当使用。 (2)定义域是一个集合,其结果可用集合或区间来表示。 (3)若函数)(x f 是整式型函数,则定义域为全体实数。 (4)若函数)(x f 是分式型函数,则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。 (5)若函数)(x f 是偶次根式,则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 (6)由实际问题确定的函数,其定义域由自变量的实际意义确定。 (7)如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使其各部分有 意义的公共部分的集合。 (8)复合函数的定义域问题: ①若已知)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域可由不等式b x g a ≤≤)(解出; ②若已知))((x g f 的定义域为],[b a ,则函数)(x f 的定义域,即为当],[b a x ∈时函数)(x g 的值域。 【例1】求下列函数的定义域 (1)1+= x y (2)x y -= 21 (3)0)1(21-+-= x x y 【例2】 求下列函数的定义域 (1)x y ++ = 11 11; (2)1 42 --= x x y ;
高考数学函数求值域的十二种方法
高考数学函数求值域的十二种方法 出国留学高考网为大家提供高考数学函数求值域的十二种方法,更多高考资讯请关注我们网站的更新! 高考数学函数求值域的十二种方法 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x)的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,故3+√(2-3x)≥3。∴函数的值域为{y∣y≥3}. 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。练习:求函数 y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定 义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域 为{y∣y1}) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利 用配方法求函数值域 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时- x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值 域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注 意定义域对值域的制约作用。 配方法是数学的一种重要的思想方法。练习:求函数y=2x- 5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判 别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)当y≠2时,由 Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2当y=2时,方程(*)无解。 ∴函数的值域为2点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于 方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应 于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。