含参数的一元二次不等式的解法
必修5 第二章不等式补充材料
含参数的一元二次不等式的解法
关键：分类讨论
讨论点1：不等式是否为二次不等式（二次项系数为字母）
讨论点2：不等式对应的方程是否有解（验△，若二次三项式可以分解因式，则此项省略）讨论点3：不等式对应方程两根大小
类型一：二次项系数为常数的二次不等式
例1：解关于x的不等式：x2－(2a+1)x+a2+a<0（无需讨论）
例2：解关于x的不等式：x2+(m-1)x-m>0（讨论两根大小）
练习1：解关于x的不等式：x2-(a+a2)x+a3>0（讨论两根大小，需解不等式）
2010-4010 类型二：二次项系数为字母的二次不等式
例1：解关于x的不等式：ax2-(a+1)x+1<0
练习：解关于x的不等式：ax2-(2a+2)x+4>0
例2：解关于x的不等式mx2－2mx+ m+1<0
例3：解关于x的不等式：ax2-5ax+6a>0
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题复习)
含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按 x 2项的系数 a 的符号分类，即 a 0,a 0,a 0; 例 1 解不等式： ax 2 a 2 x 1 0 分析： 本题二次项系数含有参数， a 2 2 4a a 2 4 0 ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 2 解 ：∵ a 2 2 4a a 2 4 0 a 2 a 2 4 a 2 a 2 4 ∴当 a 0时,解集为 x|x a 2 a 4 或x a 2 a 4 2a 2a 当 a 0 时，不等式为 2x 1 0, 解集为 x| x 1 例 2 解不等式 ax 2 5ax 6a 0a 0 分析 因为 a 0， 0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 a(x 2 5x 6) a x 2 x 3 0 当 a 0时，解集为 x|x 2或x 3 ；当 a 0时，解集为 x|2 x 3 、按判别式 的符号分类，即 0, 0, 0 ； 例 3 解不等式 x 2 ax 4 0 分析 本题中由于 x 2 的系数大于 0, 故只需考虑 与根的情况。 解： ∵ a 2 16 ∴当 a 4,4 即 0 时，解集为 R ； 解得方程 2 ax 2 a 2 x 1 0 两根 x 1 a 2 a 2 4 2a , x 2 a 2 a 2 4 2a 当 a 0时 , 解集为 x| a 2 a 2 4 2a x a 2 a 2 4 2a
当 a 4即Δ＝0时，解集为 x x R 且x a ； 当 a 4 或 a 4 即 0, 此时两根分别为 x 1 a a 16 ， x 2 2 x 1 x 2 , a a 2 16 a a 2 16 x 或 x 〈 22 例 4 解不等式 m 2 1 x 2 4x 1 0 m R 2 2 2 2 解 因 m 2 1 0, ( 4)2 4 m 2 1 4 3 m 2 当 m 3或 m 3 ，即 0 时，解集为 R 。 2 三、按方程 ax bx c 0 的根 x 1 , x 2的大小来分类，即 x 1 x 2,x 1 x 2 ,x 1 x 2； 1 例 5 解不等式 x 2 (a )x 1 0 (a 0) a 1 分析： 此不等式可以分解为： x a (x ) 0 ，故对应的方程必有两解。本题 a 只需讨论两根的大小即可。 11 解： 原不等式可化为： x a (x ) 0 ，令 a ，可得： a 1 aa 11 ∴当 a 1或 0 a 1时， a ，故原不等式的解集为 x |a x ； a 1 当 a 1 或 a 1 时， a , 可得其解集为 ； a 11 当 1 a 0或a 1时, a ,解集为 x| x a a 例 6 解不等式 x 2 5ax 6a 2 0 ， a 0 分析 此不等式 5a 2 24a 2 a 2 0 ，又不等式可分解为 x 2a (x 3a) 0 ，故 所以当 m 3 ，即 0 时，解集为 x| x 1 2 当 3 m 3 ，即 0 时，解集为 2 3 m 2 x 或 x m 2 1 2 m 2 1 3 m 2 ； ； a a 2 16 a a 16 ，显然 ∴不等式的解集为
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法 含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?????> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 3.2.2含参数的一元二次不等式及其解法一．自主学习 以上结论是针对a>0的情形给出相应的解，a<0时请同学们自行分析。 解一元二次不等式的步骤： 1：确定二次项系数符号（一般将二次系数化为正）; 2:计算△,求相应一元二次方程的根(能用十字相乘法的则不需用公式）; 3：根据二次函数的图像,写出不等式的解集 二．自主探究 在解关于含参数的一元二次不等式时，往往都要对参数进行分类讨论。分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点。下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。 【题型一】对根的大小讨论 例1． 解关于x 的不等式0)1(2<+++a x a x .(a R ∈ ). 对应练习：解关于的不等式 2x a x a --<0 (a R ∈ ). 【题型二】对所对应方程根的个数进行讨论 例2、 解不等式02>+-a x x ，R a ∈ 对应练习：012 <+-ax x 【题型三】对首项系数a 的讨论 例3、 2(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式，R a ∈ 对应练习：（1）关于x 的不等式0122<+-ax ax ，R a ∈ 训练（2）：函数()f x = R ，则实数m 的取值范围. 课堂小结： 含参数的一元二次不等式需讨论一般分为 1：对二次项系数进行讨论； 2：对所对应方程根的个数进行讨论； 3：对所对应方程根的大小进行讨论； 注意：因不确定所以需要讨论，在讨论时需清楚在哪讨论；怎样讨论.讨论要不重不漏,通过讨论后化不确定为确定. 三．巩固性练习及作业 1．不等式x 2-ax-122a <0 (其中a<0)的解集为（ ） A.（-3a, 4a ） B.(4a , -3a) C.(-3, 4) D.(2a , 6a) 2、22210x x x m -+->解关于的不等式 一元二次不等式 参考例题（2） 1．(1)解不等式 121≤-x x （}0,1|{>-≤x x x 或） (2)不等式11<-x ax 的解集为}21|{> 含参数一元二次不等式练习题st 含参数一元二次不等式练习题 一、选择题： 1．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5] D ．[－3，－2)∪(4,5] 3．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ． ? ?????－∞，－1311 B ．(－∞，－1) C. (1，＋∞) D .? ?????－∞，－1311∪(1，＋∞) 4．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1， 实数a 的取值范围是________． 10．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 11．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f (x )＝??? x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3， 且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________． 12．若关于x 的不等式x 2＋12x －? ?????12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________． 13．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 三，解答题 14.解下列不等式： (1)x 2－2ax －3a 2＜0(a ＜0)． (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． (3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。 一． 二次项系数为常数 例1、解关于x 的不等式：0)1(2>--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0(两根是1和-m ，谁大？) （1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m （2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122 >+-x x ∴x ≠1 （3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1 综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当 例2:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解） 解：()a a 422--=?（方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=? ()()32432 404222+=-==--=?a a a a 或时当 （i ）13324-≠-=x a 时，解得：当 （ii ）13-324-≠+=x a 时，解得：当 ()()时或即当32432 404232+>-<>--=?a a a a 两根为()242)2(21a a a x --+-= ，()242)2(22a a a x ----=. ()()242)2(242)2(22a a a x a a a x --+->----<或此时解得： 综上，不等式的解集为： （1）当324324+<<-a 时，解集为R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)?(+∞-,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)?(+∞--,13)； （4）当324-a 时， 解集为(248)2(,2+---∞-a a a )?(+∞+-+-,2 48)2(2a a a )； 二．二次项系数含参数 例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax 解：若0=a ，原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--?x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ； （2）当1>a 时，式)(*11< 含参数的一元二次不等 式的分类讨论 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 复习引入： 一元一次的分类讨论： 2(2)(31)2(2)0k x k x x +--+->、 含参数的一元二次不等式——分类讨论 1. 优先考虑十字相乘，若两根大小不确定，即分121212 ,,x x x x x x >=<三种情况． 2. 若不能十字相乘，则考虑按判别式?的正负分类，即分0,0,0?>?=?<三 种情况，结合图像法求解。 3. 按二次项系数正负是否确定：当二次项系数含参数时，按2x 项的系数a 的符号分类，即分0,0,0a a a >=<三种情况． 综合提高题 1. 集合{}{}2222(1)0,540A x x a x a a B x x x =-+++<=-+≥，且A B ?，求a 的范围 2. 集合{}(){ }22320,10A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤，且A B ?，求a 的范围 3. 设全集U=R ，集合{}{}22(41)40,21A x x a a B x a x a =-++≤=≤≤+，且B A ?，求a 的范围 4. 集合{}{}22540,220A x x x B x x ax a =-+≤=-++≤，且B A ?，求a 的范围 含参数的一元二次不等式—恒成立和无解问题（数形结合） 1. 220x x a ++>的解集为R ，求a 范围 2. 220x x a ++≥的解集为R ，求a 范围 3. 210x ax -+≥的解集为R ，求a 范围 4. ()2140x k x +-+>的解集为R ，求a 范围 5. 2(1)10ax a x a +-+->恒成立，求a 范围 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()044222 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ????? >21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 当4±=a 即Δ＝0时，解集为? ????? ≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-?,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2 1622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为?? ????????----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=? 所以当3±=m ，即0=?时，解集为? ????? =21|x x ； 当33<<-m ，即0>?时，解集为??????? ???+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33> - 含参一元二次不等式的解法 温县第一高级中学数学组 任利民 解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点.解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较两根大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号.下面例举几例来加以分析说明. 一、 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类 例1解关于x 的不等式 2(1)0x x a a --->. 分析：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是 x a =或1x a =-.这两个根的大小关系不确定，因此分类的标准是a 与1a -的大小关系.这样就容易将a 分成111,,222 a a a >=<这三类. 解：原不等式等价于()(1) 0x a x a -+->，所对应方程的两根是x a =或1x a =-. 当12 a >时，有1a a >-，所以不等式的解集为{x x a >或1}x a <-. 当12a =时，有1a a =-，所以不等式的解集为{x x R ∈且1}2 x ≠ 当12 a <时，有1a a <-，所以不等式的解集为{1x x a >-或}x a <. 【评注】对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类讨论.当二次项系数不含参数且能进行因式分解时，其解法较容 易，只讨论根的大小.本题中对a 的讨论时，12的选取依据就是比较两个根的大 小.解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征，做到眼中有题，心中有图. 二、 根据判别式的符号分类 例2解关于x 的不等式 2220x ax ++>. 分析：设2()22f x x ax =++，欲确定()0f x =的根的情况，需讨论 0,0,0?>?=?<三种情况，由此来确定()f x 的图像，并最终确定不等 一 元二次不等式 参考例题（2） 1． (1)解不等式121≤-x x (2)不等式11 <-x ax 的解集为}21|{> （2）若不等式 13642222<++++x x m mx x 的解集为R ，求实数m 的取值范围. 4．（1）已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ， ①若A B ，求实数a 的取值范围.； ②若A B ?，求实数a 的取值范围.； ③若B A 为仅含有一个元素的集合，求a 的值. （2）已知}031| {≤--=x x x A ，B B A a x a x x B =≤++-= 且},0)1(|{2，求实数a 的取值范围. (3) 关于x 的不等式2 )1(|2)1(|2 2-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 与B ， 若B A ?，求实数a 的取值范围. （4）设全集R U =，集合}3|12||{},01 | {<+=≥+-=x x B x a x x A ，若R B A = ， 求实数a 的取值范围. （5）已知全集R U =，}034|{},082|{},06|{2222<+-=>-+=<--=a ax x x C x x x B x x x A ， 若C B A ?)( ，求实数a 的取值范围. 学科：数学 专题：含参一元二次方程的解法 主讲教师：黄炜 北京四中数学教师 重难点易错点解析 当系数中含有字母时，注意有实解的判断。 题一 题面：(x －m )2 =n ．(n 为正数) 金题精讲 题一 题面：解关于x 的一元二次方程 1. x 2＋2mx =n ．(n ＋m 2≥0)． 2. x 2－2mx ＋m 2－n 2=0． 3. .0422 2 =-+-b a ax x 4. abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0) 解含参的一元二次方程：配方法、因式分解 满分冲刺 题一 题面：解关于x 的一元二次方程 1. ()()()b a a c x c b x b a ≠=-+-+-0 2 2. ()()()01222≠--=-b a x b a x 3. ()()() 0222222≠+-=-++b a b a bx a b ax 解含参的一元二次方程：因式分解 题二 题面：解关于x 的方程kx 2－(k ＋1)x ＋1=0． 解含参的方程，分类讨论。 题三 题面：已知关于x 的方程x 2－2ax －a ＋2b ＝0，其中a ，b 为实数． (1)若此方程有一个根为2a (a ＜0)，判断a 与b 的大小关系并说明理由； (2)若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围． 一元二次方程的解，判别式。 讲义参考答案 重难点易错点解析 题一 答案：.,21m n x m n x +-=+= 金题精讲 题一 答案：1. .,2221n m m x n m m x +--=++-= 2. x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n . 3. .2 ,221b a x b a x +=-= 4. ?==b a x a b x 21, 满分冲刺 题一 答案：(1)121,c a x x a b -==- (2) 12,1a ab x a x b +==- (3)当b=0时，120x x ==；当b ≠0时，无实根。 题二 答案：k ＝0时，x ＝1；k ≠0时，.1,121==x k x 题三 答案：解：(1)∵方程x 2－2ax －a ＋2b ＝0有一个根为2a ，∴4a 2－4a 2－a ＋2b ＝0． 整理，得2 a b = ． ∵0 含参数一元二次不等式练习题 一、选择题： 1．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5] D ．[－3，－2)∪(4,5] 3．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ． ? ???－∞，－1311 B ．(－∞，－1) C. (1，＋∞) D.? ???－∞，－1311∪(1，＋∞) 4．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1,0) D ．(0,1) 5．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( ) A.????32，152 B ．[2,8] C ．[2,8) D ．[2,7] 6．(2012·温州高三适应性测试)若圆x 2＋y 2－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点A ，B 位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ＞－6 B ．m ＞3或－6＜m ＜－2 C ．m ＞2或－6＜m ＜－1 D ．m ＞3或m ＜－1 二、填空题 7．若不等式k －3x －3 ＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，则实数k ＝________. 8．(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________. 9．不等式x 2－2x ＋3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是?，则实数a 的取值范围是________． 10．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 11．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f (x )＝????? x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3，且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________． 12．若关于x 的不等式x 2＋12x －??? ?12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________． 3.2.2含参二次不等式 【学习目标】 1.进一步深入理解一元二次不等式的解法，会解含参数的一元二次不等式； 2.加深对数形结合和分类讨论的认识和理解. 【复习回顾】1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系； 2.一元二次不等式揭发步骤： 【典型例题】 讨论点1：交点位置（两根大小，谁左谁右） 例1.解关于x 的不等式0)1(2 >---a a x x 变式训练：1.解不等式)0(01)1(2≠<++-a x a a x 2.解关于x 的不等式0 )1(2>--+m x m x 讨论点2：函数x 轴交点个数（方程解的个数）（判别式2 =4b ac ?-的符号） 例2.解不等式042>++ax x 变式训练：1.解关于x 的不等式：0 )2(2 >+-+a x a x 2.解关于x 的不等式0222>++ax x 讨论点3：开口方向（二次项系数） 例3.解关于x 的不等式：01)1(2 <++-x a ax 变式训练：1.解不等式)0(0652 ≠>+-a a ax ax 2.已知关于x 的不等式2 320ax x -+>)(R a ∈. ①若不等式2320ax x -+>的解集为{|1}或x x x b <>，求,a b 的值．②求不等式ax x ax ->+-5232 )(R a ∈的解集 例4.解关于x 不等式012 <-+ax ax 变式训练：1.解不等式0 1)2(2 >+++x a ax 2.解不等式)(014)1(22R m x x m ∈≥+-+【提高练习】解关于x 不等式033)1(2 2>++-ax x a 总结：（含参二次不等式解法） 1.二次项系数符号的讨论：是否是一元二次不等式；对应的二次函数图像开口的方向； 2.判别式符号的讨论：对应的一元二次方程是否有根；对应的二次函数图像与x 轴的交点个数； 3.两根大小的讨论：判别式0>，对应的一元二次方程有两个根； 含参一元二次不等式专题训练 解答题（共12小题） 1．已知不等式（ax﹣1）（x+1）＜0 （a∈R）．2．解关于x的不等式：x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）．（1）若x=a时不等式成立，求a的取值范围； （2）当a≠0时，解这个关于x的不等式． 3．解关于x的不等式ax2+2x﹣1＜0（a＞0）．4．解关于x的不等式，（a∈R）： （1）ax2﹣2（a+1）x+4＞0； （2）x2﹣2ax+2≤0． 5．求x的取值范围：（x+2）（x﹣a）＞0． 6．当a＞﹣1时，解不等式x2﹣（a+1）x﹣2a2﹣a≥0．7．解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣2）＞0．8．解关于x 的不等式，其中a≠0．9．解不等式：mx2+（m﹣2）x﹣2＜0． 10．解下列不等式： （1）ax2+2ax+4≤0；（2）（a﹣2）x2﹣（4a﹣3）x+（4a+2）≥0．11．解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．12．解关于x的不等式ax2﹣2≥2x﹣ax（a∈R）． 含参一元二次不等式专题训练参考答案与试题解析 一．解答题（共12小题） 1．（2009?如皋市模拟）已知不等式（ax ﹣1）（x+1）＜0 （a ∈R ）． （1）若x=a 时不等式成立，求a 的取值范围； （2）当a ≠0时，解这个关于x 的不等式． 的大小关系即可解这个关于时，，所以不等式的解：；时，的解： ，所以不等式的解：．时，所以不等式的解：时，所以不等式的解：或 2．解关于x 的不等式：x 2 +（a+1）x+a ＞0（a 是实数）． 3．解关于x 的不等式ax 2 +2x ﹣1＜0（a ＞0）． 4．解关于x 的不等式，（a ∈R ）： （1）ax 2 ﹣2（a+1）x+4＞0； （2）x 2 ﹣2ax+2≤0． ），即}=2，即﹣＜＞＜{x|＜a ＜﹣＞ ﹣ a }综上，﹣a ＜﹣ ＞ a }5．求x 的取值范围：（x+2）（x ﹣a ）＞0． 含参数的一元二次不等式解法 命题人：徐月玲 2016年10月 【学习目标】 1.掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式。 3.以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。 【学习重点】 从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出数形结合的思想。 【学习难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 [回扣复习] 1．设不等式2m 210x x m --+<对于满足22m -≤≤的一切m 值都成立，则x 的取值范围为 ． 2．一元二次不等式2(12)1a x a x a +-+ +>0的解集为R 的条件为 ． 3．不等式2x 40ax ++<的解集为空集，则a 的取值范围是 ． 4．已知一元二次不等式210ax bx ++>的解集为{} 21x x -<< 则 a ,b 的值为 ． [典例剖析] 题型一：对方程根的个数及大小进行讨论 例1 解关于x 的不等式2220x ax ++> 例2 解关于x 的不等式21()10x a x a -++>(a>0) 变式训练：解关于x 的不等式 01x a x ->- 题型二：对二次项系数进行讨论 例3: 解关于x 的不等式 2(1)10ax a x -++< 题型三：不等式中的恒成立问题 例3 已知函数22(45)4(1)3y m m x m x =+-+-+对任意实数x ，函数值恒大于0，求实数m 的取值范围。 变式: 函数2()3f x x ax =++，当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，求a 的范围。 深化总结: 1.含参数的一元二次不等式与不含参数的一元二次不等式其解题过程实质一样,结合二次函数的图象和一元二次方程分三级讨论: 1)讨论二次项前系数的符号; 2)讨论判别式 的符号; 3)当 时,讨论方程两根 的大小关系 2.分类标准要明确,分类要做到不重不漏. 12x x 与0?>? 含参一元二次不等式专项训练 含参一元二次不等式专题训练 解答题（共12小题） 1．已知不等式（ax﹣1）（x+1）＜0 （a∈R）．2．解关于x 的不等式：x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）． （1）若x=a时不等式成立，求a的取值范围； （2）当a≠0时，解这个关于x的不等式． 5．求x的取值范围：（x+2）（x﹣a）＞0． 3．解关于x的不等式ax2+2x﹣1＜0（a＞0）．4．解关于x 的不等式，（a∈R）： （1）ax2 ﹣2（a+1）x+4＞0； （2）x2 ﹣2ax+2≤0． 6．当a＞﹣1时，解不等式x2﹣（a+1）x﹣2a2﹣a≥0．7．解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣2）＞0． 8．解关于x的不等式，其中a≠0．9．解不等式：mx2+（m﹣2）x﹣2＜0． 10．解下列不等式：（1）ax2+2ax+4≤0； （2）（a﹣2）x2﹣（4a﹣3）x+（4a+2）≥0． 11．解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．12．解关于x的不等式ax2﹣2≥2x﹣ax（a∈R）． 含参一元二次不等式专题训练参考答案与试题解析 一．解答题（共12小题） 1．（2009?如皋市模拟）已知不等式（ax﹣1）（x+1）＜0 （a∈R）．（1）若x=a时不等式成立，求a的取值范围； （2）当a≠0时，解这个关于x的不等式． 考 点： 一元二次不等式的解法． 专 题： 计算题；综合题；分类讨论；转化思想． 分析：（1）若x=a时不等式成立，不等式转化为关于a的不等式，直接求a的取值范围； （2）当a≠0时，当a＞0、﹣1＜a＜0、a＜﹣1三种情况下，比较的大小关系即可解这个关于x的不等式． 解答：解：（1）由x=a时不等式成立，即（a2﹣1）（a+1）＜0，所 以（a+1）2（a ﹣1）＜0， 所以a＜1且a≠﹣1．所以a 的取值范围为（﹣∞，﹣1） ∪（﹣1，1）．（6分） （2）当a＞0时，，所以不等式的解：； 当﹣1＜a＜0时，，所以不等式（ax﹣1）（x+1）＜0 的解：或x＜﹣1； 当a＜﹣1时，，所以不等式的解：x＜﹣1或． 当a=﹣1时，不等式的解：x＜﹣1或x＞﹣1 综上：当a＞0时，所以不等式的解：； 当﹣1＜a＜0时，所以不等式的解：或x＞﹣1； 当a≤﹣1时，所以不等式的解：x＜﹣1或．（15分） 点 评： 本题考查一元二次不等式的解法，考查转化思想，分类讨 论思想，是中档题． 2．解关于x的不等式：x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）． 考 点： 一元二次不等式的解法． 专 题： 不等式的解法及应用． 分 析： x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）．可化为（x+a）（x+1）＞0． 对a与1的大小分类讨论即可得出． 解 答： 解：x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）可化为（x+a）（x+1） ＞0． 当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜﹣a}； 当a＜1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜﹣1}； 当a=1时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}． 点 评： 本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论的方法，属 于基础题． 3．解关于x的不等式ax2+2x﹣1＜0（a＞0）． 2）一元二次不等式参考例题（ 1x?）1．(1)解不等式（}0或x?x{|x??1,1?x2 1ax的解集为）(2)不等式（.，求的值?a1x?2}?{x|，或x a1?21x? 的不等式：2．解下列关于x a?x12）（2 ）（1)，且a??2?0(a?301?)xx??(a? )3?2)(x?(xa 1}?x|a?x1,或0?a?1时，{?(1)当a?}2?x?3?2时，{x|xa,或?(1)当a??a??1时，2)当a?(}3?x?x|x??2,或a当(2)?2?a?3时，{1}?x?ax|x??2,或3时，(3)当a?3{}?x?a1?a?0时，{x|(3)当a?1,或?a2）（4 （3）0??1ax?(a?1)x0)?(x?2)(ax?221|x?0时,{x?(?x?2}1)当a(1)当a?,或x?1}0时，{x| aa}?2x|x?1}x{(2)当a?0时,x2()当a?0时，{|21}?,或x}xa?1时时，,{|x?2(3)当0??当(3)0?a1xx{|1??aa}x|x?2(4)当?a(4)当?1时，a?1时,{21}或1|1)(5当a?时，{x?x?}x?21时,{x|x?,当(5)a?aa x2（6）（5）01?axx??)Ra?a?1?(x?1 a41?1?1?4a??1??x,或?}xx?0时，{|1()当a a?1a2a2?x?1}(1)当a?0时，{x| }a1?xx?0时，{|?当2()a时，(2)x|?1}当a0?{x a?11?1??4a1?1?4}?x{?时，x|??3()当0a1?a aa422}1x?3()当a0时，{|x?,或x?a1?时，a)(4当? 4 2对恒成立，求实数的取值范围.（）3．（1）若不等式04?2)x2(a?)x??2(a?2?R?2?a?x a 2?2mx?x2m的解集为，求实数的取值范围.（（2）若不等式）R3m?1?m1?236x4x?? 22）已知，14．（}x?(a?1)x??0a},A?{x|x?3x?2?0B?{x|；（①若）的取值范围，求实数.AB2a?a ；（），求实数②若的取值范围.AB?2?1?a a ③若为仅含有一个元素的集合，求的值.（）1a?B?A a x?12，求实数）已知的取值范围. ，（2BA?B?)x?a?0},B?{x|x且?(a?1a}A??|0{x x?3 （）3?1?a 22)?1(a(a?1)(3) 2的解集依次为与与的不等式，关于0?(3a?1x)?3(a?1)x?2BA|??x|x 22若，求实数的取值范围. （）BA?3a?1,或1?a??a x?a，若，集合4）设全集，（R?UR?A?B}3?1|A?{x|?x?0},B?{||2x x?1求实数的取值范围. （）1?a??2a 2222，（5）已知全集，}a0?3x},0C?{|x?4ax???2|{B06x|{A?xx???},?xx?x8R?U若，求实数的取值范围.（）2?a?1CA(?)B?a 专题 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()044222 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ????? >21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a Θ ∴当0>a 时，解集为{}32|> 二、按判别式?的符号分类，即0,0,0?； 例3 解不等式042>++ax x 分析 本题中由于2 x 的系数大于0,故只需考虑?与根的情况。 解：∵162-=?a ∴当()4,4-∈a 即0a 或4-?,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2 1622---=a a x ， 显然21x x >, ∴不等式的解集为?? ????????----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=? 所以当3±=m ，即0=?时，解集为? ????? =21|x x ； 当33<<-m ，即0>?时，解集为??????? ???+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33> -含参数的一元二次不等式及其解法
含参数的一元二次不等式题(答案)
含参数一元二次不等式练习题st
含参不等式的解法
含参数的一元二次不等式的分类讨论
含参数的一元二次不等式的解法(专题)
含参一元二次不等式的解法知识讲解
含参数的一元二次不等式题答案)
含参一元二次方程的解法
含参数一元二次不等式练习题st
3.2.2含参二次不等式
含参一元二次不等式专项训练
含参一元二次不等式
含参一元二次不等式专项训练
含参数的一元二次不等式题答案
含参数的一元二次不等式的解法专题训练