Geitel第五章 大数定律与中心极限定理习题解答

极点极限定理的简单应用

一道高考解析几何题的背景溯源 ──极点、极线与圆锥曲线的位置关系 湖北省阳新县高级中学邹生书 题目已知椭圆的两个焦点，点满足，则 的取值范围是，直线与椭圆的公共点的个数是. 这是2010年高考湖北卷文科第15题，本题是一道涉及到点、直线与圆锥曲线的位置关系的判定的考题．从高等几何的观点知，这里的点和直线就是椭圆 的一对极点与极线，本题第二问实际上是：已知椭圆的极点在椭圆内，判断极线与椭圆的位置关系．据笔者之前发表的文章中圆锥曲线极点和极线的几何性质可得如下结论： 定理已知点和直线是圆锥曲线的一对极点与极线．（1）若极点在曲线上，则极线与曲线的相切于点；（2）若极点在曲线内，则极线与曲线的相离；（2）若极点在曲线外，则极线与曲线的相交． 由该定理不难知道，考题中的直线与椭圆相离，故公共点个数为0．若运 用几何画板进行实验操作动态演示，不仅可以验证确认该结论，而且还可获得直观感知从而加深印象强化理解．本文将借用判别式法给出该定理的另一种证明． 为了表达方便我们给出圆锥曲线内部和外部的定义．圆、椭圆是封闭图形其内部和外部不言而喻，抛物线、双曲线不是封闭的是开的，我们参考一些杂志专著，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部．关于点与圆锥曲线位置关系我们有如下结论（这里证明从略）． 引理1已知点和抛物线．则（1）点在上 ；（2）点在内；（3）点在外．

引理2 已知点和椭圆（或圆）．则（1）点在 上；（2）点在内；（3）点在外．引理3已知点和双曲线．则（1）点在上 ；（2）点在内；（3）点在外．圆锥曲线把平面上的点分成三个部分：曲线上的点、曲线内的点和曲线外的点，每一部分的点的坐标对于曲线方程的左右两边的值具有相同的大小关系，真是“物以类集，人以群分”．下面将圆锥曲线分为抛物线、椭圆（圆）和双曲线三种情形，借用判别式法对定理给出如下证明． 定理1已知点和直线是抛物线的一对极点与极线．则（1）点在上直线与相切于点；（2）点 在内直线与相离；（3）点在外直线与 相交． 证明由得，，将其代入抛物线方程得， ，所以．所以，（1）点在上 直线与相切于点；（2）点在内 直线与相离；（3）点在外 直线与相交． 定理2已知点和直线是椭圆（圆） 的一对极点与极线．则（1）点在上

第六章 大定律与中心极限定理习题

第六章 大数定律与中心极限定理习题 一、 填空题 1．设n ξ是n 次独立试验中事件A 出现的次数，P 为A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0>ε，有=≥-)(εξp n P n 。 2．设随机变量ξ，E ξ＝μ，D ξ＝2σ，则≥<-)2(σμξP 。 3．设随机变量ξ的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-)2(ξξE P 。 4．在概率论里，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以 为极限这一类定理称为中心极限定理。 5．将一枚硬币连掷100次，则出现正面的次数大于60的概率约为 。 6．在天平上重复称量一重为a 的物体，假设各次称重结果相互独立且同服从正态分布)2.0,(2a N ，若以n X 表示n 次称重结果的算术平均值，则为使95.0)1.0(≥<-a X P n ，n 的最小值应不小于自然数 。 二、选择题 1．设随机变量ξ服从参数为n ，p 的二项分布，则当∞→n 时，≈<<)(b a P ξ（ ）。 (A))()(a b Φ+Φ (B))()(00a b Φ+Φ (C))()(a b Φ-Φ (D)1)(20-Φb 2．设ξ为服从参数为n ，p 的二项分布的随机变量，则当∞→n 时，npq np -ξ一定服从 （ ）。 (A)正态分布。 ( B)标准正态分布。 (C)普哇松分布。 ( D)二项分布。 三、计算题 1.对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击中，炮弹命中数的数学期望为2，而命中数的均方差为1.5，求当射击100次时，有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。 2.计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布。（1）若将1500个数相加，问误

微积分定理归纳

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

第5章大数定律及中心极限定理习题及答案

第 5 章 大数定律与中心极限定理 一、 填空题： 1.设随机变量μξ=)(E ，方差2 σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 9 1 . 2.设n ξξξ,,, 21是 n 个相互独立同分布的随机变量， ),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑== n i i n 1 ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤ ≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n 21 1- . 3. 设随机变量129,, ,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =, 1(1,2, ,9)i DX i ==, 令9 1 i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式 直接可得{} ≥<-ε9X P 2 9 1ε- . 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2 ()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有 22{||}P X σμεε-≥≤, 或者2 2{||}1.P X σμεε -<≥- 由于随机变量129,, ,X X X 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以 99 9111()()19,i i i i i E X E X E X μ===??===== ???∑∑∑ 99 9 2 111()()19.i i i i i D X D X D X σ===??===== ???∑∑∑ 4. 设随机变量X 满足：2 (),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 1 16 ≤ . 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2 (),()E X D X μσ==, 则对任意 的0ε>, 有2 2{||}.P X σμεε -≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤ =

概率极限理论

随机微分方程基本理论 1、引言 随机微分方程（SDE ）的诞生有其一定的应用背景。随机微积分和随机微积分方程起源于马氏过程的构造和柯尔莫哥洛夫的分析方法与费尔的半群方法。常微分方程在物理、工程技术、生物和经济等领域中的应用是众所周知的，然而随着科学技术的发展，要求对实际问题的描述越来越精确。因此，随机因素的影响就不能轻易地被忽略，于是对于某些实际过程的分析也就有必要从通常的确定性观点转到随机的观点，从而对这些实际系统的描述，也就自然地从确定性的常微分方程转到随机常微分方程，简称随机微分方程。 随机微分方程是一种针对生物、化学、医药、机电、经济等领域中的随机现象而建立的数学模型，其广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。伊藤型随机微积分方程就是指带有白噪声的微分方程。自从爱因斯坦建立了布朗运动和随机分子扩散的数学理论以来，各种不同的领域内，如分子物理学、院子物理学、化学动力学、固态理论、结构稳定性、群体遗传学、通信以及自然科学、社会科学和工程的许多其他分支中开展了一系列理论的科学研究。在随机微分方程理论研究的早期阶段，爱因斯坦、斯莫路苏斯基、郎之万、奥伦斯坦、乌伦贝克和克拉美等人做了许多卓有成效的工作，这些工作综合在查德瑞赛卡1943男的主要论文中。随着随机微分方程的数学理论的发展数学研究人员在这一领域中发展了一些及其重要的结果，随着伊藤积分概念的引入，随机微分方程的理论向更深纵发展。 2、基础理论和线性方程 0)0( , )()),(()),(()(x x x dw t t x b dt t t x a t dx =+= (2.1) 是由伊藤积分方程 )() ),(()),(()(0 0s dw s s x b s s x a x t x t t ??+ + = (2.2) 定义。

中心极限定理

中心极限定理 中心极限定理（Central Limit Theorems） 什么是中心极限定理 大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。 中心极限定理的表现形式 中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理： （一）辛钦中心极限定理 设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则 随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时， 将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。 （二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理 设μ n是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n 无限大时，频率设μ n / n趋于服从参数为的正态分布。即：

该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。 （三）李亚普洛夫中心极限定理 设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方 差：。 记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时， ，则对任意的x有： 该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。 （四）林德贝尔格定理 设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有 。 中心极限定理案例分析 案例一：中心极限定理在商业管理中的应用 水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假

中心极限定理

中心极限定理 从总体中抽取容量为n的一个样本时，当样本容量足够大时，样本均值x的抽样分布近似服从于正态分布。 eg:用R从0-10的均匀分布中产生100个样本量为n=2的随机样本，对每个样本计算，并画出100个的频数分布，对于n=5,10,30,50,重复这一个过程。 a=matrix(rep(0,200),nrow=100,byrow=T) set.seed(200) for(i in 1:100) a[i,]=runif(2,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100 个样本量n=2的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,1000),nrow=100,byrow=T) set.seed(1000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(10,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=10的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,3000),nrow=100,byrow=T) set.seed(3000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(30,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=30的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,5000),nrow=100,byrow=T) set.seed(3000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(50,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=50的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2)

(完整版)大数定律和中心极限定理

第五章 大数定律和中心极限定理 一、内容提要 （一）切贝谢夫不等式 1. 切贝谢夫不等式的内容 设随机变量X 具有有限的数学期望E （X ）和方差D （X ），则对任何正数ε，下列不等式成立。 (){}() (){}() . 1, 2 2 εεεεX D X E X P X D X E X P - ≤-≤ ≥-π 2. 切贝谢夫不等式的意义 （1）只要知道随机变量X 的数学期望和方差（不须知道分布律），利用切贝谢夫不等式，就能够对事件(){} ε≥-X E X 的概率做出估计，这是它的最大优点，今后在理论推导及实际应用中都常用到切贝谢夫不等式。 （2）不足之处为要计算(){} ε≥-X E X P 的值时，切贝谢夫不等式就无能为力，只有知道分布密度或分布函数才能解决。另外，利用本不等式估值时精确性也不够。 （3）当X 的方差D (X )越小时，(){} ε≥-X E X P 的值也越小，表明X 与E (X )有较大“偏差”的可能性也较小，显示出D (X )确是刻画X 与E (X )偏差程度的一个量。 （二）依概率收敛 如果对于任何ε＞0，事件{} επa X n -的概率当n →∞时，趋于1，即 {}1lim =-∞ →επa X P n n ， 则称随机变量序列X 1,X 2,…,X n ,…当n →∞时依概率收敛于α。 （三）大数定律 1. 大数定律的内容 （1）大数定律的一般提法 若X 1,X 2,…,X n ,…是随机变量序列，如果存在一个常数序列α1,…,αn ,…，对任意ε＞0，恒有 11lim 1=? ?? ???-∑=∞ →επn i n i n a X n P ， 则称序列{X n }服从大数定律（或大数法则）。 （2）切贝谢夫大数定律 设随机变量X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，分别有数学期望E(X i )和方差D(X i )，且它们的方差有公共上界C ，即 ()().,,,2,1,ΛΛn i C X D i =≤

计量经济学知识点重点总结

一、一些应该掌握的概念（课都上完以后回顾时候提到的应该知道的一些知识，有可能会出简答题） 1、中心极限定理 2、大数定理 3、正态分布 4、契比雪夫不等式 5、方差，期望 6、协方差及其相关系数， 二、一些基本题型 1、随机变量分布，“离散型100%考，图形不会的补考！”（此为他课上威胁性话语，所以重视程度排在第一位了……不知道是不是真考，《北方工业大学》版本有一个其他的数据的例子，供参考） 例：设对任意x，定义F(x)=P{X≤x}=P{w|X(w)≤x} X 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求F(x)=P(X≤x)的分布 1）x<1时，F(x)= P(X<1)=0 2）1≤x<2时，F(x)= P(X≤1)=P(X=1)=1/3 3）2≤x<3时，F(x)= P(X≤2) =P(X=1)+ P(X=2)=2/3 4）3≤x时，F(x)= P(X≤3) =P(X=1)+P(X=2)+ P(X=3)=1 图形:次图形为右连续 F(x) 0 1 2 3 x 2、需求量，很容易考（原话） P15的例1.5，实在打不出来，留个地，大家自己写上去吧。 3、联合概率密度（简单被积分数，身高、体重作为随机变量） 例：用X表示身高，Y表示体重，（X,Y）为二维随机变量 定义F(l,w)=P{X≤l1, Y≤w1} 当两个事件相互独立时，得出

F(l,w)=F X(l) * F Y(w) 即同时满足身高、体重条件的概率为满足身高事件的概率与满足体重的概率乘积。 4、古典概型例子 例一：有藏品100个，其中5个次品，求取8个里面最多2个次品的概率？解：书上p6，例1.1 其中应注意公式： n! C m n =---------------------- m!(n-m)! (公式打得难看了一点，但是很有用) 例二：黑球a个，白球b个，放在一起抓阄。1≤k≤a+b，求在第k个位置抓到黑球的概率？ 解： a*(a+b-1)! / (a+b)! =a/(a+b) 此用来证明第k次抽签时与前面抽到的概率都相等，（本人认为考的可能性小，哈哈） 例三：n个人坐一圈，求其中2个熟人坐一起的概率 解： P=2/(n-1) 即为，把两个人看作一个整体，与其他n-1个人排列，有n-1种方法，他们之间的座位左右更换，有两个，所以得出上式。太简单了，估计不会考吧？ 例四：n个人，至少2个人同生日的概率 如p6，例1.2 P=1 - 365*364*…（365-n+1）/365n 例五：n双不同的鞋，取2k只，（2k

中心极限定理的发展

中心极限定理的创立和发展 1141010113 万帅 关键词：中心极限定理，创立，严格证明，新的发展，三阶段。 引言：这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。 中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。 “中心极限定理”这一名称的来源有两种说法。波利亚认为这个定理十分重要，在概率论中具有中心地位，所以他加上了“中心”这一名称，于1920年引入这一术语。另一种说法是，现代法国概率论学派认为极限定理描述了分布函数中心的情况，而不是尾部的情况。 历史上有不少数学家对中心极限定理的研究做出了贡献。中心极限定理的发展主要分为三个阶段。 创立阶段：1733-----1853年 人们通常认为，法国数学家隶莫弗在1733年首次证明了，二项发布近似正态分布。然而，当时正态发布的概念，隶莫弗并不知道自己本质上证明了“中心极限定理” 法国数学家拉普拉斯写了很多论文，想推广棣莫弗的工作。他意识到需要一种新的数学技巧，并在1785年成功地发明了这个技巧：特征函数的简单形式和反演公式。拉普拉斯把他的两个主要研究方向结合起来得到了这个方法-----母函数和积分的监禁展开。通过把母函数中的t换成it e ，就得到了特征函数。然而，直到1810年他才发表了特征函数与反演公示的一般理论，并证明了中心极限定理。他之所以推迟到1810年，有一种解释是，从1786年开始，他就专注于《天体力学》的写作，这本书1805年才完成。1810年，拉普拉斯证明了中心极限定理，先是服从均匀发布的连续随机变量的情形，接着是服从任意分布的随机变量。拉普拉斯的证明显然对独立有界的随机变量和成立，证明过程使用了现在所谓的特征函数，或傅里叶变换，即itXEe(t为实数）。在1812年，他先后考虑了对称的、离散的均匀分布，对称的连续分布，任意分布情形。最后，拉普拉斯在他的名著《概率的分析理论》中对任意的p证明了如下中心极限定理：【1】 泊松完善和推广了拉普拉斯关于中心极限定理的证明。在所有考虑的情况里，都假设随机变量是独立的。泊松证明了服从相同分布的随机变量的情况，还推广到服从不同分布的随机变量的情况。1824年，泊松证明了连续随机变量的中心极限定理，并给出了三个反例，其中包括服从柯西分布的随机变量和，这时中心极限定理不成立。受当时传统的影响，泊松没有明确阐明中心极限定理成立的条件。但是，从他的证明和例子中，可以看到，他假设每个变量的方差都是有界的，且不等于零。其他数学家也做了这方面工作，比如贝塞尔和柯西。拉普拉斯等人给出证明的前提假设是，和的分布是有限的，因此所有的矩都存在。他们把结果推广到无限情形，但没有给出证明，并隐含假定了矩的存在。以现在的观点来看，只要沿着拉普拉斯的方向继续下去，法国数学家们是可以给出中心极限定理的严格证明的，比如柯西，他知道特征函数和稳定率。 从当时环境来看，大约1870年代，概率学家还处于心理上的劣势，苦于自己的研究领

(完整word版)概率论与数理统计教程习题(大数定律与中心极限定理)

习题10（切比雪夫不等式） 一．填空题 1. 设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2 )(σ=X D ，则由切比雪夫不等式，得 ≤≥-)3(σμX P . 2. 随机掷6枚骰子，用X 表示6枚骰子点数之和，则由切比雪夫不等式，得≥<<)2715(X P . 3. 若二维随机变量),(Y X 满足，2)(-=X E ，2)(=Y E ，1)(=X D ，4)(=Y D ， 5.0),(-=Y X R ，则由切比雪夫不等式，得≤≥+)6(Y X P . 4. 设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立、同分布的随机变量序列，且0)(=i X E ，)(i X D 一致有界),,,2,1(ΛΛn i =，则=<∑=∞ →)( lim 1 n X P n i i n . 二．选择题 1. 若随机变量X 的数学期望与方差都存在，对b a <，在以下概率中，（ ）可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。 ①)(b X a P <<； ②))((b X E X a P <-<； ③)(a X a P <<-； ④))((a b X E X P -≥-. 2. 随机变量X 服从指数分布)(λe ，用切比雪夫不等式估计≤≥ -)1 (λ λX P （ ）. ①λ； ②2 λ③4 λ； ④ λ 1 . 三．解答题 1. 已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量X 是一个随机变量，若7300)(=X E ， 2700)(=X D ，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。 2. 如果n X X X ,,,21Λ是相互独立、同分布的随机变量序列，μ=)(i X E ，

概率论与数理统计 习题(5)答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

整理得0.95,10n ??Φ≥ ? ??? 查表 1.64,10n ≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响， 开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，）, ()140,()42,E X D X == 1400.95{0}().42m P X m P X m -?? =≤≤=≤=Φ ??? 查表知 140 1.64,42 m -= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）. 4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量， 且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V = ∑=20 1 k k V ，求P {V ＞105}的近似值. 【解】易知:E (V k )=5,D (V k )= 100 12 ,k =1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量 20 1 205 ~(0,1).100100 20201212 k k V Z N =-?= =??∑近似的 于是105205{105}1010020201212P V P ????-?? >=>???? ????? 1000.3871(0.387)0.348,102012V P ????-?? =>≈-Φ=? ???????? 即有 P {V >105}≈ 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100 根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少

中心极限定理及其意义

中心极限定理及其意义

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题目：中心极限定理及意义 课程名称：概率论与数理统计 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。

关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，

极限理论在微积分中的地位和作用

极限理论在微积分中的地位和作用 摘要：极限思想至始至终贯穿于高等数学之中，微积分中许多重要的概念都是用极限来定义的，如连续、导数、积分、级数等.可以说微积分就是应用极限和极限思想研究函数变量间依赖关系和函数变化规律的数学分支，极限和极限思想在微积分中扮演着核心的地位. 关键词：极限微积分核心连续导数积分级数 极限的思想方法贯穿于微积分课程的始终。可以说微积分中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的微积分教材中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。极限思想方法是微积分乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是高等数学与初等数学的本质区别之处。微积分之所以能决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等题），正是由于它采用了极限的思想方法。例如，求变速直线运动的瞬时速度，这时速度是变量，为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助极限法，从“不变”认识“变”。曲线形与直线形有本质的差异，但在一定件下也可相互转化，善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得，要求曲线形的面积，只用初等的方法就不行了。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积和逼近曲边梯形的面积，都是借助极限法，从直线形认识曲线形质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起重要作用。无穷级数数求和、瞬时速度等都是借助极限法，从近似认识准确。 一、极限与连续 客观世界的许多事物以及现象都是运动变化的，且变化过程往往是连绵不断的，而连续函数是刻画变量连续变化的最佳数学方式.正是对物体连续运动的研究促使了微积分的萌芽和产生. 18 世纪时，虽然许多数学家都已在研究连续函数，但仍停留在几何直观上.直到19 世纪，柯西及维尔斯特拉斯等数学家建立严格的极限理论后，才使连续函数有了精确定义. 连续的精确定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果函数当x->x0时的极限存在，且等于它在x0处的函数值，即那么就称函数在点连续。 二、极限与导数 法国数学家费马为研究极值问题最早的引入了导数的思想，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线. 这是由英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和研究几何学过程中建立起来的. 导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量x在点处取得改变量时，函数取得相应的改变量，如果当时，的极限存在，那么称函数在点处可导，则称此极限值为函数在点处的导数，记为， = 可见，微分学的基本概念导数是用极限来定义的. 此外，导数也可用来解决极限问题，如洛必达法则就是以导数为工具解决未定式极限的. 三、极限与积分

大数定理与中心极限定理典型题解

第四章 大数定理与中心极限定理典型题解 1．计算器在进行时，将每个加数舍入，最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在)5.0,5.0(-上服从均匀分布，将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ 解 设第k 个加数的舍入误差为),1500,,2,1( =k X k 已知k X 在) 5.0,5.0(-上服从均匀分布，故知121)(,0)(==k k X D X E ．记∑==15001 k k X X ，由中心极限定理，当n 充分 时有近似公式 )(}12115000 1500{x x X P Φ≈≤?-， 于是 {15}1{15}1{1515} 11[1[21]2(1.342)2[10.9099]0.1802. P x P x P X P >=-≤=--≤≤=-≤≤≈-Φ-Φ=-Φ=Φ=-= 即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为1802.0． 2．有一批建筑房屋用的木柱，其中%80的长度不小于m 3，现在从这批木柱中地取100根，求其中至少有30根短于m 3的概率． 解 以X 记被抽取的100根木柱长度短于m 3的根数，则)2.0,100(~b X ．于是由中心极限定理得 {30}{30} ()1(2.5)10.99380.0062. P X P X P ≥=≤<∞=≤<=Φ∞-Φ=-Φ=-= 3．将一枚硬币投掷49次，（I ）求至多出现28次正面的概率；（II ）求出现20-25次正面的概率．

解 以X 表示49次投掷中出现正面的次数，则有)2 1,49(~b X ． （I ）由中心极限定理得 8413.0)1()21214921 4928(}28{=Φ=??? -Φ≈≤X P ； （II ）由中心极限定理得 112549204919{2025}()()770.55570.09850.4572.P X -? -?≤≤≈Φ-Φ=Φ-Φ-=-= 4．某厂有同号机器100台，且独立工作，在一段时间内每台正常工作的概率为8.0．求正常工作的机器超过85台的概率． 解 设ξ为100台中正常工作的机器数，则)8.0,100(~B ξ，且 16 ,80====ξξD npq E np ． 由中心极限定理可得所求概率为 080808580{85}1{085}1{ }444 1[(1.25)(20)]0.1056.P P P ξξξ--->=-≤≤=-≤≤≈-Φ-Φ-= 5．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平均重50kg ，标准差5kg ．若用最大载重量5t 的汽车承运最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977． 解 设n 为每辆车所装的箱数，),,2,1(n i i =ε是装运的第i 箱的重量，且25,50==i i D E εε．n 箱的总重量 n εεεε+++= 21有n D n E 25,50==εε，由中心极限定理ε近似服从正态分布)25,50(n n N ．现求使下面不等式成立的:n 977.0)101000(}5505000550{}5000{>-Φ≈-≤-=≤n n n n n n P P εε 查正态分布表得 2101000>-n n ， 从而0199.98

中心极限定理证明

中心极限定理证明)题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地 位。参考文献 [1]邓永录著应用概率及其理论基础.清华大学出版社。 [2]魏振军著概率论与数理统计三十三讲.中国统计出版社。 [3]程依明等著概率论与数理统计习题与解答.高等数学出版社。 第五篇：中心极限定理 中心极限定理 中心极限定理（central limit theorems） 什么是中心极限定理 大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。 中心极限定理的表现形式 中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理： （一）辛钦中心极限定理 设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则 随机变量，在n无限增大时，服从参数为a 和的正态分布即n→∞时， 将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。

（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理 设μn是n次独立试验中事件a发生的次数，事件a在每次试验中发生的概率为p，则当n无限大时，频率设μn / n 趋于服从参数为的正态分布。即： 该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。 （三）李亚普洛夫中心极限定理 设 差：是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方 。 记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞ 时， ，则对任意的x有： 该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。 （四）林德贝尔格定理 设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x ，有 。 中心极限定理案例分析 案例一：中心极限定理在商业管理中的应用 水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假

第五章 大数定律与中心极限定理习题

第五章 大数定律与中心极限定理习题 一、 填空题 1．设n ξ是n 次独立试验中事件A 出现的次数，P 为A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0>ε，有=≥-)(εξp n P n 。 2．设随机变量ξ，E ξ＝μ，D ξ＝2σ，则≥<-)2(σμξP 。 3．设随机变量ξ的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-)2(ξξE P 。 4．在概率论里，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以 为极限这一类定理称为中心极限定理。 5．将一枚硬币连掷100次，则出现正面的次数大于60的概率约为 。 6．在天平上重复称量一重为a 的物体，假设各次称重结果相互独立且同服从正态分布)2.0,(2a N ，若以n X 表示n 次称重结果的算术平均值，则为使95.0)1.0(≥<-a X P n ，n 的最小值应不小于自然数 。 二、选择题 1．设随机变量ξ服从参数为n ，p 的二项分布，则当∞→n 时，≈<<)(b a P ξ（ ）。 (A))()(a b Φ+Φ (B))()(00a b Φ+Φ (C))()(a b Φ-Φ (D)1)(20-Φb 2．设ξ为服从参数为n ，p 的二项分布的随机变量，则当∞→n 时，npq np -ξ一定服从 （ ）。 (A)正态分布。 ( B)标准正态分布。 (C)普哇松分布。 ( D)二项分布。 三、计算题 1.对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击中，炮弹命中数的数学期望为2，而命中数的均方差为1.5，求当射击100次时，有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。 2.计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布。（1）若将1500个数相加，问误