初中数学能力大赛样卷

2016年郴州市能力竞赛试卷样卷

初中数学

（试题卷）

本试卷共*页，有3道大题，16小题，满分130分，考试时间120分钟.

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1．5张不同卡片分别写有数字2,3,4,5,6,从中任意取出3张，则这三张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 A ．

12 B ．35 C ．23 D ．3

4

2．点P 是直线04=-+y x 上一动点，O 为原点，则|OP |的最小值为 A ．2 B ．2 C ．22 D ．4 3．已知abc ≠0，并且,p b

a c a c

b

c b a =+=+=+则直线p px y +=一定经过 A ．第一、三象限 B ．第二、三象限 C ．第三、四象限 D ．第一、四象限

4．已知1

2

a =，则

3222621a a a a ++=-

A ．

B

C ．2

D 2 5．如果20140a -<<，那么|2014||2014|||+-+++-a x x a x 的最小值是

A ．2014

B ．2014+a

C ．4028

D ．4028+a

6．如图，P 为等腰三角形ABC 内一点，过P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足分别为D 、E 、F .已知10AB AC ==，12BC =，且133PD PE PF =∶∶∶∶.则四边形PDCE 的面积为

A ．10

B ．15

C ．403

D ．50

3

第6题图

第9题图

第11题图

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

7．已知2510m m --=，则2

21

25m m m

-+

=_______ ____. 8．分解因式：8)43)(3322-++-+x x x x （= ．

9. 正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，按如图方式放置，点A 1，A 2，A 3…和点C 1，C 2，C 3，…，分别在直线()0>+=k b kx y 和x 轴上．已知点B 1（1，1），B 2（3，2），请写出点B n 的坐标是 ．

10．已知直线23y x =+与抛物线2231y x x =-+交于11()A x y ，，22()B x y ，两点，则

1211

11

x x +=++ ． 11．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且45EAF ∠=?，

则CEF △的周长为 ．

12．若13x ≤≤时，二次函数2234y x ax =-+的最小值为23-，则a = ． 三、解答题（13～14每题15分，15～16每题20分，共70分）

13.若关于x 的二次函数226y x mx m =-++与x 轴的两个交点的横坐标分别是,αβ，试求22(1)(1)αβ-+-的最小值.

14. 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．

（1）在图1中证明CE CF =；

（2）若90ABC ∠=?，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若120ABC ∠=?，FG ∥CE ，FG CE =，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．

图1

图2

图3

15.已知一次函数24y x =-的图象与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，点P 在该函数图象上， P 到轴x ，y 轴的距离分别为1d ，2d . （1）当P 为线段AB 的中点时，求12d d +的值；

（2）直接12d d +写出的范围，并求当123d d +=时点P 的坐标；

（3）若在线段AB 上存在无数个P 点，使124d ad +=（a 为常数）， 求a 的值.

16.如图，在平面直角坐标系中，A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D,交线段OB于点E.已知CD=8，抛物线经过O，E，A三点.

（1）求直线OB的函数表达式；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P，O，A，E为顶点的四边形面积记

作S，则S取何值时，相应的点P有且只有

．．．．3个.

2016年郴州市能力竞赛试卷样卷

初中数学参考答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1.B

2.C

3. B 提示：P=1或-1

4.A解析：

由a=

，知21

a

，21

a+=2

4413

a a

++=，2

212

a a

=-.

∴

3232

2

2

26261121

33

212222

a a a a a a a

a a a

a a

++++-

==---=---

--

211)1

a

=--=--=.

5.A

6.C 解析：如图，连结PA，PB，PC.易知

1

12848

2

ABC

S=??=

△

111

222

ABC PBC PCA PAB

S S S S BC PD CA PE AB PF

=++=?+?+?

△△△△

65548

PD PE PF

=++=，133

PD PE PF=

∶∶∶∶

∴

4

3

PD=，4

PE PF

==,由PE PF

=知点P在BAC

∠的平分线上，

A、P、D三点共线.∴222

PC PD DC

=+

222222222

4196

()64

39

EC PC PE PD DC PE

=-=+-=+-=∴

14

3

EC=

∴

111411440

64

2223233

PDC PEC

PDCE

S S S PD DC PE EC

=+=?+?=??+??=

△△

四边形

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

7. 28 8.)5

3

)(

4

)(

1

(2+

+

+

-x

x

x

x9.(1

21,2

n n-

-)

10.

9

5

解析：由

2

23

231

y x

y x x

=+

?

?

=-+

?

，得2

2520

x x

--=①，依题意，

1

x，

2

x为方程①的两

根，

∴

12

12

5

,

2

1,

x x

x x

?

+=

?

?

?=-

?

∴2111

12121212

(1)(1)()2

11

11(1)(1)()1

x x x x

x x x x x x x x

+++++

+==

+++++++

52

925

5

112+==-++.

11. 2

解析：如图，在CD 的延长线上取点G ，使得DG BE =，连结GA

则由ABCD 为正方形，易得ABE ADG △≌△

∴ B A E D A G ∠=∠，

AE AG = ∵ 45EAF ∠=?， ∴ G A F G A D

D A F B A

E D ∠=∠+∠=∠+∠ 9045EA

F EAF =?-∠=?=∠

于是，在EAF △与GAF △中，

AE AG =，EAF GAF ∠=∠，AF AF = ∴ E A F

G A F △≌△，EF GF = CEF △的周长

112l EC EF FC BE GF FC GD GD DF FC =++=-++=-+++=

12. 5

解析：∵ 2

22

392342()448

y x ax x a a =-+=-

-+，13x ≤≤， ∴ 若

314a <，即4

3

a <时，则当1x =时，y 取最小值63a -. 由6323a -=-知，294

33

a =

>，不符合要求. 若3134a ≤≤，即443a ≤≤时，则当34x a =时，y 取最小值2

948

a -+由

29

4238a -+=-知，224a =

，得a =±，均不符合要求. 若3

34

a >，即4a >时，则当3x =时，y 取最小值229a -.由22923a -=-知，5a =，符合要求. ∴ 5a =.

三、解答题（13～14每题15分，15～16每题20分，共70分）

13. 解：由题意知：,αβ为方程2

260x mx m -++=的两根，

∵△=2

44(6)0m m -+≥ ， ∴32m m ≥≤-或 .

由韦达定理得：2,

6.m m αβαβ+=??=+?

∴

2222(1)(1)()22()242(m 6)4m 2

Q m αβαβαβαβ=-+-=+--++=-+-+

239

4()44

m =--

当2m ≤-时，函数值随m 值得增大而减小，

∴当2m =- 时，min 18Q =.

当3m ≥时，函数值随m 值得增大而增大， ∴当3m = 时，min 8Q =.

综上，22(1)(1)αβ-+-的最小值为8. 14. (1) 证明：如图1.

∵ AF 平分∠BAD ，∴∠BAF =∠DAF ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD 。

∴ ∠DA F=∠CE F ，∠BAF =∠F ， ∴ ∠CEF =∠F ，∴ CE =CF ． (2) ∠BDG =45?．

(3) 分别连结GB 、GE 、GC (如图2). ∵ AB //DC ，∠ABC =120?， ∴ ∠ECF =∠ABC =120?， ∵ FG //CE 且FG =CE ,

∴ 四边形CEGF 是平行四边形． 由(1)得CE =CF , ∴□CEGF 是菱形, ∴ EG =EC ，∠GC F=∠GCE =2

1

∠ECF =60?． ∴ △ ECG 是等边三角形. ∴ EG =CG ,

∠GEC =∠EGC =60?, ∴∠GEC =∠GCF , ∴∠BEG =∠DCG ,

由AD //BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE =∠AEB ， ∴AB =BE .

在□ABCD 中，AB =DC . ∴BE =DC ,

∴△BEG ? △DCG . ∴ BG =DG ，∠1=∠2,

∴ ∠BGD =∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC =60?.

∴ ∠BDG =

2

1

(180?-∠BGD )=60?． 15.解：（1）∵一次函数的图像与 轴、轴分别相交于点A 、B ， ∴.∵P 为线段AB 的中点，∴.∴. （2）.

24y x =-x y ()()2,00,4A B - 、()1,2P - 12123d d +=+

=122d d +≥图1

∵设，.∴.

当时，， 由解得，与不合，舍去.

当时，， 由解得，此时.

当时，， 由解得，此时. 综上所述，当时点P 的坐标为或.

（3）设，∴. ∵点P 在线段AB 上，∴.∴.

∵，∴.∴ ∵存在无数个P 点，∴.

16. 解：（1）如答图1，连接OC ， ∵OA 为直径 ∴OB ⊥AC ，又AB =BC ， ∴OB 是的垂直平分线.∴OC =OA =10. 在Rt △OCD 中，OC =10，CD =8，∴OD =6. ∴C (6，8)，B (8，4).

∴直线OB 的函数表达式为. （2）∵E 点的横坐标为6，∴E 点纵坐标为3，即E (6，3)．∵抛物线过O (0，0)，E (6，3) ，A (10，0)，∴设此抛物线的函数关系式为，把E

点坐标代入得，解得. ∴此抛物线的函数关系式为，即．

（3）设点， (),24P m m - 1224d d m m +=+-<0m 12244234d d m m m m m +=+-=-+-=-+343m -+=13

m =<0m 0<2m ≤1224424d d m m m m m +=+-=+-=-+43m -+=1m =()1,2P -2m ≥12242434d d m m m m m +=+-=+-=-343m -=73m =

72,33P ?? ???

123d d +=()1,2 -72,33??

???

(),24P m m - 1224,d m d m =-= 02m ≤≤124,d m d m =-= 124d ad +=424m am -+=()20a m -=2a =1

2

y x =

()10y ax x =-()36610a =-1

8

a =-()1108y x x =--215

84

y x x =-+15284

P p p p ??

-

+ ??

?

，

①若点P 在CD 的左侧，延长OP 交CD 于Q ，如答图2， ∵OP 所在直线函数关系式为：， ∴当x =6时，，即Q 点纵坐标为. ∴. ∴S 四边形POAE = S △OAE ＋S △OPE = S △OAE ＋S △OQE －S △PQE =

=.

…………………………………………………………(12分） ②若点P 在CD 的右侧，延长AP 交CD 于Q ，如答图3，

，A (10，0)， ∴设AP 所在直线方程为：y =kx ＋b ，

把P 和A 坐标代入得，，

解得.∴AP 所在直线方程为：.

∴当x =6时，，即Q 点纵坐标为.∴QE =. ∴S 四边形POAE = S △OAE ＋S △APE = S △OAE ＋S △AQE －S △PQE =

=

. ∴当P 在CD 右侧时，四边形POAE 的面积最大值为16，此时点P 的位置就一个， 令，解得，. 1584y x ??=-+ ???

31542y p =-

+31542

p -+31539

34242

QE p p =-+

-=-+()111

222

x x x OA DE QE D QE D P ??+??-??-()()2

2113913939357103661562

2422428482

p p p p p p ??????+?-

+?-?-+?-=-++=--+ ? ?????15284P p p p ?

?

-+

???

，21001584k b pk b p p +=??

?+=-+??1854

k p b p

?

=-????=??1584y px p =-+651842y p p p =-

+=12

p 1

32p -()111

222

x x OA DE QE DA QE P D ??+??-??-()()221111111103343648162222244p p p p p p ????

??+?-?-?-?-=-+=--+ ? ?????

239151684p p -

++

=33

p =

±

∴当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个.

综上知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．