高考数学难点突破训练—数列与数学归纳法
高考数学难点突破训练——数列与数学归纳法
1.如图，曲线2(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…△Q n-1P n Q n …设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为
O ),(),0n n Q S .（1）求1a 的值; （2）求数列{n a }的通项公式n a 。
2. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有2
1,,n n n a b a +成等差数列，
2211,,n n n b a b ++成等比数列．
（1）试问{}n b 是否成等差数列？为什么？ （2
）如果111,a b =1n a ??
????
的前n 项和n S ．
3. 已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66.
（Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式； （Ⅱ）设n
n a n b )1(2
+=，n n b b b T +++= 21，求证：n T ≥16.
4. 已知数列{n a }中531=
a ，112--=n n a a （n ≥2，+
∈N n ），数列}{n b ，满足1
1-=n n a b （+
∈N n ）
（1）求证数列{n b }是等差数列；
（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求1
)1(lim +-∞→n n
S b n n ．
5. 已知数列{a n }中，a 1>0, 且a n +1=
2
3n
a +， (Ⅰ)试求a 1的值，使得数列{a n }是一个常数数列；
(Ⅱ)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；
(Ⅲ)若a 1 = 2，设b n = | a n +1－a n | (n = 1，2，3，…)，并以S n 表示数列{b n }的前n 项的
和，求证：S n <2
5
．
6. （1）已知：)0(∞+∈x ，求证x x x x 11ln 11<+<+； （2）已知：2≥∈n N n 且，求证：1
1
211ln 13121-+++<<+++n n n 。
7. 已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*
∈N n ，都有
n
n pa p S p -=?-)1(（p 为大于1的常数），并记
n
n n
n
n n n S a C a C a C n f ??++?+?+=
21)(2211 . （1）求n a ； （2）比较)1(+n f 与
)(21
n f p
p ?+的大小*∈N n ；
（3）求证：???
????????? ??-+-?-+≤≤?---=∑1
21
21
11111)()()12(n n i p p p p i f n f n (*
∈N n ).
8. 已知n N *
∈，各项为正的等差数列{}n a 满足
263521,10a a a a ?=+=，又数列{}lg n b 的前n 项和是
()()1
1lg 312
n S n n n n =+--。
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证数列{}n b 是等比数列；
（3）设n n n c a b =，试问数列{}n c 有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由。
9. 设数列{}n a 前项和为n s ,且(3),(32)+∈+=+-N n m ma s m n n ,其中m 为常数,m .3≠ (1) 求证:是等比数列;
若数列{}n a 的公比q=f(m),数列{}n b 满足),2,)((2
3
1,11≥∈==+-n N n b f b a b n n 求证:?
??
??
?n b 1为等差数列,求n b .
10. 已知数列}{n a 满足：
,2
1
,121==a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n
n n n a a ，
*N n ∈．
（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n n a a b 212?=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；
11. 将等差数列{}n a 所有项依次排列，并作如下分组：1234567(),(,),(,,,),a a a a a a a …第一组1项，第二组2项，第三组4项，…，第n 组1
2
n -项。记n T 为第n 组中各项的和。已知
3448,0T T =-=。
（1）求数列{}n a 的通项； （2）求{}n T 的通项公式；
（3）设{}n T 的前n 项的和为n S ，求8S 。
12. 设各项为正数的等比数列{}n a 的首项2
1
1=
a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。
（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。
13. 设数列}{n a 是首项为0的递增数列，（N n ∈），,)(1
s i n )(n n a x n
x f -=,[n a x ∈]1+n a 满足：对于任意的b x f b n =∈)(),1,0[总有两个不同的根。 （1）试写出)(1x f y =，并求出2a ； （2）求n n a a -+1，并求出}{n a 的通项公式；
（3）设n n n a a a a a S 14321)1(--++-+-= ，求n S 。
14. 已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1
的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0>d ）. (Ⅰ)若4020=a ，求d ；（Ⅱ）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围； （Ⅲ）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推， 把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ (所得的结论不必证明)
15. 一种计算装置，有一数据入口A 和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A 口
输入自然数1时，从B 口得到
13 ，记为()1
13
f = ；②当从A 口输入自然数()2n n ≥时，在B 口得到的结果()f n 是前一个结果()1f n -的()()211
213
n n ---+倍.
（1）当从A 口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B 口分别得到什么数？试猜想()f n 的关系式，并证明你的结论；
（2）记n S 为数列(){}
f n 的前n 项的和。当从B 口得到16112195的倒数时，求此时对应的
n S 的值.
16. 已知数列}{n a ，其前n 项和S n 满足λλ(121+=+n n S S 是大于0的常数），且a 1=1，a 3=4. （1）求λ的值；
（2）求数列}{n a 的通项公式a n ；
（3）设数列}{n na 的前n 项和为T n ，试比较2
n
T 与S n 的大小.
17. 定义：若数列{}n A 满足2
1n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，12a =，且2
122n n
n a a a +=+，其中n 为正整数． (1)设21n n b a =+，证明：数列{}n b 是“平方递推数列”，且数列{lg }n b 为等比数列；
(2)设(1)中“平方递推数列” {}n b 的前n 项之积为n T ，即12(21)(21)(21)n n T a a a =+++ ，
求数列{}n a 的通项及n T 关于n 的表达式；
(3)记21log n n a n c T +=，求数列{}n c 的前n 项之和n S ，并求使2008n S >的n 的最小值．
18. 在不等边△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A 2
sin ，B 2
sin ，C 2
sin 依次成等差数列，给定数列
a A cos ，
b B cos ，c
C
cos ． （1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号： 数列
a A cos ，
b B cos ，c
C
cos （ ）． A ．是等比数列而不是等差数列 B ．是等差数列而不是等比数列
C ．既是等比数列也是等差数列
D ．既非等比数列也非等差数列 （2）证明你的判断．
19. 已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 2=8，S 10=185， （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设n n b a 2log =，证明}{n b 是等比数列，并求其前n 项和T n .
20. 已知数列{a n }中，a 11=，a a a n n n =+--11
1（n ＝2，3，4，…）
（I ）求a a 23、的值；
（II ）证明当n ＝2，3，4，…时，2132n a n n -<≤-
21. 已知等差数列{a n }中，a S n 38=，是其前n 项的和且S 20610= （I ）求数列{a n }的通项公式。
（II ）若从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n
项，按原来的顺序组成一个新数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n 。
22. 已知正项等比数列{n a }满足条件：①12154321=++++a a a a a ；②
251
11115
4321=++++a a a a a ，求{n a }的通项公式n a ．
23. 已知函数f （x ）＝3log （ax ＋b ）图象过点A （2，1）和B （5，2）．
（1）求函数f （x ）的解析式；
（2）记)(3x f n a =，*N ∈n ，是否存在正数k ，使得)1
1)(11(22a
a ++
…12)1
1(+≥+
n k a n
对一切*N ∈n 均成立，若存在，求出k 的最大值，若不存在，请说明理由．
24. 已知f(x)=log 2(x+m),m ∈R
（1）如果f(1)，f(2)，f(4)成等差数列，求m 的值；
（2）如果a,b,c 是两两不等的正数，且a,b,c 依次成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论。
25. 已知等差数列{a n }的公差d>0.S n 是它的前n 项和，又
44
1S 与661
S 的等比中项是
117+a ，44
1S 与661
S 的等差中项是6，求a n 。
26. }{n a 和}{n b 分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120和60，而第二项
与第四项的和分别是90和34，令集合21{a A =，22a ，23a ，…，}2
n a ，1{b B =，2b ，3b ，…，
}n b ．求证：≠?B A ．
27. 已知曲线C ：x y 1=
， n C ：n x y -+=2
1 （*∈N n ）。从C 上的点),(n n n y x Q 作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点),(111+++n n n y x Q ， 设111,,1++-=-==n n n n n n y y b x x a x 。 （I ）求21,Q Q 的坐标； （II ）求数列{}n a 的通项公式；
（III ）记数列{}n n b a ?的前n 项和为n S ，求证：3
1 答案： 1. 解：①由条件可得 11112P a ?? ? ??? ,代入 2(0) y x y =≥得21111312 ,0,423 a a a a =>∴= ②12n n S a a a =+++ ∴1111()2n n n n P S a ++++；代入曲线2(0)y x y =≥并整理得21131 42 n n n S a a ++= -,∴于是当*2,n n N ≥∈ 时,2 21113131()()4242 n n n n n n n a S S a a a a -++=-=- -- 即 11113()()()24n n n n n n a a a a a a ++++=+?-*112 0,(2,)3 n n n n a a a a n n N ++>>∴-=≥∈ 又当2122231421,,(4233n S a a a ==-∴=-时舍去）；212 3 a a ∴-=,故 *12()3n n a a n N +-=∈ ∴所以数列{n a }是首项为23、公差为23的等差数列, 2 3 n a n =。 2. 由题意，得2 12n n n b a a +=+， （1） 222 11n n n a b b ++= （2） （1）因为0,0n n a b >>，所以由式（2）得11n n n a b b ++= ，从而当2n ≥时，1n n n a b b -= ， 代入式（1）得2 112n n n n n b b b b b -+=+， 即()1122n n n b b b n -+=+≥，故{}n b 是等差数列． （2 ）由111,a b ==1），式（2） ，易得223,a b == 因此{}n b 的公差2d =，从而( ))1112 n b b n d n =+-=+， 得()()11 122 n a n n += ++ （3） 又11a =也适合式（3），得() ()*12 n n n a n N += ∈， 所以 ()121 1211n a n n n n ??==- ?++?? ， 从而111111221...21223111n n S n n n n ?? ???? ?????? ??? ?=-+-++-=-= ? ? ??? ?++?????? ?? ??????? 3. 解：（Ⅰ）1118 6,265 666 224n a d a d a d a n d +=???==??+=??∴=+ （Ⅱ）2211 (1)1)(24)12 n n b n a n n n n = ==-+++++（， 121111111123344512 n n T b b b n n =+++= -+-+-++-++ ， = 11 22 n -+ 而1122n ?? - ??+?? 是递增数列 ， 1 111236n T T ∴≥=-=≥16. 4. （1）1 1 121 11111-=--=-= ---n n n n n a a a a b ， 而 1 111-= --n n a b ， ∴ 11 1 11111=-=-= -----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为25 1111-=-= a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有n n b a 1 1=-，而5.31)1(25-=-+-=?n n b n ， ∴ 5.31 1-= -n a n ． 对于函数5 .31 -=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0 故当n ＝4时，5 .31 1-+=n a n 取最大值3 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(1 2 <-- =x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数． 故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1． （3）2 )5)(1(2) 25225)(1(1-+= -+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ， ∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2) 5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1． 5. (Ⅰ)欲使数列{a n }是一个常数数列，则a n +1= 2 3n a += a n 又依a 1>0，可得a n >0并解出：a n = 23，即a 1 = a n =2 3 (Ⅱ)研究a n +1－a n =23n a +－231 -+n a =??? ? ??++ +---2323211n n n n a a a a (n ≥2) 注意到??? ? ??+++-232321n n a a >0 因此，可以得出：a n +1－a n ，a n －a n －1，a n －1－a n －2，…，a 2－a 1有相同的符号7’ 要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2－a 1>0即可. 由 1123a a -+>0，解得：0 3 (Ⅲ)用与(Ⅱ)中相同的方法，可得 当a 1>2 3