2014高考数学必考点解题方法秘籍 解析几何2 理

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：解析几何2

一．专题综述

解析几何是高中数学4大版块之一，是高考的重要考点。 1.考纲要求

（1）掌握直线的斜率、倾斜角的概念，直线方程的各种形式以及距离和角度、平行和垂直； （2）掌握简单的线性规划问题；

（3）掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程和椭圆的参数方程；

（4）灵活和综合运用椭圆、双曲线、抛物线（中心都在原点）的标准方程和几何性质解决有关问题。

2.考题形式与分值：

一般有1-2个客观题，一个主观题，总分约25分。 3.考试重点与难度：

(1)、线性规划问题，这是必考点，以客观题形式出现。

(2)、直线与圆的问题常与其他知识综合考查，主要与三角、向量、平面几何等知识进行交汇，强调图形的运用。主要以选择题、填空题等形式出现；

(3)、圆锥曲线的基础题，涉及定义、标准方程、性质，尤以定义的运用为多；

(4)、直线与圆锥曲线的位置关系中涉及交点、弦长、中点、垂直、对称的问题以及直线与圆锥曲线有关的轨迹问题、范围、最值、定值问题，主要使用设而不求、点差法、一元二次方程的根与系数关系、判别式求解。这类考题一般以解答题形式出现，（一般是18或19题） (5)、与平面向量的综合，主要是向量语言与图形语言、字母表达式的相互转化。

二．考点选讲

【考点1】线性规划问题

【例1】已知x 、y 满足条件

??

?

??≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x ，求：

（1）4x-3y 的最大值和最小值；

（2）22y x +的最大值和最小值；

（3）46

++x y 的最大值和最小值；

（4）|2034|++=y x ω的最小值。

【注】线性规划问题是高考的必考点，在约束条件下求目标函数的最值，关键是找出目标函数的几何意义，再用几何方法求解。

【练习1】在约束条件?

?????

?≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下，当35s ≤≤ 时，求32z x y =+ 的最大值的变化范围是（ ）

A ．[]15,6

B ．[]15,7

C ．[]8,6

D ．[]8,7

【练习2】若x 、y 满足

??

?

??

≥-+≥+-≤00623k y x y x x ，且Z=2x+3y 有最小值-6，则k 的值为______________.

【考点2】求动点的轨迹方程

【例2】已知两个定点(,0),(,0)(0)A a B a a ->的直线12,l l 分别绕 A 点，B 点转动，并保持1l

到2l 的角为045，则1l 与2l 的交点的轨迹方程为：__________________________.

【注】求轨迹方程是解析几何的重要问题，要熟悉各种常见的求轨迹方程的方法：定义法、

待定系数法、直译法、相关点法、参数法、交轨法等等。另本题还用到了到角公式

【练习1】已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于x y = 对称，直线0234=--y x 与

圆C 相交于A,B 两点，且

6

AB =, 则圆C 的方程为 ．

【考点3】圆锥曲线的定义及其应用

【例3】已知动点P （x ，y ）, 满足关系式：

y

x y x 43)2()1(422+=-+- , 则点P 的轨迹是（ ）

A ． 圆 B. 椭圆 C ． 双曲线 D. 抛物线

【注】圆锥曲线的定义有两种形式，要善于利用定义进行解题：（1）用定义判断曲线的形状；（2）解决与焦半径相关的问题。用定义解题这体现了解析几何的精髓。 【练习1】在ABC ?中，7

,cos 18AB BC B ==-

,若以A,B 为焦点的椭圆经过点C ，则椭圆的离

心率e = ．

【练习2】 P 为双曲线22

1916x y -=右支上一点，M,N 分别为圆()2251x y ++=和()2251x y -+=上

的点，则PM PN

-的最大值为 ．

【练习3】已知双曲线221:1169x y C -=的左准线为l ，左、右焦点分别为12,F F ，

抛物线 2C 的准线为l 。焦点为

2F ，若 1C 与2C 的一个交点为P 则2PF = ．

【练习4】设椭圆的方程为22

221(0)x y a b a b +=>> ，线段PQ 是过左焦点F ，且不与x 轴垂

直的焦点弦，若在右准线上存在点R 使 PQR ?为正三角形，求离心率的范围___________________.

【考点4】直线与二次曲线的位置关系问题

【例4】若圆

224410x y x y +--=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=

的距离为则l 的倾斜角的取值范围为（ ）

A ．??????4,12ππ

B ．???

???125,12ππ C ．??????3,6ππ D ．???

??

?2,0π 【注】（1）直线与圆的位置关系的问题（判断、相交弦长、相交弦的中点）要注意充分利用图形的几何特征，数形结合求解

（2）直线与其他二次曲线的位置关系问题求解一般用韦达定理，要深刻理解这一通法。

【练习1】已知抛物线

)0(22>=p px y 。过定点P 作两条互相垂直的直线12l l 、 ，若1l 与抛物线交于点 P 、Q ，

2l 与抛物线交于M 、

N 两点，1l 的斜率为k

，弦PQ 的中点坐标为2

(

,)p p p k k + ，则弦MN 的

中点坐标为：__________________.

【考点5】解析几何综合

以一个解答题的形式综合考察解析几何知识的掌握情况，这是每年高考的必考点，这类题一般以直线和圆锥曲线为试题背景。

【例5】．已知椭圆221:221(0)x y C a b a b +=>>

y=x+2与以原点为圆心，

椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切。

（1）求椭圆C1 的方程；

（2）设椭圆C1 的左焦点F1 ，右焦点为F2 ，直线1

l 过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直

线

2

l 垂直于直线

1

l ，垂足为P ，线段PF2 的垂直平分线交

2

l 于点M ，求点M 的轨迹C2 的

方程；

（3）设C2 与x 轴交于点Q ，不同于Q 的两点R 、S 在C2上，且满足0=?RS QR

的取值范围。

【练习1】过点)2,5(-A 引直线交抛物线

x y 42=于P 、Q 两个不同点，交x 轴于点M ，设AQ AP AM 21λλ==

（1）求证：21.λλ为定值，并求该定值。

（2）当 A 为线段PQ 的中点时，试求出1λ和点M 的横坐标。 （3）设点 B(1,2) ，求证：BQ BP ?为定值，并求出该定值。

【练习2】设抛物线 )0(42

:

1>=m mx y C 的准线与x 轴交于F1 ，焦点为F2 ，以F1 ,F2为

焦点，离心率e= 1

2 的椭圆C2 与抛物线C1 的一个交点为 P 。

（1）m=1时，求C2 的方程及右准线方程

（2）在（1）的条件下，直线l 经过椭圆C2的右焦点F2 与抛物线 C1交于A1 、A 2两点，若弦A 1A 2的长等于

12PF F ? 的周长，求直线l 的斜率。

（3）是否存在实数m ，使得

12PF F ?的边长是连续的自然数。

三．专题训练

高三数学单元测试—解析几何

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．已知椭圆的离心率为21

，焦点是(-3,0)，(3,0)，则椭圆方程为 （ ）

A ．1273622=+y x

B ．127362

2=-y x C ．136272

2=+y x D ．136272

2=-y x

2．当a 为任意实数时，直线024)32(=+-++a y x a 恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标 准方程是

（ ）

A ．y x 322=或x y 212-=

B ．y x 322

-=或

x y 212

=

C ．x y 322

=或

y x 212-= D ．x y 322

-=或y x 21

2= 3．设双曲线x2 –y2=1的两条渐近线与直线

围成的三角形区域（包含边界）为E,P(x,y)

为该区域内的一个动点，则目标函数y x z 23-=的取值范围为

（ ）

A ．[

22,

0] B ．[223,2

2] C ．[225,22] D ． [22

5,

0] 4．短轴长为2，离心率e=3的双曲线两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线于A 、B 两点，

且|AB|=8,则△ABF2的周长为 （ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．24

5．已知F1,F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若△ ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ）

A

B

C

D

6．如果AC ＜0,且BC ＜0,那么直线Ax+By+C=0不通过 （ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

7．已知抛物线m x 2

=2

(0)y nx n = <(0

n y x 229+=1有一个相同的焦点，则动点),(n m 的轨 迹是 （ ）

A ．椭圆的一部分

B ．双曲线的一部分

C ．抛物线的一部分

D ．直线的一部分

8．如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面为正方 形，侧面PAD 与底面ABCD 垂直，M 为底面内的一个动点，且满 足MP=MC ，则动点M 的轨迹为 （ ） A ．椭圆 B ．抛物线

C ．双曲线

D ．直线

9．若直线mx- ny = 4与⊙O: x2+y2= 4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆22

194x y +=的

交点个数是 （ ） A ．至多为1 B ．2 C ．1 D ．0

10．若双曲线222

21(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该

双曲线的渐近线方程是 （ ）

A ．20x y ±=

B ．20x y ±=

C

．0x ±= D

0y ±=

11．过点P(x,y)的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称，

O 为坐标原点，若2BP PA = 且OQ AB ?

=1，则点P 的轨迹方程是 （ ）

A ．

22331(0,0)2x y x y +

=>> B ．22331(0,0)2x y x y -=>>

C ．22331(0,0)2x y x y -=>>

D ．22331(0,0)2x y x y +=>>

12．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 （ ） A ．4a B ．2()a c - C ．2()a c + D ．以上答案均有可能

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。 13．点A(1,2,-3)关于x 轴的对称点B 的坐标为 , 点A 关于坐标平面xOy 的对称点C 的坐标为 , B,C 两点间的距离为 ．

14．已知F 是抛物线

2

4C y x =：的焦点，过F

的直线交C 于A B ，两点．设FA FB

>，则|||

|FB FA 的值等于 ．

15．已知两条直线0123:1=-+ay x l ,02:2=+-y ax l ,若21l l ⊥，则a ＝___ ____。 16．已知两个点M(-5,0)和N(5,0)，若直线上存在点P ，使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B 型

直线”，给出下列直线：①y=x+1; ②

4

3y x

=

；③y=2；④y=2x+1．其中为“B 型直线”的

是 ．（填上所有正确结论的序号）

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。

17．（12分）设O 是坐标原点,F 是抛物线y2=2px(p ＞0)的焦点,A 是抛物线上的一个动点，FA

与x 轴正方向的夹角为600,求|OA

|的值．

18．（12分）已知一动圆M,恒过点F (1,0)，且总与直线:1l x =-相切． （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）探究在曲线C 上,是否存在异于原点的

1122(,),(,)A x y B x y 两点,当1216y y =-时,

直线AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由．

19．（12分）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为

12l l ，，经过右焦点F

垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知

OA AB OB

、、成等差数列，且BF 与FA

同

向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

20．（12分）

已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23

,两个焦点分别为1F 和2F ,椭

圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12．圆k C :

021422

2=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点

k A ．

（1）求椭圆G 的方程 （2）求

21F F A k ?的面积

（3）问是否存在圆

k C 包围椭圆G?请说明理由．

21．(12分)如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l 交椭圆于A 、B 两个不同点． （1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围；

（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．

22．(14分)

设椭圆E: 22

221x y a b +=（a,b>0）过M （2

） ，

,1)两点，O 为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,

且OA OB ⊥

？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

参考答案

一、选择题

1．A ；解析：已知椭圆的离心率为21

，焦点是(-3,0)，(3,0)，则c=3，a=6，279362

=-=b ，

椭圆的方程为127362

2=+y x ，选A ．

2．C ；解析：将直线方程化为023)42(=+++-y x a x ,可得定点P （2，-8），再设抛物线 方程即可；

3．D ；解析：双曲线x2 –y2=1的两条渐近线为: 0=±y x ,渐近线0=±y x 与直线

的交点坐标分别为

)和

)．利用角点代入法得y x z 23-=的取值范

围

为[

22

5,

0]．

4．B ；解析：由于

3,2==

=a c

e b ,∴a c 3=,∴492

2+=a a ,∴

22=a ,

由双曲线的定义知: |AF2|- |AF1|=2, |BF2|- |BF1|=2, ∴|AF2|+|BF2|- |AB|=22,∴|AF2|+|BF2|=8+22, 则△ABF2的周长为16+22．

5． A

；解析：由题112|||AF F F =,

∴22b c a =

即22a c -=

∴

220c a -=，

∴210e -=

解之得：e =(负值舍去)．故答案选A ．

6．C ；解析：∵直线Ax ＋By ＋C=0化为

A C

y x B B =-

-,又AC ＜0,BC ＜0

∴ AB ＞0,∴0,0

A C

B B -<-> ,直线过一、二、四象限，不过第三象限．故答案选

C ．

7．C ；解析：由

m x 2=

2(0)y nx n = <(0

,0) (0

因为抛物线与椭圆有一个相同的焦点，所以椭圆n y x 229

+

=1的一个焦点为(8m

,0), ∴

2

)8(9m n -

=-,得)9(642

--=n m ． (0

8．D ；解析：由MP=MC , 知M 在PC 的垂直平分面内，又M ∈面ABCD ∴M 在两平面的交线上．故答案选D ．

9．B ；解析:

＞2即m2+n2＜4,点(m,n)在以原点为圆心，2为半径的圆内，

与椭圆22

194x y +=的交点个数为2,故答案选B ．

10．C ；解析：对于双曲线22

2

21(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离因为b ，

而1

24b c =

，因此1,,2b c a ===

b a ∴

=，因此其渐近线方程为0x ±=．

11．D ；解析：设P(x,y)，则Q (-x,y)，

由2BP PA = ∴A(3

,02x -),B(0,3y)， ∴3(,3)2AB x y = - 3(,3)

2AB x y = ． 从而由OQ AB ? =(-x,y)·(-32x

,3y)=1． 得2

23312x y +=其中x>0,y>0,故答案选D ．

12．D ；解析：⑴静放在点A 的小球（小球的半径不计）从点A 沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2()a c -，则选B ；⑵静放在点A 的小球（小球的半径不计）从点A 沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2()a c +，则选C ；⑶静放在点A 的小球（小球的半径不计）从点A 沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a ，则选A ．

由于三种情况均有可能，故选D ． 二、填空题： 13． (1,-2,3 ) (1,2,3) 4 解析：过A 作AM ⊥xOy 交平面于M ，并延长到C,使CM=AM ，则A 与C'关于坐标平面xOy 对称且C(1,2,3)．

过A 作AN ⊥x 轴于N ，并延长到点B ，使NB=AN ，则A 与B 关于x 轴对称且B(1,-2,3)． ∴A(1,2,-3)关于x 轴对称的点B(1,-2,3 )．

又A(1,2,-3)关于坐标平面xOy 对称的点C(1,2,3);

∴|BC|=2

22)33()22()11(-+--+-=4．

14． 3 解析：由题意知,直线的方程为)1(3-=x y ,与抛物线

2

4C y x =：联立得031032=+-x x , 求得交点的横坐标为3=x 或

31

=

x ,∵FA FB >,又根据抛物线的定

义得

34

||,4||=

=FB FA ,∴||||FB FA =3． 15． 0 解析：当0=a 时, 013:1=-x l ,02:2=+-y l ,21l l ⊥．

当0≠a 时,

a k 231-

=,a k =2,若21l l ⊥．则1

23

21-=?-=?a a k k ,上式显然不成立．

∴若21l l ⊥，则a ＝0．

16．①③ 解析：∵|PM|-|PN|=6 ∴点P 在以M 、N 为焦点的双曲线的右支上，即22

1

916x y -=

(x ＞0)，将直线方程与其联立，方程组有解,判断其答案为①③． 三．解答题

17

．解：由题意设

()2P A x +

代入y2=2px 得

)2(2)3(2p x p x += 解得x=p(负值舍去)． 6分

∴

A(3

2p )

∴||OA p == 12分

18．解: (1) 因为动圆M,过点F (1,0)且与直线:1l x =-相切,所以圆心M 到F 的距离等于到

直线l 的距离．所以,点M 的轨迹是以F 为焦点, l 为准线的抛物线,且1

2p

=,2p =,

所以所求的轨迹方程为

2

4y x = 5分 (2) 假设存在A,B 在

24y x =上, 所以,直线AB 的方程:21

1121()y y y y x x x x --=--,即 2

21112221()444y y y y y x y y --=-- 7分

即AB 的方程为:211124

()4y y y x y y -=-+,即 22

121121()4y y y y y y x y +--=-

即:

12()(164)0y y y x ++-=， 10分

令0y =,得4x =， 所以,无论

12,y y 为何值,直线AB 过定点(4,0) 12分

19．解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+

由勾股定理可得：222

()()m d m m d -+=+ 2分

得：

14d m =

，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==

由倍角公式∴2

2

431b

a b a =??- ???，解得12b a =

,

则离心率

e = 6分

（Ⅱ）过F 直线方程为()a

y x c b =--,与双曲线方程222

21x y a b -=联立

将2a b =

，c =

代入，化简有22

152104x x b += 8分

4=

将数值代入，有

4=解得3b = 10分 故所求的双曲线方程为22

1

369x y -=． 12分

20．解: （1）设椭圆G 的方程为：22

2

21x y a b += （0a b >>）半焦距为c;

则212

a c a

=???=

??

解得6a c =???=??22236279b a c ∴=-=-= 所求椭圆G 的方程为：22

1369x y +=． 6分

（2）点K A 的坐标为(),2K -

,121211

2222K A F F S F F =??=?=V ． 8分

（3）若0k ≥，由2260120215120k k ++--=+f 可知点（6，0）在圆k C 外，

若0k <，由

22

(6)0120215120k k -+---=-f 可知点（-6，0）在圆k C 外； ∴不论K 为何值圆k C 都不能包围椭圆G ． 12分

21．解：（1）设椭圆方程为)0(122

2

2>>=+b a b y a x

则?????==?????=+=28114

222

22b a b a b a 解得 2分

∴椭圆方程1282

2=+y x 4分

（2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m

又

21=

OM K

∴l 的方程为：

m x y +=

21

由0

422128

212222=-++∴???????

=++=m mx x y x m x y 6分

∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，

,0)42(4)2(22>--=?∴m m

∴m 的取值范围是}022|{≠<<-m m m 且

（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可

设

21

,21),,(),,(22

21112211--=--=

x y k x y k y x B y x A 则

042222=-++m mx x 由可得

42,222121-=-=+m x x m x x 8分

而

)2)(2()

2)(1()2)(1(21,21211221221121----+--=--+--=

+x x x y x y x y x y k k

)

2)(2()1(4)2)(2(42)

2)(2()

1(4))(2()2)(2()

2)(121

()2)(12

1(212212*********------+-=

----+++=

----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x

)2)(2(4442422122=--+-+--=x x m m m m 10分

∴k1＋k2=0

故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形． 12分

22． 解:（1）因为椭圆E: 22

2

21x y a b +=（a,b>0）过M （2

，

,1)两点,

所以2222421611a b a b +=+=???????解得2211

8114a b ?=????=??所以2284a b ?=?=?椭圆E 的方程为22184x y += 4分

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且

OA OB ⊥ ,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22

184x y y kx m

+

==+?????得222()8x kx m ++=,

即

222

(12)4280k x kmx m +++-=, 则△=

222222

164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+> 1222

1224122812km x x k m x x k ?+=-??+?-?=?+?

22212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++ 2222

222

2

212121212222

(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++

要使OA OB ⊥ ,需使12120x x y y +=,即222

2228801212m m k k k --+=++,所以

223880m k

--=,

所以22

38

08

m k -=≥又22

840k m -+>,

所以22238m

m ?>?≥?,所以

283m ≥,即m ≥m ≤,

因为直线

y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为

r =

,

2

22

22

8

3813

18

m m r m k

===

-++

,

r =, 所求的圆为

228

3x y +=

,此时圆的切线y kx m =

+

都满足

m ≥m ≤, 而当切线的斜率不存在时切线为x =22184x y +=的两个交点为

或

(满足OA OB ⊥ ,

综上, 存在圆心在原点的圆

228

3x y +=

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,

且OA OB ⊥

．

因为

1222

1224122812km x x k m x x k ?

+=-??+?-?=?+?, 所以

2222

2

212121222

224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--?=+++,

||AB ===

==, 8分

①当0k ≠

时

||AB =

因为

221

448k k +

+≥所以

2211

01

8

44k k <

≤++,

所以2

232321[1]12

13344

k k <+≤++,

||AB <

≤当且仅当k ==”．

②0k =时

,

||AB =

．

③当AB 的斜率不存在时,

两个交点为

或(,

所以此时

||AB =

分

综上, |AB |

||AB ≤≤

: ||AB ∈ 14分