2.4两个重要极限

表JX—1 南京技师学院教案（首页）

授课日期

授课班级

课题§2.4 两个重要极限计划

学时

2 课时

教学目标熟练掌握用两个重要极限求极限

教学重点解决措施教学重点：熟练掌握用两个重要极限求极限解决措施：讲授

教学难点解决措施教学难点：熟练掌握用两个重要极限求极限解决措施：推导、练习

教学设计

教学手段

教学方法

板书演示

板书设计授课提纲一、复习提问：极限的运算法则

二、新课引入

三、新授讲授

1、夹逼定理

2、重要极限：

sin

lim1

→

3、数列收敛准则

4、重要极限：

lim1

→+∞

四、课堂小结

1、夹逼定理、两个重要极限.

2、练习： P36/习题32、3

3、3

4、3

5、45、46

五、作业布置：P36/习题36、37、38、40、41、47、48

六、教学反思

第页

教学过程设计

时间分配教师活动学生活动

【复习提问】极限的运算法则【新课引入】

为了更好的解决极限问题，介绍两个重要极限【新课讲授】

§2.4 两个重要极限

1、定理1：夹逼定理

设A x G A x F ==)(lim ,)(lim ，且)()()(x F x f x G ≤≤则

A x f =)(lim 。

证明：以+∞→x 为例，因A x G A x F x x ==+∞

→+∞→)(lim ,)(lim ，即对任意小的正数ε，当x 无限变大时，恒有

εε<-<- )( , )( A x F A x G ，

从而有

εεεε+<<-+<<-A x F A A x G A )(,)(，

又因为)()()(x F x f x G ≤≤，所以有

εε+<≤≤<-A x F x f x G A )()()(，

即

ε<- )( A x f 。

证得A x f =)(lim 。

注：夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立。

3分钟

2分钟

55分

钟

老师提问

概念讲解

学生回答

第页

2、重要极限：0sin lim 1x x

x →=

证：先证1

sin lim 0=+→x

x . 由于+

→0x ，不妨设02

x π<<.作单位圆并设圆心角x AOB =∠

则 AOB AOD AOB S S S ??<<扇形

∵ x BC OA S AOB sin 2

121=?=?，

x x OA OA AB OA S AOD 2

2121=??=??=扇形，

tan 22

AOD S OA AD x ?=?=， ∴ tgx x x 21

21sin 21 ，即 sin tan x x x <<，从而有

11sin cos x x x <<或sin cos 1x x x <<. ∵ 22201cos 2sin 20(0)222x x x x x +

??<-=?=→→ ???

，， ∴ 1cos lim 0=+→x x ∴ 1sin lim 0=+→x x x 又 1sin lim sin lim 00=---=+

-→→t t t x x x t x ∴ 1sin lim 0=→x x x .

强调特殊记忆

老师讲

解

第页

注：一般公式： 1)()(sin lim 0)(=→x x x ??? （表面特性[]

sin[]，本质特性

“0

”）例1 0tan lim x x x →=1)cos 1

sin (lim 0=?→x x x x .

例2 0tan sin lim x x x →=1)sin sin sin (lim 0=?→x x x x tg x . 例3 =-→20cos 1lim x x x =→2202sin 2lim x x x 2122sin lim 212

0=?????

? ??→x x x . （或者原式＝21

)cos 11sin (lim 220=+?→x x

x x ）.

3、数列收敛准则定理2：单调有界数列必有极限。

4、重要极限： 1lim 1x x e x →+∞

??+= ???

令t x

，可得另外一种形式 ()e x x x =+→101lim

一般公式：e x h x h x h =????

??+∞→)

()()(11lim ， ()e x x x =+→)(1

0)()(1lim ???.

x x e x k =??? ?

?+∞→1lim 例4

老师提示

特殊记忆

学生回答

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x x x 21lim 0-→()x x x 1021lim -=→()22210)2(1lim ---→=??

????-+=e x x x . 例5 21)11()1

1(lim 11lim e e e x

x x x x x

x x x ==-+=??? ??-+-∞→∞→. 例 6 1)11()11(lim 11lim 1

=?=+-=??? ?

?--+∞→+∞→e e x x x x x x x

x . 或者原式x x x x x --+∞→??? ?

?-=)11(lim 10)(lim ===-+∞→e e x

x x . 例7 已知4lim e c x c x x

x =??? ??-+∞→，则?=c . 解：左==c e 2右，所以2=c .

【课堂小结】

1. 夹逼定理

2. 两个重要极限.

【作业布置】

1、课堂练习

P36/习题32、33、34、35、45、46 2、课后作业 P36/习题36、37、38、40、41、47、48 【教学反思】

5分钟

10分

钟 2分钟

老是提

示

学生一边回答一边做题

学生回答

1-7 两个重要极限练习题

1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限x x x sin lim → 问题1：观察当x →0时函数的变化趋势：当x 取正值趋近于0时， x x sin →1，即+ →0 lim x x x sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () s i n (lim sin lim 0 x x x x x x --=+ - →-→．综上所述，得一．1si n l i m =→x x x ． 1sin lim =→x x x 的特点： (1)它是“0 0”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 0； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 a x →l i m ()[] () x x ??s i n =()()[]() x x x ???sin lim 0 →=1．例1 求x x x tan lim →．解 x x x tan lim →=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0 =?=?=? =→→→→x x x x x x x x x x x x x ．例2 求x x x 3sin lim 0 →．解 x x x 3sin lim →=3sin lim 3)3(33sin 3lim 0==→→t t t x x x t x 令．例3 求2 cos 1lim x x x -→．解 2 cos 1lim x x x -→=212 2sin 2 2sin 21lim )2 (22sin lim 2sin 2lim 02 2 2 2 =? ? ==→→→x x x x x x x x x x x ．例4 求x x x arcsin lim →．

(完整版)1-7两个重要极限练习题

1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限x x x sin lim 0 → 当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x x x sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+ -→-→．综上所述，得一．1sin lim 0=→x x x ． 1sin lim 0=→x x x 的特点： (1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 ； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 a x →lim ()[]()x x ??sin =()()[]() x x x ???sin lim 0→=1．例1 求x x x tan lim 0→．解 x x x tan lim 0→=111cos 1 lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x ．例2 求x x x 3sin lim 0→．解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t t t x x x t x 令．例3 求20cos 1lim x x x -→．解 2 0cos 1lim x x x -→=2 12 2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02 202 2 0=??==→→→x x x x x x x x x x x ．例4 求x x x arcsin lim 0→．

两个重要极限学习资料

2.5.1两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙LHZ 一、教学目标 1.复习该章的重点内容。 2.理解重要极限公式。 3.运用重要极限公式求解函数的极限。二、教学重点和难点重点：公式的熟记与理解。难点：多种变形的应用。三、教学过程 1、复习导入（1）极限存在性定理：A x f x f A x f x x x x x x ==?=- +→→→)(lim )(lim )(lim 000 （2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则）（00)(1 x x x f →→ （3）极限的四则运算： [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=± [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ?=? )(lim ) (lim )()(lim x g x f x g x f = ()()0lim ≠x g （4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论）（5）[][]k k x f x f )(lim )(lim =（乘法推论）（6）[]0lim =?有界变量无穷小量（无穷小量的性质） eg: 0sin 1 lim sin lim =??? ???=∞→∞→x x x x x x

那么，？=→x x x sin lim 0呢，这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim 0=→x x x 公式的特征：（1）0 0型极限；（2）分子是正弦函数；（3）sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题【例1】求 kx x x sin lim 0→()0≠k 解：kx x x sin lim 0→=k k x x k x 111sin lim 10=?=→ 【例2】求 x x x tan lim 0→ 解：x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=?=?=?? ? ??→→→x x x x x x x x x （推导公式：1tan lim 0=→x x x ）【例3】求 x x x 5sin lim 0→ 解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=?=?=?=→→→x x x x x x x x x 4、强化练习（1）x x x 3sin lim 0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）x x x 35sin lim 0→ (4) x x x 2tan lim 0→ 解：（1）x x x 3sin lim 0→=3 1131sin lim 310=?=→x x x （2） k k kx kx k kx kx k x kx x x x =?=?=?=→→→1sin lim sin lim sin lim 000 （3）3513555sin lim 353555sin lim 35sin lim 000 =?=?=??? ???=→→→x x x x x x x x x （4）x x x 2tan lim 0→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=??=??=?? ? ??→→→x x x x x x x x x 四、小结:

两个重要极限(可编辑修改word版)

2.5.1 两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙 LHZ 一、教学目标 1. 复习该章的重点内容。 2. 理解重要极限公式。 3. 运用重要极限公式求解函数的极限。二、教学重点和难点重点：公式的熟记与理解。难点：多种变形的应用。三、教学过程 1、复习导入（1）极限存在性定理： lim f (x ) = A ? x → x lim x → x 0+ f (x ) = lim x → x 0- f (x ) = A （ 2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若 f (x ) → ∞（x → x 0），则 1 f (x ) → （0 x → x 0）（3）极限的四则运算： lim [ f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) lim [ f (x ) ? g (x )] = lim f (x ) ? lim g (x ) lim f (x ) = lim f (x ) (lim g (x ) ≠ 0) g (x ) lim g (x ) （4） lim [cf (x )] = c lim f (x ) （加法推论）（5） lim [ f (x )]k = [lim f (x )]k （乘法推论）（6） lim [无穷小量? 有界变量] = 0 （无穷小量的性质） eg: lim sin x = lim ? 1 ? sin x ? = 0 x →∞ x ? x →∞? x ?

lim ? = lim ? ? 那么， lim sin x = ？呢，这是我们本节课要学的重要极限 x →0 x 2、掌握重要极限公式 lim sin x = 1 x →0 x 公式的特征：（1） 0 型极限；（2）分子是正弦函数；（3） sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题【例 1】求 lim sin x (k ≠ 0) x →0 kx 解： lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 kx k x →0 x k k 【例 2】求 lim tan x x →0 x 解： lim tan x = ? sin x 1 ? = lim sin x ? lim 1 = 1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos x ? x →0 x x →0 cos x （推导公式： lim tan x = 1 ） x →0 x 【例 3】求 lim sin 5x x →0 x 解： lim sin 5x = lim 5 ? sin 5x = 5 ? lim sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 x x →0 5x x →0 5x 4、强化练习（1） lim sin x （2） lim sin kx (k ≠ 0)（3） lim sin 5x (4) lim tan 2x x →0 3x x →0 x x →0 3x x →0 x 解：（1） lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 3x 3 x →0 x 3 3 （2） lim sin kx = lim k ? sin kx = k ? lim sin kx = k ?1 = k x →0 x x →0 kx x →0 kx （3） lim sin 5x = ? sin 5x 5 ? lim ? 5 ? l im sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 3x x →0 ? 5x 3 ? 3 x →0 5x 3 3 （4） lim tan 2x = ? sin 2x 1 ? = 2 ? lim sin 2x ? lim 1 = 2 ?1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos 2x ? x →0 2x x →0 cos 2x 四、小结:

两个重要极限练习题

1-7两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限lim 匹 x 0 x 当x 取负值趋近于 0时，-x 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是综上所述，得 sin x lim 1 . x 0 lim 泌1的特点： x 0 x 解血沁= lim5s 吐(令3x t)3lim 血3. x 0 x x 0 3x t 0 t 1 COSX 求 lim 2— x 0 x 2 例4 求 im arcSinX . X 0 X 解令 arcsinx=t ，贝U X =S int 且 X 0 时 t 0. 当x 取正值趋近于 0时，叱1,即lim 竺S=1 ； x x 0 x 问题1:观察当x 0时函数的变化趋势: si nx lim x 0 x li m sin( x) (x) x a 则 lim sin x .. sin x -=lim =1. x a X x 0 X 例1 求 tanx lim x 0 X sin x 解 lim tanx cosx sin x 1 si 1 li lim lim lim — lim x 0 x x 0 X x 0 x cosx x 0 X x 0 cosx 例2 求 ..sin3x lim 1. COSX 2 X =P 叫 2 X 2sin — 2 mo H X X- 2 2( X X sin sin lim 2 2 x 0 2 X X 2 2 (1) 它是“0 理，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是推广如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或), x 0 x 1 1 2 X 一 2 2

两个重要极限教案

公开课教案教者龚桂琼科目数学班级12级数一班课题两个重要极限（一）课型时间地点教材分析《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。学情分析一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“ 0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。教学目标知识与技能：让学生了解公式1 sin lim = →x x x 的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。教学重点正确理解公式1 sin lim = →x x x ，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。

教学难点公式1sin lim 0=→x x x 的证明、公式及其变形式灵活运用。教法学法本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。课前准备教师：多媒体课件；学生：计算器。教学环节教学内容师生双边活动复习导入 1、说说当0x x →时，函数)(x f 的极限的定义。如果当x 无限接近于定值0x 时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作A x f x x =→)(lim 0 。 2、A x f x x =→)(lim 0 的充要条件是什么？ A x f x x =→)(lim 0 ? )(lim 0 x f x x -→=A x f x x =+→)(lim 0 3、说出函数极限的四则运算法则。 B A x g x f x g x f B x g A x f +=+=+==)(lim )(lim )]()(lim[, )(lim ,)(lim :1则设法则 B A x g x f x g x f B x g A x f ?=?=?==)]([lim )]([lim )]()(lim[, )(lim ,)(lim 2则：设法则 B A x g x f x g x f B B x g A x f = =≠==)(lim )(lim )()(lim ,0,)(lim ,)(lim 3则且：设法则教师引导，学生回忆口述，为了解公式的证明、正确计算有关函数极限作铺垫，达到温故知新的目的。

《第二个重要极限的应用——复利模型》

《第二个重要极限的应用——复利模型》教学方案设计一、教学简述（一）教学背景极限是高等数学的最基础的理论及工具，尤其是第二个重要极限在极限中占有很重要的地位，它的结构独特，使用灵活，许多实际问题都依赖于为这种极限的应用，特别是复利模型的应用，因此若掌握了第二个重要极限不仅有助于我们学好微积分，也利于解决生产和生活中的实际问题。（二）教学特色第二个重要极限的地位特殊，由于结构复杂，形式多样，计算灵活，在经济学中尤为重要，为了体现其在经济工作中的优势，本节课旨在突出第二个重要极限的应用——复利模型，通过理论联系实际，以点至面的让学生掌握这一重点和难点。本节微课从“情境问题”教学法出发，构建虚拟课堂，因故事引出谜团，以谜团贯穿教学过程，借谜团掌握知识要点，构建以专业问题为背景的数学模型教会学生学会

主动提出问题、研究问题和解决问题，最终又回归于专业问题的运用。环环相扣的教学进程，让学生步步深入教学内容，提高学习的效果，从而更助于学生掌握本节课的知识。（三）教学内容 1.课程《高等数学》 2.章节：第一章函数极限与连续性，第三节两个重要极限的第二部分第二个重要极限。（四）授课对象财管、经济、国贸等经管类专科一年级（五）教学目标 1.知识目标：基于第二个重要极限的学习，探究复利模型的最终结论，进而回归实际问题，完成对第二个重要极限的应用。 2.能力目标：通过本微课的学习培养学生质疑问题、解决问题的能力和相关知识的迁移能力。对专业学习和生活阅历的培养都有帮助。 3.情感目标：专业问题的引入可以激发学生的学习兴趣，明确高等数学的实用性，体会数学思想和数学方法的精妙。进而培养学生主动探索和创新的科学精神。（六）教学的重点与难点 1.重点：利用第二个重要极限的运算方法解决实际运用 2.难点：引导学生对复利模型的理解和归纳总结，进而推出其结论。（七）教学方法

两个重要极限的推广与应用

两个重要极限的推广与应用摘要：极限在数学分析中占有很重要的地位，不但是一个基本的数学概念，而且也是数学分析的基石。两个重要极限又是极限中的重点和难点，所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。当然这部分内容学习起来有一定的难度，为了帮助同学们更容易掌握这部分内容，本文将结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广与应用。关键词：重要极限推广形式应用 Two important limits of popularization and application Abstract : Limit in the mathematical analysis occupies a very important position, but a basic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important. We should not only remember two important limit and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the basic form of two important limit its popularization and application. Keywords:Important limit Extended form application 极限在数学分析中占有很重要的位置，它贯穿了整个数学分析的内容，是积分和微分的基石，也是一个基本概念，而利用两个重要极限1sin lim 0 =→x x x 和e x x x =+∞→)11(lim 来求极限是极限内容中的重点和难点。运用两个重要极限解某一类极限问题时不仅可以简化极限计算的步骤，节约时间，而且过程清晰明了，使人易懂。对于数学专业的学生，更应该熟练掌握这部分内容，并且能够灵活运用它。为了使大家更容易掌握这部分内容，本文将运用多个实例来对两个重要极限及其推广形式进行一些分析、归纳和探讨。 1.两个重要极限的基本形式及其推广形式 1.1 1sin lim 0=→x x x (1) 运用1sin lim 0=→x x x 这个极限时我们一定要注意以下几个方面：

两个重要极限的推广与应用

两个重要极限的推广与应用摘要：极限在数学分析中占有很重要的地位，不但是一个基本的数学概念，而且也是数学分析的基石。两个重要极限又是极限中的重点和难点，所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。当然这部分内容学习起来有一定的难度，为了帮助同学们更容易掌握这部分内容，本文将结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广与应用。关键词：重要极限推广形式应用 Two important limits of popularization and application Abstract : Limit in the mathematical analysis occupies a very important position, but a basic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important. We should not only remember two important limit and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the basic form of two important limit its popularization and application. Keywords:Important limit Extended form application 极限在数学分析中占有很重要的位置，它贯穿了整个数学分析的内容，是积分和微分的基石，也是一个基本概念，而利用两个重要极限1sin lim 0 =→x x x 和e x x x =+∞→)1 1(lim 来求极限是极限内容中的重点和难点。运用两个重要极限解某一类极限问题时不仅可

两个重要极限试题

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限x x x sin lim 0 → 问题1：观察当x →0时函数的变化趋势： x (弧度) 0.50 0.10 0.05 0.04 0.03 0.02 ... x x sin 0.9585 0.9983 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 ... 当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x x x sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+ -→-→．综上所述，得一．1sin lim 0=→x x x ． 1sin lim 0=→x x x 的特点： (1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 ； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 a x →lim ()[]()x x ??sin =()()[]() x x x ???sin lim 0→=1．例1 求x x x tan lim 0→．解 x x x tan lim 0→=111cos 1 lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x ．例2 求x x x 3sin lim 0→．解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t t t x x x t x 令．例3 求20cos 1lim x x x -→．解 2 0cos 1lim x x x -→=2 12 2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02 202 2 0=??==→→→x x x x x x x x x x x ．例4 求x x x arcsin lim 0→．

(完整版)1极限存在准则-两个重要极限

第一章第六节极限存在准则两个重要极限【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（3分钟）。首先给出极限存在准则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（10分钟）；课堂练习（5分钟）。【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限 1、∑ =∞ →+1000 12 1lim i n i n 1000个0相加，极限等于0。 2、∑ =∞ →+n i n i n 1 21lim 无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、n n x ∞ →lim ，其中n x = 1x = 对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则 1. 夹逼准则准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件: , lim ,lim )2() 3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n n n n ===≤≤∞ →∞ →Λ 那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞ →lim . 证：,, a z a y n n →→Θ使得,0,0,021>>?>?N N ε ,1ε<->a y N n n 时恒有当 ,2ε<->a z N n n 时恒有当

1-7-两个重要极限练习题

1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限x x x sin lim 0 → 问题1：观察当x →0时函数的变化趋势：当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+ →0lim x x x sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () sin(lim sin lim 00 x x x x x x --=+ - →-→．综上所述，得一．1sin lim 0 =→x x x ． 1sin lim 0 =→x x x 的特点： (1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 0；

(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 a x →lim ()[] () x x ??sin =() ()[]() x x x ???sin lim 0→=1．例1 求x x x tan lim 0 →．解 x x x tan lim 0→= 111cos 1 lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x ．例2 求x x x 3sin lim 0 →．解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 0 ==→→t t t x x x t x 令．例3 求2 cos 1lim x x x -→．解 2 0cos 1lim x x x -→=2 1 2 2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02 202 2 =??==→→→x x x x x x x x x x x ．例4 求x x x arcsin lim 0 →．解令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0．所以x x x arcsin lim 0 →=1sin lim 0 =→t t t ．例5 求3 sin tan lim x x x x -→．解 3 0sin tan lim x x x x -→= 3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim x x x x x x x x x x -? =-→→

对两个重要极限的重要性的认识

e x x x =+∞→)11(lim 1sin lim 0=→x x x 对两个重要极限的重要性的认识摘要：通过对两个重要极限重要性的理解和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。关键词：重要极限；重要性；证明；应用 1.绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限和时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。 2.两个重要极限的证明两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。 2.1第一个重要极限：1sin lim 0=→x x x 证明：作单位圆，如图1：