【精编范文】介值定理的证明-实用word文档 (9页)
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介值定理的证明
篇一:用介值定理证明原函数的存在性
用介值定理直接证明[?f(t)dt]'?f(x) a?
证明F(x??x)?F(x)??x??x
xf(t)dt,因为f(t)在[a,b]上连续,从而m?f(x)?M,
F(x??x)?F(x)F(x??x)?F(x)?M,从而存在x???x??x,使得=f(?)(介?x?x
F(x??x)?F(x)值定理)。lim=f(x) 所以F’(x)=f(x) ?x?0?xm?
篇二:介值定理的一些应用
介值定理的一些应用
摘要:介值定理是连续函数的一个很重要的定理。本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。介值定理不但可以证明方程根的存在性,而且可以判断方程根的个数,还能判断方程根的范围。文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。最后举例说明介值定理在生活中的应用。关键词:介值定理方程不等式应用
介值定理是一个简单的定理,但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。此外,我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一,了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。
介值性定理:设函数f(x)在闭区
间?a,b?上连续。并且函数f?a?与函数f?b?不相等。如果?是介于f?a?和f?b?之间的任何实数f?a?
?f?b?,则至少存在一点x0??a,b?使得f
???f?b?
或f?a?
??
?x.0???.
推论:根的存在定理如果函数f(x)在闭区间?a,b?上连续,并且f?a?和
f?b?满足f?a?f?b??0,那么至少存在一点x0,使得f?x.0??0.
即是方程f?x?=0在?a,b?内至少有一个根。
1.介值定理在方程根的问题上的应用
利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。可以利用此定理来解决方程根是否存在,根的个数和根的范围等的问题。1.1介值定理证明方程根存在性
证明类似方程f?x?=g?x?在区间至少存在一个根的问题总是可以转化为连续函
数F?x?=f?x??g?x?的零点问题,一般可以利用根的存在定理来解决这类的问题。
例1 证明:函数f?x?在区间?0,2a?上连续并且函数f?0?=f?2a?。那么方
程f?x?=f?x?a?在?0,a?内至少有一个根。证明:设
F?x?=f
?x??f?x?a?,
函数F?x?在区间?0,a?上面连续,并且
F?0?=f?0??f?a?,
F?a??f?a??f?2a?=f?a??f?0?,
如果f?0??f?a?=0,那么x=0就是方程f?x?=f?x?a?的一个根;如果
f?0??f?a??0,那么F?0?F?a??0。根据根的存在定理可以得到,在
?a,b?内至少存在一点c,使得
c?a?0,F?c??f??c??f?
所以方程f?x?=f?x?a?在?0,a?至少存在一个根。
例2 证明:任一实系数奇次方程至少有一个实根。证明:设
f
?x?=a0xn?a1xn?1???an?1x?an,
则
?anan?
limf?x??lixm?a0????????x???x???xxn??
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x???
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lixm?a0?n???n????x???xxn??
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?x????可得任给M?0,存在N?0,当X?N时,f?x??M?0,x???
limf?x????可得任给M?0,存在N'?0,当X?N'时,f?x?
?M?
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0,
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?上连续,并且f?N'?1??0,f?N'?1??0。又f?x?在?N?1,N?1?? 根据根的存在定理即存在一点x0??N'?1,N?1?,使得
f?x0??0,
所以f?x?至少有一个实根。 1.2介值定理推断方程根个数