数学期望在物流管理中的应用
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数学期望在物流管理中的应用
[摘要] 文章通过实例介绍了数学期望在物流管理活动中选择最优生产批量、最优库存量、最佳进货量等方面的
应用, 说明了数学期望在物流决策中的重要作用。
[关键词] 数学期望; 经济决策; 应用
[中图分类号] F253[文献标识码] A[文章编号] 1005 - 6432 (2009) 19 - 0045 - 02
Some Applica tions Rela ted toMa thema tica l Expecta tion in Log isticsManagemen t
ZHANG Li2ya , LU Zh i2hu i
(Department of Economics andManagement, Gansu Lianhe University, Lanzhou 730000, China) Abstract: T h is paper in troduces examp les of m athem atical exp ecta tion in the logistics m anagem en t activities by choosing
the op tim a l batch size, choose the best stocks, such as choosing the best p u rchase app lica tion vo lum e on the m a them a tica l ex2
pectation in the logistics of an importan t role in decision2m aking1
KeyWords: m athem atical exp ectations; econom ic decision2m ak ing; app lication 我们知道, 概率论是从数量上研究随机现象统计规律
性的学科, 而随机变量的分布函数能够全面地反映随机变
量的统计规律性。但在诸多的经济管理工作中, 一方面由
于求随机变量的分布函数并非易事, 而且对于某些实际问
题来说并不需要对随机变量的变化进行全面的描写, 只需
知道能反映随机变量的某些重要的数字特征即可。另一方
面由于有些常用的分布, 如正态分布, 泊松分布等, 它们
的分布只依赖几个参数, 而这些参数正是分布的某种数字
特征。因此, 研究随机变量的数字特征在理论上、实际中
都有重要的意义。在统计分析中, 数学期望是随机变量的
重要的数字特征之一, 尤其是它在经济管理工作中已成为
行之有效的有力工具。本文就数学期望的提出及其在物流
管理活动中的一些应用阐明一点粗略的见解。
1 一般随机变量的数学期望
定义假设随机变量ζ的分布函数为F ( x) , 若∫
+≦
- ≦
| x | dF ( x) < ≦则记
E (ζ) = ∫
+≦
- ≦
xdF ( x) (1) 称E (ζ) 为ζ的数学期望。
当ζ为离散型随机变量时, 则(1) 式变为E (ζ) =
Σ
≦
t =0
xt P{ζ= xt } ,称为离散型随机变量的数学期望。
当ζ为连续型随机变量时, 则(1) 式变为E (ζ) =
∫
+≦
- ≦
xf ( x) dx,称为连续型随机变量的数学期望。其中f ( x)
为连续型随机变量ζ的密度函数。
当ζ是连续型随机变量, 其概率密度是f ( x) , 若积分
∫
+≦
- ≦
g ( x) f ( x) d ( x) 绝对收敛,则随机变量η= g (ζ) 的数学
期望为E (η) = E[ g (ζ) ] = ∫
+≦
- ≦
g ( x) f ( x) dx 。
2 数学期望的应用
数学期望无论从生产计划, 还是从物流决策来看都是
至关重要的。在物流管理活动中, 人们往往不自觉地利用
它。利用它来解决物流管理中诸如生产决策、最优库存、
最佳进货量等难以解决的问题, 为物流决策提供科学的解
决方案, 并提高企业物流管理水平和效率。以下通过具体
的实例来说明数学期望在物流管理中的应用。
211决定生产批量问题
决定生产批量问题是风险型经济决策问题。这种经济
决策问题是物流企业进行生产决策经常遇到的。选择何种
方案, 多少产量直接关系到企业成本的控制, 收益的高
低, 这些问题都是关系到企业管理和运营的重大问题, 同
时也困扰很多管理者。简易可行的解决方法就是利用期望
收益最大的原则进行方案选择: 即进行备选方案的收益
(或损失) 比较, 选择收益(或损失) 最大(最小) 的方
案。实例如例1:
例1某厂决定今后5年内生产某电子产品的生产批
量, 以便及早做好生产前的各项准备工作。根据以往销售
统计资料及市场调查和预测得知: 未来市场出现销路好、
销路一般、销路差三种状态的概率分别为013、015 和
012, 若按大、中、小三种不同生产批量投产, 今后5年
张丽娅, 等: 数学期望在物流管理中的应用物流管理
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不同销售状态下的益损值如下表所示:
试作出分析, 以确定最佳生产批量。
生产方案决策问题损益表
行动方案
销路好销路一般销路差
013 015 012
大批量生产益损ζ1 20 14 - 2
中批量生产益损ζ2 12 17 12
小批量生产益损ζ3 8 10 10
解: 比较期望益损法是常用的决策方法之一, 下面算
出每一方案的期望益损:
E (ζ1 ) = 013 ×20 + 015 ×14 + 012 ×( - 2) = 1216
E (ζ2 ) = 013 ×12 + 015 ×17 + 012 ×12 = 1415
E (ζ3 ) = 013 ×8 + 015 ×10 + 012 ×10 = 914
E (ζ2 ) 比E (ζ1 ) 和E (ζ3 ) 均大, 所以认为选择中批量
生产方案为优。
212选择最优库存量
库存量过大所产生的问题: 增加仓库面积和库存保管
费用, 从而提高了产品成本; 占用大量的流动资金, 造成资金呆滞, 既加重了货款利息等负担, 又会影响资金的时间价值和机会收益; 造成产成品和原材料的有形损耗和无形损耗; 造成企业资源的大量闲置, 影响其合理配置和优化; 掩盖了企业生产、经营全过程的各种矛盾和问题, 不利于企业提高管理水平。
库存量过小所产生的问题: 造成服务水平的下降, 影
响销售利润和企业信誉; 造成生产系统原材料或其他物料供应不足, 影响生产过程的正常进行; 使订货间隔期缩短, 订货次数增加, 使订货(生产) 成本提高; 影响生
产过程的均衡性和装配时的成套性。
当企业面对库存问题时, 企业管理人员可以利用数学
期望的性质与特征, 决定最佳库存量, 以此来减少企业成本, 提高企业对市场的反应能力。实例如例2:
例2一商场某种食品的进价为65元/千克, 零售价
为70元/千克, 若卖不出去, 则削价20%处理, 如供应
短缺, 有关部门每千克罚款10元。已知客户对该食品的需求量ζ服从[ 20000, 80000 ] 上的均匀分布, 求该商场
在春节期间对该食品的最优库存策略。
解: 设库存量为y,则20000 ≤y ≤80000,库存量为y
时所得利润为
g (ζ) =
5y - 10 (ζ- y) y ≤ζ≤80000
5ζ- 9 ( y - ζ) 20000 ≤ζ≤y
期望利润为E[ g (ζ) ] =
1
60000
[ ∫
y
2000
(14ζ- 9y)
dζ+ ∫
80000
y
(15y - 10ζ) dζ]
=
1
60000
( - 12y2 + 1380000y - 3148 ×1010 )
令
dE [ g (ζ) ]
dy
= 0, 可得y = 57500, 即当库存量为
57500千克时期望利润最大,且最大利润为81250。
213 选择最佳进货量
商场要进某种商品, 作为商场而言, 必定要考虑准备
多少货源, 既能满足市场需求, 又不会产生积压, 使资金使用最佳、收益最优。在概率论中, 运用数学期望的概念, 此问题可以从平均收益, 即期望着手处理。实例如例3:
例3设某种商品每周的需求量ζ是服从区间[ 10,
30 ] 上均匀分布的随机变量, 而经销的商场进货数量为区间[ 10, 30 ] 中的某一整数。商场每销售一单位商品可获利500元; 若供大于求则削价处理, 每处理一单位商品亏损100元; 若供不应求, 则可从外部调剂, 此时每一单位商品仅获利300元。为使商场所获利润期望值不少于9280元, 试确定最少进货量。
解: 设进货量为a,利润为η, 则利润函数为
η= g (ζ) =
500a + 300 (ζ- a) a <ζ≤30
500ζ- 100 ( a - ζ) 10 ≤ζ≤a
期望利润为E (η) = ∫
30
1
20
g (ζ) dζ
=
1
20 ∫
a
(600ζ- 100a) dζ+
1
20 ∫
30
a
(300ζ+ 200a) dζ
= - 715a2 + 350a + 5250
依题意有: E (η) = - 715a2 + 350a + 5250 ≥9280
解得: 20
2
3
≤a ≤26
故利润期望值不少于9280元的最少进货量为21单位。
3 结束语
以上通过对实际案例的分析表明, 当企业面对选择最
优生产批量、选择最优库存量、选择最佳进货量等物流问
题时, 可以在充分预见这些问题中面临的变数的基础上,
利用经济数学的基本原理和方法来量化物流管理中定性的
问题。即只要企业的物流管理和控制人员懂得应用数学期
望的性质与特征, 并能够加以应用, 就能既保证客户服务
水平, 又能大幅度降低企业成本, 从而提高收益。
参考文献:
[ 1 ] 张丽娅, 苏文龙, 张晓燕1经济数学[M ] 1 哈尔滨: 东
北林业大学出版社, 2007 (6) 1
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[ 4 ] 王建蓉1数学在经济管理中的作用[ J ] 1 青海师专学报(自然科学版) , 2002 (5) 1
[基金项目] 2009 - 03 - 12
[基金项目] 2008年度甘肃联合大学教改项目
[作者简介] 张丽娅(1965—) , 女, 甘肃兰州人, 副教授, 研
究方向: 经济数学; 卢志辉( 1979—) , 男, 甘肃兰州人, 讲师, 研究方向: 物流管理。
物流管理物流与采购研究2009年第19期(总第530期)__
数学期望的计算及应用
数学期望的计算及应用 数学与应用数学111 第四小组 引言： 我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即∑∞ == 1 )(k k k p x X E ；2. 应用随机变量函数的期望公式 ∑∞ ==1 )())((k k k p x q x q E 3. 利用期望的有关性质。但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将 介绍一些解决这些难题的简单方法。在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。 下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。 1. 变量分解法 ] 1[ 如果可以把不易求得的随机变量X 分解成若干个随机变量之和,应用)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++再进行求解得值， 这种方法就叫做变量分解法。这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。 例题1 ： 从甲地到乙地的旅游车上载有20位旅客，自甲地开出，沿途有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车，以X 表示停车次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的) 分析 ： 汽车沿途10站的停车次数X 所以可能取值为0，1，….，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X)，则需要分别计算{X=0}，{X=1}，…，{X=10}等事件的概率，计算相当麻烦。注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1对应起来，映入随机变量i X 每一种结果的概率较易求得。把X 分解成若干个随机变量i X 之和，然后应用公式)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++就能最终求出E(X)。
数学期望在生活中的应用
数学期望在生活中的应用 王小堂保亭中学 摘要：数学期望是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。通过几个例子,阐述了概率论与数理统计中的教学期望在生活中的应用,文章内容包括决策、利润、彩票、医疗等方面的一些实例，阐述了数学期望在经济和实际问题中颇有价值的应用。 关键词：随机变量，数学期望，概率，统计 数学期望(mathematical expectation)简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，在经济管理工作中有着重要的应用。本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。 随机变量的数学期望值： 在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。） 单独数据的数学期望值算法： 对于数学期望的定义是这样的。数学期望 E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则：E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn) 很容易证明E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。 1 决策方案问题 决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。具体做法为：如果知道任一方案Ai(i=1,2,…m)在每个影响因素Sj(j=1,2,…,n)发生的情况下，实施某种方案所产生
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《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
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数学归纳法及其应用举例 【本章学习目标】 人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。 本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。 （2）研究性课题：杨辉三角。 （3）数列的极限。 （4）函数的极限。 （5）极限的四则运算。 （6）函数的连续性。 本章难点内容是： （1）数学归纳法的原理及其应用。 （2）极限的概念。 【基础知识导引】 1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3．掌握数学归纳法的一些简单应用。 【教材内容全解】 1．归纳法
前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。 对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。 （1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。 （2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2．数学归纳法 在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论 有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。 由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。 第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。 第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k 时，等式 成立，就是。那么， 。这就是说，如果n=k 时等式成立， 那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。 在证明传递性时，应注意： （1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。 （2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。 3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。
高中数学《数学归纳法及其应用举例》教学设计附反思
课题：数学归纳法及其应用举例 【教学目标】 知识与技能： 1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质; 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)． 3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法: 1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想; 2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法; 3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感、态度、价值观: 1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神； 2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神； 3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神； 4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用. 【教学难点】 数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学过程】 一、创设情境，启动思维 情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等； 教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常
数学期望在生活中的应用原文
一、数学期望的定义及性质 （一）数学期望分为离散型和连续型 1、离散型 离散型随机变量的一切可能的取值Xi与对应的概率Pi(=Xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（X）。数学期望是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2)+ …… + Xn*P(Xn)。X1,X2,X3，……，Xn 为这几个数据，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi),则：E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2）+ …… + Xn*P(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2）+ …… + Xn*fn(Xn)。 2、连续型 连续型则是：设连续性随机变量X的概率密度函数为f（X），若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。若随机变量X的分布函数F(X)可表示成一个非负可积函数f(X)的积分，则称X为连续随机变量，f(X)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为连续型随机变量。 （二）数学期望的常用性质 1.设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）； 2.设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）； 3.设X,Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。 对于第一条性质，假设E（X）你的考试成绩，C为你们全班人数，则你们全班总分的期望等于全班人数乘以个人的期望，这很好理解。 对于第二条性质，E（X）为你的考试成绩，E(Y)是小明的考试成绩，你和他成绩总和的期望当然等于你和他的期望值和。 对于第三条性质，我们一再强调是独立的，也就是相互没有关联，有关联是肯定是不是不等的。
条件数学期望及其应用
实用文档 文案大全条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matrix and it's application Abstract：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it's application in geometry and in physical. Keywords：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言 在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各 点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积 分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都 是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具. 1条件数学期望 1.1条件数学期望的定义 定义1设X是一个离散型随机变量，取值为},,{21?xx，分布列 为},,{21?pp.又事件A有0)(?AP，这时 ,2,1,)()}({)|(|??????iAPAxXPAxXPP iiAi
为在事件A发生条件下X的条件分布列.如果有 ???Aiii px| 则称 ??． Aiii pxAXE|]|[ 为随机变量X在条件A下的条件数学期望（简称条件期望）． 定义2设X是一个连续型随机变量，事件A有0)(?AP，且X在条件A 之 实用文档 ??????dxAXxf)|(称为随机变量文案大全下的条件分布密度函数为)|(Axf．若 X在条件A下的条件数学期望． 定义3设),(YX是离散型二维随机变量，其取值全体为 },2,1,),,{(??jiyx ii， 联合分布列为 ?,2,1,),,(????jiyYxXPp iiij， 在i yY?的条件下X的条件分布列为?,2,1),|(|????iyYxXPp iiji若 ???jiii px|， 则 ??? jiiii pxyYXE|]|[ 为随机变量X在i yY?条件下的条件数学期望． 定义4 设),(YX是连续型二维随机变量，随机变量X在yY?的条件下的条件密度函数为)|(|yxp YX，若 ??????dxyxpx YX)|(|， 则称
数学期望的计算方法及其应用
数学期望的计算方法及其应用
数学期望的计算方法及其应用 摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。 关键词：离散型随机变量连续型随机变量数学期望计算方法 ABSTRACT：
第一节离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1利用数学期望的定义，即定义法[1] 定义：设离散型随机变量Ｘ分布列为 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)( 1i n i i x p x ∑=
注意：这里要求级数)( 1i n i i x p x ∑ = 绝对收敛，若级数 []2 例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 解设Ｘ表示该推销人用船运送货物时每箱可得钱数，则按题意，Ｘ的分布为 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得= ) (X E10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2公式法 对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松
浅谈数学归纳法在高考中的应用
1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发
数学期望的计算方法及其应用概要
数学期望的计算方法及其应用 摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。 关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ： 第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用 1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1] 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)= )(1 i n i i x p x ∑=
学期望不存在 [] 2 例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得 =)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元 1.2 公式法 对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。 （1） 二点分布：X ~??? ? ??-p p 101 ，则()p X E = （2） 二项分布：),(~p n B X ，10 p ，则np X E =)( （3） 几何分布：)(~p G X ,则有p X E 1 )(= （4） 泊松分布：) (~λP X ，有λ=)(X E （5） 超几何分布： ),,(~M N n h X ,有N M n X E =)( 例2 一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确分别求出甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望. 解 设参赛者甲正确完成的题数为X ,则X 服从超几何分布,其中 6,4,3N M n ===, 设参赛者乙正确完成的题数为Y ,则 )32,3(~B Y ,23 2 3)(=?==np Y E 1.3 性质法
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用 姓名 甘国优 指导教师 赵慧炜 中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力． 关键词：数学归纳法；步骤;证明方法． Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application ． Key words ：Mathematical induction; Steps ; Proof. 引言 演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法，他有着其他方法所不能代替的作用，也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件：①当1n =时，这个命题为正确的（奠基），②当n k =时，这个命题也为正确的．推出当+1n k =时，这个命题也为正确的（递推）．通过“递推”链接，实现从特殊到一般的转化，抽象的进行数学归纳.首先
数学期望在经济生活中的应用
数学期望在经济生活中的应用 【摘要】数学期望是随机变量的重要数字特征之一。本文通过探讨数学期望在决策、利润、委托代理关系、彩票等方面的一些实例，阐述了数学期望在经济和实际问题中的应用。 【关键词】随机变量数学期望经济应用 数学期望(mathematical expectation)简称期望．又称均值，是概率论中一项重要的数字特征．在经济管理工作中有着重要的应用。本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。 一．决策方案问题 决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。具体做法为：如果知道任一方案A(i=1，2，?，m)在每个影响因素S(j=1．2，?，n)发生的情况下，实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率，则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案。 1．风险方案 假设某公司预计市场的需求将会增长。目前公司的员工都满负荷地工作着．为满足市场需求，公司考虑是否让员工超时工作或以添置设备的办法提高产量。假设公司预测市场需求量增加的概率为P，同时还有1-p的可能市 是合算的。然而现实是不知道哪种情况会出现，因此要比较几种方案获利的 期望大小。用期望值判断，有：E(A 1)=30(1-p)+34p，E(A 2 )=29(1-p)+42p， E(A 3)=25(1-p)+44p。事实上．若p=0.8，则E(A 1 )-33.2（万）， E(A 2)=39.4(万)，E(A 3 )=40.2(万)，于是公司可以决定更新设备，扩大生产。 若p=O.5，则E(A 1)=32(万),E(A 2 )=35.5(万)，E(A 3 )=34.5(万)，此时公司 可决定采取员工超时工作的应急措施。由此可见，只要市场需求增长可能性在50％以上．公司就应采取一定的措施，以期利润的增长。 2．投资方案 假设某人用10万元进行为期一年的投资．有两种投资方案：一是购买股票：二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济绝势，若经济形势
数学期望性质与应用举例
5.数学期望的基本性质 利用数学期望的定义可以证明，数学期望具有如下基本性质： 设ξ, η为随机变量，且E(ξ)，E(η)都存在，a，b，c为常数，则 性质1.E(c)=c； 性质2.E(aξ)=aE(ξ)； 性质3.E(a+ξ)=E(ξ)+a； 性质4.E(aξ+b)=aE(ξ)+b； 性质5. E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)． 例3.5.7设随机变量X的概率分布为: P(X =k)=0.2 k =1,2,3,4,5. 求E(X),E(3X+2)． 解. ∵P(X=k)=0.2 k=1,2,3,4,5 ∴由离散型随机变量的数学期望的定义可知 E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3， E(3X+2)=3E(X)+2=11． 例3.5.8. 设随机变量X的密度函数为: 求E(X),E(2X-1)． 解.由连续型随机变量的数学期望的定义可知 =-1/6+1/6=0． ∴E(2X-1)=2E(X)-1=-1． 我们已经学习了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望,在随机变量的数字特征中,除数学期望外,另一重要的数字特征就是方差.
4.1.2 数学期望的性质 （1）设是常数，则有。 证把常数看作一个随机变量，它只能取得唯一的值，取得这个值的概率显然等于1。所以，。 （2）设是随机变量，是常数，则有 。 证若是连续型随机变量，且其密度函数为。 。 当是离散型随机变量的情形时，将上述证明中的积分号改为求和号即得。 （3）设都是随机变量，则有 。 此性质的证明可以直接利用定理4.1.2，我们留作课后练习。这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况，即 。 （4）设是相互独立的随机变量，则 。 证仅就与都是连续型随机变量的情形来证明。设的概率密度分别为 和，的联合概率密度为，则因为与相互独立，所以有 。 由此得
高中数学《数学归纳法及应用举例》说课稿
《数学归纳法及应用举例》第一课说课方案 一、说教材 （一）教材分析 本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了 由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为 一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。 数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本 节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。 （二）教学目标 学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问题的主动探究，但主动提出问 题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何 让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。 1.知识目标 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 2.能力目标 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。 3.情感目标 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 （三）教学重难点 根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点： 1.重点 （1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 2.难点 （1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。 二、说教法 本课采用交往式的教学方法。交往教学法的特点是：在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同 探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作;既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动 性、平等性、开放性、合作性。这种教学方法的优点是学生心态开放，主体性和主动性凸现，独立的个性 得到张扬，因而创造性得到解放。 三、说学法 本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习。本课学生的 学习主要采用下面的模式进行： 观察情景提出问题分析问题猜想与置疑（结论或解决问题的途径） 论证应用。 探究学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程。学生在探究问题过程中学习，在探究问题 的过程中激发学生的好奇心和创新精神;在探究过程中学习科学研究的方法;在探究过程中形成坚韧不拔
数学归纳法在离散数学中的应用
数学归纳法在离散数学中的应用 在由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法称为归纳法。而 数学归纳法则是用于证明与自然数n 有关的结论的归纳法：如果我们能够证明当n=1时结论是成立的，而且我们能用相同的方法由n=1命题成立证得n=2命题也成立；由n=2命题成立证得n=3成立；由n=3命题成立证得n=4成立…而且这个过程显然可以无穷进行下去。则我们就断言对于所有自然数n 命题都是成立的。数学归纳法的一般形式为，关键是归纳： 初始步）：先证n ＝1时，结论成立； 归纳步)：再证若假设对自然数n ＝k 结论成立（或者对所有小于等于n 的 自然数k 结论都成立），则对下一个自然数n ＝k+1结论也成立； 结论）： 根据初始步和归纳步的证明得出结论对所有自然数都成立。 当结论与多个自然数有关时这样一类题目的时候，要注意的一点就是对所要进行归纳的自然数的选择。 例1、对群
数学期望和方差的应用
２ＱＱ２±：箜！塑工 －学术－理论现代衾案一 数学期望和方差的应用 陈奕宏张鑫 （武警广州指挥学院广东广州５１０４４０） 摘要：本文主要讨论随机变量的数学期望和方差的性质，利用随机变量的对称性可简化求数学期望和方差的计算过程： 关键词：对称性数学期望方差 在教学过程中，由于很多同学对概牢论巾的定义和性质认识不深刻，冈此对概率论巾的问题存在许多认识误区，进一步影响了计算、证明能力。 性质ｌ对随机变量ｘ和ｙ，则有Ｅ（ｎｎ簟Ⅸ＋Ｅｙ①性质２设随机变量ｘ和ｙ相互独立，贝咿育层陇ｎ＝Ｅｘ?Ｅｙ②定义ｌ设Ｘ是一个随机变量，若ＥＩ肛删Ｉｚ存在，则称其为Ｘ的方差，记为Ｄｘ。即 Ｄｘ＝坦Ｉｘ—Ｅｘ】２③显然可得：们，－ＥｌＸ一以】２ ＝Ｅ瞄２—２ｘＥＸ＋（踊２］ ＝麟ｚ一（删）：④性质３设随机变量ｘ和ｙ相互独立，则有层孵ｙ：净Ｅ孵?Ｅｙ２⑤证明：设随机变量Ｘ和ｙ的联合分布密度为ｍ砂），｜ｊｌ《为ｘ和ｙ相互独立，有 “ｒ，ｙ）＝＾（掌）。，ｒ（ｙ） ．’．Ｅ（ｘ２ｙ２）＝Ｊ一。Ｊ一。工２ｙ２“ｒ，ｊ，）ｄ膏咖 ＝ｅｅｘ２ｙ２以（ｒ）厂ｒ（ｙ）如咖 ＝Ｃｘ２＾（工）如Ｃｙ２加）咖 ：Ｅｘ２Ｅ】，２⑥性质４设随机变量ｘ和ｌ，，ｎ和西为常数，则有Ｅ（口Ｘ２＋６ｙ２）＝ｎ露ｘ２＋６曰ｙ２（Ｄ证明：设随机变量ｘ和ｌ，的联合分布密度为厂（ｘ，ｊ，），则有 Ｅ似ｘ２＋６ｙ２）＝Ｊ＋。Ｊ一。（口工２＋６ｊ，２）“ｒ，ｊ，）ｄ＿咖 ＝ｅ仁ｎｘ２ｆｌｘ，，Ｍｘｄｙ＋ｅ仁ｂ矿ｆＩｘ，ｙⅪｘｄｙ ，＋∞，＋∞ｒ十ｏ，＋∞ ＝ｎ＼一。＼一亭２ｆＩｘ，如ｄｘｄ，＋ｂ１．。１一。旷ｆＩｘ，，Ⅺｘｄｙ ＝口ｆ）２【ｅ№ｊ，）ｄｙ】ｄｒ拍ｅｊ，２【Ｃ“础）ｄｘ协 ＝口仁量２【ｅ，（Ⅵ）ｄｙＪｄｘ柏ｅｊ，２【Ｃ，（础）ｄｘ坳 ＝ｎ尽２以（ｒ）ｄｙ拍Ｄ２加）ｄｙ ＝口ＥＸ２＋西Ｅｙ２ 掣狮，＝∥茗引ｍ，＝驴㈣’翟引 求Ｅ伍２＋ｙ２）。 解：Ｅ（ｘ２＋ｙ２）＝Ｅｘ２＋Ｅｙｚ（南公式⑦） ＝Ｉ：一４ｒ３出＋炒．１２ｙ２（１＋ｙ）咖《 性质５设随机变量ｘ和ｙ卡Ｈ互独立，则有 Ｄ（ｘ的＝Ｄｘ?Ｄｙ＋（Ｅ幻２?Ｄｌ，＋（层ｙ）２?Ｄｘ⑧ 证明：ＯＤⅨｙ）＝层（ｘｙ）２一ＩＥ（ｘｙ）Ｊ２ ＝Ｅ（Ｘ２ｙ２）一（ＥＸ）２（Ｅ】，）２ 南公式⑤，所以 Ｄ（Ｘｎ＝ＥＸ２Ｅｙ２一（ＥＸ）２（Ｅ”２ ＝曰ｘ２Ｅｌ，２一（Ｅ的２ＥＰ＋（Ｅ的２（Ｅｌ，）２一（Ｅ抑２僻ｙ）２ ＝【层ｘ２一（ＥＸ）２】ＥＰ＋（Ｅｘ）２【（Ｅ】，）２一（日ｙ）２】 矗剪陋妒＋（雕净汗钮曙（联）辚苦帮 ＝ｎ碰Ｉｙ＋（ＥＹ）２Ｄｙ＋（Ｅｙ）２蹦 显然，若随机变量ｘ和ｙ独立，则可得Ｄ（ｘｎ＞Ｄｘ?Ｄｙ⑨例设随机变量ｘ和ｌ，相互独立，均服从Ⅳ（Ｏ，１）分布，ｆ＝ｘ—ｙ，叩＝ｘｙ，试求１）Ｄ叩；２）ｐ￡。。 解：１）方法一 ＯＸ和ｙ相互独立 ．‘．Ｄ即＝Ｄ（ｘｙ）＝Ｅ（ｘｌ，）２一【层（ｘ聊】２ ＝Ｅ（ｒ—ｌ，）２一（以Ｅ的２ ＝Ｅ舻ＥＰ（由公式⑤） ＝【脚“（Ｅ的２】【Ｄｙ；（Ｅ玢２】＝１ 方法二 ０Ｘ和ｙ相互独立 ．?．Ｄｑ＝Ｄ（ｘ】，）＝似Ｄｙ＋（Ｅ柳２Ｄｙ＋（目】，）２Ｄｘ＝ｌ（由公式⑧）２）ｏｐ。：』业 ｑ厩丽 又ＯｃｏＶ（ｆ，＇７）＝层【（ｆ—Ｅｆ）（＇７一露７７）ｊ ＝层（ｘ２ｙ）一Ｅ（ｘＰ）（把ｆ＝ｘ—ｙ，’７＝ｘｙ代人） 曲（南ｘ与ｒ鹃对称性）综上所述，本文主要讨论连续型随机变量的数字特征的性质，结合对随机变量的对称性可解决存概率论巾一些常见的求数［字特征的问题。 参考文献： …盛骤等编概率论与数理统计高等教育出版社２００１．１２口 现代企业教育ＭＯＤＥＲＮＥＮＴＥＲＰＲＩＳＥＥＤＵＣＡＴＩＯＮ１１７ 万方数据