初中数学竞赛辅导资料(1)
初中数学竟赛辅导资料(1)
数的整除(一)
甲内容提要:
如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.
①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100-2=98(能被7整除)
又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除) 能被11整除的数的特征:
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100-1=99(能11整除)
又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除) 乙例题
例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y
解:x,y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除,∴y=6. ∵328+92x =567,∴x=3
例2己知五位数x 1234能被12整除, 求X
解:∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除, 当1+2+3+4+X 能被3整除时,x=2,5,8 当末两位X 4能被4整除时,X =0,4,8
∴X =8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
解:五位数字都不相同的最小五位数是10234,
但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行 调整末两位数为30,41,52,63,均可,
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
丙练习
1分解质因数:(写成质因数为底的幂的連乘积)
①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296
987能被3整除,那么a=_______________
2若四位数a
12X能被11整除,那么X=__________-
3若五位数34
35m能被25整除
4当m=_________时,5
9610能被7整除
5当n=__________时,n
6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________
7能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最小四位数是_________ 88个数:①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972中,能被下列各数整除的有(填上编号):
6________,8__________,9_________,11__________
9从1到100这100个自然数中,能同时被2和3整除的共_____个,
能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10由1,2,3,4,5这五个自然数,任意调换位置而组成的五位数中,不能被3整除的数共有几个?为什么?
1234能被15整除,试求A的值。
11己知五位数A
12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13在十进制中,各位数码是0或1,并能被225整除的最小正整数是____(1989年全国初中联赛题)
初中数学竞赛辅导资料(2)
倍数约数
甲内容提要
1两个整数A和B(B≠0),如果B能整除A(记作B|A),那么A叫做B的倍数,B 叫做A的约数。例如3|15,15是3的倍数,3是15的约数。
2因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。如0是7的倍数,7是0的约数。
3整数A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,……都是A的倍数,例如5的倍数有±5,±10,……。
4整数A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1,±2,±3,±6。
5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。
7在有余数的除法中,
被除数=除数×商数+余数若用字母表示可记作:
A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数且B≠0时,A-R能被B整除
例如23=3×7+2则23-2能被3整除。
乙例题
例1写出下列各正整数的正约数,并统计其个数,从中总结出规律加以应用:2,22,23,24,3,32,33,34,2×3,22×3,22×32。
解:列表如下
那么合数A的正约数的个是(m+1)(n+1)
例如求360的正约数的个数
解:分解质因数:360=23×32×5,
360的正约数的个数是(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个)
例2用分解质因数的方法求24,90最大公约数和最小公倍数
解:∵24=23×3,90=2×32×5
∴最大公约数是2×3,记作(24,90)=6
最小公倍数是23×32×5=360,记作[24,90]=360
例3己知32,44除以正整数N有相同的余数2,求N
解:∵32-2,44-2都能被N整除,∴N是30,42的公约数
∵(30,42)=6,而6的正约数有1,2,3,6
经检验1和2不合题意,∴N=6,3
例4一个数被10余9,被9除余8,被8除余7,求适合条件的最小正整数
分析:依题意如果所求的数加上1,则能同时被10,9,8整除,所以所求的数是10,9,8的最小公倍数减去1。
解:∵[10,9,8]=360,
∴所以所求的数是359
丙练习2
1,12的正约数有_________,16的所有约数是_________________
2,分解质因数300=_________,300的正约数的个数是_________
3,用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。
4,一个三位数能被7,9,11整除,这个三位数是_________
5,能同时被3,5,11整除的最小四位数是_______最大三位数是________
6,己知14和23各除以正整数A有相同的余数2,则A=________
7,写出能被2整除,且有约数5,又是3的倍数的所有两位数。答____
8,一个长方形的房间长1.35丈,宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满,问正方形最大边长可以是几寸?若用整数寸作国边长,有哪几种规格的正方形瓷砖适合?
9,一条长阶梯,如果每步跨2阶,那么最后剩1阶,如果每步跨3阶,那么最后剩2阶,如果每步跨4阶,那么最后剩3阶,如果每步跨5阶,那么最后剩4阶,如果每步跨6阶,那么最后剩5阶,只有每步跨7阶,才能正好走完不剩一阶,这阶梯最少有几阶?
初中数学竞赛辅导资料(3)
质数合数
甲内容提要
1 正整数的一种分类:
质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数)。
合数的定义:一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正
整数叫做合数。
2 根椐质数定义可知
① 质数只有1和本身两个正约数, ② 质数中只有一个偶数2
如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2, 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,
3任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。 乙例题
例1两个质数的和等于奇数a (a ≥5)。求这两个数 解:∵两个质数的和等于奇数 ∴必有一个是2
所求的两个质数是2和a -2。
例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数 解:∵质数m 只含两个正约数1和m, 又∵(-1)(-m )=m
∴所求的两个整数是1和m 或者-1和-m. 例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30
求适合条件的a,b,c 的值 解:分解质因数:30=2×3×5
适合条件的值共有: ???
??===53
2c b a ???
??===352c b a ?????===523c b a ?????===253c b a ?????===325c b a ??
?
??===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即
abcd=2×3×5×7那么适合条件的a ,b ,c ,d 值共有24组,试把它写出来。 例4试写出4个連续正整数,使它们个个都是合数。 解:(本题答案不是唯一的)
设N 是不大于5的所有质数的积,即N =2×3×5 那么N +2,N +3,N +4,N +5就是适合条件的四个合数
即32,33,34,35就是所求的一组数。
本题可推广到n 个。令N 等于不大于n+1的所有质数的积,那么N +2, N +3,N +4,……N +(n+1)就是所求的合数。
丙练习3
1, 小于100的质数共___个,它们是__________________________________ 2, 己知质数P 与奇数Q 的和是11,则P =__,Q =__ 3, 己知两个素数的差是41,那么它们分别是_____ 4, 如果两个自然数的积等于19,那么这两个数是___
如果两个整数的积等于73,那么它们是____ 如果两个质数的积等于15,则它们是_____
5, 两个质数x 和y ,己知 xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__. 6, 三个质数a,b,c 它们的积等于1990.
那么 ??
?
??===c b a
7, 能整除311+513的最小质数是__
8,己知两个质数A 和B 适合等式A +B =99,AB =M 。 求M 及
B A +A
B
的值 9,试写出6个連续正整数,使它们个个都是合数。
10,具备什么条件的最简正分数可化为有限小数? 11,求适合下列三个条件的最小整数:
① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数
12,某质数加上6或减去6都仍是质数,且这三个质数均在30到50之间,
那么这个质数是___
13,一个质数加上10或减去14都仍是质数,这个质数是__。
初中数学竞赛辅导资料(4)
零的特性
甲内容提要
一,零既不是正数也不是负数,是介于正数和负数之间的唯一中性数。 零是自然数,
是整数,是偶数。
1, 零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如:海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高
收支衡可记作结存0元。
2, 零是判定正、负数的界限。
若a >0则a 是正数,反过来也成立,若a 是正数,则 a >0 记作 a >0 ? a 是正数 读作a >0等价于a 是正数 b<0 ? b 是负数
c ≥0 ? c 是非负数(即c 不是负数,而是正数或0)
d ≤0 ? d 是非正数 (即d 不是正数,而是负数或0)
e ≠0 ? e 不是0 (即e 不是0,而是负数或正数) 3, 在一切非负数中有一个最小值是0。
例如 绝对值、平方数都是非负数,它们的最小值都是0。 记作:|a|≥0,当a=0时,|a |的值最小,是0,
a 2≥0,a 2有最小值0(当a=0时)。 4, 在一切非正数中有一个最大值是0。
例如 -|X|≤0,当X =0时,-|X|值最大,是0,(∵X ≠0时都是负数), -(X -2)2≤0,当X =2时,-(X -2)2的值最大,是0。
二,零具有独特的运算性质
1,乘方:零的正整数次幂都是零。
2,除法:零除以任何不等于零的数都得零;
零不能作除数。从而推出,0没有倒数,分数的分母不能是0。
3,乘法:零乘以任何数都得零。即a×0=0,
反过来如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4,加法互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。
即a、b互为相反数?a+b=0
5,减法两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定,
若a-b=0,则a=b; 若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b。
反过来也成立,当a=时,a-b=0;当a>b时,a-b>0;当a
三,在近似数中,当0作为有效数字时,它表示不同的精确度。
例如近似数1.6米与1.60米不同,前者表示精确到0.1米(即1分米),误差不超过5厘米;后者表示精确到0.01米(即1厘米),误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下:
1.55≤近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605
乙例题
例1.两个数相除,什么情况下商是1?是-1?
答:两个数相等且不是0时,相除商是1;两数互为相反数且不是0时,相除商是-1。 例2.绝对值小于3的数有几个?它们的和是多少?为什么?
答:绝对值小于3的数有无数多个,它们的和是0。因为绝对值小于3的数包括大于-3并且小于3的所有数,它们都以互为相反数成对出现,而互为相反数的两个数相加得零。 例3.要使下列等式成立X 、Y 应取什么值?为什么? ①X (Y -1)=0, ② |X -3|+(Y +2)2=0
答:①根据任何数乘以0都得0,可知当X =0时,Y 可取任何数;
当Y =1时,X 取任何数等式X (Y -1)=0都是能成立。 ②∵互为相反数相加得零,而|X -3|≥0,(Y +2)2≥0, ∴它们都必须是0,即X -3=0且Y +2=0,
故当X =3且Y =-2时,等式|X |+(Y +2)2
=0成立。 丙练习4
1, 有理数a 和b 的大小如数轴所示:
b 0 a
比较下列左边各数与0的大小(用>、<、=号連接)
2a 0, -3b 0,
a 1 0, -
b 2
0, -a 2 0, -b 3 0, a+b 0, a -b 0, ab 0, (-2b)3 0,
b a 0, b
a - 0 2, a 表示有理数,下列四个式子,正确个数是几个?答:__个。
|a|>a, a 2> -a 2, a>-a, a+1>a
3, x 表示一切有理数,下面四句话中正确的共几句?答:__句。 ①(x -2)2有最小值0, ③ -|x+3|有最大值0, ② 2-x 2有最大值2, ④ 3+|x -1|有最小3。 4,绝对值小于5的有理数有几个?它们的积等于多少?为什么? 5, 要使下列等式成立,字母X 、Y 应取什么值?
①
X
=0, ②X (X -3)=0, ③|X -1|+(Y +3)2=0 6, 下列说法正确吗?为什么?
① a 的倒数是a 1 ②方程(a -1)X =3的解是X =1
3-a ③ n 表示一切自然数,2n -1表示所有的正奇数
④ 如果a>b, 那么m 2a>m 2b (a 、b 、m 都是有理数 ) 7, X 取什么值时,下列代数式的值是正数?
① X (X -1) ② X (X +1)(X +2)
初中数学竞赛辅导资料(5)
a n 的个位数
甲内容提要
.1. 整数a 的正整数次幂a n ,它的个位数字与a 的末位数的n 次幂的个位数字相同。例如20023与23的个位数字都是8。
2. 0,1,5,6,的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5,620的个位数是6。
其规律是:2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现,即24k+1与21,24K +2与22,24K +3与23,24K +
4与24的个位数是相同的(K 是正整数)。 3和7也有类似的性质。
4. 4,8,9的正整数次幂的个位数,可仿照上述方法,也可以用4=22,
8=23,9=
32转化为以2、3为底的幂。
5. 综上所述,整数a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律:
a 4K +
m 与a m 的个位数相同(k,m 都是正整数。
乙例题
例1 20032003的个位数是多少?
解:20032003与32003的个位数是相同的,
∵2003=4×500+3,
∴32003与33的个位数是相同的,都是7, ∴2003的个位数是7。
例2 试说明632000+1472002的和能被10整除的理由 解:∵2000=4×500,2002=4×500+2
∴632000与34的个位数相同都是1,1472002与72的个位数相同都是9, ∴632000+1472002的和个位数是0, ∴632000+1472002的和能被10整除。
例3 K 取什么正整数值时,3k +2k 是5的倍数? 从表中可知,当K =1,3时,3+2的个位数是5,
∵a m 与a 4n+m 的个位数相同(m,n 都是正整数,a 是整数) ;∴当K 为任何奇数时,3k +2k 是5的倍数。
丙练习5
1, 在括号里填写各幂的个位数(K 是正整数)
220 的个位数是 ( ) 45 的个位数是( )
330
的个位数是 ( ) 87 的个位数是( )
74K+1
的个位数是 ( )
311+79 的个位数是( ) 216×314的个位数是( ) 32k-1+72k-1的个位数是( )
72k -32k 的个位数是( ) 74k-1-64k-3的个位数是( ) 7710×3315×2220×5525的个位数是( )
2, 目前知道的最大素数是2216091-1,它的个位数是___。 3, 说明如下两个数都能被10整除的理由。
① 5353-3333 ② 19871989-19931991 4, 正整数m 取什么值时,3m +1是10的倍数?
5, 设n 是正整数,试说明2 n +7n+2能被5整除的理由。 6, 若a 4的个位数是5,那么整数a 的个位数是___
若a 4的个位数是1,那么整数a 的个位数是___ 若a 4的个位数是6,那么整数a 的个位数是___ 若a 2k-1的个位数是7,那么整数a 的个位数是___ 7, 12+22+32+……+92的个位数是__,
12+22+32+……+192的个位数是__,
12+22+32+……+292的个位数是__。
8. a,b,c 是三个连续正整数,a 2=14884,c 2=15376,那么b 2是( ) (A )15116,(B )15129,(C )15144,(D )15321
初中数学竞赛辅导资料(6)
数学符号
甲内容提要
数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义,即当我们把它规定为某种意义后,就不再表示其他意义。
数学符号一般可分为:
1, 元素符号:通常用小写字母表示数,用大写字母表示点,用⊙和△表示园和三角形等。
2, 关系符号:如等号,不等号,相似∽,全等≌,平行∥,垂直⊥等。 3, 运算符号:如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。 4, 逻辑符号:略
5, 约定符号和辅助符号:例如我们约定正整数a 和b 中,如果a 除以b 的商的整数
部份记作Z (
b a ),而它的余数记作R (b
a ), 那么 Z (310)=3,R (3
10)=1;又如设[]x 表示不大于x 的最大整数,那么[]2.5=5,[]2.5-=-6,??
????3
2=0,[]3-=-3。
正确使用符号的关健是明确它所表示的意义(即定义) 对题设中临时约定的符号,一定要扣紧定义,由简到繁,由浅入深,由具体到抽象,逐步加深理解。
在解题过程中为了简明表述,需要临时引用辅助符号时,必须先作出明确的定义,所用符号不要与常规符号混淆。 乙例题
例1设[]Z 表示不大于Z 的最大整数,<n>为正整数n 除以3的余数 计算:
①〔4.07〕+〔-73
2
〕-〈13;〉+〈2004〉 ②〈〔14.7〕〉+〔2
34>
<〕。
解:①原式=4+(-3)-1+0=0
②原式=<14>+〔
2
1
〕=2+0=2 例2①求19871988的个位数
②说明19871989-19931991能被10整除的理由 解:设N (x )表示整数x 的个位数,
① N (19871988)=N (74×
497)=N (74)=1
②∵N (19871989)-N (19931991)=N (74×497+1)-N (34×497+
3)
=N (71)-N (33)=7-7=0 ∴19871989-19931991能被10整除
由于引入辅助符号,解答问题显得简要明瞭。 例3.定义一种符号★的运算规则为:a ★b=2a+b 试计算:①5★3 ②(1★7)★4 解:①5★3=2×5+3=13
②(2×1+7)★4=9★4=2×9+4=22
例4 设a ※b=a(ab+7), 求等式3※x=2※(-8)中的x 解:由题设可知:
等式3※x=2※(-8)就是3(3x +7)=2〔2×(-8)+7〕 ∴9x+21=-18
∴x=-4
3
1 丙练习6
1,设Q <x >表示有理数x 的整数部分,那么Q <2.15>= Q <-12.3>= Q<-0.03>= Q <51>=
2,设{n }表示不小于n 的最小整数,那么{4.3}= {-2.3}=
{-2}= {-0.3}+{0.3}= 3,设〔m 〕表示不大于m 的最大整数
①若m=2 则〔m 〕= ② 若n= -3.5则〔n 〕= ③若-1<Y <0则〔Y 〕= ④若7≤b<8 则〔b 〕= ⑤若〔x 〕=4 则__≤x <__ ⑥若 n ≤C ①R (733)+R (2)= ②Z (733)+Z (52)= ③n(19891990)= 5,设n !表示自然数由1到n 的連乘积 例如5!=1×2×3×4×5=120 计算:①120÷3! ② )! 35(!3! 5- 6,设= 2 2 11b a b a = a 1b 2-a 2b 1 计算:① 21 43= ②11- 0 1-= 7,定义一种符号#的运算法则为a #b= b a b a ++22 那么 ① 3#2= ②2#3= ③(1#2)#3 = ④(-3)#(1#0)= 8,a,b 都是正整数,设a ⊕b 表示从a 起b 个連续正整数的和。 例如2⊕3=2+3+4 5⊕4=5+6+7+8 己知 X ⊕5=2005 求X 9. 设[x ]表示不大于x 数的最大整数且{}x =x -[x ] 求{}{}ππ-+ 10. 设[a ]表示不大于数a 的最大整数, 例如[2]=1,[-2]=-2 那么 [3x+1]=2x- 2 1 的所有的根的和是__(1987年全国初中联赛题) 初中数学竞赛辅导资料(7) 用字母表示数 甲内容提要和例题 1, 用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来,从具体的数字 计算到用抽象的字母概括运算规律上,是一种飞跃。 2, 用字母表示数时,字母所取的值,应使代数式有意义,并使它所表示的实际问题有意义。 例如①写出数a 的倒数 ②用字母表示一切偶数 解:①当a ≠0时, a 的倒数是 a 1 ②设n 为整数, 2n 可表示所有偶数。 3, 命题中的字母,一般要注明取值范围,在没有说明的情况下,它表示所学过的数,并且 能使题设有意义。 例题① 化简:⑴|x -3|(x<3) ⑵| x+5| 解:⑴∵x<3,∴x -3<0, ∴|x -3|=-(x -3)=-x +3 ⑵当x ≥-5时,|x +5|=x +5, 当x <-5时,|x +5|=-x -5(本题x 表示所有学过的数) 例② 己知十位上的数是a,个位数是b ,试写出这个两位数 解:这个两位数是10a+b (本题字母a 、b 的取值是默认题设有意义,即a 表示1到9的整数,b 表示0到9的整数) 4, 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时,一般左边作为题设,所用的字母是使 左边代数式有意义的,所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明。 例如用字母表示:①分数的基本性质 ②分数除法法则 解:①分数的基本性质是 am bm a b =(m ≠0),m a m b a b ÷÷= (m ≠0) a 作为左边的分母不另说明a ≠0, ② d c a b c d a b ?=÷(d ≠0) d 在左边是分子到了右边变分母,故另加说明。 5, 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式,不仅可从左到右顺用,还可从右到左逆 用;公式可以变形,变形时字母取值范围有变化时应加说明。例如: 乘法分配律,顺用a(b+c)=ab+ac, =?-)178********(8121724172-=1712 逆用5a+5b=5(a+b), 6.25×3.14-5.25×3.14=3.14(6.25-5.25)=3.14 路程S=速度V ×时间T , V= T S (T ≠0), T=V S (V ≠0) 6, 用因果关系表示的性质、法则,一般不能逆用。 例如:加法的符号法则 如果a>0,b>0, 那么 a+b>0,不可逆 绝对值性质 如果a>0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a 则a ≥0) 7, 有规律的计算,常可用字母表示其结果,或概括成公式。 例1:正整数中不同的五位数共有几个?不同的n 位数呢? 解:不同的五位数可从最大 五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数,即99999-9999=90000. 推广到n 位正整数,则要观察其规律 一位正整数,从1到9共9个, 记作9×1 二位正整数从10到99共90个, 记作9×10 三位正整数从100到999共900个, 记作9×102 四位正整数从1000到9999共9000个, 记作9×103 (指数3=4-1) …… …… ∴n 位正整数共9×10 n-1个 例2 _____________________________________________________ A C D E B 在线段AB 上加了3个点C 、D 、E 后,图中共有几条线段? 加n 点呢? 解:以A 为一端的线段有: AC 、AD 、AE 、AB 共4条 以C 为一端的线段有:(除CA 外) CD 、CE 、CB 共3条 以D 为一端的线段有:(除DC 、DA 外) DE 、DB 共2条 以E 为一端的线段有:(除ED 、EC 、EA 外) EB 共1条 共有线段1+2+3+4=10 (条) 注意:3个点时,是从1加到4, 因此 如果是n 个点,则共有线段1+2+3+……+n+1= n n 211++=2 ) 2(+n n 条 丙练习7 1, 右边代数式中的字母应取什么值? ① 2 4-x ②S 正方形=a 2 ③3的倍数3n 2, 用字母表示: ①一切奇数, ②所有正偶数, ③一个三位数, ④n 个a 相乘的结果, ⑤负数的绝对值是它的相反数。 3, 写出:⑴从1开始,n 个自然数的和是______________________ ⑵从11开始到2n+1 連续奇数的和( n>5)是__________ ⑶m 个球队进行单循环赛所需场数是_________________ 4, 已知999=103-1, 9999=104-1, 那么各位数都是9的n 位数 n 9999=_____ 5, 计算112= 1112= (n ≤10时) n 21111=____________________ 6, 写出图中所有三角形并计算其个数, 如果线段上有10个点呢? 初中数学竞赛辅导资料(8) 抽屉原则 甲内容提要 1, 4个苹果放进3个抽屉,有一种必然的结果:至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个(即 等于或多于2个);如果7个苹果放进3个抽屉,那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个(即的等于或多于3个),这就是抽屉原则的例子。 2, 如果用{}n m 表示不小于n m 的最小整数,例如{}37=3,{}236= 。那么抽屉原则可 定义为:m 个元素分成n 个集合(m 、n 为正整数m>n ),则至少有一个集合里元素不少 于{}n m 个。 3, 根据{n m 的定义,己知m 、n 可求{}n m ; 己知{}n m ,则可求n m 的范围,例如己知{}n m =3,那么2<n m ≤3;己知{3 x =2,则 1<3 x ≤2,即3<x ≤6,x 有最小整数值4。 乙例题 例1某校有学生2000人,问至少有几个学生生日是同一天? E 分析:我们把2000名学生看作是苹果,一年365天(闰年366天)看作是抽屉,即把m (2000)个元素,分成n(366)个集合,至少有一个集合的元素不少于{}n m 个 解:∵ =36620005366 17 ∴{} 3662000=6 答:至少有6名学生的生日是同一天 例2 从1到10这十个自然数中,任意取出6个数,其中至少有两个是倍数关系,试说明 这是为什么。 解:我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里,则可分为5个集合,它们是:{1, 2,4,8,},{3,6,},{5,10},{7},{9}。 ∵要在5个集合里取出6个数, ∴至少有两个是在同一集合,而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。 (本题的关键是划分集合,想一想为什么9不能放在3和6的集合里)。 例3 袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6个,请你从袋中取出一些球,要求至少有 3个颜色相同,那么至少应取出几个才有保证。 分析:我们可把4种球看成4个抽屉(4个集合),至少有3个球同颜色,看成是至少有一个抽屉不少于3个(有一个集合元素不少于3个)。 解:设至少应取出x 个,用{4x }表示不小于4 x 的最小整数,那么 {4x }=3, ∴2<4 x ≤3, 即8<x ≤12, 最小整数值是9。 答:至少要取出9个球,才能确保有三个同颜色。 例4 等边三角形边长为2,在这三角形内部放入5个点,至少有2个点它们的距离小于1, 试说明理由。 1, ∵5个点放入4个三角形, ∴至少有2个点放在同一个三角形内, 而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1。 丙练习8 1, 初一年新生从全县17个乡镇招收50名,则至少有_人来自同一个乡镇。 2, 任取30个正整数分别除以7,那么它们的余数至少有__个是相同的。 3, 在2003m 中,指数m 任意取10个正整数,那么这10个幂的个位数中相同的至少于__ 个. 4, 暗室里放有四种不同规格的祙子各30只,为确保取出的祙子至少有1双(2只同规格为 1双)那么至少要取几只?若要确保10双呢? 5, 袋子里有黑、白球各一个,红、蓝、黄球各6个,请你拿出一些球,要确保至少有4个 同颜色,那么最少要取几个? 6, 任意取11个正整数,至少有两个它们的差能被10整除,这是为什么? 7, 右图有3行9列的方格,若用红、蓝两种颜色 涂上,则至少有2列的涂色方式是一样的,试说明这是为什么。 8, 任意取3个正整数,其中必有两个数它们的平均数也是正整数。 试说明理由。 9, 90粒糖果分给13个小孩,每人至少分1粒,不管怎样分,总有两人分得同样多,这是 为什么? 10,11个互不相同的正整数,它们都小于20,那么一定有两个是互质数。 (最大公约数是1的两个正整数叫互质数) 11,任意6个人中,或者有3个人他们之间都互相认识,或者有3个人他们之间都互不相识,两者必居其一,这是为什么? 第二十一讲 从三角形的内切圆谈起 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心,圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质: 1.三角形的内心是三角形的三内角平分线交点,它到三角形的三边距离相等; 2.圆外切四边形的两组对边之和相等,其逆亦真,是判定四边形是否有外切圆的主要方法. 当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时,就得到隐含丰富结论的下列图形: 注:设Rt △ABC 的各边长分别为a 、b 、c (斜边),运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式: (1)2 c b a r -+=; (2)c b a ab r ++= . 请读者给出证 【例题求解】 【例1】 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°°,BC=5,⊙O 与Rt △ABC 的三边AB 、 BC、AC分相切于点D、E、F,若⊙O的半径r=2,则Rt△ABC的周长为.思路点拨AF=AD,BE=BD,连OE、OF,则OECF为正方形,只需求出AF(或AD)即可. 【例2】如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C,AC、BD相交于N点,连结ON,NP,下列结论:①四边形ANPD是梯形;②ON=NP:③DP·P C为定值; ④FA为∠NPD的平分线,其中一定成立的是( ) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①④ 思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形,判定性质等重要几何知识,注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换,推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键. 【例3】如图,已知∠ACP=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,过A、C、D 三点的圆交AB于F,求证:F为△CDE的内心. 初中数学竞赛专题选讲 识图 一、内容提要 1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点,线,面,体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体,要靠正确的想像 点:只表示位置,没有大小,不可再分。 线:只有长短,没有粗细。线是由无数多点组成的,即“点动成线”。面:只有长、宽,没有厚薄。面是由无数多线组成的,“线动成面”。4.因为任何复杂的图形,都是由若干基本图形组合而成的,所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。 识别图形包括静止状态的数一数,量一量,比一比,算一算;运动状态中的位置、数量的变化,图形的旋转,摺叠,割补,并合,比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题 例1.数一数甲图中有几个角(小于平角)?乙图中有几个等腰三角形?丙图中有几全等三角形?丁图中有几对等边三角形? E 解:甲图中有10个角:∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线,则少一个∠AOC,余类推。 乙图中有5个等腰三角形:△ABC,△ABD,△BDC,△BDE,△DEC 丙图中有全等三角形4对:(设AC和DB相交于O) △AOB≌△COD,△AOD≌△BOC,△ABC≌△CDA,△BCD≌△DAB。 丁图中共有等边三角形48个: 边长1个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4+5=15 顶点在下▼的个数有 1+2+3+4=10 边长2个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4=10 顶点在下▼的个数有 1+2=3 边长3个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3=6 边长4个单位:顶点在上▲的个数有 1+2=3 边长5个单位:顶点在上▲的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例2.设平面内有6个点A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,其中任意3个点都不在同 一直线上,如果每两点都连成一条线,那么共有线段几条?如果要使图形不 出现有4个点的两两连线,那么最多可连成几条线段?试画出图形。 (1989年全国初中数学联赛题) 解:从点A 1与其他5点连线有5条,从点A 2与其他4点(A 1除外)连线 有4条,从A 3与其他3点连线有3条(A 1,A 2除外)……以此类推,6个 点两两连线共有线段1+2+3+4+5=15(条),或用每点都与其他5点 连线共5×6再除以2(因重复计算)。 要使图形不出现有4个点的两两连线,那么每点只能与其他4个点连线, 共有(6×4)÷2=12(条)如下图:其中有3对点不连线:A 1A 4,A 2A 5, A 3A 6 A 3 1 2 例3.如图水平线与铅垂线相交于O ,某甲沿水平线,某乙铅垂线同时匀速 前进,当甲在O 点时,乙离点O 为500米,2分钟后,甲、乙离点O 相 等;又过8分钟,甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。 解:如图设甲0,乙0为开始位置,甲1,乙1为前进2分钟后位置,甲2,乙2 乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲,乙的速度分别为每分钟x,y 米,根据题意得 ? ??-=-=500101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y 乙1 ∴x ∶y=2∶3 全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根情况,可以用判别式Δ=b2-4ac来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质.本讲结合例题来讲解一些主要的方法. 例1 m是什么整数时,方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0 有两个不相等的正整数根. 解法1首先,m2-1≠0,m≠±1.Δ=36(m-3)2>0,所以m≠3.用求根公式可得 由于x1,x2是正整数,所以 m-1=1,2,3,6,m+1=1,2,3,4,6,12, 解得m=2.这时x1=6,x2=4. 解法2首先,m2-1≠0,m≠±1.设两个不相等的正整数根为x1,x2,则由根与系数的关系知 所以m2-1=2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,即 m2=3,4,5,7,9,10,13,19,25,37,73, 只有m2=4,9,25才有可能,即m=±2,±3,±5. 经检验,只有m=2时方程才有两个不同的正整数根. 说明一般来说,可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话),然后利用整数的性质以及整除性理论,就比较容易求解问题,解法1就是 这样做的.有时候也可以利用韦达定理,得到两个整数,再利用整除性质求解,解法2就是如此,这些都是最自然的做法. 例2 已知关于x的方程 a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根,求a的值. 分析“至少有一个整数根”应分两种情况:一是两个都是整数根,另一种是一个是整数根,一个不是整数根.我们也可以像上题一样,把它的两个根解出来. 解因为a≠0,所以 所以 所以只要a是3或5的约数即可,即a=1,3,5. 例3设m是不为零的整数,关于x的二次方程 mx2-(m-1)x+1=0 有有理根,求m的值. 解一个整系数的一元二次方程有有理根,那么它的判别式一定是完全平方数.令 Δ=(m-1)2-4m=n2, 其中n是非负整数,于是 m2-6m+1=n2, 初中数学竞赛辅导资料(12) 用交集解题 甲内容提要 1. 某种对象的全体组成一个集合.组成集合的各个对象叫这个集合的元素.例如6的正约数集合记作{6的正约数}={1,2,3,6},它有4个元素1,2,3,6;除以3余1的正整数集合是个无限集,记作{除以3余1的正整数}={1,4,7,10……},它的个元素有无数多个. 2. 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集 例如6的正约数集合A ={1,2,3,6},10的正约数集合B ={1,2,5,10},6与10的公约数集合C ={1,2},集合C 是集合A 和集合B 的交集. 3. 几个集合的交集可用图形形象地表示, 右图中左边的椭圆表示正数集合, 右边的椭圆表示整数集合,中间两个椭圆 的公共部分,是它们的交集――正整数集. 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集. 例如 不等式组? ??<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是( ) 不等式(1)的解集x >3和不等式(2)的解集x >2的交集,x >3. 4.一类问题,它的答案要同时符合几个条件,一般可用交集来解答.把符合每个条件的所有的解(即解的集合)分别求出来,它们的公共部分(即交集)就是所求的答案. 有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多)的解集,再按其他条件逐一筛选、剔除,求得答案.(如例2) 乙例题 例1. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个自然数的最小值. 解:除以3余2的自然数集合A ={2,5,8,11,14,17,20,23,26,……} 除以5余3的自然数集B ={3,8,13,18,23,28,……} 除以7余2自然数集合C ={2,9,16,23,30,……} 集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数. 例2. 有两个二位的质数,它们的差等于6,并且平方数的个位数字相同,求这两个数. 解: 二位的质数共21个,它们的个位数字只有1,3,7,9,即符合条件的质数它们的个位数的集合是{1,3,7,9}; 其中差等于6的有:1和7;3和9;13和7,三组; 平方数的个位数字相同的只有3和7;1和9二组. 同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组 故所求质数是:23,17; 43,37; 53,47; 73,67共四组. 例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28人,订阅B 种刊物的有21人,其中6人两种都订,只有一人两种都没有订,问只订A 种、只订B 种的各几人?数学兴趣小组共有几人? 解:如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合,则两圆重叠部分就是它们 第十四讲图表信息问题 21世纪是一个信息化的社会,从纷繁的信息中,捕捉搜集、处理、加工所需的信息,是新世纪对一个合格公民提出的基本要求. 图表信息问题是近年中考涌现的新问题,即运用图象、表格及一定的文字说明提供问题情境的一类试题. 图象信息题是把需要解决的问题借助图象的特征表现出来,解题时要通过对图象的解读、分析和判断,确定图象对应的函数解析式中字母系数符号特征和隐含的数量关系,然后运用数形结合、待定系数法等方法解决问题. 表格信息题是运用二维表格提供数据关系信息,解题中需通过对表中的数据信息的分析、比较、判断和归纳,弄清表中各数据所表示的含义及它们之间的内在联系,然后运用所学的方程(组)、不等式(组)及函数知识等解决问题. 【例题求解】 【例1】一慢车和一快车沿相同的路线从A到B地,所行的路程与时间的函数图象如图所示,试根据图象,回答下列问题: (1)慢车比快车早出发小时,快车追上慢车时行驶了千米,快车比慢车 早小时到达6地; (2)快车追上慢车需小时,慢车、快车的速度分别为千米/时; (3)A、B两地间的路程是. 思路点拨对于(2),设快车追上慢车需t小时,利用快车、慢车所走的路程相等,建立t的方程. 注:股市行情走势图、期货市场趋势图、工厂产值利润表、甚而电子仪器自动记录的地震波等,它们广泛出现在电视、报刊、广告中,渗透到现实生活的每一角落,这些图表、图象中蕴涵着丰富的信息,我们应学会收集、整理与获取. 【例2】已知二次函数c + =2的图象如图,并设M=b y+ ax bx + + - + 2, +2 - - + a a- a c b b b c a 则( ) A.M>0 B.M=0 C.M<0 D.不能确定M为正、为负或为0 思路点拨由抛物线的位置判定a、b、c的符号,并由1 x,推出相应y值的正负性. = ± 初二数学竞赛辅导资料(共12讲) 目录 本内容适合八年级学生竞赛拔高使用重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中讲练结合由浅入深讲解与练习同步重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容其中《因式分解》为初二下册内容但是考虑到它的重要性和工具性将在本次培训进行具体解读注有标注的为选做内容 本次培训具体计划如下以供参考 第一讲实数一 第二讲实数二 第三讲平面直角坐标系函数 第四讲一次函数一 第五讲一次函数二 第六讲全等三角形 第七讲直角三角形与勾股定理 第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷未装订在内另发 第九讲竞赛中整数性质的运用 第十讲不定方程与应用 第十一讲因式分解的方法 第十二讲因式分解的应用 第十三讲考试未装订在内另发 第十四讲试卷讲评 第1讲实数一 知识梳理 一非负数正数和零统称为非负数 1几种常见的非负数 1实数的绝对值是非负数即a≥0 在数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值用a来表示设a为实数则 绝对值的性质 ①绝对值最小的实数是0 ②若a与b互为相反数则a=ba=ba=b ③对任意实数a则a≥a a≥-a ④a·b=ab b≠0 ⑤a-b≤a±b≤a+b 2实数的偶次幂是非负数 如果a为任意实数则≥0n为自然数当n=1≥0 3算术平方根是非负数即≥0其中a≥0 算术平方根的性质 a≥0 = 2非负数的性质 1有限个非负数的和积商除数不为零是非负数 2若干个非负数的和等于零则每个加数都为零 3若非负数不大于零则此非负数必为零 3对于形如的式子被开方数必须为非负数 4推广到的化简 5利用配方法来解题开平方或开立方时将被开方数配成完全平方式或完全立方 例题精讲 ◆专题一利用非负数的性质解题 例1已知实数xyz满足求x+y+z的平方根 巩固 1已知则的值为______________ 2若 的值 拓展 设abc是实数若求abc的值 ◆专题二对于的应用 例2已知xy是实数且 例3 已知适合关系式求的值 巩固 1已知b=且的算术平方根是的立方根是试求的平方根和立方根 2已知则 初中数学竞赛辅导资料 第一讲数的整除 一、容提要: 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征: ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100-2=98(能被7整除) 又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除) 能被11整除的数的特征: ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100-1=99(能11整除) 又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除) 二、例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解:x,y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除,∴y=6. ∵328+92x =567,∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除,求x 解:∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除, 当1+2+3+4+x 能被3整除时,x=2,5,8 当末两位4x能被4整除时,x=0,4,8 ∴x=8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解:五位数字都不相同的最小五位数是10234, 但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行 调整末两位数为30,41,52,63,均可, ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习一 1、分解质因数:(写成质因数为底的幂的连乘积) ①756②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 987能被3整除,那么 a=_______________ 2、若四位数a x能被11整除,那么x=__________ 3、若五位数1234 35m能被25整除 4、当m=_________时,5 9610能被7整除 5、当n=__________时,n 6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数:①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972 中,能被下列各数整除的有(填上编号): 6________,8__________,9_________,11__________ 9、从1到100这100个自然数中,能同时被2和3整除的共_____个,能被3整除 但不是5的倍数的共______个。 10、由1,2,3,4,5这五个自然数,任意调换位置而组成的五位数中,不能被3 整除的数共有几个?为什么? 初中数学竞赛辅导资料之因式分解 甲内容提要和例题 我们学过因式分解的四种基本方法:提公因式法,运用公式法,十字相乘法,分组分解法。下面再介紹两种方法 1.添项拆项。是.为了分组后,能运用公式(包括配方)或提公因式 例1因式分解:①x4+x2+1②a3+b3+c3-3abc ①分析:x4+1若添上2x2可配成完全平方公式 解:x4+x2+1=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x) ②分析:a3+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab2 解:a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3abc-3a2b-3ab2 =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 例2因式分解:①x3-11x+20②a5+a+1 ①分析:把中项-11x拆成-16x+5x 分别与x5,20组成两组,则有公因式可提。(注意这里 16是完全平方数) ②解:x3-11x+20=x3-16x+5x+20=x(x2-16)+5(x+4) =x(x+4)(x-4)+5(x+4) =(x+4)(x2-4x+5) ③分析:添上-a2和a2两项,分别与a5和a+1组成两组,正好可以用立方差公式 解:a5+a+1=a5-a2+a2+a+1=a2(a3-1)+ a2+a+1 =a2(a-1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3-a2+1) 2.运用因式定理和待定系数法 定理:⑴若x=a时,f(x)=0, [即f(a)=0],则多项式f(x)有一次因式x-a ⑵若两个多项式相等,则它们同类项的系数相等。 例3因式分解:①x3-5x2+9x-6②2x3-13x2+3 第十五讲 统计的思想方法 20世纪90年代,美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝写过一本畅销全球的《数字化生存》一书.事实上,我们的生活、工作离不开数据,要做到心中有数、用数据说话是信息社会对人的基本要求. 统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据,并在此基础上作出推断的科学. 随机抽样与统计推断是统计中最重要的思想方法,也是认识客观世界的事物和现象的方法之一.即用样本的某种特征去估计总体的相应特征,用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律. 【例题求解】 【例1】 现有A ,B 两个班级,每个班级各有45名学生参加一次测验.每名参加者可获得0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分这几种不同的分值中的一种.测试结果A 班的成绩如下表所示,B 班的成绩如图所示. (1)由观察所得, 班的标准差较大; (2)若两班合计共有60人及格,问参加者最少获 分才可以及格. 思路点拨 对于(2),数一数两班在某一分数以上的人数即可,凭直觉与估计得出答案. 注: 平均数、中位数、众数都是反映一组数据集中趋势的特征数,但是它们描述集中趋势的侧重点是不同的: (1)平均数易受数据中少数异常值的影响,有时难以真正反映“平均”; (2)若一组数据有数据多次重复出现,则常用众数来刻画这组数据的集中趋势. 【例2】 已知数据1x 、2x 、3x 的平均数为a ,1y 、2y 、3y 的平均数为b ,则数据1132y x +、2232y x +、3332y x +的平均数为( ) A .2a+3b B .b a +3 2 C .6a+9b D .2a+b 思路点拨 运用平均数计算公式并结合已知条件导出新数据的平均数. 全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集 第二十一讲分类与讨论 分类在数学中是常见的,让我们先从一个简单的例子开始. 有四张卡片,它们上面各写有一个数字:1,9,9,8.从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数,这样的数中有多少个是质数? 因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数,我们分别给予讨论. 任取一张卡片,只能得3个数:1,8,9,其中没有质数;任取二张卡片,可得7个数:18,19,81,89,91,98,99,其中19,89两个是质数;任取三张卡片,可得12个数:189,198,819,891,918,981,199,919,991,899,989,998,其中199,919,991三个数是质数;取四张,所得的任一个四位数的数字和是27,因而是3的倍数,不是质数.综上所述,质数共有2+3=5个. 上面的解题方法称为分类讨论法.当我们要解决一个比较复杂的问题时,经常把所要讨论的对象分成若干类,然后逐类讨论,得出结论. 分类讨论法是一种很重要的数学方法.在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中.分类讨论一般分为三个步骤,首先确定分类对象,即对谁实施分类.第二是对对象实施分类,即分哪几类,这里要特别注意,每次分类要按照同一标准,并做到不重复、不遗漏,有些复杂的问题,还要逐级分类.最后对讨论的结果进行综合,得出结论. 例1求方程 x2-│2x-1│-4=0 的实根. x2+2x-1-4=0, x 2-2x +1-4=0, x 1=3,x 2=-1. 说明 在去绝对值时,常常要分类讨论. 例2 解方程x 2-[x]=2,其中[x]是不超过x 的最大整数. 解 由[x]的定义,可得 x ≥[x]=x 2-2, 所以 x 2-x -2≤0, 解此不等式得 -1≤x ≤2. 现把x 的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解. (1)当-1≤x ≤0时,原方程为 x 2-(-1)=2, 所以x=-1(因x=1不满足-1≤x <0). (2)当0≤x <1时,原方程为 x 2=2. (3)当1≤x <2时,原方程为 x 2-1=2, 所以 (4)当x=2时,满足原方程. 第八讲由常量数学到变量数学 数学漫长的发展历史大致历经四个时期:以自然数、分数体系形成的萌芽期;以代数符号体系形成的常量数学时期;以函数概念产生的变量数学时期;以集合论为标志的现代数学时期. 函数是数学中最重要的概念之一,它是变量数学的标志,“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系,从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性.函数的基本知识有:与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法. 在坐标平面内,由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式.点的坐标是解决函数问题的基础,函数解析式是解决函数问题的关键,所以,求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题. 【例题求解】 【例1】在平面直角坐标系内,已知点A(2,2),B(2,-3),点P在y轴上,且△APB为直角三角形,则点P的个数为. 思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点,连结AB,因题设中未指明△APB的哪个角是直角,故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论,设点P(0,x),运用几何知识建立x 的方程. 注:点的坐标是数与形结合的桥梁,求点的坐标的基本方法有: (1)利用几何计算求; (2)通过解析式求; (3)解由解析式联立的方程组求. 【例2】如图,向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定),注满烧杯后, 继续注水,直至注满水槽.水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的 函数关系,大致是下列图象中的() 思路点拨向烧杯注水需要时间,并且水槽中水面上升高0 h. 注:实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来,如心电图、,股市行情走势图等,图象中包含着丰富的图象信息,要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示. 全国初中数学竞赛辅导(初三分册)全套 第一讲分式方程(组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解,转化的基本方法是去分母、换元,但也要灵活运用,注意方程的特点进行有效的变形.变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围,故必须验根. 例1 解方程 解令y=x2+2x-8,那么原方程为 去分母得 y(y-15x)+(y+9x)(y-15x)+y(y+9x)=0, y2-4xy-45x2=0, (y+5x)(y-9x)=0, 所以 y=9x或y=-5x. 由y=9x得x2+2x-8=9x,即x2-7x-8=0,所以x1=-1,x2=8;由y=-5x,得x2+2x-8=-5x,即x2+7x-8=0,所以x3=-8,x4=1. 经检验,它们都是原方程的根. 例2 解方程 y2-18y+72=0, 所以 y1=6或y2=12. x2-2x+6=0.此方程无实数根. x2-8x+12=0, 所以 x1=2或x2=6. 经检验,x1=2,x2=6是原方程的实数根. 例3 解方程 分析与解我们注意到:各分式的分子的次数不低于分母的次数,故可考虑先用多项式除法化简分式.原方程可变为 整理得 去分母、整理得 x+9=0,x=-9. 经检验知,x=-9是原方程的根. 例4 解方程 分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1,根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和,这样原方程即可化简.原方程化为 即 所以 ((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3). 例5 解方程 分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1,故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式,用拆项相消进行化简.原方程变形为 专业资料 初中数学竞赛辅导讲义(初三) 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式:真分式化为另几个真分式的和,一般先将分母分解因式,后用待定系数法进行。 2、 综合除法:多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算,可列竖式来进行。 3、 分式运算:实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1.化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解:原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2. 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ,且xyz ≠0,求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。 专业资料 解:易知:z y x + = y z x + = x z y + =k 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x (1)+(2)+(3)得:(k-2)(x+y+z)=0 k=2 或 x+y+z=0 若k=2则原式= k 3 = 8 若 x+y+z=0,则原式= k 3 =-1 例3.设 1 2+-mx x x =1,求 12242+-x m x x 的值。 解:显然X 0≠,由已知x mx x 12+- =1 ,则 x +x 1 = m + 1 ∴ 22241x x m x +- = x2 + 21x - m2= (x +x 1)2-2 –m2 =( m +1)2-2- m2= 2m -1 ∴原式=1 21-m 例4.已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除,求a的值。 解: 全国初中数学竞赛辅导(初三)讲座(3) 例1:解方程084223=+--x x x 。 例2:解方程()()()()197412=+++-x x x x 。 例3:解方程()()()6143762=+++x x x 。 例4:解方程01256895612234=+-+-x x x x 。 例5:解方程52222=??? ??++x x x 。 例6:解方程()()821344=-++y x 。 例7:解方程()()02652112102234=++++---a a x a x a x x ,其中a 是常数,且6-≥a 。 解答:(1)221==x x ,23-=x (2)28552,1±-=x 2554,3±-=x (3)32 1-=x 35 2-=x (4)23 ,32 ,21 ,24321====x x x x (5)2,121=-=x x (6)4,021-==x x (7)622,1+± =a x ,934,3+±=a x 。 练习: 1、填空: (1)方程()()()()24321=++++x x x x 的根为__________。 (2)方程0233=+-x x 的根为__________。 (3)方程025********=+--+x x x x 的根为__________。 (4)方程()()()2 222222367243+-=+-+-+x x x x x x 的根为__________。 (5)方程()()()29 134782=+++x x x 的根为__________。 2、解方程()()()()431121314x x x x x =++++。 3、解方程403322 =??? ??-+x x x 。 (共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用 第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax (0≠a )的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算;它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想,有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题,直接求解可能给解题带来许多不便,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨:从指数运算律、±1的特征人手,将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根,那么1942231+-x x 的值等于( ) A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨:求出1x 、2x 的值再代入计算,则计算繁难,解题的关键是利用根的定义及变形,使多项式降次,如1213x x -=,2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨:因不知晓原方程的类型,故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ,求满足该方程的所有根之和. 思路点拨:通过讨论,脱去绝对值符号,把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等,且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111, 试求x 的值. 思路点拨:运用连等式,通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示,由解方程求得x 的值. 注:一元二次方程常见的变形形式有: (1)把方程02=++c bx ax (0≠a )直接作零值多项式代换; (2)把方程02=++c bx ax (0≠a )变形为c bx ax --=2,代换后降次; (3)把方程02=++c bx ax (0≠a )变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2,代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时,在未指明方程类型时,应分0=a 及0≠a 两种情况讨论;解绝对值方程需脱去绝对值符号,并用到绝对值一些性质,如222 x x x ==. 第十一讲勾股定理与应用 在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理. 勾股定理直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即 a2+b2=c2. 勾股定理逆定理如果三角形三边长a,b,c有下面关系: a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. 早在3000年前,我国已有“勾广三,股修四,径阳五”的说法. 关于勾股定理,有很多证法,在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的.下面的证法1是欧几里得证法. 证法1 如图2-16所示.在Rt△ABC的外侧,以各边为边长分别作正方形ABDE,BCHK,ACFG,它们的面积分别是c2,a2,b2.下面证明,大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和. 过C引CM∥BD,交AB于L,连接BG,CE.因为 AB=AE,AC=AG,∠CAE=∠BAG, 所以△ACE≌△AGB(SAS).而 所以 S AEML=b2.① 同理可证 S BLMD=a2.② ①+②得 S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2, 即 c2=a2+b2. 证法2 如图2-17所示.将Rt△ABC的两条直角边CA,CB分别延长到D,F,使AD=a,BF=b.完成正方形CDEF(它的边长为a+b),又在DE上截取DG=b,在EF上截取EH=b,连接AG,GH,HB.由作图易知 △ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC, 所以 AG=GH=HB=AB=c, ∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°, 因此,AGHB为边长是c的正方形.显然,正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC,△ADG,△GEH,△HFB)的面积和,即 化简得 a2+b2=c2. 全国初中数学竞赛辅导(初一) (上) 目录 第一讲有理数的巧算 (1) 第二讲绝对值 (10) 第三讲求代数式的值 (17) 第四讲一元一次方程 (24) 第五讲方程组的解法 (32) 第六讲一次不等式(不等式组)的解法 (40) 第七讲含绝对值的方程及不等式 (47) 第八讲不等式的应用 (56) 第九讲“设而不求”的未知数 (64) 第十讲整式的乘法与除法 (73) 第十一讲线段与角 (79) 第十二讲平行线问题 (88) 第一讲有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性. 1.括号的使用 在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单. 例1计算: 分析中学数学中,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号.因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则,尤其是要注意去括号时符号的变化. 注意在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算. 例2计算下式的值: 211×555+445×789+555×789+211×445. 分析直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算. 解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000. 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧. 例3计算:S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n. 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将第一、第二项,第三、第四项,…,分别配对的方式计算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法. 解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n. 下面需对n的奇偶性进行讨论: 当n为偶数时,上式是n/2个(-1)的和,所以有 当n为奇数时,上式是(n-1)/2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)n+1·n=n,所以有 初中数学竟赛辅导资料(1) 数的整除(一) 甲内容提要: 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100-2=98(能被7整除) 又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除) 能被11整除的数的特征: ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100-1=99(能11整除) 又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除) 乙例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解:x,y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除,∴y=6. ∵328+92x =567,∴x=3 例2己知五位数x 1234能被12整除, 求X 解:∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除, 当1+2+3+4+X 能被3整除时,x=2,5,8 4能被4整除时,X=0,4,8 当末两位X ∴X=8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解:五位数字都不相同的最小五位数是10234, 但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行 调整末两位数为30,41,52,63,均可, ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 丙练习 1分解质因数:(写成质因数为底的幂的連乘积) ①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296 987能被3整除,那么a=_______________ 2若四位数a 12X能被11整除,那么X=__________- 3若五位数34 35m能被25整除 4当m=_________时,5 9610能被7整除 5当n=__________时,n 6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最小四位数是_________ 88个数:①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152, ⑧70972中,能被下列各数整除的有(填上编号): 6________,8__________,9_________,11__________ 9从1到100这100个自然数中,能同时被2和3整除的共_____个,能被3整除但不是5的倍数的共______个。 10由1,2,3,4,5这五个自然数,任意调换位置而组成的五位数中,不能被3整除的数共有几个?为什么? 1234能被15整除,试求A的值。 11己知五位数A 12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。 13在十进制中,各位数码是0或1,并能被225整除的最小正整数是____(1989年全国初中联赛题) 第一篇 一元一次方程的讨论 第一部分 基本方法 1. 方程的解的定义:能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。 例如:方程 2x +6=0, x (x -1)=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是: x =-3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数,无解。 2. 关于x 的一元一次方程的解(根)的情况:化为最简方程ax =b 后, 讨论它的解:当a ≠0时,有唯一的解 x =a b ; 当a =0且b ≠0时,无解; 当a =0且b =0时,有无数多解。(∵不论x 取什么值,0x =0都成立) 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a |b 时,方程有整数解; 当a |b ,且a 、b 同号时,方程有正整数解; 当a 、b 同号时,方程的解是正数。 综上所述,讨论一元一次方程的解,一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析 例1 a 取什么值时,方程a (a -2)x =4(a -2) ①有唯一的解?②无解? ③有无数多解?④是正数解? 例2 k取什么整数值时,方程①k(x+1)=k-2(x-2)的解是整数?②(1-x)k=6的解是负整数? 例3己知方程a(x-2)=b(x+1)-2a无解。问a和b应满足什么关系? 例4a、b取什么值时,方程(3x-2)a+(2x-3)b=8x-7有无数多解? 第三部分典题精练 1. 根据方程的解的定义,写出下列方程的解: ① (x +1)=0, ②x 2 =9, ③|x |=9, ④|x |=-3, ⑤3x +1=3x -1, ⑥x +2=2+x 2. 关于x 的方程ax =x +2无解,那么a __________ 3. 在方程a (a -3)x =a 中, 当a 取值为____时,有唯一的解; 当a ___时无解; 当a _____时,有无数多解; 当a ____时,解是负数。 4. k 取什么整数值时,下列等式中的x 是整数? ① x = k 4 ②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k 5. k 取什么值时,方程x -k =6x 的解是 ①正数? ②是非负数? 6. m 取什么值时,方程3(m +x )=2m -1的解 ①是零? ②是正数? 7. 己知方程 2 2 1463+= +-a x 的根是正数,那么a 、b 应满足什么关系? 初中数学竞赛辅导资料(6) 数学符号 甲内容提要 数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义,即 当我们把它规定为某种意义后,就不再表示其他意义。 数学符号一般可分为: 1, 元素符号:通常用小写字母表示数,用大写字母表示点,用⊙和△ 表示园和三角形等。 2, 关系符号:如等号,不等号,相似∽,全等≌,平行∥,垂直⊥等。 3, 运算符号:如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。 4, 逻辑符号:略 5, 约定符号和辅助符号:例如我们约定正整数a 和b 中,如果a 除 以b 的商的整数部份记作Z ( b a ),而它的余数记作R (b a ), 那么 Z (310)=3,R (3 10)=1;又如设[]x 表示不大于x 的最大整数,那么[]2.5=5,[]2.5-=-6,?? ????32=0,[]3-=-3。 正确使用符号的关健是明确它所表示的意义(即定义) 对题设中临时约定的符号,一定要扣紧定义,由简到繁,由浅入深, 由具体到抽象,逐步加深理解。 在解题过程中为了简明表述,需要临时引用辅助符号时,必须先作 出明确的定义,所用符号不要与常规符号混淆。 乙例题 例1设[]Z 表示不大于Z 的最大整数,<n>为正整数n 除以3的余数 计算: ①〔4.07〕+〔-7 32 〕-〈13;〉+〈2004〉 ②〈〔14.7〕〉+〔234><〕。 解:①原式=4+(-3)-1+0=0 ②原式=<14>+〔2 1〕=2+0=2 例2①求19871988的个位数 ②说明19871989-19931991能被10整除的理由 解:设N (x )表示整数x 的个位数, ① N (19871988)=N (74×497)=N (74)=1 ②∵N (19871989)-N (19931991)=N (74×497+1)-N (34×497+3) =N (71)-N (33)=7-7=0 ∴19871989-19931991能被10整除 由于引入辅助符号,解答问题显得简要明瞭。初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第21讲 从三角形的内切圆谈起
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